Voir la source de Série entière

{{Voir homonymes|Entier}}
En [[mathématiques]] et particulièrement en [[Analyse (mathématiques)|analyse]], une '''série entière''' est une [[série de fonctions]] de la forme
: <math>\sum a_nz^n</math>
où les coefficients {{mvar|a{{ind|n}}}} forment une [[Suite (mathématiques)|suite]] réelle ou complexe et où <math>z</math> est une variable qui désigne un nombre complexe quelconque. Une explication de l'utilisation de l'adjectif « entière » est qu'{{Citation|[[Mathématiques en Europe au XVIIe siècle|au {{s-|XVII}}]], on appelle fonctions entières des fonctions définies sur tout le plan complexe. On parle de séries entières lorsqu'elles s'expriment sous forme de séries en {{mvar|a{{ind|n}}x{{exp|n}}}}<ref>Comparer avec la définition moderne de « [[Fonction entière]] ».</ref>. Par extension, ce nom s'est généralisé pour les séries entières de rayon de convergence fini<ref name="Hauchecorne">{{Ouvrage|auteur1=Bertrand Hauchecorne|titre=Les Mots et les Maths|éditeur=|année=|isbn=}}.</ref>}}.

Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence {{mvar|R}}, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon {{mvar|R}}), la [[Fonction (mathématiques)|fonction]] somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.

Réciproquement, certaines [[Classe de régularité|fonctions indéfiniment dérivables]] peuvent être écrites au [[Voisinage (mathématiques)|voisinage]] d'un de leurs points ''c'' comme somme d'une série entière de la variable ''z – c'' : celle-ci est alors leur [[série de Taylor]]. On parle dans ce cas de fonctions '''développables en série entière''' au point ''c''. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en tout point d'un [[Ouvert (topologie)|ouvert]], elle est dite [[#Fonctions analytiques|analytique]] sur cet ouvert.

Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en [[combinatoire]] en tant que [[Fonction génératrice|fonctions génératrices]] et se généralisent dans la notion de [[série formelle]]. 

== Définitions ==

Dans ce qui suit, la variable {{mvar|z}} est [[Nombre réel|réelle]] ou [[Nombre complexe|complexe]].

=== Série entière ===

Une série entière de variable {{mvar|z}} est une [[série (mathématiques)|série]] de terme général {{mvar|a{{ind|n}}z{{exp|n}}}}, où {{mvar|n}} est un [[entier naturel]]<ref>L'expression {{citation|série entière}} ne concerne pas les séries contenant des puissances [[Entier relatif|entières négatives]] ([[Série de Laurent|séries de Laurent]]).</ref>, et <math>(a_n)_{n\in\N}</math> est une suite de [[Nombre réel|nombres réels]] ou [[Nombre complexe|complexes]]. L'usage veut que l'on adopte la notation <math>\sum a_nz^n</math> ou <math>\sum_n a_nz^n</math> pour parler d'une série entière, tandis que l'on écrira <math>\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n</math> pour son éventuelle somme, en cas de [[Série convergente|convergence]], pour un {{mvar|z}} donné. L'expression {{citation|série entière}} pourrait provenir d'une abréviation de {{citation|série de puissances entières positives}}<ref>Sur [http://mapage.noos.fr/r.ferreol/langage/notations/notations.htm le site de Robert Ferreol] : {{citation|Pourquoi des séries « entières » ?
Ce qui est entier dans une série entière, ce sont les exposants ''n'' ; l'expression : « série de puissances entières positives » s'est bizarrement abrégée en « série entière » en France, et « série de puissances » en anglais, en allemand, en espagnol et en italien (''{{Langue|en|power series}}'', ''{{Langue|de|Potenzreihe}}'', ''{{Langue|es|serie de potencias}}'', ''{{Langue|it|serie di potenze}}''). Quant aux fonctions entières, elles sont ainsi nommées car elles sont holomorphes dans le plan tout entier.}}</ref>, ou du développement en série de Taylor des [[fonction entière|fonctions entières]]<ref name="Hauchecorne" />. 

