Voir la source de Représentations du groupe symétrique

En [[mathématiques]] les '''représentations du [[groupe symétrique]]''' sont un exemple d'application de la théorie des [[représentations d'un groupe fini]]. L'analyse de ces représentations est une illustration des concepts comme le [[théorème de Maschke]], les [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractères]], la [[représentation régulière]], les [[représentation induite d'un groupe fini|représentations induites]] et la [[réciprocité de Frobenius]].

== Histoire ==
L'histoire des représentations du groupe symétrique et du [[groupe alterné]] associés, joue un rôle particulier pour la théorie des caractères. {{date-|Avril 1896}} est le mois de naissance généralement considéré de cette théorie. Inspiré par une intense correspondance avec [[Richard Dedekind|Dedekind]] qui avait calculé les représentations de ''S''{{ind|3}} et du [[groupe des quaternions]]<ref>{{en}} [[Charles W. Curtis|C. W. Curtis]], « Representation theory of finite groups, from Frobenius to Brauer », dans ''[[The Mathematical Intelligencer|Math. Intelligencer]]'', 1992, [https://books.google.fr/books?id=MvWJZSxqLZwC&pg=PA48 p. 48-57]</ref>, [[Ferdinand Georg Frobenius|Frobenius]] analyse les représentations des groupes ''S''{{ind|4}} et ''S''{{ind|5}} <ref>B. Pire, « [http://www.universalis.fr/encyclopedie/georg-ferdinand-frobenius/ Frobenius, Georg Ferdinand (1849-1917)] » dans l'[[Encyclopædia Universalis]] en ligne ; pour une analyse plus détaillée des lettres de Frobenius, voir [[Thomas Hawkins|T. Hawkins]], « New light on Frobenius creation of the theory of group characters », Archive for Hist. of Ex. Sciences, vol. 12, n° 3, 1974, p. 217-243, [http://www.springerlink.com/content/x36077788l515048/ accès restreint] ; Frobenius s'intéresse également à D4 et PSL(2,7) (p. 235).</ref> et présente les fondements qu'il développe pendant les années à venir.

Si les méthodes sont différentes de celles maintenant utilisées – Frobenius adopte en effet comme outil essentiel l'idée de Dedekind des {{Lien|trad=Frobenius determinant theorem|Théorème du déterminant de Frobenius|texte=déterminants de groupes}} tombés maintenant en désuétude – les bases de la théorie sont esquissées. Elle se développe rapidement ; [[Heinrich Maschke]] démontre [[théorème de Maschke|le théorème portant maintenant son nom]] trois ans plus tard. En [[1911 en science|1911]], [[William Burnside]] publie la seconde édition du livre<ref>{{en}} W. Burnside, ''Theory of Groups of Finite Order'', {{2e}} éd., Dover Publications, rééd. 2004</ref> encore de référence contenant toutes les techniques utilisées dans cet article.

==Représentations irréductibles==
=== Quelques rappels ===

{{Article détaillé|contenu=Articles détaillés : [[Représentations d'un groupe fini]] (en particulier [[représentation irréductible|représentations irréductibles]]) et [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|leurs caractères]] ; [[classe de conjugaison]].}}

Les [[Représentation de groupe|représentations]] d'un [[groupe fini]] ''G'' (sur un [[espace vectoriel]] [[Nombre complexe|complexe]] [[Espace vectoriel de dimension finie|de dimension finie]]) possèdent une propriété simplifiant largement leur analyse, elles sont toutes [[somme directe|sommes directes]] de représentations irréductibles. De plus, cette décomposition d'une représentation se « lit » sur son caractère, qui est l'application associant à tout élément de ''G'' la [[trace (algèbre)|trace]] de son image par la représentation. En effet :
*le caractère d'une somme directe de représentations est la somme de leurs caractères ;
*tout caractère est une [[fonction centrale d'un groupe fini|fonction centrale]], c'est-à-dire une application (de ''G'' dans l'ensemble des nombres complexes) constante sur chaque classe de conjugaison ;
*pour le [[produit hermitien]] suivant, la famille des caractères irréductibles est une [[base orthonormale]] de l'espace de ces fonctions centrales :
<center><math>\langle \chi_1 \mid \chi_2 \rangle = \frac1{|G|}\sum_{s\in G} \chi_1(s).\overline{\chi_2(s)}.</math></center>

