Voir la source de Revêtement (mathématiques)

{{Voir homonymes|Revêtement}}
{{ébauche|topologie}}
[[Image:Covering map.png|vignette|droite|Revêtement du [[cercle]] ''X'' par une [[hélice]] ''Y'', les ensembles disjoints <math>S_i</math> sont projetés homéomorphiquement sur <math>U</math>.]]
En [[mathématiques]], et plus particulièrement en [[topologie]] et en [[topologie algébrique]], un '''revêtement''' d'un [[espace topologique]] ''B'' par un espace topologique ''E'' est une [[application (mathématiques)|application]] [[Continuité (mathématiques)|continue]] et [[surjection|surjective]] ''p'' : ''E'' → ''B'' telle que tout point de ''B'' appartienne à un [[ouvert (topologie)|ouvert]] ''U'' tel que l'[[image réciproque]] de ''U'' par ''p'' soit une [[union (mathématiques)|union]] [[ensembles disjoints|disjointe]] d'ouverts de ''E'', chacun [[homéomorphe]] à ''U'' par ''p''.

Il s'agit donc d'un [[fibré]] à fibres [[Espace discret|discrètes]].
Les revêtements jouent un rôle pour calculer le [[groupe fondamental]] et les [[groupes d'homotopie]] d'un espace. Un résultat de la théorie des revêtements est que si ''B'' est [[Connexité par arcs|connexe par arcs]] et [[Connexité simple|localement simplement connexe]], il y a une correspondance bijective entre les revêtements connexes par arcs de ''B'', à isomorphisme près, et les [[sous-groupe]]s du groupe fondamental de ''B''.

== Définitions ==
=== Homéomorphismes locaux ===
Soient ''X ''et ''B ''deux espaces topologiques.

Un [[Homéomorphisme#Définitions associées|homéomorphisme local]]<ref name=God105>{{Godbillon1}}, {{p.|105}}.</ref> est une [[application (mathématiques)|application]] {{math|π}} : ''X ''→ ''B'', appelée '''projection''', telle que pour tout point ''x'' de ''X'', il existe un [[ensemble ouvert|ouvert]] ''U'' de ''X'' contenant ''x'' et un ouvert ''V'' de ''B'' tels que la [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restriction]] de {{math|π}} à ''U'' soit un [[homéomorphisme]] sur ''V''.

Un espace ''X'' muni d'un homéomorphisme local {{math|π}} : ''X ''→ ''B ''est dit [[Espace étalé|étalé]] au-dessus de ''B''.
L'espace d'arrivée ''B ''de la projection est appelé la '''base''' de l'homéomorphisme local.

Pour tout point ''b ''∈ ''B'', on appelle '''fibre''' de ''X'' '''au-dessus du point''' ''b ''et l'on note ''X''(''b'') le sous espace {{math|π}}{{-1}}(''b'') ⊂ ''X''.

On appelle [[Section d'un fibré|section]] (continue) de {{math|π}}<ref name=God105/>, ou de ''X'', au-dessus de ''B'', une application [[Continuité (mathématiques)|continue]] {{math|σ}} : ''B ''→ ''X ''telle que {{math|π ∘ σ}} = [[Application identité|Id{{ind|''B''}}]].

=== Revêtements ===
Un '''revêtement''' d'un [[espace topologique]] ''B'' est<ref>{{Harvsp|Godbillon|p=106}}.</ref> un espace ''X'', muni d'un homéomorphisme local {{math|π}} : ''X'' → ''B'' [[surjection|surjectif]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Allen Hatcher]]|titre=Algebraic Topology|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2002|passage=56|lire en ligne={{Google Livres|BjKs86kosqgC|page=56}}}}, dit explicitement qu'il n'impose pas cette restriction.</ref>, tel que pour tout point ''b'' de ''B'', il existe un ouvert ''V'' contenant ''b'', un espace discret ''F'' et un homéomorphisme {{math|Φ : π{{-1}}(''V'') → ''V''×''F''}} qui [[Commuter|commute]] avec les projections sur l'espace ''B'', c'est-à-dire que si {{math|1=Φ(''x'') = (''c'', ''f'')}} alors {{math|1=π(''x'') = ''c''}}.

