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En [[algèbre linéaire]], un '''sous-espace vectoriel''' d'un [[espace vectoriel]] ''E, ''est une [[Inclusion (mathématiques)|partie]] non [[Ensemble vide|vide]] ''F'', de ''E'', stable par [[combinaison linéaire|combinaisons linéaires]]. Cette stabilité s'exprime par :
*la somme de deux [[vecteur]]s de ''F'' appartient à ''F'' ;
*le produit d'un vecteur de ''F'' par un [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] appartient à ''F''.
Muni des lois induites, ''F'' est alors un espace vectoriel. L'[[Algèbre des parties d'un ensemble#Réunion et intersection : cas général|intersection d'une famille]] non vide de sous-espaces de ''E ''est un sous-espace de ''E''. La [[Algèbre des parties d'un ensemble#Réunion et intersection : cas général|réunion d'une famille]] non vide de sous-espaces n'en est généralement pas un ; le [[Sous-espace vectoriel engendré|sous-espace engendré]] par cette réunion est la [[Somme d'ensembles#En algèbre|somme]] de cette  [[Famille (mathématiques)|famille]].

== Définitions équivalentes ==
Soit ''E ''un espace vectoriel sur un [[Corps commutatif|corps]] ''K''.

{{énoncé|Une partie ''F ''de ''E ''est un sous-espace vectoriel de ''E ''si et seulement si<ref>[[Roger Godement]], ''Cours d'algèbre'', 1966, chap. 10, § 3, p. 168 : « Sous-modules, sous-espaces vectoriels ».</ref> :
#(''F'', +) est un [[sous-groupe]] additif de (''E'', +) ;
#le produit d'un vecteur de ''F'' par un [[Scalaire (mathématiques)|scalaire]] appartient à ''F''.
}}

En effet, la condition 1, plus forte que la condition « ''F ''est non vide et stable par sommes », lui est équivalente en présence de la condition 2 car cette dernière entraîne que ''F ''est stable par opposés (si {{nobr|''u ''∈ ''F''}} alors –''u ''= (–1)∙''u ''∈ ''F'').

Une caractérisation intermédiaire donc également équivalente<ref group=note>On peut aussi démontrer cette équivalence directement : si une partie est stable par combinaisons linéaires et contient un vecteur ''u'', alors elle contient aussi le vecteur 0∙''u ''= 0{{ind|''E''}}.</ref> est :
{{énoncé|Une partie de ''E ''est un sous-espace vectoriel de ''E ''si et seulement si elle contient le [[vecteur nul]] 0{{ind|''E''}} et elle est stable par combinaisons linéaires.
}}

Par ailleurs, la stabilité par combinaisons linéaires possède des formulations équivalentes à celle du résumé introductif, comme
{{retrait|<math>(\forall (u,v)\in F^2)(\forall(\lambda,\mu)\in K^2)~\lambda u+\mu v\in F</math>}}
ou encore
{{retrait|<math>(\forall (u,v)\in F^2)(\forall\lambda\in K)~\lambda u+v\in F.</math>}}

