Voir la source de Somme de trois cubes

[[Fichier:Sum_of_3_cubes.svg|vignette| [[Repère semi-logarithmique|Graphe semi-logarithmique]] des solutions de l'équation {{nobr|''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup> {{=}} ''n''}} en entiers ''x'', ''y'', ''z'' et ''n'' dans [0, 100]. Les barres vertes signifient qu'il n'y a pas de solution pour ces ''n''.]]
En mathématiques, le problème de la '''somme de trois cubes''' est un [[Problèmes non résolus en mathématiques|problème non résolu]] en [[théorie des nombres]]. Il consiste à déterminer quels sont les [[entier relatif|entiers]] <math>n \in \Z</math> qui peuvent être représentés sous la forme d'une [[Somme (arithmétique)|somme]] de trois [[Cube (algèbre)|cubes]] d'entiers <math>x^3, y^3, z^3 \in \mathbb Z</math>, donc qui peuvent s'écrire sous la forme : <math>x^3+y^3+z^3=n</math> avec <math>x, y, z \in \Z</math>.

== Exemples ==

Voici quelques exemples<ref name=CNRS /> :
:<math>3 = 1^3+1^3+1^3</math>
:<math>10=1 + 1 + 8 = 1^3+ 1^3+ 2^3</math>
:<math>36 = 1 + 8 + 27</math>
:<math>20 = 1 +(- 8) + 27 = 1^3 + (-2)^3 + 3^3</math>
et un exemple plus compliqué :
:<math>16 = (-511)^3 + (-1609)^3 + 1626^3.</math>
Les suites de l'[[OEIS]] : {{OEIS2C|A060465}}, {{OEIS2C|A060466}}, {{OEIS2C|A060467}} donnent respectivement les valeurs de <math>x,y,z</math> pour <math>x^3+y^3+z^3=n</math> où <math>n</math> est un entier naturel congru ni à 4 ni 5 modulo 9, avec <math>|y|,|z|</math> minimaux et <math>|x|\leqslant|y|\leqslant|z|</math>.

== Petites valeurs de ''n'' ==
On peut montrer qu'une condition nécessaire pour que <math>n</math> s'exprime comme somme de trois cubes est que <math>n</math> n'est pas congru à  4 ou 5 [[Arithmétique modulaire|modulo]] 9, car les cubes sont égaux à  0, 1, ou &minus;1 modulo 9, et la somme de trois de ces nombres ne donne ni 4 ni 5 modulo 9<ref name=d/>. On ne sait pas si cette condition nécessaire est aussi suffisante.

Une représentation non triviale de <math>n=0</math> comme somme de trois cubes serait un  [[contre-exemple]] au [[dernier théorème de Fermat]] pour l'exposant 3, car l'équation <math>x^3+y^3+z^3=0</math> se réécrit <math>x^3+y^3=z'^3</math> avec <math>z'=-z</math>, et comme l'a déjà prouvé [[Leonhard Euler]]<ref name=euler />, les seules solutions ont la forme
:<math>a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0</math>.
Pour la représentation de <math>n=1</math> et <math>n=2</math>, il existe une infinité de solutions
:<math>(9b^4)^3+(3b-9b^4)^3+(1-9b^3)^3=1</math> découverte par [[Kurt Mahler]] en 1936<ref name=m36 />
et
:<math>(1+6c^3)^3+(1-6c^3)^3+(-6c^2)^3=2.</math> découverte par A. S. Verebrusov en 1908<ref name=w08 />, cité par  [[Louis J. Mordell]]<ref name=m42 />.
Ces représentations peuvent être modifiées pour donner des  représentations d'entiers qui sont des cubes ou les doubles d'un cube<ref name=m42 />. D'autres représentations, et d'autres familles paramétrées de représentations existent pour <math>n=1</math><ref name=ad />. Pour <math>n=2</math>, les autres représentations connues sont<ref name=ad />{{,}}<ref name=hlr />:
:<math>1\ 214\ 928^3 + 3\ 480\ 205^3 + (-3\ 528\ 875)^3 = 2, </math>
:<math>37\ 404\ 275\ 617^3 + (-25\ 282\ 289\ 375)^3 + (-33\ 071\ 554\ 596)^3 = 2,</math>
:<math>3\ 737\ 830\ 626\ 090^3 + 1\ 490\ 220\ 318\ 001^3 + (-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^3 = 2.</math>

Seules les représentations de 1 et 2 peuvent être paramétrées ainsi par des polynômes de degré 4<ref name=m42 />. Même pour les représentations de 3, [[Louis Mordell|Louis J. Mordell]] écrit en 1953 : « je n'en connais pas d'autres » à propos de ses petites solutions 
:<math>1^3+1^3+1^3=4^3+4^3+(-5)^3=3</math>,

et il mentionne qu'en plus, dans ce cas, les trois nombres élevés au cube doivent être égaux modulo 9<ref name=m53 />{{,}}<ref name=cassels/>.

