Voir la source de Srinivasa Ramanujan

{{En-tête label|AdQ|année=2018}}
{{Voir homonymes|Ramanujan}}
{{Confusion|texte=Ne doit pas être confondu avec [[Chakravarthi Padmanabhan Ramanujam|C. P. Ramanujam]], également mathématicien.}}
{{Infobox Scientifique
 | charte            = Mathématicien
 | nom               = Srinivasa Ramanujan
 | image             = Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg
 | légende           = Srinivasa Ramanujan, vers 1916{{note|groupe=n|texte=On ignore les circonstances exactes dans lesquelles a été réalisé cette photographie ; elle appartient à la collection de portraits de mathématiciens de l'[[Institut de recherches mathématiques d'Oberwolfach]], auquel elle a été donnée en 2005 par [[Konrad Jacobs]]<ref>{{Lien web|langue=en|auteur institutionnel=Oberwolfach Photo Collection|titre=''Srinivasa, Ramanujan''|éditeur=[[Institut de recherches mathématiques d'Oberwolfach|Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach]] gGmbH|année=2018|mois=mai|url=https://opc.mfo.de/detail?photo_id=3436|consulté le=26 mai 2018}}.</ref>.}}.
 | date de naissance = {{Date de naissance|22|décembre|1887}}
 | lieu de naissance = [[Erode]]
 | pays de naissance = 
 | date de décès     = {{Date de décès|26|avril|1920|22|décembre|1887}}
 | lieu de décès     = [[Kumbakonam]], près de [[Madras]]
 | pays de décès     = 
 | domicile          = [[Tamil Nadu]]<br/>{{Raj britannique}}
 | nationalité       = [[Inde|Indienne]]
 | champs            = [[Mathématiques]]
 | institutions      = 
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 | étudiants thèse   = 
 | renommé pour      = [[Conjecture de Ramanujan]]<br/>[[Partition d'un entier]]
 | œuvre principale  = ''[[Cahiers de Ramanujan]]''
 | prix              = 
 | notes             = 
 | signature         = Signature of Srinivasa Ramanujan.svg
}}
[[Fichier:SRINIVASA RAMANUJAN- The Mathematician & His Legacy.webm|vignette|thumbtime=566|start=567|end=610|alt=documentaire indien en anglais|upright=1.3|Extrait de ''Srinivasa Ramanujan- The Mathematician & His Legacy'' (Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage), un documentaire produit par le [[Ministère des Affaires extérieures|Ministère des Affaires extérieures de l'Inde]]<ref name=docu>Ce documentaire est [[:File:SRINIVASA_RAMANUJAN-_The_Mathematician_%26_His_Legacy.webm|consultable en intégralité]] sur [[Wikimedia Commons]].</ref>, on y voit les ''[[cahiers de Ramanujan]]'', conservés à l'[[université de Madras]].]]

'''Srinivasa Ramanujan''' (en [[tamoul]] : {{lang|ta|சீனிவாச இராமானுஜன்}} .{{Prononciation|Srinivasa_ramanujan_wikipedia.ogg}}), né le {{date de naissance|22|décembre|1887}} à [[Erode]] et mort le {{date de décès|26|avril|1920}} à [[Kumbakonam]], est un [[mathématicien]] [[Inde|indien]].

Issu d'une [[famille]] modeste de [[brahmane]]s orthodoxes, il est [[Autoformation|autodidacte]], faisant toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprend seul les mathématiques à partir de deux livres qu'il s'est procurés avant l'âge de seize ans, ouvrages qui lui permettent d'établir une grande quantité de résultats sur la [[théorie des nombres]], sur les [[Fraction continue|fractions continues]] et sur les [[Série divergente|séries divergentes]], tandis qu'il crée son propre [[Notation (mathématiques)|système de notation]]. Jugeant son entourage académique dépassé, il publie plusieurs articles dans des journaux mathématiques indiens et tente d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoie.

Une de ces lettres, envoyée en {{date-|janvier 1913}} à [[Godfrey Harold Hardy]], contient une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considère tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discute longuement avec [[John Edensor Littlewood|John Littlewood]] pour aboutir à la conviction que son auteur est certainement un {{citation|génie}}, un qualificatif souvent repris de nos jours. Hardy répond en invitant Ramanujan à venir en [[Angleterre]] ; en compagnie de Littlewood, une collaboration fructueuse en résulte.

