Voir la source de Sextuplet de nombres premiers

{{Article général|Suite de nombres premiers}}
{{ébauche|mathématiques}}Un '''sextuplet de nombres premiers''' est, au sens le plus large, un [[n-uplet|{{mvar|n}}-uplet]] <math>(p_1, p_2, p_3, p_4, p_5, p_6)</math> de six [[Nombre premier|nombres premiers]].

Les recherches en [[théorie des nombres]] sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des sextuplets particuliers, dont les termes (premiers) satisfont des conditions précises.

Les ''sextuplets de nombres premiers'' les plus étudiés regroupent des nombres premiers {{Souligner|successifs}}, c'est-à-dire séparés par cinq distances « minimales ». Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est possible de rassembler ces nombres successifs six par six (jusqu'à l'infini, justement) sans autre critère (que d'être successifs).

== Écarts minimaux constants ==
En pratique, la notion de ''sextuplet de nombres premiers'' habituellement rencontrée dans la littérature mathématique concerne les sextuplets de nombres premiers distants ''d'écarts minimaux constants'' ; ils sont de la forme <math>(p-4, p, p+2, p+6, p+8, p+12)</math> (où tous les termes sont premiers)<ref group="Note">Le seul sextuplet de la forme (p, p+2, p+6, p+8, p+12, p+14) où tous les termes sont premiers est (5, 7, 11, 13, 17, 19). En effet : (3, 5, 9, 11, 13, 15) a deux termes composés. Si p = 5k où k ≥ 2, alors p est composé. Si p = 5k+1 où k ≥ 1, alors p+14 = 5k+15 = 5(k+3) est composé. Si p = 5k+2 où k ≥ 1, alors p+8 = 5k+10 = 5(k+2) est composé. Si p = 5k+3 où k ≥ 1, alors p+2 = 5k+5 = 5(k+1) et p+12 = 5k+15 = 5(k+3) sont composés. Si p = 5k+4 où k ≥ 1, alors p+6 = 5k+10 = 5(k+2) est composé.</ref>.

Un tel sextuplet est donc issu d'un [[quadruplet de nombres premiers]] d'écarts minimaux constants, <math>(p, p+2, p+6, p+8)</math>, auquel on a ajouté deux termes (premiers aussi) :
* à droite, <math>p+12</math> ;
* à gauche, <math>p-4</math>.

=== Propriétés ===
Un sextuplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants contient :
* deux paires de [[nombres premiers jumeaux]] proches : <math>(p, p+2)</math> et <math>(p+6, p+8) \ ;</math>
* un [[quadruplet de nombres premiers]] d'écarts minimaux constants : <math>(p, p+2, p+6, p+8) \ ;</math>
* quatre [[Triplet de nombres premiers|triplets de nombres premiers]] d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : <math>(p-4, p, p+2)</math>, <math>(p, p+2, p+6)</math>, <math>(p+2, p+6, p+8)</math>, <math>(p+6, p+8, p+12) \ ;</math>
* deux [[Quintuplet de nombres premiers|quintuplets de nombres premiers]] d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : <math>(p-4, p, p+2, p+6, p+8)</math> et <math>(p, p+2, p+6, p+8, p+12).</math>

=== Liste ===
Les cinq plus petits sextuplets de nombres premiers sont :
* {{math|(7, 11, 13, 17, 19, 23)}} ;
* {{math|(97, 101, 103, 107, 109, 113)}} ;
* {{nowrap|{{math|(16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073)}} ;}}
* {{nowrap|{{math|(19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433)}} ;}}
* {{nowrap|{{math|(43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793)}}.}}
(De {{math|50 001}} à {{math|100 000}}, aucune occurrence.)

=== Dénombrement ===
On ignore s'il existe une infinité de tels sextuplets.

Démontrer la [[conjecture des nombres premiers jumeaux]] ne démontrerait pas qu'il existe aussi une infinité de sextuplets de nombres premiers, ni même une infinité de [[Triplet de nombres premiers|triplets de nombres premiers]].

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Prime quadruplet|518521873}}
* {{en}} Suite {{OEIS2C|id=A022008}} de l'[[OEIS]].

=== Notes ===
<references group="Note" />

=== Références ===
{{À compléter}}{{Références}}{{Palette|Classes de nombres premiers}}
{{Portail|Nombre}}

[[Catégorie:Nombre premier]]

[[en:Prime quadruplet#Prime sextuplets]]