===Rayon de convergence===
{{article détaillé|Rayon de convergence}} 
Une bonne partie des propriétés de convergence d'une série entière peuvent être exprimées à l'aide de la quantité suivante, appelée '''rayon de convergence''' de la série
:<math>R=\sup\left\{|z|~\left|~z\in\Complex,\sum a_nz^n \text{ converge}\right.\right\}\in\,\R^+\cup\{+\infty\}</math>. 
Ces propriétés se fondent sur le [[lemme (mathématiques)|lemme]] suivant, dû à [[Niels Henrik Abel|Abel]] (à ne pas confondre avec le [[théorème d'Abel (analyse)|théorème d'Abel]], lequel est utilisé pour démontrer la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] de la somme de la série à la frontière du disque de convergence). 

{{théorème|Lemme d'Abel|Soit un réel <math>r_0>0</math>. Si la suite de terme général <math>|a_n| r_0^n</math> est bornée, alors la série <math>\sum a_n\, z^n</math> [[convergence absolue|converge absolument]] pour <math>|z|<r_0</math>.}}

{{Démonstration|contenu=
Si <math>|z| <r_0</math>, alors 
:<math>\forall n\in\N\quad|a_n\,z^n|=\left(|a_n|\,r_0^n\right)\left(\frac{|z|}{r_0}\right)^n.</math>

Le premier des facteurs de ce produit est borné, le second forme une [[série géométrique]] de raison strictement inférieure à 1. Par comparaison de séries à termes positifs, la conclusion s'ensuit.}}

Dès lors, il est possible de préciser le mode de convergence de cette série de fonctions :
*la série entière [[Convergence normale|converge normalement]] sur tout [[compacité (mathématiques)|compact]] du [[Boule ouverte|disque ouvert]] de centre 0 et de rayon {{mvar|R}} qui est appelé '''disque ouvert de convergence''' ;
*la série entière [[Série convergente|diverge grossièrement]] (c'est-à-dire que le terme général ne converge pas vers 0) pour tout complexe {{mvar|z}} de module strictement supérieur au rayon R.

Dans le cas où la variable {{mvar|z}} est réelle, on parle encore de disque ouvert de convergence, bien que cela désigne un intervalle de la droite réelle ({{math|]–''R'', ''R''[}}).

Lorsque le rayon est infini, le disque ouvert de convergence est le plan complexe (ou la droite réelle). En revanche, il n'y a a priori convergence normale que sur les disques fermés de rayon fini. Un rayon nul signifie qu'il y a divergence en tout point autre que {{math|''z'' {{=}} 0}}, comme c'est le cas par exemple pour la série <math>\sum {n!\,z^n}</math>.

Ces propriétés ne règlent pas toutes les questions de convergence. Notamment, aux points de module {{mvar|R}}, il peut y avoir convergence ou non, et convergence avec ou sans convergence absolue. Par exemple, les séries entières <math>\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\,z^n</math>, <math>\sum_{n\ge1}\frac1n\,z^n</math> et <math>\sum z^n</math> ont pour rayon de convergence 1, la série entière <math>\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}\,z^n</math> converge absolument en tout point de module 1, alors que <math>\sum_{n\ge1}\frac1n\,z^n</math> ne converge absolument en aucun point de module 1 mais converge en tout point autre que 1, et la série entière <math>\sum z^n</math> ne converge en aucun point de module 1.

==== Calcul du rayon de convergence ====

La [[formule de Cauchy-Hadamard]] donne l'expression du rayon de convergence en termes de [[limite supérieure]] :
:<math>\frac1R = \limsup_{n\to\infty} \left(|a_n|^{1/n}\right)</math>.
Cette formule découle de l'application de la [[règle de Cauchy]].

Dans la pratique, si les {{mvar|a{{ind|n}}}} sont non nuls à partir d'un certain rang, il est parfois possible d'appliquer la [[règle de d'Alembert]] :
:Si <math>\lim_{n \to +\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|= L</math> (limite éventuellement infinie), alors le rayon de convergence est égal à {{sfrac|1|''L''}}.