Affecté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan voit son état empirer lors de son séjour en Angleterre, il retourne en Inde en 1919 où il meurt peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de trente-deux ans. Il laisse derrière lui des cahiers entiers de résultats non démontrés (appelés les ''[[cahiers de Ramanujan]]'') qui, en ce début de {{s-|XXI}}, continuent d'être étudiés.

Ramanujan a travaillé principalement sur les [[Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] et sur la [[théorie analytique des nombres]], il est devenu célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant des [[Table de constantes mathématiques|constantes]] telles que [[Pi|{{math|π}}]] et [[e (nombre)|{{math|e}}]], les [[Nombre premier|nombres premiers]] ou encore la fonction [[partition d'un entier]], qu'il a étudiée avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a inventé plusieurs milliers qui se sont pratiquement toutes révélées exactes, mais il aura fallu cent ans pour les traiter toutes : la démonstration de sa dernière formule non élucidée n'a été publiée qu'en 2019. À propos de certaines d'entre elles, Hardy, stupéfait par leur originalité, a déclaré qu’{{citation|un seul coup d'œil suffisait à se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, car si elles avaient été fausses, personne n'aurait eu assez d'imagination pour les inventer}}.

== Biographie ==
[[Fichier:Erode, 18 Alahiri Str - Ramanujan birth place.jpg|vignette|redresse|Maison natale de Ramanujan, au 18 rue Alahiri, [[Erode]]<ref name=erode/>.|alt=Photo couleur d'une façade jaune d'une maison à deux étages présentant chacun deux fenêtres et une porte.]]
[[Fichier:Ramanujanhome.jpg|vignette|redresse|Maison de Ramanujan rue Sarangapani Sannidhi, [[Kumbakonam]], aménagée en musée.|alt=Photo couleur d'une façade jaune d'un bâtiment à un étage dont le toit de tuiles grises est soutenu par deux colonnes peintes en bleu.]]

=== Jeunesse ===
Srinivasa Ramanujan ({{litt.}} « frère cadet de [[Rāma]] »){{sfn|Kanigel|1991|p=12}}{{,}}{{Note|groupe=n|texte=Son nom complet, Srinivasa Ramanujan (Aiyangar), est en fait composé avec le nom de son père Srinivasa, auquel on ajoute parfois son nom de [[Castes en Inde|caste]] [[brahmane]] Aiyangar (ou Iyengar) ; il signe le plus souvent S. Ramanujan, et expliquait à ses amis anglais {{citation|qu'il n'avait pas de nom de famille}}{{sfn|Kanigel|1991|p=11}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|I have no proper surname.}}}}.}} naît le {{date de naissance|22|décembre|1887}} à [[Erode]]<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Srinivasa Ramanujan {{!}} Biography, Achievements, & Facts|url=https://www.britannica.com/biography/Srinivasa-Ramanujan|site=Encyclopedia Britannica|consulté le=2019-12-23}}</ref>, dans l'actuel État du [[Tamil Nadu]] en [[Inde]], dans la résidence de ses grands-parents maternels{{sfn|Kanigel|1991|p=11}}{{,}}<ref name=erode>{{Article |langue=en |lire en ligne=http://www.thehindu.com/features/metroplus/this-is-where-ramanujan-was-born/article4455332.ece |titre= ''This is where Ramanujan was born'' |auteur1=
Hema Vijay |traduction titre=C'est ici qu'est né Ramanujan |périodique=[[The Hindu]]|date=26 février 2013}}.</ref>. Son père, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, né à [[Thanjavur]], travaille comme commis dans un magasin de [[Sari (vêtement)|saris]]. Sa mère, Komalatammal, est [[femme au foyer]], tout en gagnant un peu d'argent en chantant au temple. Il aura plusieurs frères, dont deux seulement survivront à la petite enfance : Lakshmi Narasimhan (1898-1946) et Thirunarayanan (1905-1978){{note|groupe=n|texte=Trois autres enfants naissent en 1889, 1891 et 1894, mais ne vivront que quelques mois{{sfn|Berndt|Rankin|2001|loc=[https://books.google.fr/books?id=TT1T8A94xNcC&pg=PA29&lpg=PA29 ''The Ramanujan Family Record''], {{p.|29}}}}.}}.