== Exploration numérique ==
Depuis 1955 et les études de Mordell, de nombreux auteurs ont cherché des solutions par exploration numérique
<ref name= mw />{{,}}<ref name= gls />{{,}}<ref name= hlr />{{,}}<ref name= cv />{{,}}<ref name= b />{{,}}<ref name= kts />{{,}}
<ref name= e />{{,}}<ref name= bpty />{{,}}<ref name=  ej />{{,}}<ref name=h />.
En 2009, Elsenhans et Jahnel<ref>{{harv|Elsenhans|Jahnel|2009}}</ref> utilisent une méthode de {{harvsp|Noam Elkies|year=2000}} qui fait usage d'algorithmes de réduction de [[réseau (géométrie)|réseau]]x  pour chercher toutes les solutions de l'[[équation diophantienne]]
:<math>x^3+y^3+z^3=n</math>
pour des entiers <math>n</math> positifs inférieurs à 1000 et pour <math>\max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}</math><ref name=ej />, et ils laissent ouvert les valeurs de <math>n</math> égales à 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975 parmi les entiers <math>n\le 1000</math>. Après une vidéo de [[Timothy Browning]] dans [[Numberphile]], Huisman en 2016 <ref>{{harv|Huisman|2016}}</ref> étend cette recherche à <math>\max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}</math> ce qui lui permet de résoudre le cas 74 :
:<math>74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^3+66\ 229\ 832\ 190\ 556^3+283\ 450\ 105\ 697\ 727^3</math>.

Grâce ces recherches exhaustives, tous les entiers <math>n < 100</math> qui ne sont pas congrus à 4 ou 5 modulo 9 possèdent une solution, laissant encore ouvert, à ce stade, les cas 33 et 42<ref name=h />.

En {{date-|mars 2019}}, {{Lien|trad=Andrew Booker (mathematician)|fr=Andrew Booker|texte=Andrew Booker}} résout le cas <math>n=33</math>, en découvrant que
:<math>33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^3+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^3+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^3</math>.
Pour obtenir ce résultat, Booker utilise une autre stratégie de recherche dont le temps de calcul est proportionnel à 
<math>\min(|x|,|y|,|z|)</math> plutôt qu'à leur maximum<ref name=b />{{,}}<ref name=arb />, une approche qui avait déjà été suggérée par Heath-Brown et al.<ref name=hlr />{{,}}<ref name=hb2 />. Il a aussi trouvé la représentation 
:<math>795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^3 + 14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^3 + 2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^3,</math>

et vérifié qu'il n'y a pas de solutions pour <math>n=42</math> et pour tout autre entier <math>n \le 1000</math> de statut inconnu avec <math>|z|\le 10^{16}</math>. En {{date-|septembre 2019}}, Andrew Booker et  {{Lien|trad=Andrew Sutherland (mathematician)|fr=Andrew Sutherland|texte=Andrew Sutherland}} résolvent le cas <math>n=42</math> et trouvent que

:<math>42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^3 + 80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^3 + 12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^3</math>.
Ils utilisent pour cela la [[Charity Engine]], un réseau mondial qui exploite la puissance de calcul inutilisée de 500 000 ordinateurs personnels ; le calcul a pris globalement 1,3 million d'heures de calcul<ref name=lue />. Ils trouvent aussi que
:<math>906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^3 + 72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^3 + 35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^3</math><ref name="AS">{{Lien web|titre=page personnelle d'Andrew V. Sutherland|url=http://math.mit.edu/~drew/ |consulté le=20 September 2019}}</ref>
:et
:<math>165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^3 + 383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^3 + 98\ 422\ 560\ 467\ 622\ 814^3 \ </math><ref name="AS" />.

