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{{confusion|semi-anneau}}

Un '''semi-anneau d'ensembles''' (généralement abrégé en '''semi-anneau''')  est une classe de parties d'un ensemble ''X'' à partir de laquelle on construit facilement un [[anneau d'ensembles]]. C'est un cadre commode pour commencer plusieurs constructions classiques de [[mesure (mathématique)|mesures]].

== Définition ==

{{Théorème|Définition|Un '''semi-anneau d'ensembles''' est un ensemble <math>\mathcal S</math> de parties d'un ensemble <math>X</math> qui vérifie : 

* L'[[ensemble vide]] est élément de <math>\mathcal S</math> ;
* Pour tous <math>A</math>, <math>B</math> éléments de <math>\mathcal S</math>, la [[différence ensembliste]] <math>A\setminus B</math> est une réunion disjointe (finie) d'éléments de <math>\mathcal S</math> ;
* <math>\mathcal S</math> est stable par [[intersection (mathématiques)|intersection]] (finie).}}

Lorsque de surcroît l'ensemble <math>X</math> est élément de <math>\mathcal S</math>, on dit que <math>\mathcal S</math> est une '''semi-algèbre d'ensembles'''.

== Exemples ==
* L'ensemble des intervalles de <math>\R</math> est une semi-algèbre de parties de <math>\R</math> (la différence ensembliste de deux intervalles pouvant être décrite, selon leur position relative, comme réunion disjointe de zéro, un ou deux intervalles).
* L'ensemble des intervalles bornés de <math>\R</math> est un semi-anneau mais pas une semi-algèbre.
* L'ensemble des intervalles vides ou de la forme <math>]a,b]</math> (<math>a<b</math>) est un semi-anneau inclus dans le précédent.
* Étant donnés deux semi-anneaux <math>\mathcal{S}_1</math> et <math>\mathcal{S}_2</math> sur des ensembles <math>X_1</math> et <math>X_2</math>, l'ensemble des produits <math>A_1\times A_2</math>, <math>A_i\in \mathcal{S}_i</math> est un semi-anneau sur le produit <math>X_1\times X_2.</math> Même lorsque <math>X_1</math> et <math>X_2</math> sont des [[algèbre d'ensembles|algèbres]], ce peut ne pas être un anneau (mais c'est bien sûr alors une semi-algèbre)<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Vladimir Bogachev|titre=Measure Theory|lieu=Berlin|éditeur=Springer|année=2007|pages totales=575|isbn=978-3-540-34513-8|isbn2=3-540-34513-2}}, exercice 1.12.53, {{p.}}84.</ref>. Ainsi l'ensemble des produits de <math>n</math> intervalles bornés, ou l'ensemble des produits de la forme <math>]a_1,b_1]\times\cdots\times\left]a_n,b_n\right]</math> sont-ils des semi-anneaux de parties de <math>\R^n</math>.

== Extension d'une mesure d'un semi-anneau à un anneau ==
L'[[anneau d'ensembles]] engendré par un semi-anneau se décrit facilement<ref>Bogacev, op. cit., {{p.}}8.</ref> :

{{Théorème|Proposition|Le plus petit [[anneau d'ensembles]] qui contienne un semi-anneau <math>\mathcal{S}</math> donné est l'ensemble des unions finies d'éléments de <math>\mathcal{S}</math>. C'est aussi l'ensemble des unions finies disjointes d'éléments de <math>\mathcal{S}</math>.}}

Dans l'énoncé d'extension qui suit, on entend par « mesure » sur une classe <math>\mathcal{C}</math> contenant le vide une application de <math>\mathcal{C}</math> vers <math>[0,+\infty]</math> nulle sur le vide et σ-additive<ref>On trouvera cette définition exposée de façon moins concise à l'article « [[Mesure (mathématiques)]] », section « Généralisation ».</ref>. 

{{Théorème|Proposition<ref>Bogacev, op. cit., {{p.}}12</ref>|Soit <math>\mathcal{S}</math> un semi-anneau et <math>\mu</math> une mesure sur <math>\mathcal{S}</math>. Alors <math>\mu</math> admet un prolongement et un seul en une mesure définie sur l'anneau d'ensembles engendré par <math>\mathcal{S}</math>.}}

L'unicité est claire, vu l'additivité des mesures et la description des éléments de l'anneau engendré par <math>\mathcal{S}</math> : nécessairement si un élément <math>A</math> de cet anneau s'écrit <math>A_1\cup\cdots\cup A_n</math> pour des <math>A_i</math> éléments du semi-anneau <math>\mathcal{S}</math>, on doit avoir <math>\mu(A)=\mu(A_1)+\cdots+ \mu(A_n)</math>. Pour l'existence, on prend cette formule pour définition de l'extension, en vérifiant préalablement qu'elle ne dépend pas du découpage de <math>A</math> utilisé, puis on s'assure qu'elle définit bien une mesure sans rencontrer d'obstacle significatif.