À un an, il vient vivre chez son père dans une maison traditionnelle de la rue Sarangapani à [[Kumbakonam]]<ref>{{Article|langue=en|nom=Srinivasan|prénom=Pankaja|titre=''The Nostalgia Formula''|lire en ligne=http://www.thehindu.com/features/friday-review/history-and-culture/the-nostalgia-formula/article4013282.ece|consulté le=7 septembre 2016|périodique=The Hindu|date=19 octobre 2012}}.</ref> ; en 2003, cette maison a été transformée en un musée honorant ses travaux{{sfn|Alladi|2012|p=161}}. Il y passe la plus grande partie des vingt années suivantes. En {{date-|décembre 1889}}, Ramanujan contracte la [[variole]], dont il gardera toute sa vie des cicatrices{{sfn|Kanigel|1991|p=12}}. Il déménage ensuite dans la maison de ses grands-parents maternels, entre-temps installés à [[Kanchipuram]], non loin de [[Madras]]{{sfn|Kanigel|1991|p=13}}.

Le {{date-|1 octobre 1892}}, Ramanujan entre à l'école élémentaire ; les deux années suivantes, sa scolarité est chaotique{{sfn|Kanigel|1991|p=13}}. Sa grand-mère ayant perdu son emploi de fonctionnaire à la cour de Kanchipuram, sa mère et lui retournent à Kumbakonam, où il est inscrit à l'école primaire Kangayan. À la mort de son grand-père paternel, il est renvoyé chez ses grands-parents maternels, qui ont alors déménagé à Madras. Ne supportant pas l'école de Madras, il [[wikt:faire l'école buissonnière|fait l'école buissonnière]], ce qui conduit sa famille à faire appel à la police pour s'assurer qu'il y va effectivement. Six mois plus tard, Ramanujan est de retour à Kumbakonam{{sfn|Kanigel|1991|p=14}}.

Dès lors, le père de Ramanujan étant accaparé par son travail, c'est sa mère qui se charge de son éducation. Elle lui enseigne notamment la tradition brahmane et le [[purana]], ainsi que les chants religieux, afin qu'il puisse assister à des [[puja]]s{{sfn|Kanigel|1991|p=19-20}}. Réinscrit à l'école primaire Kangayan, Ramanujan y devient un brillant élève. En {{date-|novembre 1897}}, juste avant ses dix ans, il termine premier de son quartier aux examens de fin d'études primaires, en anglais, en tamoul, en géographie et en arithmétique{{sfn|Kanigel|1991|p=25}}. Cette même année, Ramanujan rencontre pour la première fois les mathématiques « abstraites », lors de son passage dans l'enseignement secondaire{{sfn|Kanigel|1991|p=25}}.

En 1898 (il a onze ans), deux étudiants du [[Government Arts College de Kumbakonam|''Government College'' de Kumbakonam]], un établissement d'enseignement supérieur, sont hébergés chez ses parents. Après leur avoir soutiré toutes leurs connaissances en mathématiques, il obtient d'eux le prêt de livres, en particulier ''Plane Trigonometry'', de Sidney Luxton Loney{{sfn|Kanigel|1991|p=27}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Contrairement à ce que pourrait laisser croire [[Trigonométrie|son titre]], ce livre contient beaucoup d'autres formules d'analyse, par exemple sur les fonctions [[logarithme]]s et [[Exponentielle de base a|exponentielles]]{{sfn|Hardy|1940}}.}}. Dès l'âge de treize ans, il maîtrise les connaissances issues de ce livre, et redécouvre quelques théorèmes{{note|groupe=n|texte=Il obtient en particulier des formules analogues aux [[Formule d'Euler|formules d'Euler]], mais, mortifié d'apprendre qu'elles sont déjà connues, cache sous le toit de sa maison les papiers où il les a notées{{sfn|Kanigel|1991|p=50}}.}}. À quatorze ans, il reçoit l'équivalent du baccalauréat français et une bourse universitaire{{sfn|Kanigel|1991|p=27}}.