== Exemples ==
*L'[[espace nul]] {0{{ind|''E''}}<nowiki/>} et l'espace total ''E'' sont respectivement le plus petit et le plus grand sous-espace vectoriel de ''E''. On les appelle les « sous-espaces vectoriels [[Trivial|triviaux]] » de ''E''.
*Dans l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espace des n-uplets|espace vectoriel ''K{{exp|n}}'']] des [[n-uplet|''n''-uplets]] (pour ''n ''> 0) :
**l'ensemble des solutions ''x ''= (''x''{{ind|1}}, … , ''x{{ind|n}}'') d'une [[équation linéaire]] ''homogène ''donnée, ''a''{{ind|1}}''x''{{ind|1}} + … + ''a{{ind|n}}x{{ind|n}} ''= 0 (où ''a''{{ind|1}}, … , ''a{{ind|n}} ''sont ''n ''scalaires fixés, non tous nuls), est un sous-espace vectoriel et plus précisément un [[hyperplan]] : si ''n ''= 3, c'est un [[plan vectoriel]] de l'espace ''K''{{3}} ; si ''n ''= 2, c'est une [[droite vectorielle]] du plan ''K''{{2}}.
**plus généralement, l'ensemble des solutions d'un [[système d'équations linéaires]] ''homogènes ''est un sous-espace vectoriel.
**l'ensemble des solutions d'une équation linéaire non homogène ''a''{{ind|1}}''x''{{ind|1}} + … + ''a{{ind|n}}x{{ind|n}} = b'', où le scalaire ''b ''est non nul, n'est '''pas '''un sous-espace vectoriel puisqu'il ne contient pas le vecteur nul. C'est seulement un [[sous-espace affine]].
*Dans l'[[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|espace ℝ{{exp|ℝ}}]] des [[Application (mathématiques)|applications]] de [[Nombre réel|ℝ]] dans ℝ, on considère souvent les sous-espaces vectoriels constitués des applications [[continue]]s, ou [[dérivable]]s, ou [[Fonction polynomiale|polynomiales]]{{etc.}} ou solutions d'une [[équation différentielle linéaire]] homogène.
*Pour toute partie ''A ''d'un espace vectoriel ''E'', l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de ''A'' forme un sous-espace vectoriel de ''E'', appelé [[Sous-espace vectoriel engendré|sous-espace engendré]] par ''A''.
*[[Application linéaire#Noyau et image|Le noyau (resp. l'image) d'une application linéaire]] de ''E''{{ind|1}} dans ''E''{{ind|2}} est un sous-espace vectoriel de ''E''{{ind|1}} (resp. de ''E''{{ind|2}}).

== Propriété essentielle ==
Pour tout sous-espace vectoriel ''F ''d'un espace ''E'', la stabilité par combinaisons linéaires permet de [[Application (mathématiques)#Opérations sur les applications|restreindre (au départ et à l'arrivée)]] les deux lois d'espace vectoriel de ''E ''en deux applications {{nobr|+ : ''F''×''F'' → ''F''}} et ∙ : ''K''×''F'' → ''F''.<center>Muni de ces deux applications, ''F ''est automatiquement, comme ''E'', un espace vectoriel.</center>En effet, (''F'', +) est un (sous-)[[Groupe (mathématiques)|groupe]] et tous les autres [[Espace vectoriel#Espace vectoriel|axiomes d'espace vectoriel]] (comme la commutativité de +) restent vrais dans ''F ''par restriction car ils ne font intervenir que des [[Quantificateur universel|quantificateurs universels  ∀]].

Ceci permet de démontrer à peu de frais qu'une structure donnée est un espace vectoriel : il suffit de vérifier qu'elle est un sous-espace d'un espace déjà connu. Par exemple, les [[polynôme]]s à coefficients dans ''K ''forment un espace vectoriel, comme [[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces de suites|sous-espace ''K''{{exp|(ℕ)}} de l'espace ''K''{{exp|ℕ}} des suites]] (en identifiant tout polynôme à la suite, nulle à partir d'un certain rang, de ses coefficients).

== Dimension ==
{{Voir|Dimension d'un espace vectoriel|Codimension}}
Pour tout sous-espace ''F ''de ''E ''on a :
*dim(''F'') ≤ dim(''E'') ;
*si ''E ''est de dimension finie et si dim(''F'') = dim(''E''), alors ''F = E''<ref>{{Artin1}}, proposition 3.20, p. 93.</ref>. Cette implication devient fausse en dimension infinie.

== Intersection de sous-espaces vectoriels ==

Soient ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} deux sous-espaces vectoriels de ''E''. Alors [[Intersection (mathématiques)|''F''{{ind|1}}⋂''F''{{ind|2}}]] est un sous-espace vectoriel de ''E''.

