Voir la source de Sinus (mathématiques)

{{voir homonymes|Sinus}}

{{Infobox Fonction mathématique
| nom = Fonction sinus
| légende = [[Représentation graphique]] de la fonction sinus.
| notation = <math>\sin</math>
| réciproque = <math>\arcsin</math>
| dérivée = <math>\cos</math>
| primitives = <math>-\cos + \text{ cte}</math>
| ensemble de définition = <math>\R</math>
| ensemble image = <math>[-1;1]</math>
| parité = impaire
| périodicité = <math>2\pi</math>
| zéro = 0
| maxima = 1
| minima = -1
| zéros = <math>k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| points critiques = <math>\frac{\pi}{2}+ k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| points d'inflexion = <math>k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
}}

En [[géométrie]], le '''sinus''' d'un [[angle]] dans un [[triangle rectangle]] est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'[[hypoténuse]]. La notion s'étend aussi à tout angle [[Angle#Angle géométrique|géométrique]] (compris entre 0 et 180°). Dans cette acception, le sinus est un nombre compris entre 0 et 1. Si l'on introduit une notion d'orientation, les angles peuvent prendre n'importe quelle valeur positive ou négative, et le sinus est un nombre compris entre −1 et 1. Le sinus d'un angle {{math|''α''}} est noté {{math|sin(''α'')}} ou simplement {{math|sin ''α''}}<ref>La notation avec parenthèses est toujours correcte. La notation plus concise n'est acceptable que si l'argument est simple : on peut écrire {{math|sin(''α'')}} ou {{math|sin ''α''}}, mais obligatoirement {{math|sin(2''α'') et {{math|sin(''α'' + ''β'')}}}}.</ref>.

En [[analyse (mathématiques)|analyse]], la '''fonction sinus''' est une [[fonction (mathématiques)|fonction]] de la variable réelle qui, à chaque réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α [[radian]]s. C'est une fonction [[Parité d'une fonction|impaire]] et [[fonction périodique|périodique]]. Les [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] peuvent se définir ainsi géométriquement, mais les définitions plus modernes les caractérisent par des [[Série entière|séries entières]] ou comme des solutions d'[[équations différentielles]] particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux [[nombres complexes]].

La fonction sinus est utilisée couramment pour [[modèle mathématique|modéliser]] des [[Phénomène périodique|phénomènes périodiques]] comme les [[Son (physique)|ondes sonores]] ou [[Onde électromagnétique|lumineuses]] ou encore les variations de température au cours de l'année.

== Origine du mot ==
Le mot ''sinus'' est un mot latin désignant, entre autres, une cavité ou une poche<ref>On trouve ce sens en anatomie, par exemple pour le [[sinus maxillaire]]</ref>. C'est par une erreur de traduction qu'il a été attribué à la longueur d'un des côtés du triangle rectangle. La confusion prend son origine dans le mot {{Lien|langue=en|trad=Jyā, koti-jyā and utkrama-jyā|fr=Jyā, koti-jyā et utkrama-jyā|texte=''jyā''}}, qui signifie "corde", utilisé en [[astronomie indienne]] pendant la période [[Empire Gupta|Gupta]] (dans le traité [[Surya Siddhanta]]).

Là où les géomètres grecs, tels [[Claude Ptolémée]], avaient dressé des [[Construction des tables trigonométriques|tables trigonométriques]] en calculant la longueur d'une corde sous-tendant un arc, les mathématiciens indiens décidèrent d'utiliser la demi-corde, soit ''ardha-jyās'' (ou ''ardha-jiva'' en [[sanskrit]]). Le mot fut bientôt abrégé en ''jya'' ou ''jiva''.

Au {{s-|VIII}}, les Arabes traduisirent le mot ''jiva'' désignant la corde entière en ''watar'', mais gardèrent le mot indien ''jiva'' pour désigner la demi-corde, et l'arabisèrent sous la forme {{Langue|rtl|ar|جِيبٌ}} ''jib'' ou ''jaib''.

