Voir la source de Sédénion

En [[mathématiques]], les '''sédénions''' forment une [[algèbre sur un corps|algèbre réelle]] de [[Dimension d'un espace vectoriel|dimension]] 16, notée <math>\mathbb S</math>. Leur nom provient du latin ''sedecim'' qui veut dire seize. Deux sortes sont actuellement connues : 
*les sédénions obtenus par application de la [[Octonion#Construction de Cayley–Dickson|construction de Cayley-Dickson]] ;
*les sédénions coniques (ou algèbre M).

== Les sédénions de la construction de Cayley-Dickson ==
{{article détaillé|Construction de Cayley-Dickson}}

À l'instar des [[Octonion|octonions]], la [[multiplication]] des sedénions n'est ni [[Commutativité|commutative]] ni [[Associativité|associative]].
De plus, par rapport aux octonions, les sédénions perdent la propriété d'être [[alternativité|alternatifs]].
Par contre, comme ces derniers, ils sont [[Associativité des puissances|associatifs des puissances]], c’est-à-dire que les [[Puissance d'un nombre|puissances]] sont univoquement définies.

Les sédénions ont un [[élément neutre]] multiplicatif 1 et des inverses pour la multiplication, mais ils ne forment pas une [[algèbre à division]]. Cela parce qu'ils ont des [[diviseurs de zéro]].

Chaque sedénion est une [[espace vectoriel|combinaison linéaire]], à coefficients réels, des sédénions unités 1, ''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, ''e''<sub>3</sub>, ''e''<sub>4</sub>, ''e''<sub>5</sub>, ''e''<sub>6</sub>, ''e''<sub>7</sub>, ''e''<sub>8</sub>, ''e''<sub>9</sub>, ''e''<sub>10</sub>, ''e''<sub>11</sub>, ''e''<sub>12</sub>, ''e''<sub>13</sub>, ''e''<sub>14</sub> et ''e''<sub>15</sub>, qui forment la [[base canonique]] de l'[[espace vectoriel]] des sédénions.
La [[table de multiplication]] de ces sédénions unitaires est établie comme suit :

{| class="wikitable" style="margin:1em auto; text-align: center;"
  !colspan="2" rowspan="2"| <math>e_ie_j</math>
  !colspan="16" |<math>e_j</math>
|-
  ! <math>e_0</math>
  ! <math>e_1</math>
  ! <math>e_2</math>
  ! <math>e_3</math>
  ! <math>e_4</math>
  ! <math>e_5</math>
  ! <math>e_6</math>
  ! <math>e_7</math>
  ! <math>e_8</math>
  ! <math>e_9</math>
  ! <math>e_{10}</math>
  ! <math>e_{11}</math>
  ! <math>e_{12}</math>
  ! <math>e_{13}</math>
  ! <math>e_{14}</math>
  ! <math>e_{15}</math>
|- <!-- Would color coding the cells be nice or annoying? There are too many similar greenish shades though... -->
  ! rowspan="16" | <math>e_i</math>
  ! width="30pt" | <math>e_0</math><!-- color: white; when minus sign -->
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(  0,   0%, 50%, 1);" --> | <math>e_0</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(  0, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_1</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla( 16, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_2</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla( 32, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_3</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla( 48, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_4</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla( 64, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_5</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla( 80, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_6</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla( 96, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_7</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(112, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_8</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(128, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_9</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(144, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_{10}</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(160, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_{11}</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(176, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_{12}</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(192, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_{13}</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(208, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_{14}</math>
  | width="30pt" <!-- style="color: black; background-color: hsla(224, 100%, 50%, 1);" --> | <math>e_{15}</math>
|-
  ! <math>e_1</math>
  | <math>e_1</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>-e_2</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>-e_8</math>
  | <math>-e_{11}</math>
  | <math>e_{10}</math>
  | <math>-e_{13}</math>
  | <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>-e_{14}</math>
|-
  ! <math>e_2</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>-e_3</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_1</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>e_{10}</math>
  | <math>e_{11}</math>
  | <math>-e_8</math>
  | <math>-e_9</math>
  | <math>-e_{14}</math>
  | <math>-e_{15}</math>
  | <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{13}</math>
|-
  ! <math>e_3</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>-e_1</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>-e_6</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>e_{11}</math>
  | <math>-e_{10}</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>-e_8</math>
  | <math>-e_{15}</math>
  | <math>e_{14}</math>
  | <math>-e_{13}</math>
  | <math>e_{12}</math>
|-
  ! <math>e_4</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>-e_6</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_1</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{13}</math>
  | <math>e_{14}</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>-e_8</math>
  | <math>-e_9</math>
  | <math>-e_{10}</math>
  | <math>-e_{11}</math>
|-
  ! <math>e_5</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>-e_1</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>-e_3</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>e_{13}</math>
  | <math>-e_{12}</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>-e_{14}</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>-e_8</math>
  | <math>e_{11}</math>
  | <math>-e_{10}</math>
|-
  ! <math>e_6</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>-e_2</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>-e_1</math>
  | <math>e_{14}</math>
  | <math>-e_{15}</math>
  | <math>-e_{12}</math>
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  | <math>-e_{11}</math>
  | <math>-e_8</math>
  | <math>e_9</math>
|-
  ! <math>e_7</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>-e_6</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>-e_3</math>
  | <math>-e_2</math>
  | <math>e_1</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>e_{14}</math>
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  | <math>e_{10}</math>
  | <math>-e_9</math>
  | <math>-e_8</math>
|-
  ! <math>e_8</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>-e_9</math>
  | <math>-e_{10}</math>
  | <math>-e_{11}</math>
  | <math>-e_{12}</math>
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  | <math>-e_{14}</math>
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  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_1</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>e_7</math>
|-
  ! <math>e_9</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>-e_{11}</math>
  | <math>e_{10}</math>
  | <math>-e_{13}</math>
  | <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>-e_{14}</math>
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  | <math>-e_0</math>
  | <math>-e_3</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>-e_6</math>
|-
  ! <math>e_{10}</math>
  | <math>e_{10}</math>
  | <math>e_{11}</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>-e_9</math>
  | <math>-e_{14}</math>
  | <math>-e_{15}</math>
  | <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{13}</math>
  | <math>-e_2</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>-e_1</math>
  | <math>-e_6</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>e_4</math>
  | <math>e_5</math>
|-
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  | <math>e_{11}</math>
  | <math>-e_{10}</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>-e_{15}</math>
  | <math>e_{14}</math>
  | <math>-e_{13}</math>
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  | <math>-e_3</math>
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  | <math>-e_0</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>e_4</math>
|-
  ! <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{12}</math>
  | <math>e_{13}</math>
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  | <math>e_8</math>
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  | <math>-e_{11}</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>-e_0</math>
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  | <math>-e_3</math>
|-
  ! <math>e_{13}</math>
  | <math>e_{13}</math>
  | <math>-e_{12}</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>-e_{14}</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>e_{11}</math>
  | <math>-e_{10}</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>e_7</math>
  | <math>-e_6</math>
  | <math>e_1</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>-e_2</math>
|-
  ! <math>e_{14}</math>
  | <math>e_{14}</math>
  | <math>-e_{15}</math>
  | <math>-e_{12}</math>
  | <math>e_{13}</math>
  | <math>e_{10}</math>
  | <math>-e_{11}</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>e_9</math>
  | <math>-e_6</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>e_5</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>-e_3</math>
  | <math>-e_0</math>
  | <math>e_1</math>
|-
  ! <math>e_{15}</math>
  | <math>e_{15}</math>
  | <math>e_{14}</math>
  | <math>-e_{13}</math>
  | <math>-e_{12}</math>
  | <math>e_{11}</math>
  | <math>e_{10}</math>
  | <math>-e_9</math>
  | <math>e_8</math>
  | <math>-e_7</math>
  | <math>e_6</math>
  | <math>-e_5</math>
  | <math>-e_4</math>
  | <math>e_3</math>
  | <math>e_2</math>
  | <math>-e_1</math>
  | <math>-e_0</math>
|}