Booker et Sutherland ont également trouvé une troisième représentation de <math>n=3</math> après encore l'équivalent de 4 millions d'heures d'ordinateur sur [[Charity Engine]], à savoir :
:<math>3 = 569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^3 + (-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^3 + (-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^3.</math><ref>
{{Lien web|titre=Mathematicians find a completely new way to write the number 3 |website = New Scientist |nom = Lu |prénom = Donna |date = 18 September 2019 |url = https://www.newscientist.com/article/2216941-mathematicians-find-a-completely-new-way-to-write-the-number-3 |consulté le=11 October 2019}}</ref>{{,}}<ref name="mma" />{{,}}<ref>{{Lien web|titre=3 | website = AMS Blogs |nom = Dunne |prénom = Edward |date = 18 September 2019 |url = https://blogs.ams.org/beyondreviews/2019/09/18/3/ |consulté le=15 January 2019}}.</ref>.

Cette découverte résout la question posée il y a 65 ans par [[Louis Mordell|Louis J. Mordell]] qui a suscité tant de recherches<ref name= mordell />.

Les cas non résolus jusqu'à 1000 sont désormais 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921 et 975<ref name=lue />.

Les entiers <math>n \not\equiv 4 \pmod 9</math> et <math>n \not\equiv 5 \pmod 9</math> inférieurs à 100 sont : 
0, 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, '''24''', 25, 26, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, ... ({{OEIS|A060464}}) 
Ci-dessous sont listées les valeurs des solutions <math>x</math>, <math>y</math> et <math>z</math> correspondantes de l'équation <math>x^3+y^3+z^3=n</math> avec la valeur minimale de <math>|y|</math> et <math>|z|</math> et <math>0 \leq |x| \leq |y| \leq |z|</math>: 
: <math>x: \quad</math> 0, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, -2, 7, -1, -511, 1, -1, 0, 1, -11, '''-2901096694''', -1, 0, 0, 0, 1, -283059965, -2736111468807040, -1, 0, 1, 0, 1, 117367, ... ({{OEIS|A060465}}) 
: <math>y: \quad</math> 0, 0, 1, 1, -1, -1, 0, 1, 1, -2, 10, 2, -1609, 2, -2, -2, -2, -14, '''-15550555555''', -1, -1, 0, 1, 1, -2218888517, -8778405442862239, 2, 2, 2, -3, -3, 134476,… ({{OEIS|A060466}}) 
: <math>z: \quad</math> 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, -11, 2, 1626, 2, 3, 3, 3, 16, '''15584139827''', 3, 3, 3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3, 3, 4, 4, -159380,… ( {{OEIS|A060467}}    ) 
Dans les quatre listes ci-dessus, la {{19e}} valeur, est en gras : elles indiquent que pour <math>n=24</math> la solution entière la plus petite de l'équation <math>x^3+y^3+z^3=n</math>  est donnée par les valeurs correspondantes, soit : 
: <math>(-2901096694)^3+(-15550555555)^3+15584139827^3=24</math>.

== Intérêt public ==
Le problème des sommes de trois cubes a été popularisé aux [[États-Unis]] par [[Brady Haran]], créateur de la chaîne [[Numberphile]] sur [[YouTube]] ; avec en 2015 une vidéo intitulée {{Citation étrangère|langue=en|The Uncracked Problem with 33}} contenant une interview de [[Timothy Browning]]<ref name=uncracked33 /> ; six mois plus tard une autre vidéo avec Browning, intitulée {{Citation étrangère|langue=en|74 is Cracked}}, parle de la découverte par Huisman en 2016 d'une solution pour 74<ref name=cracked74 />. En 2019, Numberphile publie trois vidéos intitulées {{Citation étrangère|langue=en|42 is the new 33}}, {{Citation étrangère|langue=en|The mystery of 42 is solved}}  et  {{Citation étrangère|langue=en|3 as the sum of 3 cubes}}, pour signaler la découverte de solutions pour 33, 42, et la nouvelle solution pour 3<ref name=cracked33 />{{,}}<ref name=cracked42 />{{,}}<ref name=cracked3 />.

La solution de Booker pour 33 a été décrite aux États-Unis dans des articles de ''[[Quanta Magazine]]''<ref name=quanta33 /> et ''[[New Scientist]]''<ref name=newsci33 />, ainsi que dans  ''[[Newsweek]]'' qui annonce la collaboration de Booker et Sutherland en ces termes : {{Citation étrangère|langue=en|...the mathematician is now working with Andrew Sutherland of MIT in an attempt to find the solution for the final unsolved number below a hundred: 42.}}<ref name=newsweek />. En France, un article en parle dans ''[[Pour la Science]]''<ref>{{Lien web
|url= https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/probleme-des-3-cubes-il-nen-reste-plus-quun-16573.php
|titre= Problème des 3 cubes : il n’en reste plus qu’un
|auteur= Sean Bailly
|année= 28 mars 2019
|éditeur= Pour la Science
|consulté le=26 janvier 2020
}}.</ref>, un autre dans les ''[[Images des mathématiques]]''<ref name=CNRS>{{Lien web
|url= https://images.math.cnrs.fr/Sommes-de-trois-cubes-qui-etes-vous.html
|titre= Sommes de trois cubes, qui êtes-vous ?
|auteur= Shalom Eliahou 
|année= 24 juin 2019
|périodique= Images des mathématiques
|éditeur= CNRS
|consulté le=26 janvier 2020
}}.</ref>.