Autrement dit : un revêtement est un [[fibré]] à fibres discrètes, avec la remarque que si la base ''B'' n'est pas connexe, la fibre ''F'' dépend du point base ''b'' et s'identifie à la fibre {{math|π}}{{-1}}(''b'').

Plus simplement<ref>{{Lafontaine1}}, 2010, {{p.|78}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Allen Hatcher|titre=Algebraic Topology|éditeur=version évolutive en ligne|passage=56|lire en ligne=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch1.pdf}}.</ref> : {{math|π}} : ''X'' → ''B'' est un revêtement si tout point de ''B'' appartient à un ouvert ''V'' tel que {{math|π}}{{-1}}(''V'') soit une [[réunion disjointe]] d'ouverts appliqués [[Homéomorphisme|homéomorphiquement]] par {{math|π}} sur ''V''.

:'''Théorème'''<ref>{{Harvsp|Godbillon|p=105 et 108}}.</ref> : ''Soient n un entier naturel non nul, X un [[espace séparé]] et {{math|π}}'' : ''X'' → ''B un homéomorphisme local dont toutes les fibres ont n éléments, alors {{math|π}} est un revêtement.''

=== Revêtements triviaux ===
Si ''F'' est un espace discret, l'application <math> (b,f)\mapsto b</math> définit un revêtement <math>B\times F\to B</math> au-dessus de ''B''. Plus généralement, un revêtement est dit '''trivial''' si l'on peut prendre ''V = B'' dans la définition, c'est-à-dire s'il existe un espace discret ''F'' et un homéomorphisme <math>\Phi : X\to B\times F</math> qui commute avec les projections sur l'espace ''B'', c'est-à-dire que si <math>f\in F</math>, alors <math>\pi(\Phi^{-1} (b,f))=b</math>. Un homéomorphisme est un exemple de revêtement trivial.

== Exemples ==
=== Revêtement du cercle par une droite ===
Soit ''S''{{1}} le cercle dans le plan ℝ{{2}} = ℂ. La droite réelle ℝ est alors un revêtement de ''S''{{1}} défini par l'application :

<math>p:\R\to S^1,\quad p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=\mathrm e^{2\mathrm i\pi t}.</math>
<!--Die Gerade wird also unendlich oft um den Kreis gewickelt (siehe Abbildung). Die Blätter über einem Intervall des Kreises sind Intervalle auf der Zahlengeraden, die sich mit Periode <math>2\pi</math> wiederholen.-->

Chaque fibre est ici [[Ensemble dénombrable|infinie dénombrable]] : <math>p^{-1}(p(x))=x+\Z</math>.

La construction se généralise au revêtement exponentiel du tore : <math>\R^n\to\mathbb{T}^n=(\mathbb{S}^1)^n\subset\R^{2n}.</math>

La fibre est dénombrable : <math>p^{-1}(0)=\Z^n</math>.

=== Les fonctions puissances ===
L'application ''{{math|p}} ''du plan complexe privé de l'origine ℂ*<!-- se projete sur lui-même, -->
: <math>p:\C^*\to\C^*,\quad p(z)=z^n</math> définit un revêtement.
Chaque fibre est ici finie et a ''{{math|n}} ''éléments.

=== L'application exponentielle ===
L'application <math>p=\exp</math> du plan complexe ℂ<!-- se projete sur lui-même, -->
: <math>p:\C\to\C^*,\quad p(z)=\mathrm e^z</math> définit un revêtement.
Chaque fibre est ici infinie dénombrable : <math>p^{-1}(p(x))=x+2\mathrm i\pi\Z</math>.

[[image:Revetement Bande Mobius.png|right|thumb|Revêtement à deux feuillets du ruban de Möbius, homéomorphe à un cylindre. Le ruban de Möbius vient se glisser entre les deux feuillets.]]