Par exemple, la série entière <math>\sum_n 2^n\,z^n</math> admet un rayon de convergence égal à {{sfrac|1|2}}. 

Mais il est souvent plus efficace d'employer les propriétés de convergence pour donner d'autres caractérisations du rayon de convergence. Par exemple :
:<math>R=\sup\left\{r\in\R_+~\left|~a_nr^n\to0\right.\right\}=\sup\left\{r\in\R_+~\left|~(a_nr^n)\text{ est bornée}\right.\right\}</math>.

=== Fonction somme ===

Si <math>{(a_n)}_{n\in\N}</math> est une suite complexe telle que la série entière <math>\sum a_nz^n</math> admet un rayon de convergence {{mvar|R}} strictement positif, on peut alors définir sa '''fonction somme''', en tout point de convergence, par
:<math>f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_nz^n</math>

Cette fonction est notamment définie sur le disque ouvert de convergence {{math|''D''(0, ''R'')}}.

Il existe une grande variété de comportements possibles pour la série et la fonction somme au bord du [[Ensemble de définition|domaine de définition]]. Notamment, la divergence de la série en un point de module {{mvar|R}} n'est pas incompatible avec l'existence d'une limite en {{mvar|R}} pour la fonction. Ainsi par somme d'une [[série géométrique]],
:<math>\forall x \in\left]-1,1\right[\qquad \frac1{1+x^2}=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^nx^{2n}.</math>
La fonction se prolonge par continuité en –1 et 1, qui sont pourtant des valeurs pour lesquelles la série diverge.

=== Exemples ===

Une [[fonction polynomiale]] réelle ou complexe est une série entière de rayon de convergence infini.

La [[série géométrique]] <math>\sum{z^n}</math> a pour rayon de convergence 1 et sa fonction somme vaut {{sfrac|1|1 – ''z''}} sur le disque ouvert {{math|''D''(0 ; 1)}}.

La série entière <math>\sum\frac{z^n}{n!}</math> a un rayon de convergence infini. Sa fonction somme, définie dans tout le plan complexe, est appelée fonction [[exponentielle complexe]]. C'est à partir d'elle que sont analytiquement définies les [[fonction trigonométrique|fonctions sinus et cosinus]].

La série entière <math>\sum_{n\ge 1}  {\frac{(-1)^{n+1} z^n}n}</math> a un rayon de convergence égal à 1. Elle constitue une détermination du [[logarithme complexe]] de {{math|1 + ''z''}}, donc fournit une réciproque d'une restriction de l'exponentielle complexe.

== Opérations sur les séries entières ==

Les propriétés qui suivent seront énoncées pour deux séries entières <math>\sum a_n z^n</math> et <math>\sum b_n z^n</math>, de rayons de convergence respectifs {{mvar|R}} et {{mvar|R'}}, et dont les fonctions somme s'écrivent
:<math>f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty}a_nz^n,\qquad g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n</math>.

=== Somme et produit ===

La '''somme''' des séries entières {{mvar|f}} et {{mvar|g}} est une série entière. Si {{mvar|R}} et {{mvar|R'}} sont distincts, son rayon est le minimum de {{mvar|R}} et {{mvar|R'}}. S'ils sont égaux, elle a un rayon supérieur ou égal à cette valeur commune. La somme est alors 
:<math>\left(\sum _{n=0}^{+\infty}a_nz^n\right)+\left(\sum_{n=0}^{+\infty} b_nz^n \right)= \sum_{n=0}^{+\infty}(a_n + b_n)z^n. </math>

On peut former le '''produit''' des deux séries entières, en utilisant les propriétés du [[produit de Cauchy]] des séries à termes complexes. Ainsi la série produit se calcule par la formule
:<math>\left(\sum _{n=0}^{+\infty} a_nz^n \right)\left(\sum _{n=0}^{+\infty} b_nz^n \right)=\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\right) z^n. </math>
Elle admet un rayon de convergence supérieur ou égal au minimum des deux rayons.

