Voir la source de Sommation par parties

{{confusion|texte= Ne doit pas être confondu avec la [[série divergente#Méthodes de sommation d'Abel|méthode de sommation d'Abel]] pour les [[série divergente|séries divergentes]] ainsi qu'avec la [[formule sommatoire d'Abel]].}}En [[mathématiques]], la formule de '''sommation par parties''' (parfois appelée '''transformation d'Abel''' ou '''sommation d'Abel''') permet de transformer une [[Somme (arithmétique)|somme]] d'un produit de [[Suite (mathématiques)|suites]] finies en d'autres sommes, simplifiant souvent le calcul et permettant l'estimation de certains types de sommes. C'est un analogue discret de l'[[intégration par parties]].

Elle est à la base du critère d'Abel permettant d'obtenir la semi-convergence de certaines séries.

== Énoncé et démonstration ==
Si <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math> sont des [[Suite (mathématiques)|suites numériques]], la formule de sommation par parties s'écrit :<center><math>\sum_{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_k\right)b_{k}=
(a_nb_n-a_0b_0)-\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}\left(b_{k+1}-b_k\right)</math></center>En effet, d'une part par [[Somme télescopique|télescopage]],

: <math>\sum_{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_kb_k\right)=
(a_nb_n-a_0b_0)</math>

et d'autre part :

: <math>\sum_{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_kb_k\right)
=\sum_{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}(b_{k+1}-b_k)+(a_{k+1}-a_k)b_k\right)</math>

== Exemple d’application directe ==
Le calcul <math>(x-1)\sum_{k=0}^{n-1}kx^k=\sum_{k=0}^{n-1}k(x^{k+1}-x^k)\overset{formule}{=}
nx^n-\sum_{k=0}^{n-1}x^{k+1}=nx^n-\frac{x^{n+1}-x}{x-1 }</math>, permet d'écrire :{{Centrer|<math>\sum_{k=0}^{n-1}kx^k=\frac{(n-1)x^{n+1}-nx^n+x}{(x-1)^2}</math>}}

== Similitude avec l'intégration par parties ==
La formule d'intégration par parties s'écrit :<center><math>\int_a^bf'(x)g(x)\,{\rm d}x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^bf(x)g'(x)\,{\rm d}x.</math></center>Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (<math>f'</math> devient <math>f</math>) et à dériver l'autre (<math>g</math> devient <math>g'</math>).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte [[Mathématiques discrètes|discret]], puisque l'une des deux séries est sommée (<math>a_{n+1}-a_n</math> devient <math>a_n</math>) et l'autre est [[Opérateur de différence|différenciée]] ( <math>b_n</math>devient <math>b_{n+1}-b_n</math> ).

On peut considérer la [[formule sommatoire d'Abel]] comme une généralisation de ces deux formules.

== Reformulation conduisant au critère d'Abel ==

=== Reformulation ===
Soient deux [[Suite (mathématiques)|suites]] <math>(a_n)_{n\in\N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\N}</math>. Notons, pour tout [[entier naturel]] <math>N</math>

: <math>S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n~\text{ et }~ B_N = \sum_{n=0}^N b_n</math>

les sommes partielles des séries de termes généraux <math>a_nb_n</math> et <math>b_n</math>.

Alors<ref name="Wikiversité2">Pour une démonstration, voir par exemple la [[#Voir aussi|section « Critère d'Abel »]] dans le cours de [[Wikiversité]] sur les séries.</ref>{{,}}<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur1=Mohammed Aassila|titre=100 chalenges mathématiques, Analyse|éditeur=Ellipses|année=2016|passage=375}}</ref>  :

: <math>S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n)</math>.

=== Inégalité d'Abel ===
On en déduit l'''inégalité d'Abel''<ref name=":0" />: si la suite <math>(a_n)_{n\in\N}</math> est décroissante positive, alors
: <math>a_0m\leqslant S_N\leqslant a_0M </math>,
où <math>m</math> est un minorant des <math>B_N</math>, et <math>M</math> un majorant.