En résumé :
*le degré d'une représentation (i.e la dimension de l'espace vectoriel dans lequel se fait cette représentation) est égal à la valeur en 1 de son caractère,
*tout caractère est constant sur chacune des classes de conjugaison,
*les caractères irréductibles sont ceux de norme 1,
*ils sont orthogonaux deux à deux,
*leur nombre est égal au [[Groupe des classes d'idéaux|nombre de classes]] de conjugaison.

Enfin, les représentations irréductibles sont toutes isomorphes à des [[représentation régulière|représentations régulières]] du groupe symétrique dans un sous-espace de son [[algèbre d'un groupe fini|algèbre]].

=== Cas du groupe symétrique ===
Dans le cas particulier du groupe symétrique ''S''{{ind|''n''}}, il existe plusieurs méthodes permettant de construire les représentations irréductibles. L'une d'elles associe de façon [[Bijection|bijective]] chaque représentation irréductible à un [[tableau de Young]] de ''n'' éléments. 

[[Fichier:Tableau Young.svg|thumb|right|Un exemple de tableau de Young]]

Un tableau de Young est obtenu en répartissant les entiers de 1 à ''n'' en lignes de longueur décroissante. On remplit ces lignes par les entiers de 1 à ''n'', dans l'ordre. Cela revient à effectuer une [[Partition d'un entier|partition]] de l'entier ''n'', en notant sa décomposition sous forme décroissante. Ainsi, le tableau ci-contre correspond à une partition de l'entier 10 sous la forme 5 + 4 + 1. On le désignera sous la forme [ [1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9], [10] ]. Il correspond également au choix de la classe de conjugaison dans le groupe symétrique ''S''{{ind|10}} formée des permutations ayant pour longueur de cycle respectivement 5, 4 et 1. En effet, deux permutations sont conjuguées si et seulement si leurs [[permutation#Décomposition en produit de cycles à supports disjoints|cycles à supports disjoints]] ont même longueur. 

Comme il y a autant de représentations irréductibles de ''S''{{ind|''n''}} que de classes de conjugaison, et autant de classes de conjugaison que de tableaux de Young de longueur ''n'', il y a autant de représentations irréductibles que de tableaux de Young. La correspondance se fait comme suit :

On se donne un tableau de Young de longueur ''n''. On se place dans l'[[algèbre d'un groupe fini|algèbre de groupe]] <math>\mathbb C[S_n]</math> et l'on considère la [[représentation régulière]] de ''S''{{ind|''n''}} qui, à toute permutation ''s'' associe l'endomorphisme <math> a\in \mathbb C[S_n] \mapsto sa</math>. On associe au tableau de Young :
* D'une part les permutations ''p'' laissant globalement invariantes les lignes du tableau
* D'autre part les permutations ''q'' laissant globalement invariantes les colonnes du tableau
* L'élément ''c'' de <math>\mathbb C[S_n]</math> égal à <math>\sum \epsilon(q)qp</math> où <math>\epsilon(q)</math> désigne la [[signature d'une permutation|signature]] de ''q''. 
* L'idéal à gauche ''M'' de <math>\mathbb C[S_n]</math> engendré par ''c'', autrement dit, le [[Module sur un anneau|sous-module]] sur <math>\mathbb C[S_n]</math> engendré par les ''sc'', ''s'' décrivant  ''S''{{ind|''n''}}.