=== Substitution ===

Sous certaines conditions, il est possible d'effectuer la '''substitution''' d'une série entière dans une autre, ce qui conduit à composer les fonctions sommes. 

La composition est possible si les rayons de convergence des deux séries sont non nuls, et si le coefficient {{math|''a''{{ind|0}} {{=}} ''f''(0)}} est nul. La série obtenue par substitution est de rayon strictement positif. Sur un disque suffisamment petit inclus dans le disque de convergence, la somme de la série est la composée <math>g\circ f</math>.

La substitution peut notamment être utilisée pour le calcul, quand il est possible, d'inverse d'une série entière, puis du quotient de deux séries entières.

=== Dérivation ===

La série <math>\sum a_{n+1}\,(n+1)\,z^n</math> est appelée '''série dérivée''' de la série <math>\sum a_nz^n</math>. Une série admet le même rayon de convergence que sa dérivée, et si ce rayon commun est strictement positif, il est possible de dériver terme à terme la série dans le disque de convergence
:<math>\forall z, |z|<R, \qquad f'(z)=\sum_{n =0}^{+\infty} a_{n+1}\,(n+1)\,z^n</math>.

Pour une série entière de la variable réelle, la fonction somme associée est donc [[dérivable]] sur {{math|]–''R'', ''R''[}}, et même de [[Classe de régularité|classe]] <math>\mathrm C^{\infty}</math>, puisqu'il est possible d'effectuer {{mvar|p}} dérivations successives terme à terme, toutes les séries dérivées successives ayant même rayon de convergence.

Pour une série de la variable complexe, la dérivée est à prendre au sens complexe également, c'est-à-dire que la fonction somme est [[holomorphe]] dans le disque de convergence.

==Fonction développable en série entière==

Une fonction {{mvar|f}} de la variable réelle ou complexe, définie au voisinage d'un point ''c'', est dite '''développable en série entière''' au voisinage de ''c'' s'il existe une série entière <math>\sum a_nz^n</math> de rayon {{mvar|R}} strictement positif telle que 
:<math>\forall z\in D(c, R)\qquad f(z)=\sum_{n=0}^{+{\infty}}a_n(z-c)^n</math>.

=== Au sujet de l'existence et de l'unicité du développement ===

Une fonction {{mvar|f}} développable en série entière est nécessairement de classe <math>\mathrm C^{\infty}</math> au voisinage de ''c'' {{supra|Dérivation}} et le coefficient d'indice ''n'' du développement est donné par la formule
:<math>\forall n\in\N\quad a_n={f^{(n)}(c)\over{n!}}</math>.

Ceci montre que si le développement en série entière existe, il est unique, et donné par la [[série de Taylor]] de la fonction au point ''c''.

La réciproque est cependant fausse : il ne suffit pas qu'une fonction de variable réelle soit <math>\mathrm C^{\infty}</math> pour qu'elle soit développable en série entière :
*On peut donner comme [[contre-exemple]] la fonction définie sur la droite réelle par <math>f(x)={\rm e}^{-1/x^2}</math>, prolongée par continuité par {{math|''f''(0) {{=}} 0}}.
*:En effet, cette fonction est dérivable à tout ordre en 0, de dérivée valant 0 à l'origine. Sa série de Taylor en 0 est la série nulle. Elle admet un rayon de convergence infini, mais n'a pour somme {{math|''f''(''x'')}} en aucun point autre que 0.
*Il existe même des fonctions de classe <math>\mathrm C^{\infty}</math> dont le rayon de convergence de la série de Taylor est nul. Citons la fonction
{{Retrait|<math>f:x\mapsto \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\operatorname e^{-n}\operatorname e^{\mathrm in^2x}</math>, de dérivée ''k''-ième <math>f^{(k)}: x\mapsto\mathrm i^k \sum\limits_{n=0}^{+\infty} n^{2k}\operatorname e^{-n}\operatorname e^{\mathrm in^2x}</math>.}}
Sa série de Taylor est
{{Retrait|<math>\sum\frac{\mathrm i^k}{k!} \left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty} n^{2k}\operatorname e^{-n}\right)x^k</math>}}
et le critère de d’Alembert prouve que son rayon de convergence est nul.