Vers le {{s-|XII}} les traducteurs latins des travaux arabes, prenant le mot {{Langue|rtl|ar|جَيْبٌ}} ''jaib'' pour son homonyme désignant une cavité ou un pli dans un vêtement, le traduisirent par le mot latin ''sinus''<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Carl B.|nom1=Boyer|lien auteur1=Carl Benjamin Boyer|prénom2=Uta|nom2=Merzbach|lien auteur2=Uta Merzbach|titre=A History of Mathematics|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2011|numéro d'édition=3|année première édition=1968|pages totales=688|isbn=978-0-470-63056-3|lire en ligne={{Google Livres|bR9HAAAAQBAJ|page autre=RA2-PT153}}|numéro chapitre=11}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|langue originale=ru-Latn|auteur1=B.A. Rosenfeld|titre=A  history of non-euclidean geometry, evolution of the concept of a geometrric space|lieu=New York/Berlin/Heidelberg|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|année=1988|pages totales=471|passage=11|isbn=3-540-96458-4}}</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Alain Rey|titre=Dictionnaire historique de la langue française|tome=M-Z|éditeur=Le Robert|année=1992|pages totales=2383|passage=1951|isbn=2-85036-187-9}}.</ref>.

== Sinus d'un angle ==
=== Sinus d'un angle géométrique ===
==== Dans un triangle rectangle ====
[[Fichier:Sinus de alpha.svg|vignette|Sinus = {{Sfrac|côté opposé|hypoténuse|texhtml=non}}.]]
Le sinus d'un angle aigu non orienté de mesure {{math|''α''}} (en degrés entre 0 et 90°, en radians entre 0 et {{sfrac|π|2}}, en [[grade (angle)|grades]] entre 0 et 100 gr) est un [[nombre réel]] positif compris entre 0 et 1. Il peut se définir dans un [[triangle rectangle]] arbitraire dont l'un des angles autre que l'angle droit a pour mesure {{math|''α''}}.

Les côtés du triangle rectangle sont appelés :
* l’''[[hypoténuse]]'' : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle de mesure {{math|''α''}} et le côté le plus long du triangle ;
* le ''côté opposé'' : c'est le côté opposé à l'angle de mesure {{math|''α''}} qui nous intéresse ;
* le ''côté adjacent'' : c'est le côté qui est une jambe de l'angle de mesure {{math|''α''}}, qui n'est pas l'[[hypoténuse]].

On notera :
: ''h'' : la longueur de l'hypoténuse ;
: ''o'' : la longueur du côté opposé.
Alors :
:<math>\sin\alpha=\frac \mathrm{c\hat{o}t\acute{e}\;oppos\acute{e}} \mathrm{hypot\acute{e}nuse} = \frac oh</math>.

Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi avec un angle de mesure {{math|''α''}}, puisque tous ces triangles rectangles sont [[triangles semblables|semblables]].

==== Dans un triangle quelconque ====
Dans un triangle quelconque, le sinus de l'angle ABC est égal au rapport de la hauteur issue de A par la longueur BA. Il est égal aussi au rapport de la hauteur issue de C par la longueur BC :
{{retrait|<math>\sin\widehat{ABC}=\frac{h_A}{BA}=\frac{h_C}{BC}</math>.}}

Le sinus d'un [[angle obtus]] est ainsi égal au sinus de l'angle supplémentaire.

La connaissance du sinus d'un angle permet de calculer l'aire d'un triangle :
{{retrait|<math>Aire(ABC) =\frac12 BA \times BC\times \sin\widehat{ABC}</math>.}}

Réciproquement, le sinus d'un angle peut être calculé dès que l'on connait les côtés et l'aire du triangle (l'[[aire d'un triangle]] peut se calculer par la [[formule de Héron]], ou grâce au [[produit vectoriel]]) :
{{retrait|<math>\sin\widehat{ABC}=\frac{2\,Aire(ABC)}{BA\times BC}</math>.}}

Les sinus des trois angles d'un triangle sont liés par la [[loi des sinus]]. Si l'on note {{mvar|a}}, {{mvar|b}} et {{mvar|c}} les côtés opposés aux sommets A, B et C, et R le rayon du [[cercle circonscrit]] au triangle, on a :
{{retrait|<math>\frac a{\sin\hat A}=\frac b{\sin\hat B}=\frac c{\sin\hat C}=2R</math>.}}

