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{{ébauche|histoire des sciences|mathématiques}}
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{{Infobox Ouvrage}}

'''''Science et Méthode''''' est un livre d'[[Henri Poincaré]] publié en [[1908]]<ref>{{Lien web|titre=Notice bibliographique dans le catalogue général de la BnF|url=http://catalogue.bnf.fr/ark:/12148/cb31127700q|site=catalogue.bnf.fr|date=1908-01-01|consulté le=2016-08-16}}</ref> chez [[Groupe Flammarion|Flammarion]] dans la collection « [[Bibliothèque de philosophie scientifique]] » dans lequel l'auteur réfléchit au rôle de la [[science]] et développe ses conceptions de la physique et des mathématiques. Cet ouvrage reprend et développe certains thèmes déjà présents dans ''[[la Science et l'Hypothèse]]'', et dans ''[[la Valeur de la Science]]''.

== Le savant et la science ==
Poincaré définit quel doit être le rôle du savant, et quel sens il faut donner à l'utilité de la science. Il récuse l'utilité immédiate de l'industriel qui ne voit dans la science qu'une application pratique. Il récuse également une science qui ne serait guidée que par des considérations morales. Le savant doit également agir pour la science elle-même, guidé par son propre intérêt, et par les questions qu'il se pose<ref>Cette position peut être rapprochée de celle de Jacobi qui écrivait à Legendre en 1830 : « M. Poisson n'aurait pas dû reproduire dans son rapport une phrase peu adroite de feu M. Fourier, où ce dernier nous fait reproche, à Abel et à moi, de ne pas nous être occupés de préférence du mouvement de la chaleur. Il est vrai que M. Fourier avait l'opinion que le but principal des mathématiques était l'utilité publique et l'explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c'est l'honneur de l'esprit humain, et que, sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu'une question du système du monde. »</ref>. Le choix des faits qu'il étudie ne doit pas cependant être dicté par un simple caprice<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|9}} : « Il suffit d'ouvrir les yeux pour voir que les conquêtes de l'industrie qui ont enrichi tant d'hommes pratiques n'auraient jamais vu le jour si ces hommes pratiques avaient seuls existé, et s'ils n'avaient été devancés par des fous désintéressés qui sont morts pauvres, qui ne pensaient jamais à l'utile, et qui pourtant avaient un autre guide que leur caprice. »</ref>. Il doit sélectionner ceux qui lui permettront de dégager les lois les plus générales possibles. C'est en ce sens seulement que la science sera utile. L'étude portera d'abord sur des faits simples permettant de dégager une règle adaptée à ces faits. Après cela, son attention se portera sur les exceptions à la règle. Ces exceptions jugées marginales en premier lieu, prennent alors toute leur importance. De nouvelles questions se posent, appelant de nouvelles réponses. Les considérations précédentes doivent s'appliquer également aux mathématiques, qui, au-delà du rôle qu'elles peuvent apporter au physicien ou à l'ingénieur, doivent également réfléchir sur elles-mêmes sous peine de se stériliser. 

En mathématiques, la fin du {{s-|XIX|e}} est caractérisée par une recherche de la rigueur conduisant au [[Système formel|formalisme]] axiomatique. Tout en reconnaissant cette démarche, Poincaré la juge néanmoins d'un intérêt limité et il considère le travail des logiciens comme secondaire. Il estime plus importantes les découvertes mathématiques, guidées par l'intuition, et adopte une position qu'on peut considérer proche du [[Constructivisme (mathématiques)|constructivisme]]. En géométrie, il a conscience du développement que va prendre la [[topologie]], dénommée alors sous le nom d'''Analysis situs'' et dont [[Bernhard Riemann|Riemann]] est un précurseur. 

Il décrit le processus de l'invention en mathématiques. Un long et ardu travail peut sembler se révéler stérile, mais être suivi par une découverte survenant fortuitement au cours d'une illumination soudaine. C'est à cette occasion que Poincaré cite l'épisode célèbre relatif aux [[fonction fuchsienne|fonctions fuchsiennes]]<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|51}} : {{Citation|A<!--sans accent, sic : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3267w/f182.item.r=ce%20moment,--> ce moment, je quittai Caen, que j'habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l'École des Mines. Les péripéties du voyage me firent vite oublier mes travaux mathématiques ; arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade ; au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l'idée me vint, sans que rien dans mes pensées mathématiques parût m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes étaient identiques à celles de la Géométrie non euclidienne.}}</ref>. Selon Poincaré, il y a un travail inconscient, formant à notre insu, des combinaisons diverses et parmi elles, émergent à notre conscience celles qui affecteront le plus notre sensibilité par leur beauté et leur harmonie<ref>{{Article|titre = Sérendipité et réflexivité |périodique = Alliage |année = 2012 |mois = juillet |auteur1 = Catellin Sylvie |numéro = 70 |lire en ligne = http://revel.unice.fr/alliage/index.html?id=4061}}</ref>. 
 