On montre alors que :
*''M'' est irréductible pour la représentation régulière
*Il existe <math>\mu</math> non nul que <math>c^2 = \mu c</math>
*Le nombre <math>d = \frac{n!}{\mu}</math> est la dimension de M comme espace vectoriel sur <math>\mathbb C</math>
*L'élément <math>e = \frac{1}{\mu^2}\sum_{t \in S_n} tct^{-1}</math> est l'[[idempotent]] engendrant l'idéal bilatère ''R'' contenant ''M''. Cet idéal forme un espace vectoriel sur <math>\mathbb C</math> de dimension <math>d^2</math>.
*Le caractère de la représentation est donné par <math>\chi = \mu e</math>

On montre enfin que les représentations irréductibles associées à des tableaux de Young différents ne sont pas [[Représentation de groupe#Définitions|équivalentes]]. On obtient donc ainsi toutes les représentations irréductibles du groupe symétrique ''S''{{ind|''n''}}. 

==Quatre représentations irréductibles de ''S{{ind|n}}''==
Pour tout entier ''n'' supérieur ou égal à 2, on dispose de quatre représentations irréductibles de ''S{{ind|n}}'' faciles à décrire :

=== La représentation triviale ''t''===
Elle est associée au tableau de Young formé d'une seule ligne [ [1, 2, 3, ..., ''n''] ]. Dans ce cas, :
* <math>c = \sum_{p \in S_n} p</math>
* <math>c^2 = n! c</math>
* Pour tout s dans ''S''{{ind|''n''}}, <math>sc = c</math>, donc le sous-module ''M'' engendré est de dimension 1 et chaque élément du groupe est représenté par l'application identique. 

=== La représentation signature σ ===
Elle est associée au tableau de Young formé d'une seule colonne [ [1], [2], [3], ..., [''n''] ]. Dans ce cas, :
* <math>c = \sum_{q \in S_n} \epsilon q</math>
* <math>c^2 = n! c</math>
* Pour tout s dans ''S''{{ind|''n''}}, <math>sc = \epsilon(s) c</math>, donc le sous-module ''M'' engendré est de dimension 1 et chaque élément du groupe est représenté par sa [[Signature d'une permutation|signature]]

=== La représentation standard φ{{ind|1}} ===
Elle est associée au tableau de Young [ [1, 2, ..., ''n''-1], [''n''] ]. On vérifie qu'il s'agit d'une représentation de degré ''n'' – 1, supplémentaire de ''t'' dans l'action naturelle ρ de ''S{{ind|n}}'' sur <math>\mathbb C^n</math>. Plus précisément, en notant (''e''<sub>i</sub>), pour ''i'' variant de 1 à ''n'', la [[base canonique]] de <math>\mathbb C^n</math> :
*l'image ρ(''s'') d'une permutation ''s'' de ''S{{ind|n}}'' est l'automorphisme de  <math>\mathbb C^n</math> qui envoie la base (''e{{ind|i}}'') sur la base (''e''{{ind|''s''(''i'')}}) ; sa [[matrice (mathématiques)|matrice]] dans (''e{{ind|i}}'') est donc la [[matrice de permutation|matrice de la permutation]] et le caractère de ρ, appliqué à ''s'', est le nombre de [[Point fixe|points fixes]] de ''s'' ;
*''t'' apparaît comme une sous-représentation de ρ car le vecteur somme des ''e{{ind|i}}'' est fixe,
*φ{{ind|1}} est la restriction de ρ à l'hyperplan supplémentaire stable constitué des vecteurs dont la somme des coordonnées est nulle ;
*l'irréductibilité de φ{{ind|1}} se déduit du fait que son caractère est de norme 1, fait que nous vérifierons directement pour ''n'' = 4, mais qui se démontre de façon générale par [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|2-transitivité]] de ''S{{ind|n}}'' ou par [[Loi de Bernoulli#Points fixes d'une permutation tirée au hasard|un calcul explicite]] ;

L'image de ''S''{{ind|''n''}} dans la représentation φ{{ind|1}} peut se voir comme le groupe des isométries laissant globalement invariant un [[simplexe]] régulier dans un [[espace euclidien]] de dimension ''n'', le groupe permutant les sommets de ce simplexe.

=== La représentation φ{{ind|2}} ===
Il s'agit du produit de φ{{ind|1}} par la signature σ, également de degré ''n''–1. Elle est associée au tableau de Young [ [1, 2], [3], ..., [''n''] ].
D'une manière générale, lorsqu'une représentation irréductible est associée à un tableau de Young, le produit de cette représentation par la signature est la représentation irréductible associée au tableau de Young obtenu en inversant les rôles des lignes et des colonnes dans le tableau de Young initial.