Le nombre 42 a suscite un intérêt supplémentaire à cause de son apparition dans le roman de science-fiction ''[[Le Guide du voyageur galactique]]'' de [[Douglas Adams]] où il est la réponse à {{citation|[[la grande question sur la vie, l'univers et le reste]]}}.

L'annonce de la solution pour 42 par Booker et Sutherland<ref name=bristol42 />{{,}}<ref name=mit42 /> a eu un écho international, y compris un article dans ''[[New Scientist]]''<ref name=newsci42 />, ''[[Daily Mail|The Daily Mail]]''<ref name=dailymail42 />, ''[[Die Zeit]]''<ref name=diezeit42 />, ''[[Der Spiegel]]''<ref name=derspiegel42 />, et aussi sur Futura Science<ref>{{Lien web
|url= https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/mathematiques-mathematiques-probleme-trois-cubes-enfin-ete-resolu-77516/
|titre= Mathématiques : le problème des trois cubes a enfin été résolu
|année= 15 septembre 2019
|éditeur= Futura Science
|consulté le=26 janvier 2020
}}.</ref>, Gurumed<ref>{{Lien web
|url= https://www.gurumed.org/2019/09/09/42-par-la-somme-de-3-cubes-la-rponse-la-grande-question-sur-la-vie-lunivers-et-le-reste/
|titre= 42 par la somme de 3 cubes : la réponse à La grande question sur la vie, l’univers et le reste…
|année= 9 septembre 2019
|éditeur= Gurumed
|consulté le=26 janvier 2020
}}.</ref>, Hitek<ref>{{Lien web
|url= https://hitek.fr/actualite/probleme-trois-cubes-resolu-million-heure-calcul_20537
|titre= Le problème des trois cubes finalement résolu après plus d'un million d'heures de calcul
|auteur= GomeWars
|année= 12 septembre 2019
|éditeur= Hitek actualités
|consulté le=26 janvier 2020
}}.</ref> ou ''[[Tangente (magazine)|Tangente]]''<ref>{{Lien web
|url= http://tangente-mag.com/article.php?id=4800
|titre= On peut enfin écrire 42 comme somme de trois cubes
|auteur= Bertrand Hauchecorne
|périodique= Tangente
|consulté le=26 janvier 2020
}}.</ref>.

== Solvabilité et décidabilité ==
En 1992, [[Roger Heath-Brown]] a [[Conjecture|conjecturé]] que tout entier  <math>n</math> qui n'est pas congru à 4 ou 5 modulo 9 possède une infinité de représentations comme somme de trois cubes<ref name=hb />. Le cas <math>n=33</math> de ce problème a été utilisé par [[Bjorn Poonen]] comme premier exemple illustrant un article de synthèse<ref name="p" /> sur les [[décidabilité|problèmes indécidables]] en [[théorie des nombres]], dont le [[dixième problème de Hilbert]] est l'exemple le plus connu. Même si ce cas particulier a été résolu depuis, il n'est pas connu si le problème de représenter un entier comme somme de trois cubes est décidable.

Si la conjecture de Heath-Brown est vraie, le problème est décidable. Dans ce cas, un algorithme consiste simplement à calculer le reste de <math>n</math> modulo 9, et de retourner « non » si la valeur est 4 ou 5, et « oui » sinon. L'article de Heath-Brown contient aussi des conjectures sur la limite des entiers à tester pour trouver une solution explicite<ref name=hb />.

== Variantes ==

* Une variante du problème liée au [[problème de Waring]] est la question de la représentation comme somme de trois cubes d'entiers ''naturels''. Au {{s-|XIX}}, [[Charles Gustave Jacob Jacobi]] et ses collaborateurs ont compilé des tables de solutions pour ce problème<ref name="dickson" />. Il est conjecturé que les nombres représentables ont une [[densité asymptotique|densité]] positive<ref name="bb" />{{,}}<ref name="dhl" />. La question reste ouverte, mais [[Trevor Wooley]] a montré que <math>\Omega(n^{0.917})</math> de ces nombres entre <math>1</math> et <math>n</math> possèdent de telles représentations<ref name="w1" />{{,}}<ref name="w2" />{{,}}<ref name="w3" />. La densité est au plus <math>\Gamma(4/3)^3/6\approx 0,119</math><ref name="d" />.

