Voir la source de Sinus intégral

{{Ébauche|mathématiques}}
{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec la fonction [[sinus cardinal]].}}

{{Infobox Fonction mathématique
| nom = Sinus intégral
| légende = Tracé de <math>\operatorname{Si}x</math> pour <math>0 \leqslant x \leqslant 8 \pi</math>.
| notation = <math>\operatorname{Si}x</math>
| dérivée = <math>\frac{\sin x}{x} = \operatorname{sinc}x</math>
| primitives = <math>x \operatorname{Si}(x)+\cos(x)+ \text{cte}</math>
| ensemble de définition = <math>\R</math>
| ensemble image = <math></math>
| parité = impaire
| zéro = <math>0</math>
| plusinf = <math>\frac{\pi}{2}</math>
| moinsinf = <math>-\frac{\pi}{2}</math>
| asymptotes = <math>y=-\frac{\pi}{2}</math> et <math>y=\frac{\pi}{2}</math>
}}

La fonction '''sinus intégral''', notée <math>\operatorname{Si}</math>, est une [[fonction spéciale]] de la [[physique mathématique]] introduite par [[Augustin Fresnel|Fresnel]] dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie pour tout réel <math>x</math> par l'[[intégrale (mathématiques)|intégrale]] :
:<math>\operatorname{Si}(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t} \, \mathrm dt</math>
où la fonction <math>\sin</math> est la [[fonction sinus]].

== Historique ==
Cette fonction a été utilisée par [[Oscar Xavier Schlömilch]] (pour représenter certaines intégrales définies) avec la notation moderne <math>\operatorname{Si}(x)</math> dès 1846<ref>{{article|prénom=O.|nom=Schlömilch|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0033|titre=Note sur quelques intégrales définies|lien périodique=Journal für die reine und angewandte Mathematik|revue=J. reine angew. Math.|volume=33|numéro=316|année=1846}}</ref>. Une première tabulation de cette fonction (pour <math>x</math> entier de 1 à 10), due à [[Carl Anton Bretschneider]], a été republiée par Schlömilch en 1848<ref>{{de}} O. Schlömilch, ''Analytische Studien vol. 1'', 1848, [https://books.google.com/books?id=HPI3AAAAMAAJ&pg=RA1-PA196 p. 196]</ref>. Jean Denis Fenolio a publié en 1857 un mémoire<ref>J. D. Fenolio, ''[https://books.google.fr/books?id=vf4GAAAAcAAJ Essai sur le sinus intégral]'', [[Turin]], imprimerie royale, 1857
</ref> suggérant plusieurs formules pour le [[calcul numérique]] de la fonction <math>\operatorname{Si}(x)</math>. {{Lien|langue=ru|trad=Бессо, Давид|fr=Davide Besso}} a publié en 1868<ref>{{it}} D. Besso, « Sull'integral seno e l'integral coseno », dans ''Giornale di matematiche ({{Lien|lang=it|Giuseppe Battaglini|texte=Battaglini}})'', vol. 6, 1868, [https://books.google.fr/books?id=jXvWijKxiGcC&pg=PA313 p. 313]</ref> une table de valeurs de <math>\operatorname{Si}(x)</math> pour <math>x</math> multiple entier de <math>\pi</math>.

Une tabulation plus précise que celles de Bretschneider et Besso a été publiée en 1870 par J. W. L. Glaisher<ref>{{en}} J. W. L. Glaisher, « Tables of the Numerical Values of the Sine-integral, Cosine-integral, and Exponential-integral », dans ''[[Philosophical Transactions of the Royal Society|Philos. Trans. R. Soc.]]'', vol. 160, 1870, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k559658/f418 p. 387]</ref>, qui donne aussi un historique de l'utilisation de cette fonction dans la littérature mathématique. Des tables détaillées des fonctions [[cosinus intégral]], [[exponentielle intégrale]] et sinus intégral ont été publiées en 1940 par la ''{{Lien|langue=en|fr=Federal Works Agency}}'', sous la direction d'Arnold D. Lowan<ref>{{en}} Arnold L. Lowan (éd.), ''Tables of Sine, Cosine and Exponential Integrals'', [http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015002069238 t. 1] et [http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015002069220 t.2], New York, 1940</ref>. L'introduction du volume 1 de ces tables contient (p. 26) une bibliographie des applications de ces fonctions en [[physique]] et en [[ingénierie]].