Poincaré s'intéresse également au hasard, et poursuit les réflexions qu'il a déjà menées sur la question dans ''[[La Science et l'Hypothèse]]''. À cette occasion, il évoque les phénomènes de sensibilité aux conditions initiales, connus dans la deuxième moitié du {{s-|XX}} sous le nom d'[[effet papillon]]<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|68}} : « Lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secrets pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'appoximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure cela avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produiront une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.
[...] Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelques certitudes ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicules de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est en équilibre instable, qu'un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d'état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur les contrées qu'il aurait épargnées? »</ref>, sujet sur lequel il a travaillé dans le domaine astronomique.

== Le raisonnement mathématique ==
Le développement de la topologie, évoqué plus haut, n'est pas étranger à l'abandon définitif de la notion d'espace absolu<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|96}} : « Quiconque parle de l'espace absolu emploie un mot vide de sens. C'est là une vérité qui a été proclamée depuis longtemps par tous ceux qui ont réfléchi à la question, mais qu'on est trop souvent porté à oublier. »</ref>{{,}}<ref>Cet abandon de l'espace absolu se généralise à la fin du XIXème. Ainsi, [[Ernst Mach]] écrit-il dans ''La Mécanique'', Hermann, 1904, {{p.|498-499}} : « Mais Newton a pourtant rapporté toute la mécanique à l'espace absolu ! En vérité, voilà une personnalité puissante ! L'obligation n'en reste pas moins de la soumettre à la critique. On n'aperçoit guère de différence à rapporter les lois du mouvement à l'espace ''absolu'', ou à les exprimer ''abstraitement'' sans les rapporter expressément à un système de repères. Le dernier procédé est naturel et tout aussi pratique, car le mécanicien qui traite un problème déterminé quelconque considère toujours un système de repère utilisable. C'est parce que le premier procédé, chaque fois qu'il pourrait avoir une influence ''sérieuse'', est toujours pris dans le sens du second, que l'erreur de Newton a causé si peu de dommage et s'est maintenue si longtemps. [...] Il serait préférable de corriger les erreurs et les inexactitudes de nos ancêtres scientifiques, qu'ils soient de petites ou de grandes personnalités, que d'en faire des problèmes métaphysiques. »</ref>. Poincaré fait remarquer que le seul système de référence concret est celui, relatif, lié à notre corps. Il ne conçoit que des mouvements relatifs, ces derniers étant pris en sens très large, non nécessairement limités à un [[espace euclidien]]. Ainsi remarque-t-il que, si l'espace se déformait, il en serait de même de nos instruments de mesure et que nous n'aurions pas conscience de cette déformation<ref>Ce propos est manifestement faux. Poincaré qui, dit-on, avait fait là-dessus une conférence publique et racontait que l'on ne pourrait se rendre compte de la soudaine multiplication par 10 de toutes les dimensions des objets, fut contredit immédiatement par un de ses auditeurs qui lui répondit que cela n'aurait sûrement pas échappé aux charcutiers{{refnec|date=aouût 2009}} !</ref>. Ainsi deux espaces sont-ils équivalents non seulement par transformation [[isométrie|isométrique]], mais également par transformation [[homéomorphisme|homéomorphe]]. Cette question mathématique est à rapprocher des questions physiques liées aux déformations de l'espace dans le sens du déplacement proposées par [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] pour expliquer la constance de la mesure de la vitesse de la lumière dans le vide. 