En effet, <math>S_N = a_N B_N + \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_n-a_{n+1}) </math>, donc <math>S_N\geqslant a_Nm+m\sum_{n=0}^{N-1}{(a_n-a_{n+1})}=a_0m </math> et de même pour l'autre inégalité.

=== Critère d'Abel ===
{{Article connexe|Intégrale impropre#Règle d'Abel{{!}}Règle d'Abel pour les intégrales impropres}}
Le théorème suivant est une conséquence directe de la formule précédente.{{Théorème|Critère d'Abel<ref name=Wikiversité/>, dit aussi règle d'Abel ou théorème d'Abel<ref>À ne pas confondre avec d'{{Page h|Théorème d'Abel|autres théorèmes du même nom}}.</ref>||énoncé=Si la suite <math>(a_n)</math> tend vers 0 et la suite <math>(B_n)</math> est bornée, et si la série <math>\Sigma(a_{n+1} - a_n)</math> est [[convergence absolue|absolument convergente]], alors la série <math>\Sigma a_nb_n</math> est [[série convergente|convergente]].}}La démonstration montre de plus l'inégalité :

: <math>\left|\sum_{n={n_0}}^\infty a_n b_n\right|\leqslant M_{n_0}\sum_{n\geqslant n_0}|a_{n+1}-a_n|</math>,

pour tout majorant <math>M_{n_0}</math> des <math>\left \vert\sum_{n=n_0}^N b_n  \right \vert</math>.

=== Test de Dirichlet ===


Un cas particulier est le [[test de Dirichlet]], parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »<ref>[http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_15.html « Théorème d'Abel »], Université en ligne.</ref> :{{énoncé|Si la suite <math>(a_n)</math> est monotone et de limite nulle et si la suite <math>(B_n)</math> est bornée, alors la série <math>\sum a_nb_n</math> est convergente.}}Le [[critère de convergence des séries alternées]] en est lui-même un sous-cas : si <math>(a_n)</math> est décroissante et de limite nulle, alors la série <math>\sum (-1)^na_n</math> est convergente.

== Exemples d'applications ==

# La suite <math>\left(\frac1n\right)</math> est monotone et de limite nulle et la série <math>\sum\sin n</math> a ses sommes partielles bornées car <math>\sum_{k=1}^n\sin k=\frac{\sin\frac n2\sin\frac{n+1}2}{\sin\frac12}</math><ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie#Exercice 5-3|cet exercice corrigé|début=Pour un calcul de <math>\sum_{k=1}^n\sin kt</math> pour tout réel <math>t</math>, voir par exemple}}</ref> donc d'après le test de Dirichlet, la série <math>\sum\frac{\sin n}n</math> converge.
# De même<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Série numérique/Exercices/Critère d'Abel#Exercice 8|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref>, pour tout nombre complexe <math>z\ne-1</math> de module {{math|1}}, la [[Logarithme complexe#D%C3%A9termination principale|série du logarithme complexe]] <math>\ln\left(1+z\right)=-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-z)^n}n</math> converge.
# La sommation par parties sert dans la preuve du [[Théorème d'Abel (analyse)|théorème d'Abel]] sur les [[Série entière|séries entières]].

== Notes et références ==
<references responsive="1" group=""></references>

== Voir aussi ==
{{Autres projets
| v = Série numérique/Propriétés#Critère d'Abel
| wikiversity titre = Critère d'Abel
}}

=== Article connexe ===
[[Formule sommatoire d'Abel]]

=== Lien externe ===
Article de [[Niels Henrik Abel]] de 1826 (où figure la sommation par parties), [http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/alg%C3%A9bre/niels-abel-et-les-crit%C3%A8res-de-convergence en ligne et commenté] sur [[Bibnum]]{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Série divergente]]