* Tout entier peut être représenté comme somme de trois cubes de [[Nombre rationnel|nombres rationnels]] (plutôt que comme somme de cubes d'entiers)<ref name="rich" />{{,}}<ref name="dl" />.Cette propriété a déjà été démontrée en 1825 dans le [[:en:The_Ladies'_Diary|Ladies' Diary]] n° 35 par un certain S. Ryley qui a fourni la famille de solution (non exhaustive) pour <math>x^3+y^3+z^3=k</math> <ref>{{Article|langue=en|auteur1=MICHAEL BECK, ERIC PINE, WAYNE TARRANT, KIM YARBROUGH JENSEN|titre=NEW INTEGER REPRESENTATIONS AS THE SUM OF THREE CUBES|périodique=MATHEMATICS OF COMPUTATION|volume=76|numéro=259|date=July 2007|pages=1684}}</ref>:
** <math>x =\frac{(9d^6-30k^2d^3+k^4)(3d^3+k^2)+72k^4d^3}{6kd(3d^3+k^2)^2},
y =\frac{30k^2d^3-9d^6-k^4}{6kd(3d^3+k^2)},
z=\frac{18kd^5-6k3d^2}{(3d^3+k^2)^2}</math>.
** Par exemple, <math>4=\left(\frac53\right)^3+\left(-\frac67\right)^3+\left(\frac1{3\times7}\right)^3=
\left(\frac13\right)^3+\left(\frac{30}{19}\right)^3+\left(\frac{17}{3\times19}\right)^3</math>.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|sums of three cubes|936971229|type=note}}
{{Références|refs=

<ref name=ad>{{article
 | nom1 = Avagyan | prénom1 = Armen
 | nom2 = Dallakyan | prénom2 = Gurgen
 | arxiv = 1802.06776
 | journal = Universal Journal of Computational Mathematics
 | titre = A new method in the problem of three cubes
 | volume = 5 |numéro = 3 | pages = 45-56
 | année = 2017| doi = 10.13189/ujcmj.2017.050301
 | url = http://www.hrpub.org/download/20170530/UJCMJ1-12409330.pdf
 }}</ref>

<ref name=arb>{{article
 | nom = Booker
 | prénom = Andrew R.
 | titre = Cracking the problem with 33
 | journal = Research in Number Theory
 | volume = 5
 | numéro = 26
 | année = 2019
 | doi = 10.1007/s40993-019-0162-1
 | mr = 3983550}}
</ref>

<ref name=b>{{article
 | nom = Bremner | prénom = Andrew
 | contribution = On sums of three cubes
 | mr = 1353923
 | pages = 87–91
 | éditeur = American Mathematical Society
 | lieu = Providence, Rhode Island
 | journal = CMS Conference Proceedings
 | titre = Number theory (Halifax, NS, 1994)
 | volume = 15
 | année = 1995}}</ref>

<ref name=bb>{{article
 | nom1 = Balog | prénom1 = Antal
 | nom2 = Brüdern | prénom2 = Jörg
 | doi = 10.1515/crll.1995.466.45
 | journal = [[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal für die Reine und Angewandte Mathematik]]
 | mr = 1353314
 | pages = 45–85
 | titre = Sums of three cubes in three linked three-progressions
 | volume = 1995
 | numéro = 466
 | année = 1995}}</ref>

<ref name=bpty>{{article
 | nom1 = Beck | prénom1 = Michael
 | nom2 = Pine | prénom2 = Eric
 | nom3 = Tarrant | prénom3 = Wayne
 | nom4 = Yarbrough Jensen | prénom4 = Kim
 | doi = 10.1090/S0025-5718-07-01947-3
 | numéro = 259
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 2299795
 | pages = 1683–1690
 | titre = New integer representations as the sum of three cubes
 | volume = 76
 | année = 2007}}</ref>

<ref name=cassels>L'égalité  mod 9 de nombres dont la somme des cubes est 3 a été attribuée à  [[John Cassels]] par {{harv|Mordell|1953}}, mais sa démonstration n'a pas été publiée avant {{article
 | auteur1 = [[J. W. S. Cassels]]
 | doi = 10.2307/2007811
 | numéro = 169
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 771049
 | pages = 265–266
 | titre = A note on the Diophantine equation <math>x^3+y^3+z^3=3</math>
 | volume = 44
 | année = 1985| jstor = 2007811 | url = https://semanticscholar.org/paper/a6665ae2b6ccf029e532562565aed49fda998ee4 }}.</ref>