==Les trois représentations irréductibles de ''S''{{ind|3}}==
Il existe trois tableaux de Young ayant 3 éléments, à savoir [ [1, 2, 3] ], [ [1, 2], [3] ] et [ [1], [2], [3] ]. Il existe donc trois représentations irréductibles du groupe ''S''{{ind|3}}.

On peut dire aussi qu'il existe trois classes de conjugaisons, à savoir : 1 (l'identité), (''ab'') (transposition), (''abc'') ([[Permutation circulaire|3-cycle]]). 

Les [[#Quatre représentations irréductibles de Sn|quatre représentations ci-dessus]] épuisent la liste des trois représentations irréductibles de ''S''{{ind|3}}, et φ{{ind|2}} est nécessairement [[Représentation de groupe#Définitions|équivalente]] à φ{{ind|1}}.

Les deux représentations ''t'' (triviale) et σ (signature) sont de degré 1, donc le caractère est égal à la représentation ; l'image des trois classes ci-dessus est (1, 1, 1) pour ''t'' et (1, –1, 1) pour σ.

Le caractère de φ{{ind|1}}, appliqué à une permutation ''s'', s'obtient en retranchant 1 au nombre de points fixes de ''s''.

La [[table des caractères]] irréductibles de ''S''{{ind|3}} est donc :

{|class="wikitable centre" style="text-align: center;"
!scope="col"|Car. irr.
!scope="col"|1
!scope="col"|(''ab'')
!scope="col"|(''abc'')
|-
|'''t'''||1||1||1
|-
|'''σ'''||1||–1||1
|-
|'''φ<sub>1</sub>'''||2||0||–1
|}

On peut retrouver la représentation complexe φ{{ind|1}} (par [[extension des scalaires]]) à partir de la représentation réelle qui réalise ''S''{{ind|3}} comme le [[Groupe diédral#Interprétation géométrique|groupe diédral]] ''D''{{ind|3}} des isométries du triangle équilatéral<ref>[[Jean-Pierre Serre]], ''[https://arxiv.org/pdf/math/0503154.pdf Groupes finis]'' (cours à l'[[ENSJF]] 1978/79), {{p.|66}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Pierre|nom1=Colmez|lien auteur1=Pierre Colmez|titre=Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)|lieu=Palaiseau|éditeur=Éditions de l'École Polytechnique|année=2009|pages totales=469|isbn=978-2-7302-1563-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=hMUiEhsa9WUC}}, exemple I.1.6 p. 118-119</ref> : l'identité est de trace 2, les trois [[Réflexion (mathématiques)|symétries axiales]] sont de trace nulle, et les deux [[Matrice de rotation|rotations]] d'angles {{math|±2π/3}} ont pour trace –1.

La représentation irréductible φ{{ind|2}}, produit de φ{{ind|1}} par la fonction scalaire σ, a pour caractère le produit par σ du caractère de φ{{ind|1}}. On peut donc vérifier sur cette table l'équivalence de φ{{ind|1}} et φ{{ind|2}}.

On peut aussi vérifier que ces trois caractères forment bien une famille orthonormale (en particulier ils sont de norme 1, ce qui confirme leur irréductibilité), que les degrés des représentations associées [[Algèbre d'un groupe fini#Entier algébrique|sont des diviseurs de l'ordre du groupe]], et que la [[représentation régulière]], dont le caractère est (6, 0, 0), contient autant de copies d'une représentation irréductible donnée que le degré de cette représentation irréductible<ref>Pour une méthode directe (sans passer par les caractères) de décomposition en irréductibles de n'importe quelle représentation de ''S''{{ind|3}}, voir par exemple {{harvsp|Colmez|2009|p=124}}, exercice I.2.2.</ref> : (6, 0, 0)=(1, 1, 1)+(1, –1, 1)+2(2, 0, –1).