Plus généralement, pour toute famille non vide (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de sous-espaces vectoriels de ''E'', l'intersection ⋂{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}} ''est un sous-espace vectoriel de ''E''<ref>{{Harvsp|Artin|texte=Artin 1991|loc=Exercice 1.2, p. 104}}.</ref>.

== Union de sous-espaces vectoriels ==
La [[Union (mathématiques)|réunion de deux]] sous-espaces n'est un sous-espace que lorsque l'un des deux sous-espaces est inclus dans l'autre. En effet, dans le cas contraire, cette réunion n'est pas stable par addition.

Pour que la réunion d'une famille non vide (finie ou infinie) de sous-espaces soit un sous-espace, il est [[Condition suffisante|suffisant]] (mais bien sûr pas nécessaire) que la famille soit [[Ensemble ordonné filtrant|filtrante]], c'est-à-dire que l'union de deux éléments quelconques de la famille soit incluse dans un élément de la famille.

Si un ''K''-espace vectoriel ''E'' est réunion d'une [[n-uplet|famille finie]] de sous-espaces différents de ''E'', alors le corps ''K'' est [[Corps fini|fini]]<ref group=note>Un résultat similaire en [[algèbre commutative]] est le [[lemme d'évitement des idéaux premiers]].</ref>.

{{démonstration|contenu=
Démontrons le troisième point (les deux premiers sont immédiats). Supposons que ''E'' est réunion de sous-espaces propres ''E''{{ind|1}}, … , ''E{{ind|n}}'' distincts, et même (quitte à éliminer les redondances) tels qu'aucun d'entre eux ne soit inclus dans la réunion des autres. Soient ''u'' un vecteur appartenant à ''E''{{ind|1}} mais pas aux autres ''E{{ind|k}}'' et ''v'' un vecteur n'appartenant pas à ''E''{{ind|1}}. Alors, l'ensemble ''v + Ku'' est disjoint de ''E''{{ind|1}} et contient au plus un vecteur de chaque autre ''E{{ind|k}}''. Par conséquent, ''K'' a au plus ''n'' – 1 éléments.
}}

== Somme de sous-espaces vectoriels ==

Soient ''F''{{ind|1}} et ''F''{{ind|2}} deux sous-espaces vectoriels de ''E''. Leur somme ''F''{{ind|1}} + ''F''{{ind|2}}, définie par
{{retrait|<math>F_1+F_2=\{x_1+x_2\mid x_1\in F_1,x_2\in F_2\}</math>,}}
coïncide avec le sous-espace engendré par ''F''{{ind|1}}⋃''F''{{ind|2}}.

Plus généralement, la somme ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}} ''d'une  famille non vide (''F{{ind|i}}''){{ind|''i''∈''I''}} de sous-espaces vectoriels de ''E'', définie comme l'ensemble des vecteurs ''x ''de ''E ''qui admettent au moins une décomposition de la forme {{nobr|''x ''{{=}} ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''x{{ind|i}}''}} avec ''x{{ind|i}} ''∈ ''F{{ind|i}} ''(tous nuls sauf un nombre fini), est égale au sous-espace engendré par la réunion des  ''F{{ind|i}}''.

Si de plus cette décomposition de tout vecteur de ∑{{ind|''i''∈''I''}} ''F{{ind|i}} ''est unique, la somme est dite [[somme directe|directe]].

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Notes}}

=== Références ===
{{Références}}

== Articles connexes ==
{{Colonnes|nombre=3|
*{{Lien|trad=Zassenhaus algorithm|Algorithme de Zassenhaus}}
*[[Sous-espace supplémentaire]]
*[[Formule de Grassmann]]
*[[Espace vectoriel quotient]]
*[[Sous-espace stable]]
*[[Sous-espace propre]]
*[[Sous-espace caractéristique]]
*[[Espace vectoriel fini]] et dénombrement de ses sous-espaces
*[[Code linéaire]]
*[[Sous-module]]
}}

{{autres projets| wiktionary = sous-espace vectoriel }}

{{Palette|Algèbre linéaire}}
{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Espace vectoriel]]