<ref name=cv>{{chapitre
 | nom1 = Conn | prénom1 = W.
 | nom2 = Vaserstein | prénom2 = L. N. | lien auteur2 = Leonid Vaseršteĭn
 | titre = On sums of three integral cubes
 | doi = 10.1090/conm/166/01628
 | mr = 1284068
 | passage = 285–294
 | éditeur = American Mathematical Society
 | lieu = Providence, Rhode Island
 | series = Contemporary Mathematics
 | titre ouvrage = The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992)
 | volume = 166
 | année = 1994}}</ref>

<ref name=d>{{article
 | nom = Davenport | prénom = H. | lien auteur = Harold Davenport
 | doi = 10.1007/BF02547752
 | journal = [[Acta Mathematica]]
 | mr = 0000026
 | pages = 123–143
 | titre = On Waring's problem for cubes
 | volume = 71
 | année = 1939}}</ref>

<ref name=dhl>{{chapitre
 | nom1 = Deshouillers | prénom1 = Jean-Marc | lien auteur1 = Jean-Marc Deshouillers
 | nom2 = Hennecart | prénom2 = François
 | nom3 = Landreau | prénom3 = Bernard
 | editor1-first = Florian | editor1-last = Hess
 | editor2-first = Sebastian |editor2-last = Pauli
 | editor3-first = Michael | editor3-last = Pohst
 | titre = On the density of sums of three cubes
 | doi = 10.1007/11792086_11
 | mr = 2282921
 | passage = 141–155
 | éditeur = Springer | lieu = Berlin
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | titre ouvrage = Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23-28, 2006, Proceedings
 | numéro dans collection = 4076
 | année = 2006}}</ref>

<ref name=dl>{{chapitre
 | nom1 = Davenport | prénom1 = H. | lien auteur1 = Harold Davenport
 | nom2 = Landau | prénom2 = E. | lien auteur2 = Edmund Landau
 | titre = On the representation of positive integers as sums of three cubes of positive rational numbers
 | mr = 0262198
 | passage = 49–53
 | éditeur = Plenum | lieu = New York
 | titre ouvrage = Number Theory and Analysis (Papers in Honor of Edmund Landau)
 | année = 1969}}</ref>

<ref name=dickson>{{ouvrage
 | nom = Dickson | prénom = Leonard Eugene | lien auteur = Leonard Eugene Dickson
 | page = 717
 | éditeur = Carnegie Institution of Washington
 | titre = History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis
 | url = https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716
 | année = 1920}}</ref>

<ref name=e>{{chapitre
 | nom = Elkies | prénom = Noam D. | lien auteur = Noam Elkies
 | titre = Rational points near curves and small nonzero <math>|x^3-y^2|</math> via lattice reduction
 | doi = 10.1007/10722028_2
 | mr = 1850598
 | passage = 33–63
 | éditeur = Springer, Berlin
 | series = Lecture Notes in Computer Science
 | titre ouvrage= Algorithmic number theory (Leiden, 2000)
 | numéro dans collection = 1838
 | année = 2000| arxiv = math/0005139
 }}</ref>

<ref name=ej>{{article
 | nom1 = Elsenhans | prénom1 = Andreas-Stephan
 | nom2 = Jahnel | prénom2 = Jörg
 | doi = 10.1090/S0025-5718-08-02168-6
 | numéro = 266
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
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 | pages = 1227–1230
 | titre = New sums of three cubes
 | volume = 78
 | année = 2009}}</ref>

<ref name=euler>{{article
 | nom = Machis | prénom = Yu. Yu.
 | doi = 10.1134/S0001434607090088
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 | journal = [[Mathematical Notes]]
 | mr = 2364600
 | pages = 352–356
 | titre = On Euler's hypothetical proof
 | volume = 82
 | année = 2007}}</ref>

<ref name=gls>{{article
 | nom1 = Gardiner | prénom1 = V. L.
 | nom2 = Lazarus | prénom2 = R. B.
 | nom3 = Stein | prénom3 = P. R.
 | doi = 10.2307/2003763
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 0175843
 | pages = 408–413
 | titre = Solutions of the diophantine equation <math>x^{3}+y^{3}=z^{3}-d</math>
 | volume = 18
 | numéro = 87
 | année = 1964| jstor = 2003763
 }}</ref>