On remarque par ailleurs que toutes les valeurs de la table sont des entiers (donc ''tous'' les caractères du groupe sont à valeurs entières). C'est une propriété générale des groupes symétriques<ref>Cf. {{harvsp|Fulton|Harris|p=55}} : la formule 4.33 explicite pour tout groupe symétrique ''S{{ind|n}}'' chacun de ces entiers, en fonction des deux [[Partition d'un entier|partitions de l'entier ''n'']] qui indexent la classe de conjugaison ([[Groupe symétrique#Classes de conjugaison|via sa décomposition en cycles disjoints]]) et la représentation irréductible (via son {{Lien|trad=Young symmetrizer|symétriseur de Young}}).</ref>.

== Les cinq caractères irréductibles de ''S''{{ind|4}} ==
Il existe cinq tableaux de Young de longueur 4, à savoir [ [1, 2, 3, 4] ], [ [1, 2, 3], [4] ], [ [1, 2], [3, 4] ], [ [1, 2], [3], [4] ] et [ [1], [2], [3], [4] ]. Il existe donc cinq représentations irréductibles du groupe ''S''{{ind|4}}, dont quatre ont déjà été données [[#Quatre représentations irréductibles de Sn|plus haut]]. Il s'agit de la représentation triviale ''t'', la représentation σ correspondant à la [[signature d'une permutation|signature]], les deux représentations φ<sub>1</sub> et φ<sub>2</sub>, qui sont de degré 3, et la représentation θ associée au tableau de Young [ [1, 2], [3, 4] ] qui s'avère être de degré 2. Chaque représentation s'obtient à partir d'une autre par [[Produit tensoriel et représentations de groupes finis|produit tensoriel]] avec la représentation correspondant à la signature. Par cette opération, θ redonne une représentation équivalente à elle-même.

φ<sub>1</sub> correspond aux isométries laissant invariant un [[tétraèdre]], φ<sub>2</sub> correspond aux [[Rotation vectorielle|rotations]] [[application linéaire|linéaires]] laissant invariant un cube.


[[Fichier:Symmetric group 4; Cayley graph 4,9.svg|thumb|[[Graphe de Cayley]] du groupe symétrique d'indice quatre]]


=== Classes de conjugaison ===
Dans le cas de ''S''{{ind|4}}, la décomposition en cycles disjoints d'une permutation peut être de la forme : 1, (''ab''), (''abc''), (''ab'')(''cd'') (produit de deux transpositions disjointes) ou (''abcd'') (4-cycle). Les 24 éléments du groupe se répartissent donc en cinq classes de conjugaison, que nous prendrons toujours dans l'ordre arbitraire suivant :
{|class="wikitable centre" style="text-align: center;"
|-
!scope="row"|Décomposition
|1
|(''ab'')
|(''abc'')
|(''ab'')(''cd'')
|(''abcd'')
|-
!scope="row"|Cardinal de la classe
|1
|6
|8
|3
|6
|}

=== Calcul de la table ===
Le calcul des caractères de ''t'', σ, φ{{ind|1}} et φ{{ind|2}} (par la même méthode que pour ''S''{{ind|3}}) donne ici : (1, 1, 1, 1, 1), (1, –1, 1, 1, –1), (3, 1, 0, –1, –1) et (3, –1, 0, –1, 1).

Les quatre représentations irréductibles déjà identifiées ont des caractères distincts, donc ne sont pas équivalentes. On complète cette famille orthonormale par l'unique fonction centrale de norme 1 qui leur est orthogonale et dont la valeur sur 1 est positive : (2, 0, –1, 2, 0). C'est le caractère de la cinquième représentation irréductible, θ, qui est par conséquent de degré 2. (Comme c'était prévisible, il est invariant par produit par σ.) Le tableau des caractères est finalement :