Les énoncés analogues utilisant des semi-algèbres au lieu des semi-anneaux et des algèbres d'ensembles au lieu des anneaux d'ensembles sont également vrais, et se déduisent aussitôt de ceux qui sont donnés ici<ref>[https://books.google.fr/books?id=CoSIe7h5mTsC L'ouvrage de Bogachev] utilisé pour source des deux énoncés qui précèdent mentionne également leur validité pour des semi-algèbres.</ref>. L'usage des uns ou des autres est souvent indifférent : travailler sur des semi-algèbres est cohérent avec l'objectif terminal de construire une mesure sur une [[sigma-algèbre|σ-algèbre]] et évite d'avoir à introduire le concept supplémentaire d'« anneau » ; travailler sur des semi-anneaux permet d'alléger la vérification initiale de σ-additivité et se justifie par ailleurs pleinement quand on a pour objectif de construire des mesures sur des [[sigma-anneau|σ-anneaux]] ou [[delta-anneau|δ-anneaux]].

== Exemples d'utilisation de semi-anneaux ==
===Construction de la [[mesure de Lebesgue]] sur l'espace à {{formule|''n''}} dimensions ===

Un des modes de construction de la mesure de Lebesgue sur <math>\R^n</math> consiste à définir le volume d'un pavé droit <math>P</math> produit d'intervalles bornés (fermés, ouverts ou semi-ouverts) d'extrémités notées <math>a_i</math> et <math>b_i</math>. Le volume est simplement le produit des longueurs des côtés :

<center><math>\mu(P)=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i).</math></center>

On étend ensuite cette définition à la classe des [[tribu de Lebesgue|ensembles Lebesgue-mesurables]].

Cette construction débute par l'invocation, explicite ou implicite, de la proposition énoncée ci-dessus afin d'étendre dans un premier temps la mesure à l'anneau d'ensembles de toutes les unions d'intervalles bornés. L'intérêt des semi-anneaux apparaît nettement ici, car les énoncés qui précèdent, complétés par le [[théorème d'extension de Carathéodory]] pour l'étape suivante de l'extension, montrent que la &sigma;-additivité de la mesure découle ''in fine'' d'une vérification de &sigma;-additivité où on peut se limiter à manipuler des pavés.

On trouvera ci-dessous en boîte déroulante le détail de cette vérification<ref>{{Ouvrage|prénom1=Achim|nom1=Klenke|titre=Probability theory, a comprehensive course|éditeur=Springer|année=2008|passage=25-26|isbn=978-1-84800-047-6}}.</ref>, qui n'est pas triviale et fournit un exemple de manipulations sur un semi-anneau.

{{Boîte déroulante début|titre=Preuve que le volume est sigma-additif sur le semi-anneau des produits d'intervalles bornés}}

Notons <math>\mathcal{S}</math> le semi-anneau des produits d'intervalles bornés, définit une mesure sur ce semi-anneau.

On montre d'abord que <math>\mu</math> est additive, au sens suivant : si <math>P</math> est un pavé dans <math>\mathcal{S}</math> et <math>P</math> est réunion disjointe d'une famille finie <math>(P_i)</math> où chaque <math>P_i</math> est lui aussi dans <math>\mathcal{S}</math>, le volume du gros pavé <math>P</math> est somme des volumes des <math>P_i</math><ref>J.H. Williamson juge ce point {{citation|élémentaire}} ({{citation étrangère|langue=en|elementary}}) mais aussi {{citation|plutôt ennuyeux}} ({{citation étrangère|langue=en|rather tedious}}) {{Ouvrage|titre=Lebesgue integration|éditeur=Holt, Rinehart and Winston|année=1962|passage=18}}. Pour Frank Jones, écrire les détails est {{citation|extrêmement ennuyeux}} ({{citation étrangère|langue=en|extremely tedious}}) {{Ouvrage|langue=en|titre=Lebesgue integration on Euclidean space|lieu=Boston/London|éditeur=Jones & Bartlett Publishers|année=2001|pages totales=588|passage=28|isbn=0-7637-1708-8|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=3U7tresTD1AC&printsec=frontcover}}. On pourra se faire une opinion en écrivant soi-même ces détails ou en les lisant dans {{Ouvrage|langue=de|[[Heinz Bauer]]
|titre=Mass- und Integrationstheorie|lieu=Berlin|éditeur=[[Walter de Gruyter]]|collection=De Gruyter Lehrbuch|année=1992|numéro d'édition=2|pages totales=260|passage=18-19|isbn=3-11-013626-0}} ou {{Ouvrage|prénom1=Allan|nom1=Weir|titre=Lebesgue integration and measure|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=1973|passage=71-73|isbn=}}.</ref>.

