Voir la source de Somme des n premiers cubes

{{Titre mis en forme|Somme des ''n'' premiers cubes}}

[[Fichier:Nicomachus_theorem_3D.svg|vignette|droite|upright=1.6|Visualisation graphique de l'égalité.]]

La '''somme des ''n'' premiers [[Nombre cubique|cubes]]''' est égale au [[carré (algèbre)|carré]] de la somme des <math>n</math> premiers [[Entier naturel|entiers]] :

:<math>1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3 = \left(1+2+3+\cdots+n\right)^2</math>.

Soit, en utilisant la notation plus compacte des sommes et en rappelant la somme d'une [[série arithmétique]] :
:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>.

Cette [[Identité (mathématiques)|identité]] est parfois appelée '''théorème de [[Nicomaque de Gérase|Nicomaque]]'''<ref>{{article |auteur=Eugène Catalan |titre=Sur un théorème d'arithmétique |périodique=Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques |volume=1 |numéro=2 |année=1877 |lire en ligne=https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/198571/1/Catalan329.pdf}}</ref>. Elle est un cas particulier de la [[formule de Faulhaber]].

== Historique==

De nombreux mathématiciens historiques ont étudié et démontré cette égalité facile à prouver par [[Raisonnement par récurrence|récurrence]]. Stroeker<ref>{{Article|lang=en
 | auteur =[http://www.stroeker.nl/ R. J. Stroeker]
 | titre = On the sum of consecutive cubes being a perfect square
 | journal = [[Compositio Mathematica]]
 | volume = 97
 | année = 1995
 | pages = 295-307
 | url = http://www.numdam.org/item?id=CM_1995__97_1-2_295_0}}.
</ref> estime que {{citation|chaque personne étudiant la théorie des nombres a dû être émerveillée par ce fait miraculeux}}. Pengelley<ref>{{Chapitre|lang=en
 | auteur = David Pengelley
 | url = http://www.math.nmsu.edu/~davidp/bridge.pdf|titre=The bridge between the continuous and the discrete via original sources
 | titre ouvrage= Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference
 | année = 2002
 | éditeur = National Center for Mathematics Education, [[Université de Göteborg|Univ. of Gothenburg]]}}.
</ref> et Bressoud<ref>{{Lien web|lang=en
 | auteur =[[David Bressoud]]
 | titre = Calculus before Newton and Leibniz, Part III
 | url = http://www.macalester.edu/~bressoud/pub/CBN3.pdf
 | éditeur = AP Central
 | année = 2004}}.
</ref> retrouvent cette égalité non seulement dans l’œuvre de Nicomaque (vivant vers l'an 100 dans l'actuelle [[Jordanie]]), mais aussi chez [[Aryabhata]] en [[Inde]] au {{s|V}}, chez [[Al-Karaji]] vers l'an 1000 en [[Empire perse|Perse]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Victor J. Katz]]|titre=A History of Mathematics. An Introduction|éditeur=[[Addison-Wesley]]|année=1998|numéro d'édition=2|passage=255|isbn=}}, rapporté par {{Article|lang=en|titre=Sums of Powers of Positive Integers - Abu Bakr al-Karaji (d. 1019), Baghdad|auteur=Janet Beery|url=http://www.maa.org/publications/periodicals/convergence/sums-of-powers-of-positive-integers-abu-bakr-al-karaji-d-1019-baghdad|mois=7|année=2010|revue=Convergence|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]}}. Voir aussi {{DahanPeiffer}}, {{p.|90}}.</ref>, chez [[Alcabitius]] en [[Arabie]], chez le Français [[Gersonide]] (1288-1344) <ref>{{Harvsp|Katz|1998|p=304}}, rapporté par {{Harvsp|Beery|2010}}.</ref> et chez [[Nilakantha Somayaji]] (vers 1500 en Inde), ce dernier fournissant une [[Preuve sans mots|démonstration visuelle]] (cf. ci-dessous).

[[Nicomaque de Gérase|Nicomaque]], à la fin du chapitre 20 de son ''{{Lien|langue=en|trad=Introduction to Arithmetic|fr=Introduction à l'arithmétique}}'', souligne que si l'on écrit une liste de nombres impairs, le premier est le cube de 1, la somme des deux suivants est le cube de 2, la somme des trois suivants est le cube de 3, et ainsi de suite. Il ne va pas plus loin que cela, mais ces remarques contiennent en germe la démonstration de Wheatstone ci-dessous.

== Démonstrations ==

Plusieurs démonstrations permettent de prouver cette propriété et, en utilisant différentes techniques, de comprendre la provenance de cette relation entre des cubes et un carré.