<ref name=hlr>{{article
 | nom1 = Heath-Brown | prénom1 = D. R. | lien auteur1 = Roger Heath-Brown
 | nom2 = Lioen | prénom2 = W. M.
 | nom3 = te Riele | prénom3 = H. J. J. | lien auteur3 = Herman te Riele
 | bibcode = 1993MaCom..61..235H
 | doi = 10.2307/2152950
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 | volume = 61
 | année = 1993| jstor = 2152950 | url = https://ir.cwi.nl/pub/5502 }}</ref>

<ref name=h>{{article
 | nom = Huisman | prénom = Sander G.
 | arxiv = 1604.07746
 | titre = Newer sums of three cubes
| journal = Arxiv
 | année = 2016}}</ref>

<ref name=hb>{{article
 | nom = Heath-Brown | prénom = D. R. | lien auteur = Roger Heath-Brown
 | doi = 10.1090/s0025-5718-1992-1146835-5
 | numéro = 200
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | mr = 1146835
 | pages = 613–623
 | titre = The density of zeros of forms for which weak approximation fails
 | volume = 59
 | année = 1992| jstor = 2153078 }}</ref>

<ref name=hb2>{{article
 | nom1 = Heath-Brown | prénom1 = D. R. | lien auteur1 = Roger Heath-Brown
 | nom2 = Lioen | prénom2 = W.M.
 | nom3 = te Riele | prénom3 = H.J.J
 | titre = On solving the Diophantine equation <math>x^3+y^3+z^3=k</math> on a vector computer
 | journal = [[Mathematics of Computation]]
 | volume = 61
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 | mr = 1202610| jstor = 2152950 }}
</ref>

<ref name=kts>{{article
 | nom1 = Koyama | prénom1 = Kenji
 | nom2 = Tsuruoka | prénom2 = Yukio
 | nom3 = Sekigawa | prénom3 = Hiroshi
 | doi = 10.1090/S0025-5718-97-00830-2
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 | pages = 841–851
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<ref name=lue>
{{lien web
|titre=42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)<sup>3</sup> + 80435758145817515<sup>3</sup> + 12602123297335631<sup>3</sup>?'
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 | nom = Mordell | prénom = L.J. | lien auteur = Louis J. Mordell
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 | user = markmcan
 | number = 1173987832454623239
 | date = 17 September 2019
 | title=Insanely huge sum-of-three cubes for 3 discovered – after 66 year search}}</ref>

<ref name=mw>{{article
 | nom1 = Miller | prénom1 = J. C. P. | lien auteur1 = J. C. P. Miller
 | nom2 = Woollett | prénom2 = M. F. C.
 | doi = 10.1112/jlms/s1-30.1.101
 | journal = [[Journal of the London Mathematical Society]]
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<ref name=mordell>{{article
 | nom = Mordell | prénom = L.J. | lien auteur = Louis J. Mordell
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<ref name=rich>{{article
 | nom = Richmond | prénom = H. W. | lien auteur = Herbert William Richmond
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 | journal = [[London Mathematical Society|Proceedings of the London Mathematical Society]]
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<ref name=w1>{{article
 | nom = Wooley | prénom = Trevor D. | lien auteur = Trevor Wooley
 | doi = 10.1007/BF01231451
 | numéro = 3
 | journal = [[Inventiones mathematicae|Inventiones Mathematicae]]
 | mr = 1359599
 | pages = 421–451
 | titre = Breaking classical convexity in Waring's problem: sums of cubes and quasi-diagonal behaviour
 | volume = 122
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 }}</ref>