On doit ensuite montrer que <math>\mu</math> est une mesure, c'est-à-dire qu'elle est &sigma;-additive. Pour le prouver, soit donc un pavé <math>P</math> élément de <math>\mathcal{S}</math>, et supposons qu'on dispose d'une partition de <math>P</math> comme union disjointe dénombrable de pavés de <math>\mathcal{S}</math> :

<center><math>P=\bigcup_{i=1}^{+\infty}P_i</math>.</center>

On doit montrer l'égalité :

<center><math>\mu(P)=\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(P_i)</math>.</center>

L'inégalité dans un sens ne demande pas d'idée particulièrement ingénieuse. Pour <math>r</math> fixé, la différence <math>P\setminus(P_1\cup\cdots\cup P_r)</math> est dans l'anneau engendré par <math>\mathcal{S}</math>, donc est réunion disjointe finie d'éléments <math>F_1</math>,...,<math>F_s</math> de <math>\mathcal{S}</math>. Le pavé <math>P</math> est donc réunion disjointe finie de pavés dont tous les <math>P_i</math>  pour <math>i</math> variant de 1 à <math>r</math> ; la positivité et l'additivité de <math>\mu</math> entraînent alors :

<center><math>\sum_{i=1}^{r}\mu(P_i)\leq\mu(P)</math>.</center>

En faisant tendre <math>r</math> vers l'infini on conclut :

<center><math>\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(P_i)\leq\mu(P)</math>.</center>

Pour l'inégalité réciproque, on commence par fixer un <math>\epsilon >0</math> et inclure chaque <math>P_i</math> dans un pavé <math>Q_i</math> produit d'intervalles ouverts dont le volume soit inférieur ou égal à <math>\mu(P_i)+\epsilon/2^i</math>. De la même façon, on considère un pavé <math>Q</math> produit d'intervalles fermés, contenu dans <math>P</math> et dont le volume soit supérieur ou égal à <math>\mu(P)-\epsilon</math>.

Le pavé Q est [[espace compact|compact]] comme fermé borné de <math>\R^n</math> et les ouverts <math>Q_i</math> le recouvrent. On peut extraire une sous-famille <math>(Q_{i})_{i\in I_0}</math> qui le recouvre toujours, mais à l'ensemble d'indices <math>I_0</math> fini.

Par additivité finie et positivité de <math>\mu</math> sur le semi-anneau <math>\mathcal{S}</math>, l'inclusion ensembliste suivante (dans laquelle la réunion n'a aucune raison d'être disjointe et où n'interviennent qu'un nombre fini d'éléments du semi-anneau) :

<center><math>Q\subset\bigcup_{i\in I_0}Q_i</math></center>

fournit l'inégalité :

<center><math>\mu(Q)\leq\sum_{i\in I_0}\mu(Q_i)</math></center>

et ''a fortiori'' :

<center><math>\mu(Q)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(Q_i)</math></center>

qu'on peut incorporer dans la chaîne d'inégalités :

<center><math>\mu(P)-\epsilon\leq\mu(Q)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(Q_i)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}(\mu(P_i)+{\epsilon\over2^i})=\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(P_i)+\epsilon.</math></center>

Il n'y a plus qu'à faire tendre <math>\epsilon</math> vers 0 pour conclure.
{{Boîte déroulante fin}}

===Construction de mesures sur la droite réelle par le procédé de [[Thomas Joannes Stieltjes|Stieltjes]] ===
Toute [[mesure localement finie]] sur la droite réelle peut se construire par un procédé généralisant celui exposé ci-avant. Il est opportun d'utiliser le semi-anneau des intervalles vides ou de la forme <math>]a,b]</math> (<math>a<b</math>).

Pour toute fonction croissante de <math>\R</math> vers <math>\R</math>, [[continuité à droite|continue à droite]], on construit une mesure sur ce semi-anneau en posant :

<center><math>\mu(]a,b])=F(b)-F(a),</math></center>

mesure qu'il est ensuite possible d'étendre à la tribu borélienne de <math>\R</math><ref>Klenke, op. cit., {{p.}}26-28.</ref>. Dans le cas particulier des [[mesure de probabilité|mesures de probabilité]], <math>F</math> est appelée [[fonction de répartition]] de la mesure.

La méthode se généralise à toute dimension finie<ref>Voir par exemple {{Ouvrage|prénom1=Malempati Madhusudana|nom1=Rao|titre=Measure theory and integration|éditeur=[[CRC Press]]|année=2004|passage=106-107|isbn=0-8247-5401-8}}.</ref>. <!-- Le produit d'espaces probabilisés serait sans doute un bon exemple, en trouvant une source qui mette en avant les semi-anneaux ou semi-algèbres, ça existe sûrement tout de même -->

== Références ==
{{références}}

{{Portail|Mathématiques}}

[[Catégorie:Système d'ensembles en théorie de la mesure]]