==== Repères historiques ====
Des tables trigonométriques sont utilisées dans l'antiquité, en [[Mésopotamie]], dans l'empire [[Grèce antique|grec]], et dans la [[péninsule indienne]], en [[trigonométrie sphérique]] pour les calculs astronomiques. Pour eux, il s'agit de longueurs associées à des arcs de cercles dont le rayon est donné. Les premières tables utilisent la [[Cercle#Définitions|corde]] d'un arc de cercle. L'une de ces tables a été calculée par [[Hipparque (astronome)|Hipparque]] au {{-s-|II|e}}<ref name=Debarnot>{{chapitre|auteur1=Marie-Thérèse Debarnot|titre chapitre=Trigonométrie|directeur1=Roshdi Rashed|titre ouvrage=Histoire des sciences arabes|sous-titre ouvrage=Mathématiques et physique|tome=2|année=1997}}, {{p.|163}}</ref>, mais aucun exemplaire ne nous est parvenu. Celle de [[Claude Ptolémée]] figure dans son ''[[Almageste]]'' et son élaboration a pu s'inspirer de celle d'Hipparque. Les Indiens commencent par travailler eux aussi sur les tables de cordes qu'ils appellent ''jya'' ou ''jiva''. Ils préfèrent ensuite travailler sur une nouvelle quantité, plus simple pour les calculs, qui correspond à la demi-corde de l'arc double. Ils appellent cette quantité ''ardha-jya'', soit la demi-corde, puis progressivement, le terme de ''jya'' s'impose pour la demi-corde de l'arc double. Le terme est alors repris par les arabes qui le translittèrent en ''jiba'' qui évolue en ''jaib''. Lors de la traduction des écrits arabes par [[Gérard de Crémone]], ce terme subit une dernière modification : Gérard de Crémone le confond avec un terme arabe, de même consonance, qui a le sens de « sein », « anse » ou « cavité », et le traduit donc par le mot latin correspondant ''sinus''<ref>{{Article |langue=en |auteur1=Bibhutibhusan Datta|auteur2=Avadesh Narayan Singh |titre=Hindu trigonometry |périodique=Indian Journal of History of Science |numéro=18 (1) |date=1983 |pages=38-109 |lire en ligne=http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJHS/Vol18_1_5_BDatta.pdf |consulté le=17 mars 2017 }} , {{p.|40}}</ref>.

Les premières tables de sinus connues sont celles des Siddhantas, notamment le [[Surya Siddhanta]] (fin du {{s-|IV}}-début du {{s-|V}})<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Uta Merzbach|Uta C. Merzbach]]|auteur2=[[Carl Benjamin Boyer|Carl B. Boyer]]|titre=A History of Mathematics|lieu=Hoboken|éditeur=[[John Wiley & Sons]]|année=2011|numéro d'édition=3|année première édition=1968|pages totales=688|isbn=978-0-470-63056-3|lire en ligne={{Google Livres|bR9HAAAAQBAJ|page=RA2-PT127}}|numéro chapitre=10|titre chapitre=Ancient and Medieval India, § The siddhantas}}.</ref> et celles d'[[Aryabhata]] au {{s|VI}}. Aryabatha part du principe que, pour la {{24e}} partie d'un quart de cercle, on peut confondre la [[longueur d'un arc]] et son sinus. Le tiers d'un quart de cercle correspond à un angle de {{unité|30|°}}, dont le sinus est évident : un demi-rayon. Pour obtenir ensuite la {{24e}} partie du quart de cercle, il suffit de diviser 3 fois par 2 l'angle initial. Aryabhata est capable, grâce au [[théorème de Pythagore]], de calculer le sinus de l'angle moitié. Il prend un cercle de rayon {{unité|3438}}, ce qui conduit, avec la valeur de π utilisée à l'époque ({{unité|3.1416}}) à un cercle de circonférence {{unité|21600}} (on remarque qu'un angle plein correspond à {{unité|360|°}} soit {{unité|21600}} minutes). Il donne, pour cette valeur du rayon, les 24 valeurs des sinus des arcs de longueurs {{math|n × 225}}<ref>{{chapitre|auteur1=[[Kim Plofker]]|titre chapitre=Mathématiques in India|directeur1= Victor J. Katz|titre ouvrage=The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam|sous-titre ouvrage=A sourcebook|éditeur=Princeton University Press|année=2007}}, {{p.|407-409}}</ref>. Les Indiens fournissent également les tables de sinus pour des cercles de rayon 60, 150, 120<ref name=Debarnot/>... Cette habitude de construire des tables de sinus correspondant à un cercle dont le rayon, fixé arbitrairement, est appelé «sinus total»<ref>{{chapitre|auteur1=Jean-Pierre Friedelmeyer|titre chapitre=Contexte et raisons d'une mirifique invention|directeur1=[[Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques|IREM]]|titre ouvrage=Histoire des logarithmes|éditeur=Ellipses|année=2006|isbn=9782729830274}}, {{p.|43}}</ref>, perdure en Europe encore jusqu'à la fin du {{s-|XVIII|e}}<ref>Voir par exemple la ''[https://books.google.fr/books?id=bltDAAAAcAAJ&hl=fr&source=gbs_navlinks_s Table trigonométrique décimale]'' de [[Jean-Charles de Borda]] où est expliqué {{p.|40}} que logarithme décimal du centième d'un quart de cercle (soit 1 grade) vaut 8,196111, ce qui correspond à un cercle de rayon 10{{exp|10}}, et qui évalue [https://books.google.fr/books?id=bltDAAAAcAAJ&pg=PA29#v=onepage&q&f=false {{p.|29}}], le logarithme décimal du sinus de 69,48 grades à environ 9,948 soit un sinus de {{unité|8871560120}}.</ref>.