À quinze ans, Ramanujan emprunte à la bibliothèque du ''Government College'' le ''{{Lang|en|[[Synopsis of Pure Mathematics]]}}'' de [[George Shoobridge Carr]]<ref group="n">L'édition que Ramanujan a utilisée était précisément intitulée : {{Ouvrage|langue=en|auteur=[[George Shoobridge Carr]]|titre=A Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics: Containing Propositions, Formulæ, and Methods of Analysis, with Abridged Demonstrations. Supplemented by an Index to the Papers on Pure Mathematics which are to be Found in the Principal Journals and Transactions of Learned Societies, Both English and Foreign, of the Present Century|année=1886|lire en ligne=https://archive.org/details/synopsisofelemen00carrrich}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Ce livre même, qui était encore exposé dans cette bibliothèque lorsque [[Bruce Carl Berndt|Berndt]] l'avait visitée, a été volé depuis, comme le raconte [[Ken Ono]], qui espérait y trouver des notes marginales de Ramanujan{{sfn|Ono|2006}}.}}, contenant plusieurs milliers de résultats d'[[Analyse (mathématiques)|analyse]] et de géométrie{{note|groupe=n|texte=[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]], repris par de nombreux commentateurs, parle de {{unité|6165|résultats}}, mais en réalité, [[Bruce Carl Berndt|Berndt]] ne recense dans ce livre qu'un peu plus de {{unité|4000|théorèmes}}.}}, mais ne donnant que quelques indications sur leurs démonstrations, ce que [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] déplorera par la suite en attribuant à cet ouvrage le style elliptique et non rigoureux de Ramanujan{{sfn|Hardy|1937|p=139}}. Cependant, c'est ce livre qui fait entrer Ramanujan dans l'univers des mathématiques{{sfn|Kanigel|1991|p=39}}{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur=Tucker McElroy|titre=A to Z of Mathematicians|année=2005|isbn=0-8160-5338-3|passage=221}}.</ref>. À dix-sept ans, il étudie en profondeur les [[nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]] et calcule la [[constante d'Euler-Mascheroni|constante d'Euler]] jusqu'à {{nobr|15 décimales}} ; à cette époque, ses camarades affirment {{citation|ne le comprendre que rarement}}{{sfn|Kanigel|1991|p=27}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|We, including teachers, rarely understood him.}}}}.

[[Fichier:Kumbakonam College Entrance.jpg|vignette|gauche|Le ''[[Government Arts College de Kumbakonam|Government College]]'' de [[Kumbakonam]], où Ramanujan passa l'année 1904.|alt=Vue de l'entrée du collège, avec le campanile en arrière-plan.]]

Diplômé de la ''{{langue|en|Town Higher Secondary School}}'' de Kumbakonam en 1904, Ramanujan reçoit le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques, des mains du directeur de l'école, M. Krishnaswami Iyer{{note|groupe=n|nom=iyer}}. C'est ce dernier qui le recommande au ''Government College'', le qualifiant d'étudiant exceptionnel. Mais à cause de sa focalisation sur les seules mathématiques, Ramanujan perd sa [[bourse d'études]] et quitte le domicile familial, en {{date-|août 1905}}, pour s'installer à [[Visakhapatnam]]. Au début de l'année 1906, il s'inscrit au ''{{langue|en|Pachaiyappa's College}}'' de Madras{{sfn|Kanigel|1991|p=53}}. Toujours excellent en mathématiques, mais médiocre dans les autres disciplines comme la biologie{{note|groupe=n|texte=Ses convictions religieuses sont heurtées par les dissections de grenouilles auxquelles on l'oblige{{sfn|Kanigel|1991|p=54}}.}}, Ramanujan échoue à l'examen de {{date-|décembre 1906}} et échoue à nouveau l'année suivante{{sfn|Kanigel|1991|p=54}}. À partir de 1908, il n'essaie plus de suivre un cursus conventionnel, mais continue des recherches personnelles en mathématiques, tout en vivant dans une grande pauvreté matérielle. À cette époque, faute de papier, il effectue ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs sur un cahier. Il conservera cette méthode de travail toute sa vie{{sfn|Kanigel|1991|p=55-56}} ; de plus, son isolement l'amène à se construire un [[Notation (mathématiques)|système de notation]] personnel, qui rendra par la suite difficilement déchiffrable son travail{{note|groupe=n|texte=Il utilise par exemple des lettres non conventionnelles pour certaines variables et fonctions{{sfn|Berndt|1985|loc={{vol.|I}}, {{p.|5}}}}{{,}}{{sfn|Kanigel|1991|p=342}}.}}.