=== Preuve par récurrence ===
Les égalités à prouver sont des exemples d'utilisation du raisonnement par récurrence au lycée<ref>{{Lien web |langue=fr |nom=APMEP |titre=La récurrence à toutes les sauces |url=https://www.apmep.fr/La-recurrence-a-toutes-les-sauces?recherche=r%C3%A9currence |site=APMEP |date=2016-03-22 |consulté le=2025-02-10}}</ref>.

On constate que cette propriété est vraie pour <math>n=1</math> ; puis on définit <math>S_n=\sum_{i=1}^n i^3</math> et on suppose que <math>S_n= \left( \sum_{i=1}^n i\right)^2</math>. On sait que <math>\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}</math>. Donc :  <math>S_n=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2</math>. Démontrer la propriété est donc équivalent à démontrer que : <math>S_{{n+1}}=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2</math>.  Or : <math>S_{{n+1}} = S_n+(n+1)^3=(n+1)^2 (\frac{n^2}{4}+n+1)=(n+1)^2 (\frac{n^2+4n+4}{4}) =\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2</math>, et la propriété est démontrée.

=== Preuve visuelle ===
Géométriquement (voir la figure ci-dessus constituant une [[preuve sans mots]]), l'identité correspond à calculer l'aire du carré multicolore de deux manières différentes : son côté est de longueur <math> \frac{n(n+1)}2</math>, et l'aire de chaque partie colorée (en "L") est égale à la différence entre l'aire d'un carré de côté <math> \frac{k(k+1)}2</math> et celle d'un carré de côté <math>\frac{k(k-1)}2</math>, donc à <math> k^3</math>.

=== Preuve par somme télescopique ===

Une preuve algébrique directe est la suivante. On s'intéresse à l'incrément entre deux termes successifs : 

<math> \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2  - \left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)^2 =
\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2-\left(\frac{(n-1)n}2\right)^2 =
n^2\frac{(n+1)^2-(n-1)^2}{4} =
n^2 \frac{4n}{4} =
n^3</math>.

Ce qui permet de retrouver le théorème de Nicomaque par [[somme télescopique]] :

<math> \left(\sum_{i=1}^n i\right)^2 =
\sum_{k=1}^n \left[
    \left(\sum_{i=1}^k i\right)^2
    - \left(\sum_{i=1}^{k-1} i\right)^2
\right] =
\sum_{k=1}^n k^3.</math>

=== Preuve de Wheatstone ===
{{Article détaillé|Triangle_de_Floyd#Variante_1_:_triangle_des_nombres_impairs}}
Une autre démonstration est fournie par [[Charles Wheatstone]]<ref> {{article|lang=en
 | auteur = Charles Wheatstone
 | titre = On the formation of powers from arithmetical progressions
 | journal = [[Proceedings of the Royal Society]] of London
 | volume = 7
 | pages = 145-151
 | année = 1854
 | doi = 10.1098/rspl.1854.0036}}.
</ref>. Il développe chaque cube en une somme de nombres impairs consécutifs, selon une propriété remarquée par d'[[Adhémar Barré de Saint-Venant|Adhémar]] et [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]]<ref>{{Article|langue=fr|nom1=Midy|titre=Sur une propriété des nombres|périodique=Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale|volume=5|pages=640–646|date=1846|issn=2400-4782|lire en ligne=http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1846_1_5__640_1|consulté le=2025-02-11}}</ref>, et déjà par [[Nicomaque de Gérase|Nicomaque]] ; puis il utilise utilise le fait que la somme des <math>N=(n^2+n)/2 </math> premiers nombres impairs est égale à <math>N^2</math>:
:<math>
\begin{align}
1+2^3+3^3+4^3+\cdots+ n^3
&=1+[3+5]+[7 + 9 + 11]+[13 + 15 + 17 + 19]+\cdots+ \underbrace{[\left(n^2-n+1\right) + \cdots + \left(n^2+n-1\right)]}_{n^3} \\
&= \underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace1_{1^2} + 3}_{2^2} + 5}_{3^2} + \cdots + \left(n^2 + n - 1\right)}_{\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2}\\
&= (1 + 2 + \cdots + n)^2.
\end{align}</math>

== Valeurs ==

Les valeurs de <math>\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2</math> pour les premiers entiers naturels sont : {{math||§=0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025}}{{etc.}} ({{OEIS|id=A000537}}).

== Références ==
{{Références}}

== Articles connexes ==
* [[Algèbre géométrique]]
* [[Cube parfait]]
* [[Cube parfait]]
* [[Formule de Faulhaber]] qui donne une expression de <math>1^p + 2^p + 3^p + \cdots + n^p </math> pour tout <math>p</math>

{{Palette|Nombres figurés}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]
[[Catégorie:Théorie des nombres]]