=== Sinus d'un angle orienté ===
[[Fichier:Unit circle sinus.svg|vignette|{{math|sin(''α'')}} est égal à l'ordonnée du point du cercle situé sur la demi-droite faisant un angle α avec la demi-droite Ox (ordonnée indiquée en rouge).]]

Le sinus d'un [[Angle#Angles orientés dans le plan|angle orienté]] de mesure {{math|''α''}} est un nombre réel compris entre -1 et 1. Ici le plan est orienté dans le [[sens trigonométrique]].

Le [[cercle unité]] est le cercle de rayon 1, centré à l'origine {{math|(0, 0)}} d'un système de [[coordonnées cartésiennes]].

Considérons l'intersection entre une [[demi-droite]] issue de l'origine qui fait un angle de mesure {{math|''α''}} avec le demi-axe {{math|(O''x'')}}, et le cercle unité. Alors la composante verticale de cette intersection est égale à {{math|sin(''α'')}}. Cette définition coïncide avec la précédente quand {{math|''α''}} est la mesure d'un angle saillant, orienté dans le sens positif, et on déduit celle-ci de la précédente en remarquant qu'un changement d'orientation de l'angle induit un changement de signe du sinus.

Il est possible de déterminer directement, à l'aide d'un [[déterminant (mathématiques)|déterminant]], le sinus de l'angle orienté entre deux vecteurs dont on connait les coordonnées : pour <math>\vec u(x,y)</math> et <math>\vec v(x',y')</math>, on a :
{{retrait|<math>\sin\widehat{\vec u, \vec v}=\frac{\det(\vec u, \vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|} = \frac{xy'-yx'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}}</math>.}}
Une telle égalité peut se démontrer si l'on considère comme acquise la [[formule trigonométrique]] du sinus d'une différence. Il suffit de poser
{{retrait|<math>x=r\cos \theta \quad y=r\sin \theta \quad x'=r'\cos \theta' \quad y'=r'\sin \theta'</math>}}
et de remarquer que
{{retrait|<math>\frac{\det(\vec u, \vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}=\frac{r\cos \theta\, r'\sin \theta' - r\sin \theta\,r'\cos \theta'}{rr'}=\sin(\theta'-\theta)= \sin(\widehat{\vec u, \vec v})</math>.}}

== Fonction sinus ==
[[Fichier:Sin drawing process.gif|vignette|upright=2|Animation montrant le graphique de y = sin(x) (où x est l'angle en radians) sur le cercle unité.]]
=== Définitions ===
==== À partir du cercle trigonométrique ====
Si les angles orientés sont mesurés en radians, la fonction qui, au réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α radians est appelée la fonction sinus.