{|class="wikitable centre" style="text-align: center;"
!scope="col"|Car. irr.
!scope="col"|1
!scope="col"|(''ab'')
!scope="col"|(''abc'')
!scope="col"|(''ab'')(''cd'')
!scope="col"|(''abcd'')
|-
| '''t''' || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| '''σ''' || 1 ||–1 || 1 || 1 ||–1
|-
| '''θ''' || 2 || 0 ||–1 || 2 || 0
|-
| '''φ<sub>1</sub>''' || 3 || 1 || 0 ||–1 ||–1
|-
| '''φ<sub>2</sub>''' || 3 ||–1 || 0 ||–1 || 1
|}
La décomposition du caractère de la représentation régulière (qui aurait d'ailleurs pu servir à calculer le caractère de θ) est ici :<center>(24, 0, 0, 0, 0)=(1, 1, 1, 1, 1)+(1, –1, 1, 1, –1)+2(2, 0, –1, 2, 0)+3(3, 1, 0, –1, –1)+3(3, –1, 0, –1, 1).</center>

On peut préciser<ref>{{Serre2}} ([https://books.google.fr/books?id=NCfZgr54TJ4C&pg=PA42 § 5.8 p.42-43] dans la traduction en anglais) le fait directement, et en déduit immédiatement la table des caractères.</ref> et interpréter les trois représentations φ{{ind|1}}, φ{{ind|2}} et θ. Le groupe symétrique est engendré par les transpositions, il n'est donc nécessaire de déterminer les représentations que pour celles-ci. De plus, on remarque que les transpositions '''(12)''', '''(23)''', '''(34)''' engendrent toutes les transpositions de ''S''{{ind|4}}, donc le groupe entier. Dans les paragraphes qui suivent (sauf pour φ{{ind|2}} où on choisira d'autres générateurs), les représentations ne sont exprimées que sur ces trois éléments. Leur valeur sur le reste du groupe s'en déduit par produits.

===Représentation φ{{ind|1}}===
[[Fichier:Symmetries of the tetrahedron.svg|thumb|Quelques isométries du tétraèdre régulier : tiers de tour, demi-tour et réflexion]]

Considérons la [[#Quatre représentations irréductibles de Sn|représentation standard φ{{ind|1}}]]. Une base de l'hyperplan d'équation {{math|1=''x''{{ind|1}} + ''x''{{ind|2}} + ''x''{{ind|3}} + ''x''{{ind|4}} = 0}} est :
<center><math>u_1=e_1+e_2-e_3-e_4,\quad u_2=e_1-e_2+e_3-e_4,\quad u_3=e_1-e_2-e_3+e_4.</math></center>
Dans cette base, φ<sub>1</sub> est décrite par :

<center><math>\varphi_1(12)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\varphi_1(23)= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
\varphi_1(34)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
</math></center>

Les images par φ{{ind|1}} des permutations de ''S''<sub>4</sub> sont alors les [[Matrice orthogonale|matrices orthogonales]] laissant globalement invariant le [[tétraèdre]] [[Tétraèdre régulier|régulier]] de sommets M<sub>1</sub> = (–1,–1,–1), M<sub>2</sub> = (–1,1,1), M<sub>3</sub> = (1,–1,1) et M<sub>4</sub> = (1,1,–1), et permutant ces quatre sommets.

Les transpositions '''(ab)''' correspondent à des [[Réflexion (mathématiques)|réflexions]] par rapport au [[plan médiateur]] du segment [''a'', ''b''], les permutations '''(ab)(cd)''' à des demi-tours d'axe passant par les milieux de deux côtés opposés du tétraèdre, les permutations '''(abc)''' à des tiers de tour d'axe passant par le sommet invariant et le centre de la face opposée, et les permutations '''(abcd)''' aux composées d'un quart de tour d'axe passant par les milieux de deux côtés opposés et d'une réflexion par rapport au plan orthogonal à cet axe.