===Développements usuels en séries entières===
{{Loupe|Formulaire de développement en série entière}}
Ces développements usuels sont souvent très utiles dans le [[calcul intégral|calcul d'intégrales]]. Citons par exemple :
:<math>\forall x\in\Complex\qquad{\rm e}^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!},</math>
:<math>\forall x\in D(0,1)\qquad{1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^n.</math>

=== Fonctions analytiques ===
{{article détaillé|Fonction analytique}}

Une fonction de la variable réelle ou complexe, définie sur un ouvert {{mvar|U}}, est dite '''analytique''' sur {{mvar|U}} lorsqu'elle admet un développement en série entière au voisinage de tout point de {{mvar|U}}. Une telle fonction est indéfiniment dérivable sur {{mvar|U}} ([[Fonction holomorphe|holomorphe]] s'il s'agit d'une fonction de la variable complexe).

En [[analyse complexe]], on démontre que toute fonction holomorphe sur un ouvert {{mvar|U}} de <math>\Complex</math> est analytique. Au contraire, en [[analyse réelle]], il existe de nombreuses fonctions <math>\mathrm C^{\infty}</math> non analytiques {{supra|Au sujet de l'existence et de l'unicité du développement}}.

La fonction somme {{mvar|f}} d'une série entière de rayon de convergence {{mvar|R}} strictement positif est elle-même analytique sur son disque ouvert de convergence {{math|''D''(0, ''R'')}}. Cela signifie qu'on peut changer d'origine pour le développement en série entière : précisément, si {{math|''z''<sub>0</sub>}} est un complexe de module strictement inférieur à {{mvar|R}}, alors {{mvar|f}} est développable en série entière sur le disque de centre {{math|''z''<sub>0</sub>}} et de rayon {{math|''R'' – {{!}}''z''{{ind|0}}{{!}}}}.

Les [[Fonction analytique|fonctions analytiques]] jouissent de propriétés remarquables. Selon le « principe des zéros isolés », les [[Point d'annulation|points d'annulation]] d'une telle fonction sont des [[point isolé|points isolés]]. Le « principe du prolongement analytique » indique que, si deux fonctions analytiques sont définies sur un ouvert [[espace connexe|connexe]] {{mvar|U}} et coïncident sur une partie ''A'' incluse dans {{mvar|U}} présentant au moins un [[point d'accumulation (mathématiques)|point d'accumulation]], alors elles coïncident sur {{mvar|U}}.

== Comportement au bord du domaine de convergence ==
=== Cas possibles ===
Dans le cas d'un rayon de convergence fini {{math|''R'' > 0}}, le comportement de la série entière pour les complexes {{mvar|z}} tels que {{math|{{!}}''z''{{!}} {{=}} ''R''}} peut suivre différents schémas parmi lesquels :
* absolue convergence sur l'ensemble du cercle de convergence comme par exemple<ref name = "Contre-exemples">{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Bertrand Hauchecorne|titre=Les contre-exemples en mathématiques|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2007|numéro d'édition=2|année première édition=1988|pages totales=365|passage=261|isbn=978-2-7298-3418-0|numéro chapitre=13|titre chapitre=Séries de fonctions}}.</ref> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac{z^n}{n^2}</math> ;
* semi-convergence en certaines valeurs et divergence en d'autres comme par exemple<ref name = "Contre-exemples"/> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac{z^n}{n}</math> (divergence [[Série harmonique|en 1]], semi-convergence [[Série harmonique#Série harmonique alternée|en -1]]) ;
* divergence sur l'ensemble du cercle de convergence comme par exemple<ref name = "Contre-exemples"/> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}}z^n</math> ;
* semi-convergence sur l'ensemble du cercle de convergence comme par exemple<ref>{{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Xavier Gourdon|titre=Les maths en tête|sous-titre=Analyse|lieu=Paris|éditeur=[[Éditions Ellipses|Ellipses]]|année=2008|numéro d'édition=2|année première édition=1994|pages totales=432|passage=275-276|isbn=978-2-7298-3759-4|numéro chapitre=4|titre chapitre=Suites et séries}}, problème n°10.</ref> <math>\sum_{n\in\mathbb{N}^*}\frac{(-1)^{\mathtt{E}(\sqrt{n})}}{n}z^n</math> où <math>\mathtt{E}</math> désigne la [[partie entière]].