L'observation des propriétés géométriques des angles orientés permettent de déduire les identités
{{math|sin(−''α'') {{=}} −sin(''α'')}} (la fonction sinus est donc [[parité d'une fonction|impaire]]), {{math|sin(''α'' + π) {{=}} −sin(''α'')}}, et {{math|sin(''α'' + 2π) {{=}} sin(''α'')}} (la fonction sinus est donc [[fonction périodique|périodique]] de période 2π).

==== À partir des séries entières ====
En [[analyse (mathématiques)|analyse]], la fonction {{math|sin}} se définit sur l'ensemble ℝ des [[nombre réel|nombres réels]] par une [[Série (mathématiques)|série]] dont on montre qu'elle converge sur tout ℝ<ref>Voir par exemple {{Lien web|auteur=F. Dupré|url= https://mathsrombaldi.pagesperso-orange.fr/L1L2/Trigonometrie.pdf|titre=Préparation à l'agrégation interne - Trigonométrie}}.</ref> :
:<math>\sin x=x - \frac{x^3}{3!}  + \frac{x^5}{5!} + \cdots + (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} +\cdots = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty}{(-1)^n}\frac{{x^{2n+1} }}{{(2n+1)!}}</math> ;
{{refsou|date=janvier 2018|on montre également que cette définition coïncide avec la précédente}} quand les angles sont mesurés en radians.
 
La périodicité, la [[dérivabilité]] et la [[Continuité (mathématiques)|continuité]] s'établissent alors par la théorie des [[Série (mathématiques)|séries]], de même que les [[Formule d'Euler|formules d'Euler]] en [[analyse complexe]] reliant les fonctions trigonométriques à la [[fonction exponentielle]], ainsi que l'[[identité d'Euler]]. Cette définition est souvent utilisée comme point de départ dans les traités rigoureux d'[[analyse (mathématiques)|analyse]] et permet la [[Pi#Autres définitions|définition du nombre {{mvar|π}}]].

La définition utilisant les séries permet de prolonger la fonction sinus en une [[fonction analytique]] dans tout le [[plan complexe]].

==== Comme solution d'une [[équation différentielle]] ====
La série entière précédente est l'unique solution du [[problème de Cauchy]] :
:<math>y'' = -y,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1</math>,
qui constitue donc une définition équivalente de la fonction sinus.

=== Propriétés ===
==== Réciproque ====
[[Fichier:Arcsine.svg|vignette|Représentation graphique de la fonction arc sinus.]]
Les fonctions trigonométriques ne sont pas [[bijection|bijectives]] (ni même [[Injection (mathématiques)|injectives]], puisqu'elles sont [[Fonction périodique|périodiques]]) ; elles n'admettent donc pas de [[bijection réciproque|bijections réciproques]]. En les [[Application (mathématiques)#Opération sur les applications|restreignant]] à certains [[intervalle (mathématiques)|intervalles]] de [[Ensemble de définition|départ]] et d'[[Ensemble d'arrivée|arrivée]], les fonctions trigonométriques peuvent réaliser des bijections.

L'application réciproque [[Arc sinus|arcsin]] est définie par :

pour tous réels {{math|''x''}} et {{math|''y''}} :
:<math>y=\arcsin x</math>
si et seulement si
:<math>\sin y=x\text{ et }-\frac\pi2\le y\le\frac{\pi}2</math>.

La fonction {{math|arcsin}} est donc une bijection de {{math|[–1, 1]}} sur {{math|[–π/2, π/2]}} et vérifie
:<math>\forall x\in[-1,1]\quad\sin(\arcsin x)=x</math>
et
:<math>\forall y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\quad\arcsin(\sin y)=y</math>.

