Voir la source de SL2(R)

{{DISPLAYTITLE:SL<sub>2</sub>('''R''')}}
En [[mathématiques]], le [[groupe spécial linéaire]] SL(2,&#x2009;'''R''') ou SL<sub>2</sub>('''R''') est le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[Matrice (mathématiques)|matrices]] [[Nombre réel|réelles]] 2 × 2 de [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] 1 :

: <math>\mbox{SL}(2,\mathbf{R}) = \left\{ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \colon a,b,c,d \in \mathbf{R}\mbox{ et }ad-bc=1\right\}.</math>

C'est un [[groupe de Lie]] réel [[Groupe de Lie simple|simple]] [[Compacité (mathématiques)|non compact]], [[Connexité (mathématiques)|connexe]], de dimension 3, qui intervient dans des applications en [[géométrie]], en [[topologie]], en [[théorie des représentations]] et en [[physique]].

Le groupe SL(2,&#x2009;'''R''') agit sur le [[demi-plan de Poincaré]] par des [[Fonction homographique|fonctions homographiques]]. Cette [[Action de groupe (mathématiques)|action de groupe]] se factorise par le [[Groupe quotient|quotient]] PSL(2,'''&#x2009;R''') (le {{Lien|lang=en|trad=Projective linear group|groupe spécial linéaire projectif}} d'ordre 2 sur '''R'''). Plus précisément,

: PSL(2,&#x2009;'''R''') = SL(2,&#x2009;'''R''')&#x2009;/&#x2009;{±''I''},

où ''I'' désigne la [[matrice identité]] de taille 2 × 2. Ce groupe contient le [[groupe modulaire]] PSL(2,&#x2009;'''Z''').

Le groupe SL(2,&#x2009;'''R''') admet un [[Revêtement (mathématiques)|revêtement]] double, Mp(2,&#x2009;'''R'''), un [[groupe métaplectique]], ce qui provient du fait qu'on peut considérer SL(2,&#x2009;'''R''') comme un [[groupe symplectique]].

Un autre groupe apparenté est SL<sup>±</sup>(2,&#x2009;'''R'''), le groupe des matrices réelles 2 × 2 de déterminant ±1 ; ce groupe est cependant plus souvent utilisé dans le contexte du [[groupe modulaire]].

== Descriptions ==
Le groupe SL(2,&#x2009;'''R''') est le groupe de toutes les [[Application linéaire|transformations linéaires]] bijectives de '''R'''<sup>2</sup> qui préservent l'[[Aire (géométrie)|aire]] [[Orientabilité|orientée]]. Il est [[Morphisme de groupes|isomorphe]] au [[groupe symplectique]] Sp(2,&#x2009;'''R''') et au groupe spécial unitaire [[Groupe spécial unitaire|SU(1,&#x2009;1)]]. Il est également isomorphe au groupe des [[Coquaternion|coquaternions]] de norme 1. Le groupe SL<sup>±</sup>(2,&#x2009;'''R''') préserve l'aire non orientée : ses éléments peuvent inverser l'orientation.

Le quotient PSL(2,&#x2009;'''R''') admet plusieurs descriptions intéressantes :

* c'est le groupe des [[Application projective|transformations projectives]] qui préservent l'[[Orientation (mathématiques)|orientation]] de la [[droite projective]] réelle {{Nobr|'''R''' ∪ {∞} ;}}
* c'est le groupe des [[Automorphisme|automorphismes]] [[Transformation conforme|conformes]] du [[disque unité]] ;
* c'est le groupe des [[Isométrie|isométries]] préservant l'[[Orientabilité|orientation]] du [[Géométrie hyperbolique|plan hyperbolique]] ;
* c'est le [[groupe de Lorentz]] restreint de l'[[espace de Minkowski]] de dimension trois ; de manière équivalente, il est isomorphe au [[groupe orthogonal]] SO<sup>+</sup>(1, 2) de la forme de signature (1, 2) ; il s'ensuit que SL(2, '''R''') est isomorphe au [[groupe spinoriel]] Spin(2,1)<sup>+</sup>.