=== Théorème de convergence uniforme d'Abel === 

{{Article détaillé|Théorème d'Abel (analyse)}}

Le théorème d'[[Niels Henrik Abel|Abel]] donne une propriété de continuité partielle de la fonction somme lorsqu'il y a convergence de la série entière en un point de son cercle de convergence.

Précisément, soit <math>\sum a_nz^n </math> une série entière de rayon de convergence {{mvar|R}} strictement positif fini. On suppose qu'en un point {{math|''z''<sub>0</sub>}} de module {{mvar|R}}, la série est convergente. On considère un triangle {{mvar|T}} ayant pour sommets {{math|''z''<sub>0</sub>}} d'une part et deux points de module strictement inférieur à {{mvar|R}} d'autre part. Alors la série [[Convergence uniforme|converge uniformément]] sur {{mvar|T}}.

Notamment, il y a convergence uniforme sur le segment {{math|[0,''z''{{ind|0}}]}}. Ce cas particulier est appelé théorème d'Abel radial.

=== Points singuliers et réguliers ===

{{Article détaillé|Prolongement analytique}}

Soit <math>\sum a_nz^n </math> une série entière de rayon de convergence {{mvar|R}} strictement positif fini, et {{mvar|f}} la fonction somme. Un point {{math|''z''<sub>0</sub>}} de module {{mvar|R}} est dit '''régulier''' s'il existe un disque ouvert {{mvar|D}} centré en ce point tel que {{mvar|f}} se prolonge en une fonction analytique à <math>D\cup D(0,R)</math>. Dans le cas contraire, le point est dit '''singulier'''.

Parmi les complexes de module {{mvar|R}}, il existe toujours un point singulier.

=== Le théorème des lacunes ===

{{Article détaillé|Série lacunaire}}

Soit {{math|(λ{{ind|''k''}}){{ind|''k ''≥ 1}}}} une [[suite d'entiers]] naturels strictement croissante, et {{mvar|a{{ind|k}}}} des nombres complexes<!--pas forcément tous non nuls--> tels que la série entière <math>\sum_{k=1}^{\infty}a_kz^{\lambda_k}</math> ait un rayon de convergence fini non nul. Le [[Théorème des lacunes d'Ostrowski-Hadamard|théorème des lacunes]] dû à [[Alexander Ostrowski|Ostrowski]] et [[Jacques Hadamard|Hadamard]] affirme alors que si la [[limite inférieure]] des λ{{ind|''k''+1}}/λ{{ind|''k''}} est strictement supérieure à 1 (autrement dit : s'il existe une constante {{math|δ > 0}} telle qu'à partir d'un certain rang, {{math|λ{{ind|''k''+1}}/λ{{ind|''k''}} > 1 + δ}}), alors la série ne peut être [[Prolongement analytique|prolongée analytiquement]] au-delà de son disque de convergence. Ceci n'exclut pas qu'elle puisse être [[Convergence normale|normalement convergente]], ainsi que ses [[#Dérivation|séries dérivées]], sur tout le disque fermé.

==Notes et références==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets
  | wikiversity = Série entière
}}
=== Article connexe===
[[Produit eulérien]]

=== Bibliographie ===
* {{Cartan1}}
* {{Dieudonné2}}
* [[Howard Levi]], ''Polynomials, Power Series, and Calculus'', Van Nostrand, 1967, 1968.

{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse complexe]]
[[Catégorie:Série (mathématiques)|Entiere]]
[[Catégorie:Suite de fonctions]]