===Représentation φ{{ind|2}}===
Pour obtenir la représentation φ<sub>2</sub>, il suffit de multiplier la représentation matricielle de φ<sub>1</sub> par le caractère σ. On peut la décrire sur les générateurs suivants :
<center><math>\varphi_2(1324)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\varphi_2(1234)= \begin{pmatrix}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\varphi_2(1342)= \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
</math></center>
[[Fichier:Rotations du cube.jpg|thumb|left|Générateurs du groupe des rotations du cube]]
[[Fichier:Action S4 sur cuboctaedre.png|thumb|''S''{{ind|4}} permute les quatre paires de triangles opposés dans un cuboctaèdre]]
On reconnait trois [[Cube#Groupe des isométries|rotations laissant invariant le cube]], la première suivant l'axe des {{math|''x''}}, la deuxième suivant l'axe des {{math|''y''}} et la troisième suivant celui des {{math|''z''}}. La figure de gauche illustre l'interprétation géométrique de ces trois rotations : l'image de '''(1324)''' est celle représentée par la flèche rouge, celle de '''(1234)''' par la bleue et celle de '''(1342)''' par la verte.

Les rotations du cube permutent alors les quatre diagonales du cube ou, de manière équivalente, les quatre paires de sommets opposés. Les permutations '''(abcd)''' (les trois générateurs ci-dessus et leurs inverses) correspondent à des quarts de tour d'axes passant par les centres des faces, les permutations '''(ab)(cd)''', qui sont leurs carrés, à des demi-tours de mêmes axes, les transpositions '''(ab)''' à des demi-tours d'axes joignant les milieux de deux arêtes opposées, et les permutations '''(abc)''' à des tiers de tour d'axes joignant deux sommets opposés.

On peut également visualiser ce groupe de rotations comme celui du [[cuboctaèdre]], puisque c'est le cube {{Lien|trad=Rectification (geometry)|Rectification (géométrie)|texte=rectifié}} : les milieux d'arêtes du cube deviennent les sommets du cuboctaèdre, les huit coins du cube sont coupés et remplacés par des faces triangulaires, et les rotations permutent alors les quatre paires de triangles opposés.

=== Représentation θ ===
[[Fichier:Action S4 sur Triangle.jpg|thumb|Représentation de ''S''{{ind|4}} comme groupe des isométries du triangle]]
Vu son caractère, la représentation θ est de degré 2 et son noyau est inclus dans le sous-ensemble ''H'' formé de l'identité et des trois [[Involution (mathématiques)|involutions]] de la forme (''ab'')(''cd'') ([[groupe de Klein]]). Cette inclusion est en fait une égalité, puisque dans le plan, la seule involution linéaire de trace 2 est l'identité. On en déduit que ''H'' est un [[sous-groupe normal]] de ''S''{{ind|4}} et que θ = θ{{ind|2}}∘''s'', où ''s : S''{{ind|4}} → ''S''{{ind|4}}/''H'' est la [[surjection]] canonique et θ{{ind|2}} est une représentation du [[groupe quotient]] ''S''{{ind|4}}/''H''. Or ce quotient est isomorphe à ''S''{{ind|3}} (on peut voir cet isomorphisme, par exemple, en réalisant ''S''{{ind|4}} comme le groupe des rotations du cube {{supra|Représentation φ2}} et en considérant son action sur les trois paires de faces opposées). Via cette identification, θ{{ind|2}} est donc entièrement déterminée : c'est [[#Les trois représentations irréductibles de S3|la représentation irréductible de degré 2 de ''S''{{ind|3}}]]. Ceci détermine complètement θ :
<center><math>\theta_{(12)}=\theta_{(34)}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \theta_{(23)}=\begin{pmatrix} \cos\frac{2\pi}3 & \sin\frac{2\pi}3 \\ \sin\frac{2\pi}3 & -\cos\frac{2\pi}3 \end{pmatrix}.</math></center>
Elle n'est pas fidèle et chaque isométrie du triangle possède quatre antécédents. La figure de droite illustre cette représentation. On a nommé les trois sommets du triangle au moyen des trois étiquettes {{nobr|1×2 + 3×4,}} 2×3 + 1×4 et 1×3 + 2×4. Une permutation de ''S''<sub>4</sub> agit directement sur les chiffres de chaque étiquette. Ainsi, la transposition '''(12)''' laisse le sommet 1×2 + 3×4 invariant mais permute les deux sommets 2×3 + 1×4 et 1×3 + 2×4. On pourra vérifier que l'action de cette transposition est identique à celle de la transposition '''(34)''' ou celle des permutations circulaires '''(1324)''' ou '''(1423)'''. Une telle action du groupe ''S''<sub>4</sub> est utilisée pour résoudre les [[Équation quartique#Principe de la méthode|équations du quatrième degré]].