Les éléments du groupe modulaire PSL(2,&#x2009;'''Z''') ont des interprétations supplémentaires, de même que les éléments du groupe SL(2,&#x2009;'''Z''') (en tant que transformées linéaires du tore), et ces interprétations peuvent également être vues à la lumière de la théorie générale de SL(2,&#x2009;'''R''').

=== Homographies ===
Les éléments de PSL(2,&#x2009;'''R''') sont des [[Fonction homographique|homographies]] sur la [[Espace projectif|droite projective réelle]] {{Nobr|'''R''' ∪ {∞<nowiki>}</nowiki>}} :

: <math>[x,1] \mapsto [x,\ 1] \begin{pmatrix}a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ = \ [ax + b,\ cx + d] \ = \, \left[\frac{ax+b}{cx+d},\ 1\right] .</math>

Ces transformations projectives forment un sous-groupe de PSL(2,&#x2009;'''C'''), qui agit sur la [[sphère de Riemann]] par des [[Transformation de Möbius|transformations de Möbius]].

Lorsque la droite réelle est considérée comme la frontière du [[Demi-plan de Poincaré|plan hyperbolique]], PSL(2,&#x2009;'''R''') représente les [[Déplacement hyperbolique|déplacements hyperboliques]].

=== Transformations de Möbius ===
Les éléments de PSL(2,&#x2009;'''R''') agissent sur le plan complexe par des [[Transformation de Möbius|transformations de Möbius]] :

: <math>z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}\;\;\;\;\mbox{ (avec }a,b,c,d\in\mathbf{R}\mbox{)}.</math>

C'est précisément l'ensemble des transformations de Möbius complexes qui préservent le [[Demi-plan de Poincaré|demi-plan supérieur]]. Il en résulte que PSL(2,&#x2009;'''R''') est le groupe des automorphismes conformes du demi-plan supérieur. Par le [[Théorème de l'application conforme|théorème de représentation conforme de Riemann]], ou simplement parce que la transformation conforme <math>z\mapsto (z-i)/(z+i)</math> envoie le demi-plan de Poincaré sur le disque unité, il est également isomorphe au groupe des automorphismes conformes du disque unité.

Ces transformations de Möbius sont les [[isométrie]]s du modèle du [[demi-plan de Poincaré]] du plan hyperbolique, et les transformations de Möbius correspondantes du disque sont les isométries du modèle du [[disque de Poincaré]].

La formule ci-dessus peut également être utilisée pour définir les transformations de Möbius des nombres [[Nombre dual|duaux]] et [[Nombre complexe déployé|déployés]]. Les géométries correspondantes entretiennent des relations non triviales<ref name="raw">{{Ouvrage|prénom1=Vladimir V.|nom1=Kisil|titre=Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,'''R''')|pages totales=xiv+192|lieu=Londres|éditeur=Imperial College Press|année=2012|isbn=978-1-84816-858-9|doi=10.1142/p835|math reviews=2977041}}</ref> avec la [[Géométrie hyperbolique|géométrie de Lobatchevski]].

=== Représentation adjointe ===
Le groupe SL(2,&#x2009;'''R''') agit sur son algèbre de Lie sl(2,&#x2009;'''R''') par [[Action par conjugaison|conjugaison]] (rappelons que les éléments de l'algèbre de Lie sont toutes les matrices réelles 2 × 2), ce qui donne une [[Théorie des représentations|représentation]] linéaire fidèle de dimension trois de PSL(2,&#x2009;'''R'''). Elle peut également être décrite comme l'action de PSL(2,&#x2009;'''R''') sur l'espace des [[Forme quadratique|formes quadratiques]] sur '''R'''<sup>2</sup>. En choisissant des bases convenables, on obtient la représentation suivante :

: <math>\begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}
a^2 & 2ab & b^2 \\
ac & ad+bc & bd \\
c^2 & 2cd & d^2
\end{bmatrix}.</math>

La [[Forme de Killing|forme Killing]] sur sl(2, '''R''') a pour [[Loi d'inertie de Sylvester|signature]] (2, 1), elle induit un isomorphisme entre PSL(2,&#x2009;'''R''') et le [[groupe de Lorentz]] SO<sup>+</sup>(2, 1). Cette action de PSL(2,&#x2009;'''R''') sur l'[[espace de Minkowski]] se restreint à l'action de PSL(2,&#x2009;'''R''') par isométries sur le [[modèle de l'hyperboloïde]] du plan hyperbolique.