== Propriétés ==
* La fonction est continue, infiniment dérivable sur ℝ, et 
{{retrait|1=<math>\forall x \in\R,\ \operatorname{Si}'x = \frac{\sin x}{x} = \operatorname{sinc}x </math>}}  où <math>\operatorname{sinc}</math> est la fonction [[sinus cardinal]].
* La fonction <math>\operatorname{Si}</math> est développable en [[série entière]] sur <math>\R</math>, et on a :
{{retrait|1=<math>\forall x \in\R,\ \operatorname{Si}x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!(2n+1)}.</math>}}  Ce développement permet d'étendre la fonction <math>\operatorname{Si}</math> en une [[fonction entière]].
* La fonction sinus intégral peut s'écrire sur la forme d'une [[fonction hypergéométrique]] :
:<math>\operatorname{Si}x=x _1F_2 \left(\frac{1}{2};\frac{3}{2},\frac{3}{2} ; -\frac{x^2}{4}\right)</math>
* <math>\lim_{x \to +\infty} \mathrm{Si}(x)= \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}t~\mathrm dt=\frac{\pi}{2}</math> . Il s'agit de l'[[intégrale de Dirichlet]].
* Une formule intéressante : 
{{retrait|1=<math>\pi\int_1^n{{n \choose x}~\mathrm dx}={\sum_{k=1}^n{{n+1 \choose k+1}\mathrm{Si}(k\pi)}}-\mathrm{Si}(\pi)</math>, avec <math>{n \choose x}=\frac{n!}{\Gamma(x+1)\Gamma(n-x+1)}</math>}}  ([[Coefficient binomial#Généralisations|coefficient binomial généralisé]]).

== Sinus intégral généralisé ==
{{article détaillé|Intégrale trigonométrique}}
La fonction sinus intégral généralisée est définie, pour <math>z</math> complexe de partie réelle <math>0 < \alpha < 2</math>, par<ref>{{article |lang=de |titre=Über den allgemeinen Integralsinus Si(''z'', ''a'') |auteur=E. Kreyszig |périodique=Acta Mathematica |volume=85 |pages=117-181 |année=1951 |doi=10.1007/BF02395744}}</ref>:
:<math>\operatorname{Si}(x,z)= \int_0^x \frac{\sin t }{t^z} \, \mathrm dt</math>.
On a alors :
* <math>\operatorname{Si}(x,0) = 1 - \cos x</math>
* <math>\operatorname{Si}(x,1) = \operatorname{Si}x</math>
* <math>\operatorname{Si}\left(x,\frac{1}{2}\right) = 2S\left(\sqrt{x}\right)</math>, où <math>S</math> est une [[Intégrale_de_Fresnel#Définition|fonction de Fresnel]].

Cette fonction a été utilisée dans l'étude du [[phénomène de Gibbs]].

== Calcul numérique ==
Des manières efficaces de calculer une valeur du sinus intégral existent, selon la valeur de l'argument. Si pour de petites valeurs, le développement de Taylor peut suffire pour atteindre une bonne précision, le calcul de la fonction pour de grandes valeurs passent par une réécriture en [[fonction hypergéométrique]] ou en série de Fourier-Tchebychev<ref>{{article |lang=en |périodique=Rocky Mountain Journal of Mathematics |volume=32 |numéro=2 |année=2002 |titre=Numerical calculation of the generalized sine and cosine integral |auteur1=K.-D. Reinsch |auteur2=R. Bulirsch |auteur3=U. Puschmann}}</ref>{{,}}<ref>{{article |lang=en |titre=Chebyshev approximations for the Fresnel integrals |auteur=William J. Cody |périodique=Mathematics of Computation |année=1968 |volume=22 |pages=450-453 |doi=10.1090/S0025-5718-68-99871-2}}</ref>.

== Références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
* {{en}} [[Eugen Jahnke]] et {{Lien|langue=de|fr=Fritz Emde}}, <!--apparemment non consultable http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015000473374?urlappend=%3Bseq=40-->''Tables of higher functions'', McGraw Hill, 1960, p. 18
* {{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}

=== Articles connexes ===
* [[Intégrale trigonométrique]]
* [[Cosinus intégral]]
* [[Exponentielle intégrale]]
* [[Logarithme intégral]]

=== Liens externes ===
* {{en}} [http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/SinIntegral/ Sine Integral] dans functions.wolfram.com
* {{MathWorld|nom_url=SineIntegral|titre=Sine integral}}
* {{en}} N. M. Temme, « [http://dlmf.nist.gov/6 Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals] » dans dlmf.nist.gov
* {{en}} « [http://ddmf.msr-inria.inria.fr/1.6.1/ddmf?service=SpecialFunction&rendering=MathML&mac=I4isxYqNiYWn3c277xFKCqg20Cw&sf_id=sf_Si&parameters=q64FAA The Special Function Si(x)] », dans le ''Dynamic Dictionary of Mathematical Functions''

{{Palette|Trigonométrie}}
{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Trigonométrie]]
[[Catégorie:Fonction spéciale]]

[[en:Trigonometric integral#Sine integral]]
[[fi:Trigonometriset integraalit#Sini-integraali]]
[[it:Funzioni integrali trigonometriche]]
[[pl:Sinus i cosinus całkowy]]
[[pt:Integral trigonométrica]]
[[zh:三角积分#អាំងតេក្រាលស៊ីនុស]]