<ref name=w2>{{article
 | nom = Wooley | prénom = Trevor D. | lien auteur = Trevor Wooley
 | doi = 10.1112/S0025579300015710
 | numéro = 1–2
 | journal = [[Mathematika]]
 | mr = 1924487
 | pages = 53–61 (2002)
 | titre = Sums of three cubes
 | volume = 47
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 | nom = Wooley | prénom = Trevor D. | lien auteur = Trevor Wooley
 | doi = 10.4064/aa170-1-6
 | numéro = 1
 | journal = [[Acta Arithmetica]]
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 | pages = 73–100
 | titre = Sums of three cubes, II
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 | nom = Haran | prénom = Brady | lien auteur = Brady Haran
 | titre = The uncracked problem with 33
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 | nom = Haran | prénom = Brady | lien auteur = Brady Haran
 | titre = 74 is cracked
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 | nom = Haran | prénom = Brady | lien auteur = Brady Haran
 | titre = 42 is the new 33
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 | date = March 12, 2019
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 | nom = Haran | prénom = Brady | lien auteur = Brady Haran
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 | nom = Haran | prénom = Brady | lien auteur = Brady Haran
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 | date = September 24, 2019
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 | title = Numberphile channel
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 | accessdate = 18 January 2020
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<ref name=quanta33>{{Lien web
 | titre = Sum-of-Three-Cubes Problem Solved for 'Stubborn' Number 33
 | prénom = John | nom = Pavlus
 | magazine = Quanta Magazine
 | date = March 10, 2019
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<ref name=newsci33>{{Lien web
 | titre = Mathematician cracks centuries-old problem about the number 33
 | prénom = Donna | nom = Lu
 | magazine = New Scientist
 | date = March 14, 2019
 | url = https://www.newscientist.com/article/2196549-mathematician-cracks-centuries-old-problem-about-the-number-33/
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<ref name=newsweek>{{Lien web
 | titre = The uncracked problem with 33: Mathematician solves 64-year-old 'Diophantine puzzle'
 | prénom = Aristos | nom = Georgiou
 | magazine = Newsweek
 | date = April 3, 2019
 | url = https://www.newsweek.com/uncracked-problem-mathematician-diophantine-puzzle-1384422
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<ref name=bristol42>{{Lien web
 | titre = Sum of three cubes for 42 finally solved – using real life planetary computer
 | éditeur = University of Bristol
 | date = September 6, 2019
 | url = https://www.bristol.ac.uk/news/2019/september/sum-of-three-cubes-.html
}}</ref>

<ref name=mit42>{{Lien web
 | titre = The answer to life, the universe, and everything: Mathematics researcher Drew Sutherland helps solve decades-old sum-of-three-cubes puzzle, with help from "The Hitchhiker's Guide to the Galaxy."
 | prénom = Sandi | nom = Miller
 | date = September 10, 2019
 | magazine = MIT News
 | éditeur = Massachusetts Institute of Technology
 | url = https://news.mit.edu/2019/answer-life-universe-and-everything-sum-three-cubes-mathematics-0910
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<ref name=newsci42>{{Lien web
 | titre = Mathematicians crack elusive puzzle involving the number 42
 | prénom = Donna | nom = Lu
 | magazine = New Scientist
 | date = September 6, 2019
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<ref name=dailymail42>{{Lien web
 | titre = Unlocked, the secret of 42 (but not life, the universe and everything): Experts finally crack complicated maths riddle after 65 years
 | prénom = Colin | nom = Fernandez
 | site = Daily Mail
 | date = September 8, 2019
 | url = https://www.dailymail.co.uk/sciencetech/article-7441507/Why-42-really-answer-life-universe-everything.html
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<ref name=diezeit42>{{Lien web
 | titre = Matheproblem um die Zahl 42 geknackt
 | site = Die Zeit
 | date = September 16, 2019
 | url = https://www.zeit.de/news/2019-09/16/matheproblem-um-die-zahl-42-geknackt
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<ref name=derspiegel42>{{Lien web
 | titre = Matheproblem um die 42 geknackt
 | site = Der Spiegel
 | date = September 16, 2019
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}}</ref>

}}

== Liens externes ==
*Hisanori Mishima, [http://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math04/matb0100.htm « Solutions of {{math|1=''n'' = ''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup>}} for {{math|1=0 ≤ ''n'' ≤ 99}} »] 
*[[Daniel J. Bernstein]], [http://cr.yp.to/threecubes.html « threecubes »], 
*Mathpages, [https://www.mathpages.com/home/kmath071.htm « Sums of three cubes »] 
*[[Timothy Browning]], [https://www.youtube.com/watch?v=wymmCdLdPvM « The Uncracked Problem with 33 »], sur [[Numberphile]]
*[[Timothy Browning]], [https://www.youtube.com/watch?v=_-M_3oV75Lw « 74 is cracked »], sur [[Numberphile]]
*Andrew Booker, [https://www.youtube.com/watch?v=ASoz_NuIvP0 « 42 is the new 33 »], sur [[Numberphile]]
*Andrew Booker, [https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw « The Mystery of 42 is Solved »], sur [[Numberphile]]
*Andrew Booker, [https://www.youtube.com/watch?v=GXhzZAem7k0 « 3 as a sum of 3 cubes »], sur [[Numberphile]]

== Articles liés ==
* [[Problème des quatre cubes]]
* [[Problème de Waring]]

{{portail|arithmétique et théorie des nombres}}

[[Catégorie:Théorie des nombres]]
[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Problème non résolu en mathématiques]]