== Les sept caractères irréductibles de ''S''{{ind|5}} ==
Il existe sept tableaux de Young de longueur 5. Il existe donc sept représentations irréductibles du groupe ''S''{{ind|5}}. Outre la représentation triviale ''t'', la représentation σ correspondant à la [[signature d'une permutation|signature]] et les deux représentations φ<sub>1</sub> et φ<sub>2</sub>, qui sont de degré 4, données [[#Quatre représentations irréductibles de Sn|plus haut]], il existe deux représentations de degré 5 et une représentation de degré 6. 

=== Classes de conjugaison ===
Dans ''S''{{ind|5}}, les classes de conjugaison sont du type : 1, (''ab''), (''ab'')(''cd''), (''abc''), (''abc'')(''de''), (''abcd'') ou (''abcde''). Le nombre de permutations selon la classe de conjugaison est donnée par le tableau suivant :
{|class="wikitable centre" style="text-align: center;"
|-
!scope="row"|Décomposition
|1
|(''ab'')
|(''ab'')(''cd'')
|(''abc'')
|(''abc'')(''de'')
|(''abcd'')
|(''abcde'')
|-
!scope="row"|Cardinal de la classe
|1
|10
|15
|20
|20
|30
|24
|}

=== Table des caractères ===

On peut construire la table des caractères de ''S''{{ind|5}} à partir des représentations usuelles : le [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini#Produit direct et produit tensoriel|carré alterné]] de la représentation standard donne une représentation de degré 6 qu'on appelle ''θ'' qui est irréductible (on le vérifie en calculant la norme de son caractère), et on vérifie que le [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini#Produit direct et produit tensoriel|carré symétrique]] de la représentation standard contient une fois la [[représentation triviale]] et une fois la représentation standard, et que la troisième représentation qu'elle inclut est irréductible (on l'appelle ''ψ<sub>1</sub>''). On peut alors construire ''ψ<sub>2</sub>'' comme le produit de ''ψ<sub>1</sub>'' et de la signature. On trouve la table suivante :

{|class="wikitable centre" style="text-align: center;"
!scope="col"|Car. irr.
!scope="col"|1
!scope="col"|(''ab'')
!scope="col"|(''ab'')(''cd'')
!scope="col"|(''abc'')
!scope="col"|(''abc'')(''de'')
!scope="col"|(''abcd'')
!scope="col"|(''abcde'')

|-
| '''t''' || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
| '''σ''' || 1 ||–1 || 1 || 1 ||–1 ||–1 || 1
|-
| '''φ<sub>1</sub>''' || 4 || 2 || 0 || 1 ||–1 || 0 ||–1
|-
| '''ψ<sub>1</sub>''' || 5 || 1 || 1 ||–1 || 1 ||–1 || 0
|-
| '''θ''' || 6 || 0 ||–2 || 0 || 0 || 0 || 1
|-
| '''ψ<sub>2</sub>''' || 5 ||–1 || 1 ||–1 ||–1 || 1 || 0
|-
| '''φ<sub>2</sub>''' || 4 ||–2 || 0 || 1 || 1 || 0 ||–1
|}

== Notes et références ==
{{Références}}

==Voir aussi==
=== Ouvrages ===
*{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Hermann Weyl]]|titre={{Lien|The Classical Groups}}|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=1953|numéro d'édition=2|année première édition=1939|lire en ligne={{Google Livres|zmzKSP2xTtYC|page=115}}}}
* {{Fulton-Harris}}, p. 18-20, {{Google Livres|6GUH8ARxhp8C|page=18|aperçu}}

===Articles connexes===
*[[Tableau de Young]]
*{{Lien|trad=Covering groups of the alternating and symmetric groups|Groupes de revêtement des groupes alternés et symétriques}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des représentations]]