== Classification des éléments ==
Spectre

Une [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeur propre]] <math>\lambda</math> d'un élément ''A'' ∈ SL(2,&#x2009;'''R''') est une racine du [[polynôme caractéristique]]

: <math> \lambda^2 \,-\, \mathrm{tr}(A)\,\lambda \,+\, 1</math>

de sorte que

: <math> \lambda = \frac{\mathrm{tr}(A) \pm \sqrt{\mathrm{tr}(A)^2 - 4}}{2}. </math>

Cela conduit à la classification suivante des éléments, avec une description correspondante de leur action sur le plan euclidien :

* si |tr(''A'')| < 2, alors ''A'' est dit '''elliptique''' et est conjugué à une [[Rotation vectorielle|rotation]] (les valeurs propres sont complexes conjuguées) ;
* si |tr(''A'')| = 2, alors ''A'' est appelé '''parabolique,''' et est une [[transvection]] (il y a une valeur propre double, égale à ± 1) ;
* si |tr(''A'')| > 2, alors ''A'' est appelé '''hyperbolique,''' et est une [[rotation hyperbolique]] (les valeurs propres sont réelles, inverses l'une de l'autre).

Les noms correspondent à la classification des [[Conique|coniques]] selon leur [[Excentricité (mathématiques)|excentricité]] : si l'on définit l'excentricité comme la moitié de la [[valeur absolue]] de la trace (ε = ½ tr ; diviser par 2 tient compte de la dimension, alors que la valeur absolue correspond à travailler au signe près comme si l'on était dans PSL(2,'''R''')), on obtient la correspondance suivante : <math>\epsilon < 1</math>, elliptique ; <math>\epsilon = 1</math>, parabolique ; <math>\epsilon > 1</math>, hyperbolique.

L'élément neutre ''I'' et son opposé −''I'' (dans PSL(2,&#x2009;'''R''') ils sont identifiés), ont une trace ±2, et sont donc des éléments paraboliques d'après la classification précédente, bien qu'ils soient souvent considérés à part.

La même classification est utilisée pour SL(2,&#x2009;'''C''') mais aussi, puisque la trace d'un élément du groupe projectif est définie au signe près et que la classification ne tient compte que du module de la trace, pour PSL(2,&#x2009;'''C''') ([[Transformation de Möbius|transformations de Möbius]]) et PSL(2,&#x2009;'''R''') (transformations de Möbius réelles). Dans les groupes complexes, on trouve en plus des transformations dites ''loxodromiques'' lorsque la trace est complexe. Il existe des {{Lien|lang=en|trad=Eccentricity (mathematics)#Analogous classifications|texte=classifications analogues}} par une notion d'excentricité.

Un sous-groupe qui ne contient que des éléments elliptiques (respectivement paraboliques, hyperboliques), en plus de l'identité et de son opposée, est appelé un '''sous-groupe elliptique''' (respectivement '''[[Sous-groupe de Borel|sous-groupe parabolique]],''' '''sous-groupe hyperbolique''').

Il s'agit d'une classification en ''sous-ensembles'' et non ''en sous-groupes :'' ces ensembles ne sont pas stables par multiplication (le produit de deux éléments paraboliques n'est pas toujours parabolique, etc.). Cependant, tout élément est conjugué à un élément de l'un de trois [[Sous-groupe à un paramètre|sous-groupes à un paramètre]] standards (éventuellement au signe près), comme détaillé ci-dessous.

Topologiquement, comme la trace est une application continue, les éléments elliptiques (en excluant ±''I'') forment un [[Ouvert (topologie)|ensemble ouvert]], tout comme les éléments hyperboliques (en excluant ±''I''), tandis que les éléments paraboliques (en incluant ±''I'') sont un [[Fermé (topologie)|ensemble fermé]].