=== La bande de Möbius ===
{{Article détaillé|Ruban de Möbius}}

Le [[cylindre]] (ou anneau) <math>\mathbb{S}^1\times [0; 1]</math> est un revêtement à deux feuillets de la bande de Möbius.

La bande de Möbius est une [[variété topologique]] [[Orientation (mathématiques)#Orientabilité et orientation pour une variété|non orientable]] alors que son revêtement est orientable. On montre plus généralement que toute variété [[Connexité (mathématiques)|connexe]] non orientable possède un revêtement connexe à deux feuillets orientable. C'est le cas notamment du [[plan projectif]] dont le revêtement est une sphère (voir ci-dessous), et de la [[bouteille de Klein]] dont le revêtement est le [[tore]].

=== Revêtement de l'espace projectif ===
Pour ''n ''> 1, l'application canonique <math>\mathbb{S}^n\to\mathbb{RP}^n</math> est un revêtement de l'[[espace projectif]] (réel) ; la fibre a deux éléments.

Dans le cas du [[plan projectif]] dont une représentation dans ℝ{{3}} est donnée par la [[surface de Boy]], il est possible de transformer la sphère par [[Immersion (mathématiques)|immersion]] en un revêtement à deux feuillets de cette surface de Boy. Si on fait se traverser ces deux feuillets, on procède alors à un [[retournement de la sphère]].

On procède de même pour le retournement du [[tore]], après avoir fait coïncider celui-ci en un revêtement à deux feuillets de la [[bouteille de Klein]].

== Constructions de revêtements ==
=== Produit fibré, somme directe, changement de base ===
{{Article détaillé|Produit fibré}}
Soit {{math|''X''}}, {{math|''Y''}} et {{math|''Z''}} trois [[espace topologique|espaces topologiques]] et <math>\varphi:X\to Z</math> et <math>\psi:Y\to Z</math> deux [[morphisme]]s (applications continues). On appelle produit fibré de {{math|''X''}} et {{math|''Y''}} au-dessus de {{math|''Z''}}, un espace topologique, noté <math>X\times_ZY</math> et un [[Couple (mathématiques)|couple]] de morphismes, <math>p_X:X\times_ZY\to X</math> et <math>p_Y:X\times_ZY\to Y</math>, tels que pour tout espace topologique {{math|''A''}} et tout couple de morphismes <math>f:A\to X</math> et <math>g:A\to Y</math> vérifiant <math>\varphi\circ f=\psi\circ g</math>, il existe un morphisme <math>p_A:A\to X\times_ZY</math> tel que <math>f=p_X\circ p_A</math> et <math>g=p_Y\circ p_A=g</math>.
{{...}}

=== Groupes discrets opérant proprement et librement ===
Soit Γ un [[groupe discret]] [[Action de groupe (mathématiques)#Caractéristiques des actions de groupe|opérant proprement et librement]] sur un [[espace localement compact]] ''E'', la projection ''E ''→ ''E''/Γ définit un revêtement de fibre Γ.

En particulier si Γ est un sous-groupe discret d'un [[groupe topologique]] ''G'', la projection ''G ''→ ''G''/Γ est un revêtement de fibre Γ.

=== Construction de revêtements par recollement ===
''{{...}}''
<!--=== Espaces séparés, étalés, propres au-dessus de B ===-->
<!--=== Fibrés et revêtements ===-->

== Théorie des revêtements ==
=== Morphismes et transformations de revêtements ===
Un '''morphisme''' de revêtements au-dessus de ''B ''est une application continue <math>f : X\to X'</math> (où ''X'' et ''X' ''sont des revêtements) qui [[Diagramme commutatif|commute]] avec les projections <math>\pi_X</math> et <math>\pi_{X'}</math>, c'est-à-dire telle que :
<center><math>\pi_{X'}\circ f=\pi_X</math>.</center>
:L'[[application identité]] Id{{ind|''X''}} est un morphisme de revêtements.
:La composée de deux morphismes de revêtements est un morphisme.
Par conséquent, les revêtements de base ''B'' avec leurs morphismes forment une [[Théorie des catégories|catégorie]]<!-- <math>Rev_B</math>-->.

