Voir la source de Soustraction

[[Fichier:02 lines.svg|vignette|Illustration de la soustraction (ici 5 - 2 = 3)]]
La '''soustraction''' est l'une des quatre [[Opération (mathématiques)|opérations]] de l'[[arithmétique élémentaire]] avec l'[[addition]], la [[multiplication]] et la [[division]]. La soustraction combine deux ou plusieurs [[Grandeur physique|grandeurs]] du même type, couramment appelés ''[[termes]]'', pour produire un seul [[nombre]], appelé la ''[[différence]]''.

Le signe de la soustraction est le symbole « − », qui se lit « ''moins'' ». Par exemple, on lit 3 − 2 = 1 comme « trois ''moins'' deux égale un ».

On peut regarder la soustraction de deux manières différentes<ref>{{EncycloDidier}}, {{page|24}}</ref>:
* par réduction  : que reste-t-il de <math> a</math> si on lui enlève <math>b</math> ? Que reste-t-il de 5 objets si on en enlève 2 ? Il reste <math> 5-2 = 3</math> objets (autrement dit, calculer <math> a - b</math>, c'est, intuitivement, « diminuer {{math|a}} de {{math|b}} ».
* par complément : pour passer de <math> b</math> à <math> a</math>, que faut-il ajouter?  Pour passer de 2 à 5 que faut-il ajouter? Il faut ajouter <math> 3=5-2</math>.

Les éléments sur lesquelles porte la soustraction sont les termes de la soustraction et le résultat de la soustraction est nommée '''différence'''{{sfn|id=Petite Encyclopédie|texte=Encyclopédie Didier|p=23}} : la différence entre <math> a</math> et <math> b</math> est le résultat de la soustraction <math> a - b</math>


== Cas particulier des nombres ==

===Définition===

On écrit <math>a-b=c</math> quand <math> c</math> est le nombre qu'il faut ajouter à <math> b</math> pour obtenir <math> a</math>, c'est-à-dire quand <math>a=b+c</math>. Il est parfois possible que la soustraction ne puisse pas être effectuée{{sfn|id=Petite Encyclopédie|texte=Encyclopédie Didier|p=23}} : dans l'ensemble des entiers naturels, il est ainsi impossible de soustraire 9 à 2 car 2 est plus petit que 9.

Le même signe «<math>-</math>» est utilisé pour noter   l'[[Opposé (mathématiques)#Définition générale|opposé]] d'un nombre : <math> -b</math> est l'opposé de <math>b</math>, c'est le nombre tel que <math>b + (-b) = (-b) + b = 0</math> . Il ne faut pas confondre ces deux symboles, mais le contexte permettra toujours de les différencier.

===Propriétés dans un ensemble à soustraction===

Plaçons-nous désormais dans un [[ensemble de nombres]] <math>E</math> vérifiant : 
* si <math>a \in E</math>, alors  <math>-a \in E</math> ;
* si <math>a,b \in E</math>, alors  <math>a+b \in E</math>.

Un tel ensemble {{ref nec|sera ici dit ''à soustraction''}}. Des exemples classiques de ce type d'ensemble sont <math>\mathbb{Z}</math> (les [[Entier relatif|nombres entiers relatifs]]) et <math>\mathbb{R}</math> (les [[Nombre réel|nombres réels]]). Mais <math>\mathbb{N}</math> (les [[Entier naturel|nombres entiers naturels]]) ne vérifie cette propriété (car par exemple <math>-1 \notin \mathbb{N}</math> alors que <math>1 \in \mathbb{N}</math>).

On montre alors que la soustraction est une opération définie sur <math>E</math> tout entier, et qu'on a en fait  <math>a-b=a+(-b)</math>. En français, on peut alors dire que « soustraire c'est ajouter l'opposé ».

Propriétés algébriques :
*<math>a-b=-b+a</math> ;
*<math>-(a+b)=-a-b</math> ;
*<math>-(a-b)=-a+b</math>.

Propriétés non respectées
* la soustraction n'est pas [[Loi commutative|commutative]] : en général <math> a - b \ne b -a</math>
* la soustraction n'est pas [[associativité|associative]] : en général <math>(a-b)-c\ne a-(b-c)</math>.

Un point important est alors de  gérer un enchainement d'opérations avec des «<math>+</math>» et des «<math>-</math>». Par exemple <math>1-2+3-4</math>. En reprenant la règle générale indiquant que soustraire, c'est ajouter l'opposé, il suffit de traiter l'opération comme une succession d'additions <math>1+(-2) +3 +(-4).</math>. On peut donc alors développer des stratégies diverses:
* imaginer un parenthésage en commençant par la gauche <math>((1-2)+3)-4</math>, et on obtient donc <math>(-1+3)-4=2-4=-2</math>. Autrement dit, on fera les calculs progressivement de gauche à droite.
* regrouper les termes en conservant leur signe :<math>1+  3 + (-2) +(-4) = (1+3) - (2+4) = 4 - 6 = -2  </math>. 

== Cas plus général des groupes ==
===Définition===
Soit ('''G''', +) un [[groupe abélien|groupe abélien (ou commutatif)]]. On définit une nouvelle [[loi de composition interne]] dans G, appelée « soustraction » et notée « '''−''' » par : {{retrait|1= <math>x - y = x + (-y)</math>. }} où  <math>-y</math> est l'[[Opposé (mathématiques)#Définition générale|opposé]] de <math>y</math>.

L'utilisation d'un même signe, à savoir «<math>-</math>», pour  
#  l'opposé <math>-y</math> de <math>y</math> et
#  l'opération binaire <math>x - y</math>
est un [[abus de notation]]

===Propriétés===
En termes algébriques, la soustraction :
* est [[anticommutativité|anticommutative]]: pour tous <math>x,y</math>, on a <math> y-x=-(x-y)</math> ;
*n'est pas [[associativité|associative]] ;
* possède 0 pour [[Loi_de_composition_interne#Neutres_et_dérivés|élément neutre à droite]] : pour tout <math> x</math>, on a <math> x-0=x</math>. Mais en général 0 n'est pas neutre à gauche ;

Les propriétés mentionnées ci-dessus dans le cadre des ensembles de nombres à soustraction restent vraies ici.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
===Articles connexes===
{{autres projets
  | wikiversity = Opérations élémentaires
  | wikiversity titre = Opérations élémentaires
}}
* [[signes plus et moins|Signes plus « + » et moins « − »]]
* [[signe plus ou moins|Signe plus ou moins « ± »]]
* [[Soustraction fiscale]]
* [[Calcul horaire#Soustraction|Soustraction en calcul horaire]]

{{Palette|Opérations binaires}}
{{Portail|nombre}}

[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]
[[Catégorie:Opération]]