=== Éléments elliptiques ===
Les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] d'un élément elliptique sont toutes deux complexes, [[Conjugué|conjuguées]] et de [[Cercle unité|module]] un. Un tel élément est conjugué à une [[Rotation (physique)|rotation]] du plan euclidien – on peut les interpréter comme des rotations dans une base éventuellement non orthogonale – et l'élément correspondant de PSL(2,&#x2009;'''R''') agit comme (conjugué à) une [[Rotation (physique)|rotation]] du plan hyperbolique et de l'[[espace de Minkowski]].

Les éléments elliptiques du [[groupe modulaire]] doivent avoir des valeurs propres {ω, ω<sup>−1</sup>}, où ''ω'' est une [[racine de l'unité]] primitive d'ordre trois, quatre ou six. Ce sont tous les éléments du groupe modulaire d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] fini, et ils agissent sur le [[tore]] comme des difféomorphismes périodiques.

Les éléments de trace nulle sont parfois appelés ''éléments circulaires'' (par analogie avec l'excentricité) ; ils correspondent à des éléments de valeurs propres ± ''i'', et sont conjugués à une rotation d'angle 90°, dont le carré est – ''I'' : ce sont les [[Involution (mathématiques)|involutions]] non triviales dans PSL(2).

Un élément elliptique admet un conjugué appartenant au sous-groupe des rotations du plan euclidien, le [[Groupe orthogonal|groupe spécial orthogonal]] SO(2) ; l'angle de la rotation est l'[[Fonction circulaire réciproque|arccosinus]] de la moitié de la trace, il est défini à un signe près déterminé par l'orientation. (Une rotation et son inverse sont conjuguées dans GL(2) mais pas dans SL(2).)

=== Éléments paraboliques ===
Un élément parabolique n'a qu'une seule valeur propre, qui est soit 1, soit –1. Un tel élément agit comme une [[transvection]] sur le plan euclidien et l'élément correspondant de PSL(2,&#x2009;'''R''') agit comme une [[Limit rotation|rotation limite]] du plan hyperbolique et comme une [[Groupe de Lorentz|rotation nulle]] de l'[[espace de Minkowski]].

Les éléments paraboliques du [[groupe modulaire]] agissent sur le tore comme des torsions de Dehn.

Les éléments paraboliques sont conjugués dans le groupe à une transvection éventuellement multipliée par un signe, c'est-à-dire à une matrice de la forme <math>\left(\begin{smallmatrix}1 & \lambda \\ & 1\end{smallmatrix}\right) \times (\pm I)</math>. En fait, ils sont tous conjugués (dans SL(2)) à l'une des quatre matrices <math>\left(\begin{smallmatrix}1 & \pm 1 \\ & 1\end{smallmatrix}\right)</math>, <math>\left(\begin{smallmatrix}-1 & \pm 1 \\ & -1\end{smallmatrix}\right)</math> (dans GL(2) ou SL<sup>±</sup>(2), le signe ± peut être omis, mais pas dans SL(2)).

=== Éléments hyperboliques ===
Les [[Valeur propre, vecteur propre et espace propre|valeurs propres]] d'un élément hyperbolique sont à la fois réelles et inverses l'une de l'autre. Un tel élément agit comme une [[rotation hyperbolique]] du plan euclidien et l'élément correspondant de PSL(2,&#x2009;'''R''') agit comme une [[translation]] du plan hyperbolique et comme un [[Transformations de Lorentz|''boost'' de Lorentz]] sur l'[[espace de Minkowski]].

Les éléments hyperboliques du [[groupe modulaire]] agissent sur le tore comme des [[Système d'Anosov|difféomorphismes d'Anosov]].

Un élément hyperbolique est, au signe près, conjugué à une rotation hyperbolique standard, c'est-à-dire à une matrice de la forme <math>\left(\begin{smallmatrix}\lambda \\ & \lambda^{-1}\end{smallmatrix}\right) \times (\pm I)</math> ; l'[[angle hyperbolique]] de la rotation hyperbolique est l'[[Sinus hyperbolique réciproque|argument du cosinus hyperbolique]] de la moitié de la trace, à un signe près : contrairement au cas elliptique, une rotation hyperbolique et son inverse sont conjugués dans SL(2) (par une rotation des axes ; pour les axes standards, un quart de tour).