=== Revêtements sur un segment ===
'''Théorème''' — ''Tout revêtement d'un intervalle compact de ''ℝ ''est trivial.''

Plus généralement :

'''Théorème<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Roger Godement]]|titre=Analysis III : Analytic and Differential Functions, Manifolds and Riemann Surfaces|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|année=2015|passage=292|lire en ligne={{Google Livres|toz1BwAAQBAJ|page=292}}}}.</ref>''' — ''Tout revêtement d'un [[Connexité simple|espace simplement connexe]] et [[Espace localement connexe|localement connexe]] est trivial.''

'''Théorème<ref>{{Lien web|lang=en|url=https://math.berkeley.edu/~hutching/teach/215b-2011/homotopy.pdf|titre=Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory|auteur={{Lien|trad=Michael Hutchings (mathematician)|Michael Hutchings}}|année=2011}}, Corollary 5.8.</ref>''' — ''Tout fibré sur un [[CW-complexe]] [[Espace contractile|contractile]] est trivial.''

=== Relèvement des chemins ===
{{Article détaillé|Propriété de relèvement des homotopies}}
{{Théorème|Proposition<ref>Généralisée en une [[propriété de relèvement des homotopies]] dans {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Allen Hatcher]]|titre=Algebraic Topology|lieu=New York|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=2001|pages totales=544|passage=30|isbn=978-0-521-79540-1|lire en ligne=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch1.pdf}}.</ref>|2=Soient (''X'', {{math|π}}) un revêtement de ''B'', ''b'' un  point de ''B'' et ''x'' ∈ ''X''(''b''). Pour tout [[Chemin (topologie)|chemin]] ''f'' dans ''B'' d'origine ''b'', il existe un chemin et un seul ''g'' dans ''X'' d'origine ''x'' tel que ''f'' = {{math|π}} ∘ ''g''.}}

Le chemin ''g'' est appelé un ''relèvement '' du chemin ''f''. Un cas particulier fréquent est donné par le revêtement du cercle unité ''B'' du plan complexe par la droite réelle ''X''. Le résultat précédent porte alors le nom de [[théorème de relèvement]].

=== Monodromie des lacets et relèvement des applications ===

Le [[groupe fondamental]] de la base, {{math|π{{ind|1}}(''B'', ''b'')}}, opère par une [[Action de groupe (mathématiques)|action de groupe]] à droite sur la fibre {{math|''X''(''b'') {{=}} π{{-1}}(''b'')}}, de façon compatible avec l'action à gauche du groupe des automorphismes du revêtement.

Soient ''Z'' un espace connexe par arcs et [[Espace localement connexe par arcs|localement connexe par arcs]], ''f '': (''Z'', ''z'') → (''B'', ''b'') une application continue et ''x'' ∈ ''X''(''b''). Une condition [[Équivalence logique|nécessaire et suffisante]] pour que ''f ''possède un relèvement ''g '': (''Z'', ''z'') → (''X'', ''x'') est que les morphismes induits, ''f''{{ind|#}} : π{{ind|1}} (''Z'', ''z'') → π{{ind|1}}(''B'', ''b'') et π{{ind|#}} : π{{ind|1}}(''X'', ''x'') → π{{ind|1}}(''B'', ''b''), vérifient :
<center><math>f_\#(\pi_1(Z,z))\subset\pi_\#(\pi_1(X,x)).</math></center>
De plus, le relèvement ''g ''est alors unique.

=== Revêtements galoisiens et groupe de Galois d'un revêtement ===
Un revêtement est dit '''galoisien''' (ou '''régulier''' ou '''normal''') s'il est connexe par arcs et le groupe des automorphismes agit transitivement sur la fibre de chaque point. Il est dit abélien si de plus le groupe est [[Groupe abélien|abélien]].

== Revêtements universels ==
Un '''revêtement universel''' d'un espace ''B ''est un revêtement galoisien ''E ''tel que, pour tout revêtement ''D ''de ''B'', il existe un morphisme de ''E ''sur ''D.''
:''Deux revêtements universels sont isomorphes'' et ''tout revêtement d'un revêtement universel est trivial''.