Elle est de la forme  <math>S=x_{0}+x_{1}{{\rm {i}}}+x_{2}{{\rm {j}}}+x_{3}{{\rm {k}}}+x_{4}{{\rm {l}}}+x_{5}{{\rm {m}}}+x_{6}{{\rm {il}}}+x_{7}{{\rm {jl}}}
+x_{8}{{\rm {kl}}}+x_{9}{{\rm {im}}}+x_{10}{{\rm {jm}}}+
x_{11}{{\rm {km}}}+x_{12}{{\rm {lm}}}+x_{13}{{\rm {ilm}}}+x_{14}{{\rm {jlm}}}
+x_{15}{{\rm {klm}}}</math>

== Les sédénions coniques / algèbre M à 16-dim. ==
{{section à sourcer|date=mars 2011}}
=== Arithmétique ===

À la différence des sédénions issus de la construction de Cayley-Dickson, qui sont construits sur l'unité (1) et 15 [[Racine de l'unité|racines de l'unité]] négative (-1), les sédénions coniques sont construits sur 8 racines carrées de l'unité positive et négative. Ils partagent la non-commutativité et la non-associativité avec l'[[arithmétique]] des sédénions de Cayley-Dickson ("sédénions circulaires"), néanmoins les sédénions coniques sont modulaires et alternatifs.

Les sédénions coniques contiennent à la fois les sous-algèbres des [[octonion]]s circulaires, les octonions coniques et les octonions hyperboliques. Les octonions hyperboliques sont de manière calculatoire équivalents aux [[octonion déployé|octonions déployés]].

Les sédénions coniques contiennent des éléments [[idempotent]]s, [[nilpotent]]s et donc, des diviseurs de zéro.

== Bibliographie ==

* Kevin Carmody, ''Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions'', Applied Mathematics and Computation 28:47-72 (1988)
* Kevin Carmody, ''Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Further results'', Applied Mathematics and Computation, 84:27-47 (1997)
* Kevin Carmody, ''Circular and Hyperbolic Quaternions, Octonions and Sedenions - Part III'', Online at http://www.kevincarmody.com/math/sedenions3.pdf (2006)
* K. Imaeda et M. Imaeda, ''Sedenions: algebra and analysis'', Applied Mathematics and Computation, 115:77-88 (2000)

{{Palette|Notion de nombre|Nombres hypercomplexes|}}
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Nombre hypercomplexe]]
[[Catégorie:Algèbre non associative]]