==== Dérivée ====
La [[dérivée]] de la fonction sinus est la fonction [[cosinus]] :

{{retrait|<math>\sin'=\cos</math>.}}

Cette propriété est immédiate avec les définitions à partir des séries entières des fonctions sinus et cosinus. On en déduit en particulier que
{{retrait|<math>\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}\theta=\sin'0=\cos0=1</math>.}}

On pourra également trouver une justification géométrique de cette limite (cf. [[#Limites|§ « Limites »]]) dans :  {{Voir autre projet|contenu=[[v:Fonctions trigonométriques/Étude de la fonction sinus|cette page de la leçon « Fonctions trigonométriques »]] sur [[Wikiversité]].|projet=Wikiversité}}

==== Intégrale ====
Une [[primitive]] de {{math|sin}} est {{math|–cos}}, ce qui s'écrit :
{{retrait|<math>-\cos'=\sin.</math>}}
[[Théorème fondamental de l'analyse#Premier théorème|Autrement dit]] : pour tout {{math|''x''{{ind|0}}}},
:<math>\int_{x_0}^x\sin t~{\rm d}t=-\cos x+C</math>,
où <math>C=\cos x_0</math> est la « constante d'intégration ».

==== Limites ====
{{article connexe|Sinus cardinal}}

* <math>\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}\theta=1</math> {{Supra|Dérivée}}.{{Voir autre projet|contenu=Pour une justification géométrique, voir par exemple [[v:Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires#Propriétés sur les limites|cette page de la leçon « Fonctions trigonométriques »]] sur Wikiversité.|projet=Wikiversité}}
* <math>\lim_{\theta\to+\infty}\frac{\sin\theta}\theta=0</math>.{{Voir autre projet|contenu=Cette application classique du [[théorème des gendarmes]] est [[v:Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre|détaillée sur Wikiversité]].|projet=Wikiversité}}

==== Valeurs particulières ====
[[Fichier:Sin.svg|vignette|upright=2|Représentation graphique de la fonction sinus.]]
[[Image:Unit circle angles color.svg|vignette|upright=2|Quelques angles communs (''θ'') sur le [[cercle unité]]. Les angles sont indiqués en degrés et en [[radian]]s, ainsi que leur intersection avec le cercle unité (cos&nbsp;''θ'', '''sin&nbsp;''θ''''').]]Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le [[théorème de Wantzel]] s'applique ; pour plus de détails, voir l'article [[Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques]].
{| class="wikitable"
|-----
! colspan="3" |''x'' (angle)
! colspan="2" | sin ''x''
! colspan="3" |''y'' (angle supplémentaire)
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Degré (angle)|Degrés]]
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Radian]]s
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Grade (angle)|Grades]]
| style="background:#efefef;" align="Center" | Exacte
| style="background:#efefef;" align="Center" | Décimale
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Degré (angle)|Degrés]]
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Radian]]s
| style="background:#efefef;" align="Center" |[[Grade (angle)|Grades]]
|-----
| align="Center" | 0°
| align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" | 0
| align="Center" | 0
| align="Center" | 180°
| align="Center" |<math>\pi</math>
| align="Center" | 200<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| align="Center" | 0,258819045102521
| align="Center" | 165°
| align="Center" |<math>\frac{11\pi}{12}</math>
| align="Center" | 183{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 18°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{10}</math>
| align="Center" | 20<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{5}-1}{4}</math>
| align="Center" | 0,309016994374947
| align="Center" | 162°
| align="Center" |<math>\frac{9\pi}{10}</math>
| align="Center" | 180<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{1}{2}</math>
| align="Center" | 0,5
| align="Center" | 150°
| align="Center" |<math>\frac{5\pi}{6}</math>
| align="Center" | 166{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 36°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{5}</math>
| align="Center" | 40<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
| align="Center" | 0,587785252292
| align="Center" | 144°
| align="Center" |<math>\frac{4\pi}{5}</math>
| align="Center" | 160<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math>
| align="Center" | 0,707106781186548
| align="Center" | 135°
| align="Center" |<math>\frac{3\pi}4</math>
| align="Center" | 150<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 54°
| align="Center" |<math>\frac{3\pi}{10}</math>
| align="Center" | 60<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{1+\sqrt{5}}{4}</math>
| align="Center" | 0,809016994374947
| align="Center" | 126°
| align="Center" |<math>\frac{7\pi}{10}</math>
| align="Center" | 140<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| align="Center" | 0,866025403784439
| align="Center" | 120°
| align="Center" |<math>\frac{2\pi}3</math>
| align="Center" | 133{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 72°
| align="Center" |<math>\frac{2\pi}{5}</math>
| align="Center" | 80<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}</math>
| align="Center" | 0,951056516295
| align="Center" | 108°
| align="Center" |<math>\frac{3\pi}5</math>
| align="Center" | 120<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" |<math>\frac{5\pi}{12}</math>
| align="Center" | 83{{frac|1|3}}<sup>g</sup>
| align="Center" |<math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| align="Center" | 0,965925826289068
| align="Center" | 105°
| align="Center" |<math>\frac{7\pi}{12}</math>
| align="Center" | 116{{frac|2|3}}<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup>
| align="Center" | 1
| align="Center" | 1
| align="Center" | 90°
| align="Center" |<math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup>
|}