=== Classes de conjugaison ===
Les matrices 2 × 2 ayant deux valeurs propres distinctes sont diagonalisables sur '''C''' donc les éléments non paraboliques de SL(2) sont, à conjugaison dans GL(2) près (ou même SL<sup>±</sup>(2)), classés par la trace (en effet le déterminant est fixé et la trace et le déterminant déterminent les valeurs propres des matrices 2 × 2 ; de plus, deux matrices réelles conjuguées dans GL(2,&#x2009;'''C''') le sont aussi dans GL(2,'''R''')). Pour les matrices ayant une valeur propre double, on observe que les éléments ± ''I'' et les éléments paraboliques de traces ±2 ne sont pas conjugués (les premiers sont diagonalisables, au contraire des seconds).

À conjugaison dans SL(2) près (au lieu de GL(2)), il faut introduire une donnée supplémentaire correspondant à l'orientation : une rotation et son inverse (éléments elliptiques) ne sont pas conjuguées, de même qu'une transvection positive et son inverse, comme on l'a vu ci-dessus. Ainsi pour une trace de valeur absolue strictement inférieure à 2, il y a deux classes de conjugaison pour chaque trace (rotations dans le sens trigonométrique et dans le sens des aiguilles d'une montre) ; pour une trace égale à ±2 il y a trois classes de conjugaison pour chaque trace (transvection positive, ± ''I'', transvection négative) ; pour une trace de valeur absolue strictement supérieure à 2, il n'y a en revanche qu'une seule classe de conjugaison par trace.

== Décomposition d'Iwasawa ou KAN ==
La [[décomposition d'Iwasawa]] d'un groupe est une méthode pour présenter le groupe comme un produit de trois sous-groupes de Lie ''K'', ''A'', ''N''. Pour <math>\mbox{SL}(2,\mathbf{R})</math> ces trois sous-groupes sont

: <math> K = \left\{
 \begin{pmatrix}
 \cos \theta & -\sin \theta \\
 \sin \theta & \cos \theta 
 \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \ \theta\in\mathbf{R} \right\} \cong \operatorname{SO}(2) ,
</math>
: <math>
A = \left\{
 \begin{pmatrix}
 r & 0 \\
 0 & r^{-1} 
 \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \ r > 0 \right\},
</math>
: <math>
N = \left\{
 \begin{pmatrix}
 1 & x \\
 0 & 1 
 \end{pmatrix} \in \operatorname{SL}(2,\mathbb{R}) \ | \ x\in\mathbf{R} \right\}.
</math>

L'énoncé précis exprime que l'application produit

: <math> \begin{array}{rcl}K\times A\times N&\longrightarrow&\operatorname{SL}(2,\mathbb{R})\\(k,a,n)&\longmapsto&kan\end{array}
</math>

est un [[homéomorphisme]] (mais bien sûr pas un morphisme de groupes).

Les groupes ''K'', ''A'' et ''N'' contiennent respectivement les formes normales pour les sous-ensembles elliptique, hyperbolique et parabolique.

== Topologie et revêtement universel ==
Comme [[espace topologique]], PSL(2,&#x2009;'''R''') peut être décrit comme le [[fibré tangent unitaire]] du plan hyperbolique. C'est un {{Lien|lang=en|trad=Circle bundle|fr=fibré en cercles}}, il a une [[Géométrie de contact|structure de contact]] naturelle induite par la [[Variété symplectique|structure symplectique]] sur le plan hyperbolique. Quant à SL(2,&#x2009;'''R'''), c'est un revêtement double de PSL(2,&#x2009;'''R'''), il peut être considéré comme le fibré des [[Spineur|spineurs]] sur le plan hyperbolique.

Le [[groupe fondamental]] de SL(2,&#x2009;'''R''') est le [[groupe monogène]] infini '''Z'''. Le [[Revêtement (mathématiques)#Revêtement universel|revêtement universel]], noté <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math>, est un exemple de groupe de Lie de dimension finie qui n'est pas un [[Groupe linéaire|groupe de matrices]]. Autrement dit, <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> n'admet aucune [[Représentation de groupe|représentation]] [[Représentation fidèle|fidèle]] de dimension finie.