Poincaré développe ensuite le rôle des définitions dans l'enseignement, dans un chapitre qui n'a rien perdu de son actualité. Il distingue soigneusement la définition mathématique idéale de celle qu'il convient de donner aux élèves ou aux étudiants. Il explique en quoi il peut être préférable de donner d'abord une définition approximative qui répondra à l'intuition immédiate des élèves, plutôt que de leur donner une définition abstraite dont le rôle, les tenants et aboutissants leur échapperont, quitte à affiner petit à petit cette définition<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|135}} : « Nos pères croyaient savoir ce que c'est qu'une fraction, ou que la continuité, ou que l'aire d'une surface courbe ; c'est nous qui nous sommes aperçus qu'ils ne le savaient pas. De même nos élèves croient le savoir quand ils commencent à étudier sérieusement les mathématiques. Si, sans autre préparation, je viens leur dire : "Non, vous ne le savez pas ; ce que vous croyez comprendre, vous ne le comprenez pas ; il faut que je vous démontre ce qui vous semble évident", et si dans la démonstration je m'appuie sur des prémisses qui leur semblent moins évidentes que la conclusion, que penseront ces malheureux ? Ils penseront que la science mathématique n'est qu'un entassement arbitraire de subtilités inutiles ; ou bien ils s'en dégoûteront ; ou bien ils s'en amuseront comme d'un jeu et ils arriveront à un état d'esprit analogue à celui des sophistes grecs. »</ref>.  Il rétorque aux partisans de la rigueur que la définition abstraite elle-même ne peut avoir de sens que si on garde en esprit le cheminement intuitif qui a conduit à sa formation. Les mêmes remarques s'appliquent également à l'enseignement de la physique qui doit rechercher un lien constant entre le monde réel et la présentation des théories physiques les plus abstraites<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|146}} : « Il y a une chose qui me frappe : c'est combien les jeunes gens qui ont reçu l'éducation secondaire sont éloignés d'appliquer au monde réel les lois mécaniques qu'on leur a enseignées. Ce n'est pas seulement qu'ils en sont incapables ; ils n'y pensent même pas. Pour eux le monde de la science et celui de la réalité sont séparés par une cloison étanche. Il n'est pas rare de voir un monsieur bien mis, probablement bachelier, assis dans une voiture en s'imaginant qu'il l'aide à avancer en poussant sur l'avant, et cela au mépris du principe de l'action et de la réaction. »</ref>. 

Il s'insurge contre ce qu'il considère être des excès de la logique<ref>Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', {{p.|132}} : « 
Depuis un demi-siècle, on a vu surgir toute une foule de fonctions bizarres qui semblaient s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées, etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir cherchées n'apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur reste plus qu'un petit coin. Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela. »</ref>. Il réfute qu'on puisse définir les [[nombre ordinal|ordinaux]] transfinis avant d'en distinguer la classe des ordinaux finis. Ses flèches les plus féroces sont adressées à [[Giuseppe Peano|Peano]], qui a formalisé les axiomes relatifs aux entiers<ref>Henri Poincaré, ''Science et méthode'', {{p.|193}} : « La logistique, d'après M. Couturat, prête à l'invention « ''des échasses et des ailes'' » et à la page suivante : « ''Il y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire'' ». Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes, et vous n'avez pas encore volé ! J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire), mais enfin, il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes. »</ref>, mais s'adressent également à [[Bertrand Russell|Russell]] ou à [[David Hilbert|Hilbert]]. En effet, pour Poincaré, les logiciens ne peuvent procéder que par cercle vicieux dans leur tentative de définir les entiers, l'usage de ceux-ci étant implicite dans leurs raisonnements<ref>Henri Poincaré, ''Science et méthode'', {{p.|193}} : 
« Nous voyons d'abord M. Burali-Forti définir le nombre 1 de la manière suivante : <math>1 = \iota T' \{K0 \cap (u, h) \varepsilon (u \varepsilon \rm{Un})\}</math>. définition éminemment propre à donner une idée du nombre 1 aux personnes qui n'en auraient jamais entendu parler. J'entends trop mal le Péanien pour oser risquer une critique, mais je crains que cette définition ne contienne une pétition de principe, attendu que j'aperçois 1 en chiffre dans le premier membre et Un en toutes lettres dans le second. [...] Je me hâte d'ajouter que la définition que M. Couturat donne du nombre 1 est plus satisfaisante. Un, dit-il en substance, est le nombre des éléments d'une classe dont deux éléments quelconques sont identiques. Elle est plus satisfaisante, dis-je, en ce sens que pour définir 1, il ne se sert pas du mot un ; en revanche, il se sert du mot deux. Mais j'ai peur que si on demandait à M. Couturat ce que c'est que deux, il ne soit obligé de se servir du mot un. »</ref>, ainsi que celui du [[Raisonnement par récurrence|principe de récurrence]]. Pour Poincaré, ce dernier principe ne peut donc ni être démontré, ni relever d'une définition des entiers. Il est plutôt un jugement synthétique a priori au sens que lui donne [[Emmanuel Kant|Kant]], et est le principe même qui permet à l'intelligence humaine de procéder à des généralisations. On peut rapprocher sa position de celle de [[Leopold Kronecker|Kronecker]]<ref>pour qui ''Dieu a créé les entiers naturels, le reste est le travail de l'Homme''.</ref>. Poincaré rejette la notion d'infini actuel, l'infini ne pouvant être à ses yeux que potentiel. Il convient de souligner que Poincaré écrit à une époque où la théorie des ensembles est encore source de contradiction, la mise au point par [[Ernst Zermelo|Zermelo]], [[Abraham Adolf Fraenkel|Fraenkel]] et [[Thoralf Skolem|Skolem]] n'ayant pas encore eu lieu. Poincaré pense également qu'il est possible de prouver la non-contradiction d'une théorie précisément en utilisant le principe de récurrence sur le nombre de formules validées, ce que [[Kurt Gödel|Gödel]] démontrera comme impossible.