=== Relation avec les nombres complexes ===
[[Fichier:Complex picture.svg|vignette|Une illustration du [[plan complexe]]. Les [[nombre imaginaire|nombres imaginaires]] se trouvent sur l'[[axe des ordonnées]].]]
Le sinus est utilisé pour déterminer la [[partie imaginaire]] d'un [[nombre complexe]] {{math|''z''}} donné en [[coordonnées polaires]], par son [[Module d'un nombre complexe|module]] {{math|''r''}} et son [[Argument d'un nombre complexe|argument]] {{math|φ}} :

{{retrait|<math>z=r(\cos\varphi+{\rm i}\sin\varphi)</math>}}
où {{math|i}} désigne l'[[unité imaginaire]].

La partie imaginaire de {{math|''z''}} est
{{retrait|<math>{\rm Im}(z)=r\sin\varphi.</math>}}

En particulier
: <math>\sin\varphi= \operatorname{Im}({\rm e}^{{\rm i}\varphi}).</math>

==== Sinus avec un argument complexe ====
[[Fichier:ComplexPlot-Sin-z-,1024-.jpg|vignette|[[Coloration de régions]] de sin(z) quand les parties réelle et imaginaire de z sont comprises dans [–π, π]. La [[Luminosité (colorimétrie)|luminosité]] indique le module, la [[Saturation (colorimétrie)|saturation]] {{Comment|date=novembre 2013|représente}} la {{Quoi|date=novembre 2013|magnitude imaginaire et réelle}}.]]
[[Fichier:Sin z vector field 02 Pengo.svg|vignette|sin(z) comme un [[champ vectoriel]].]]

La [[#À partir des séries entières|définition de la fonction sinus comme série entière]] s'étend telle quelle à des arguments complexes {{math|''z''}} et donne une [[fonction entière]] :

: <math>\begin{align}
\sin z & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} \\
& = \frac{{\rm e}^{{\rm i}z}-{\rm e}^{-{\rm i}z}}{2{\rm i}}\, \\
& = \frac{\sinh \left({\rm i}z\right) }{\rm i}
\end{align}</math>
ou encore :
:<math>\sin({\rm i}z)={\rm i}\sinh z</math>,
où {{math|sinh}} désigne la fonction [[sinus hyperbolique]].

Il est parfois utile de l'exprimer en termes des [[Partie réelle|parties réelle]] et [[Partie imaginaire|imaginaire]] de son argument : pour {{math|''x''}} et {{math|''y''}} réels,

: <math>\begin{align}
\sin (x+{\rm i}y) 
&= \sin x \cos{\rm i}y + \cos x \sin{\rm i}y\\
&= \sin x \cosh y +{\rm i}\cos x \sinh y.
\end{align}</math>

===== Fraction partielle et développement en série du sinus complexe =====
Utilisant la technique de [[Développement en éléments simples en analyse complexe|développement en éléments simples]] d'une [[fonction méromorphe]], on peut trouver la [[Série (mathématiques)|série infinie]] :

:<math>\frac\pi{\sin \pi z}=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{z-n}=\frac1z-2z\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2-z^2}</math>.

On trouve de même

:<math>\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}=\sum_{-\infty}^\infty\frac1{(z-n)^2}</math>.

Utilisant la technique de [[Théorème de factorisation de Weierstrass|développement du produit]], on peut en tirer

:<math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n = 1}^\infty\left( 1- \frac{z^2}{n^2}\right)</math>.