En tant qu'espace topologique, <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> est un fibré en droites sur le plan hyperbolique. Lorsqu'il est muni d'une [[Variété riemannienne|métrique]] invariante à gauche, la [[3-variété]] <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> devient l'une des [[Géométrisation des 3-variétés|huit géométries de Thurston]]. Par exemple, <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> est la couverture universelle du fibré  tangent unitaire de toute [[Surface de Riemann|surface de Riemann hyperbolique]]. Toute variété modelée sur <math>\overline{\mbox{SL}(2,\mathbf{R})}</math> est orientable et c'est un fibré en cercles sur une [[orbifold]] hyperbolique de dimension deux (un [[fibré de Seifert]]).
[[Fichier:Braid-modular-group-cover.svg|vignette|376x376px| Le [[Tresses (mathématiques)|groupe de tresses]] ''B''<sub>3</sub> est l'[[Multiplicateur de Schur|extension centrale universelle]] du [[groupe modulaire]].]]
L'image réciproque par ce revêtement du groupe modulaire PSL(2,&#x2009;'''Z''') est le [[Tresses (mathématiques)|groupe de tresses]] sur 3 brins, ''B''<sub>3</sub>, qui est l'[[Multiplicateur de Schur|extension centrale universelle]] du groupe modulaire. Ces groupes sont des réseaux de [[Groupe algébrique|groupes algébriques]] convenables et cela correspond algébriquement au revêtement universel en topologie.

Le groupe de revêtement double peut être identifié au [[groupe métaplectique]] Mp(2,&#x2009;'''R'''), quand on considère SL(2,&#x2009;'''R''') comme le groupe symplectique Sp(2,&#x2009;'''R''').

Les groupes mentionnés ci-dessus peuvent être mis ensemble dans un complexe :

: <math>\overline{\mathrm{SL}(2,\mathbf{R})} \to \cdots \to \mathrm{Mp}(2,\mathbf{R})
\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{R}) \to \mathrm{PSL}(2,\mathbf{R}).</math>

Il existe d'autres revêtements de PSL(2,&#x2009;'''R'''). Plus précisément, il y en a un pour chaque entier naturel ''n'' car ''n'''''Z''' est un sous-groupe de '''Z''' ≅ π<sub>1</sub>(PSL(2,&#x2009;'''R''')). Ces groupes forment un treillis de groupes de revêtement ordonné par la divisibilité ; le groupe correspondant à ''n'' est un revêtement de SL(2,&#x2009;'''R''') si et seulement si ''n'' est pair.

== Structure algébrique ==
Le [[Centre d'un groupe|centre]] de SL(2,&#x2009;'''R''') est le groupe à deux éléments {±''I''} et le [[Groupe quotient|quotient]] PSL(2,&#x2009;'''R''') est [[Groupe simple|simple]].

Les sous-groupes discrets de PSL(2,&#x2009;'''R''') sont appelés {{Lien|lang=en|trad=Fuchsian group|fr=Groupe fuchsien|texte=groupes fuchsiens}}. Ils sont l'analogue hyperbolique des [[Groupe de papier peint|groupes de papier peint]] euclidiens et des [[Groupe de frise|groupes de frises]]. Le plus célèbre d'entre eux est le [[groupe modulaire]] PSL(2,&#x2009;'''Z'''), qui agit sur un pavage du plan hyperbolique par des triangles idéaux.

Le [[Cercle unité#Cercle unité comme groupe|groupe du cercle]] [[Groupe orthogonal|SO(2)]] est un [[sous-groupe compact maximal]] de SL(2,&#x2009;'''R'''), et le cercle SO(2) / {±''I''} est un sous-groupe compact maximal de PSL(2,&#x2009;'''R''').

Le [[multiplicateur de Schur]] du groupe discret PSL(2,&#x2009;'''R''') est beaucoup plus grand que '''Z''' et l'[[Extension de groupes|extension centrale]] universelle est beaucoup plus grande que le revêtement universel. Cependant ces grandes extensions centrales ne tiennent pas compte de la [[Espace topologique|topologie]] et sont quelque peu pathologiques.