'''Théorème''' — ''Tout revêtement [[Connexité simple|simplement connexe]] est un revêtement universel.''

'''Théorème''' — ''Un espace ([[Connexité par arcs|connexe par arcs]]) admet un revêtement simplement connexe si et seulement s'il est [[Connexité simple#Généralisations|semi-localement simplement connexe]].''

En particulier tout graphe, toute variété topologique connexe admet un revêtement simplement connexe.

Le revêtement universel se construit simplement dans ce cas en prenant l'ensemble des [[Arc paramétré|arcs]] d'origine fixée <math>x_0</math> (les applications continues <math>\gamma :  [ 0,1 ]\mapsto B</math> telles que <math>\gamma (0)=x_0</math>) muni de la [[Convergence uniforme|topologie de la convergence uniforme]], que l'on quotiente par la [[Homotopie|relation d'équivalence homotopique]] (à extrémités fixées) ; les arcs d'extrémité <math>x_1=\gamma (1)</math> se projettent en <math>x_1</math>et la fibre s'identifie au [[groupe fondamental]] de la base, {{math|π{{ind|1}}(''B'', ''x''{{ind|1}})|§=π{{ind|1}}(''B'', ''x''{{ind|1}})}}{{Note|texte=[https://math.unice.fr/~labourie/preprints/pdf/groupfond.pdf#page33] ''Groupe fondamental et revêtements'', cours de [[François Labourie]], p.33.}}.

=== Exemples ===
L'application donnée plus haut <math>\mathbb{S}^n\to\mathbb{RP}^n</math> est le revêtement universel de l'[[espace projectif]] par la sphère de dimension ''n'', dont la fibre est formée de deux points antipodaux. L'application <math>f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{T}^2</math> du plan vers le [[tore]] <math>[ 0,1 [\times [ 0,1 [</math>définie par <math>f: (x,y)\mapsto (\left \lbrace x \right \rbrace, \left \lbrace y \right \rbrace)</math> (où  <math>\lbrace .  \rbrace</math> est la fonction [[Partie entière et partie fractionnaire|partie fractionnaire]]) est  le revêtement universel du tore.

== Classification des revêtements et théorie de Galois ==
''{{...}}''

== Applications ==
=== Calcul des groupes d'homotopie ===
Si ''B'' est connexe par arc, alors on a un isomorphisme entre les [[groupe d'homotopie|groupes d'homotopie]], conséquence de la [[suite exacte]] longue d'une [[fibration]] :
:<math> \pi_n(E) \simeq \pi_n(B), \quad n \ge 2</math>.

Par exemple, la droite réelle ℝ est un revêtement de S{{1}} donc <math> \pi_n(S^1) = 0, n \ge 2 </math>.

=== Graphes et groupes libres ===
[[Théorème de Nielsen-Schreier]] — ''Tout [[sous-groupe]] d'un [[groupe libre]] est un groupe libre.''

=== Théorème de [[Egbert van Kampen|van Kampen]] ===
{{Article détaillé|Théorème de van Kampen}}

== Revêtements ramifiés et surfaces de Riemann ==
{{Loupe|Ramification (mathématiques)}}

== Revêtements des groupes topologiques ==
{{loupe|contenu=Article détaillé : {{Lien|fr=Revêtement de groupe|lang=en|trad=Covering group}}.}}
{{...}}
<!--=== Revêtements ramifiés et algèbres étales ===-->
<!--=== Surfaces de Riemann : groupes d'automorphisme ===-->

== Notes et références ==
{{références}}

== Bibliographie ==
* [[Jean Dieudonné]], ''[[Éléments d'analyse]]'', tome 3
* [[Pierre Dolbeault]], ''Analyse complexe''
* {{Douady1}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Topologie générale]]
[[Catégorie:Topologie algébrique]]
[[Catégorie:Topologie différentielle]]
[[Catégorie:Groupe fondamental]]