===== Utilisation du sinus complexe =====
{{math|sin ''z''}} se trouve dans l'[[équation fonctionnelle]] pour la [[fonction gamma]], appelée [[formule des compléments]],
:<math>\Gamma(s)\Gamma(1-s)={\pi\over\sin\pi s},</math>

laquelle se trouve à son tour dans l'[[équation fonctionnelle]] pour la [[fonction zêta de Riemann]],
:<math>\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\pi s/2)\zeta(1-s)</math>.

Comme toute [[fonction holomorphe]], {{math|sin ''z''}} est [[Fonction harmonique|harmonique]], c'est-à-dire solution de l'[[équation de Laplace]] à deux dimensions :
:<math>\Delta u(x,y)=0</math>.

==== Graphiques complexes ====
<gallery caption="Fonction sinus dans le plan complexe">
Fichier:Complex sin real 01 Pengo.svg|Partie réelle
Fichier:Complex sin imag 01 Pengo.svg|Partie imaginaire
Fichier:Complex sin abs 01 Pengo.svg|Module
</gallery>

<gallery caption="Fonction arc sinus dans le plan complexe">
Fichier:Complex arcsin real 01 Pengo.svg|Partie réelle
Fichier:Complex arcsin imag 01 Pengo.svg|Partie imaginaire
Fichier:Complex arcsin abs 01 Pengo.svg|Module
</gallery>

== Calcul numérique ==
Il n'y a pas d'algorithme normalisé pour calculer le sinus ou le cosinus ; en particulier, la norme [[ IEEE 754-2008]] n'en fournit aucun<ref>{{article
 | périodique = Grand Challenges of Informatics
 | titre = Canwe trustfloating-pointnumbers?
 | prénom1 = Paul | nom1 = Zimmermann
 | date = 2006-09-20
 | pages = 14 
 | lire en ligne = https://web.archive.org/web/20110716205108/http://www.jaist.ac.jp/~bjorner/ae-is-budapest/talks/Sept20pm2_Zimmermann.pdf
}}</ref>. Le choix d'un algorithme est un compromis entre rapidité, précision et étendue des entrées, en particulier la possibilité de calculer la valeur pour de grands nombres (grands devant 2π radians ou 360 degrés). Le développement en série est très peu utilisé car peu performant.

Une méthode courante consiste à précalculer des valeurs et à les stocker dans une [[table de correspondance]] ; la valeur renvoyée par la fonction est alors la valeur correspondant à l'entrée la plus proche du tableau, ou bien l'[[interpolation linéaire]] des deux valeurs encadrant l'angle considéré. Cette méthode est très utilisée pour la génération d'[[Image de synthèse|images de synthèse]] 3D.

Les calculatrices scientifiques utilisent en général la méthode [[CORDIC]].

Dans un certain nombre de cas, les fonctions mises en œuvre expriment l'angle d'entrée sous la forme du nombre de demi-tours plutôt qu'en radians (un demi-tour valant π radians). En effet, π est un [[nombre irrationnel]], sa valeur présente donc des [[Erreur d'arrondi|erreurs d'arrondi]] quelle que soit la base ; on commet ainsi moins d'erreur en entrée en parlant de 0,25 demi-tour qu'en parlant de π/4 radians.

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{chapitre
 | titre chapitre = Trigonometric functions
 | numéro chapitre = 5
 | prénom1 = Jerrold | nom1 = Marsden | prénom2 = Alan | nom2 = Weinstein
 | titre ouvrage = Calculus I
 | langue = en
 | passage = 231-306
 | année = 1985
 | éditeur = Springer
 | lire en ligne = https://authors.library.caltech.edu/25030/10/08_Calc1_Chapter5w.pdf | consulté le = 2021-01-05
 | présentation en ligne = https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-5024-1
}}

=== Liens externes ===
{{Liens}}

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Sine|467259221|type=note}}
{{références}}

{{Palette|Trigonométrie}}
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Cercle]]
[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Fonction trigonométrique]]
[[Catégorie:Analyse harmonique]]
[[Catégorie:Fonction de référence]]