== Théorie des représentations ==
Le groupe SL(2,&#x2009;'''R''' ) est un [[groupe de Lie simple]] réel et non compact, c'est la forme réelle scindée du groupe de Lie complexe SL(2,&#x2009;'''C'''). L'[[algèbre de Lie]] de SL(2,&#x2009;'''R'''), noté sl(2,&#x2009;'''R'''), est l'algèbre de Lie de toutes les matrices 2 × 2 réelles de [[Trace (algèbre)|trace]]&#x2009;nulle. C'est l'[[Classification de Bianchi|algèbre de Bianchi]] de type VIII.

La théorie des représentations en dimension finie de SL(2,&#x2009;'''R''') est équivalente à la [[théorie des représentations de SU(2)]], qui est la forme réelle compacte de SL(2,&#x2009;'''C'''). En particulier, SL(2,&#x2009;'''R''') n'a pas de représentation unitaire de dimension finie non triviale. C'est une caractéristique de tous les groupes de Lie simples connexes non compacts. Pour un aperçu de la preuve, voir la {{Lien|lang=en|trad=Representation theory of the Lorentz group|fr=Théorie des représentations du groupe de Lorentz|texte=non-unitarisabilité des représentations}}.

La théorie des représentations de dimension infinie de SL(2,&#x2009;'''R''') est vraiment intéressante. Le groupe admet plusieurs familles de représentations unitaires, qui ont été étudiées en détail par [[Israel Gelfand|Gelfand]] et [[Mark Aronovitch Naïmark|Naimark]] (1946), [[Valentine Bargmann|V. Bargmann]] (1947) et [[Harish-Chandra]] (1952).

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Groupe linéaire]]
* [[Groupe spécial linéaire]]
* {{Lien|lang=en|trad=Projective linear group|fr=Groupe projectif linéaire}}
* [[Groupe modulaire]]
* [[Transformation de Möbius|SL(2,&#x2009;'''C''') (transformations de Möbius)]]
* [[Transformation projective]]
* {{Lien|lang=en|trad=Fuchsian group|fr=Groupe fuchsien}}
* {{Lien|lang=en|trad=Table of Lie groups|fr=Table des groupes de Lie}}
* [[Flot d'Anosov]]

=== Note ===
{{Références}}

=== Références ===
{{Traduction/Référence|en|SL(2,R)|1145913821}}
* {{Article|auteur1=Bargmann|prénom1=Valentine|titre=Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group|périodique=[[Annals of Mathematics]]|volume=48|numéro=3|année=1947|doi=10.2307/1969129|jstor=1969129|math reviews=0021942|pages=568–640}}
* {{Article|auteur1=Gelfand|prénom1=Israel Moiseevich|auteur2=Neumark|prénom2=Mark Aronovich|titre=Unitary representations of the Lorentz group|périodique=Acad. Sci. USSR. J. Phys.|volume=10|année=1946|math reviews=0017282|pages=93–94}}
* {{Article|auteur1=Harish-Chandra|titre=Plancherel formula for the 2×2 real unimodular group|périodique=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=38|numéro=4|année=1952|pmid=16589101|pmcid=1063558|doi=10.1073/pnas.38.4.337|bibcode=1952PNAS...38..337H|math reviews=0047055|pages=337–342}}
* {{Ouvrage|prénom1=Serge|nom1=Lang|titre=<math>\mathrm{SL}_2(\mathbf{R})</math>|volume=105|lieu=New York|éditeur=Springer-Verlag|collection=Graduate Texts in Mathematics|année=1985|isbn=0-387-96198-4|doi=10.1007/978-1-4612-5142-2|math reviews=0803508}}
* {{Ouvrage|prénom1=William|nom1=Thurston|titre=Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1|volume=35|lieu=Princeton, NJ|éditeur=Princeton University Press|collection=Princeton Mathematical Series|année=1997|isbn=0-691-08304-5|math reviews=1435975}}

{{Portail|mathématiques}}
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[[Catégorie:Géométrie projective]]
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