== La mécanique nouvelle ==
Les années 1900 sont en physique des années de profondes remises en cause. Poincaré dresse une liste des divers sujets posant problème : étude de la [[radioactivité]], question de la validité de la conservation de l'énergie qui en découle, identification de la nature des rayonnements radioactifs, difficulté de mesurer la masse des particules émises lors de la désintégration radioactive, dépendance éventuelle de la masse avec la vitesse, comparaison entre la masse inertielle et la masse gravitationnelle, étude du résultat négatif de l'[[Expérience de Michelson-Morley|expérience de Michelson et Morley]], considérations sur les rayons cathodiques ou les rayons X, difficulté de synchroniser deux horloges, réflexions sur la notion de contraction des longueurs proposée par [[Hendrik Antoon Lorentz|Lorentz]] dans le sens du mouvement pour concilier mécanique et électromagnétisme, validité ou non du principe d'action et de réaction et du [[principe de relativité]], limitation de la vitesse d'un corps par celle de la lumière, question du mouvement du périhélie de [[Mercure (planète)|Mercure]], nature de la force de gravitation. 
Le texte de Poincaré est un témoignage intéressant de l'état de la physique et des questions que se posaient les physiciens de l'époque.

== La science astronomique ==
Dans la dernière partie de l'ouvrage, Poincaré, reprenant une idée de [[William Thomson (Lord Kelvin)|Kelvin]] étudie dans quelle mesure la théorie cinétique des gaz pourrait être appliquée à l'étude de la [[Voie lactée]], les astres étant assimilés à des points matériels, sur sa taille, sur son âge et sur la compatibilité de cet âge avec celui estimé des étoiles<ref>largement sous-estimé à l'époque, environ 50 millions d'années.</ref>. Il s'interroge également sur la stabilité des galaxies spirales.

L'ouvrage se termine par un plaidoyer en faveur de la [[géodésie]] française et de son intérêt pour la connaissance de la Terre et le prestige de la France.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Lien externe ===
{{Autres projets|wikisource=Science et méthode|wikisource titre=Henri Poincaré, ''Science et Méthode'', 1908|wikiquote=Henri Poincaré#Science et Méthode, 1908|wikiquote titre=''Science et Méthode'', 1908}}
* {{Ouvrage|prénom1=Henri|nom1=Poincaré|titre=Science et Méthode|lieu=Paris|éditeur=[[Groupe Flammarion|Flammarion]]|année=1947|format=pdf|lire en ligne=http://jubilotheque.upmc.fr/fonds-physchim/PC_000305_001/document.pdf?name=PC_000305_001_pdf.pdf}}, sur le portail documentaire de l’[[UPMC]]

=== Article connexe ===
* [[1908 en philosophie]]

{{Portail|mathématiques|philosophie|physique}}

[[Catégorie:Œuvre d'Henri Poincaré]]
[[Catégorie:Philosophie des sciences]]
[[Catégorie:Histoire de la physique]]
[[Catégorie:Histoire des mathématiques]]
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[[Catégorie:1908 en philosophie]]