=== Premiers travaux ===
Inquiète de ses échecs qui obscurcissent son avenir, la famille de Ramanujan décide de le marier. Le {{date|14 juillet 1909}}, il épouse Janaki Ammal, âgée de dix ans<ref name=janaki>{{Lien web|langue=en|auteur=K. Srinivasa Rao|titre=''Ramanujan’s wife: Janakiammal (Janaki)''|mois=février|année=2003|url=http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/newnow/janaki.pdf|site=imsc.res.in|éditeur=[[Institut des sciences mathématiques de Chennai]]|format=pdf|consulté le=8 mai 2018}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Les témoignages diffèrent sur ce mariage. Arrangé depuis déjà quelque temps, et symbolique jusqu'à la puberté de la jeune fille, il aurait failli être annulé, Ramanujan ne s'étant rendu chez ses beaux-parents que très tardivement. Cependant, une fois marié, il prit ses responsabilités de chef de famille très au sérieux, et après sa mort, sa veuve devait déployer une énergie sans faille pour que ses travaux et sa mémoire soient préservés<ref name=janaki/>.}}. Pour survivre, il prépare des étudiants à leurs examens de fin d'année, au ''Presidency College''. Des problèmes de santé apparaissent dès la fin des années 1900. Il demande à son ami Radakrishna Iyer{{note|groupe=n|nom=iyer|texte=[[Iyer]] (ou Aiyer, Ayyar{{etc.}}) est le nom de [[Castes en Inde|caste]] [[brahmane]], ce qui explique sa présence fréquente comme nom propre dans certaines sources, et les confusions qui en résultent{{sfn|Kanigel|1991|p=77}}.}} de donner en cas de malheur [[Cahiers de Ramanujan|ses cahiers mathématiques]] au professeur Singaravelu Mudaliar, du ''{{langue|en|Pachaiyappa's College}}'', ou au professeur britannique Edward B. Ross, du ''{{langue|en|Christian College}}''{{note|groupe=n|texte=Il souffre d'un [[hydrocèle]] qui sera finalement opéré gratuitement en 1910 ; l'opération le laisse affaibli et anxieux{{sfn|Kanigel|1991|p=72, 74-75}}.}}.

Après sa guérison, Ramanujan part en train de Kumbakonam à [[Viluppuram]], ville alors sous contrôle français et y rencontre [[V. Ramaswamy Aiyer]]{{note|groupe=n|nom=iyer}}, fondateur de la [[Société mathématique indienne]]. Ramanujan, qui envisage un emploi au département des recettes où Ramaswamy travaille, lui montre ses cahiers de mathématiques. Ramaswamy le racontera plus tard{{sfn|Kanigel|1991|p=77}} : {{Citation|J'ai été frappé par les résultats mathématiques extraordinaires qu'ils contenaient. Je n'avais pas le cœur d'étouffer son génie en lui attribuant un poste au bas de l'échelle dans le ministère du Budget{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|I was struck by the extraordinary mathematical results contained in it. I had no mind to smother his genius by an appointment in the lower rungs of the revenue department.}}}}.}}

Ramaswamy envoie Ramanujan à Madras, muni de lettres de recommandation, chez des amis mathématiciens, desquels il obtient de nouvelles lettres de recommandation auprès de [[R. Ramachandra Rao]], le secrétaire de la Société mathématique indienne. Ce dernier est impressionné par les résultats de Ramanujan, tout en émettant des doutes sur leur authenticité. C'est seulement après avoir discuté avec ce jeune prodige d'[[intégrale elliptique|intégrales elliptiques]], de [[série hypergéométrique|séries hypergéométriques]] et de [[série divergente|séries divergentes]], qu'il est convaincu de ses capacités{{sfn|Kanigel|1991|p=80}}. Ayant demandé à Ramachandra un emploi et un soutien financier, Ramanujan est envoyé à [[Madras]], où il peut continuer ses recherches, tandis que Ramaswamy l'aide à publier ses résultats dans le ''{{langue|en|Journal of the [[Société mathématique indienne|Indian Mathematical Society]]}}''{{sfn|Kanigel|1991|p=86}}{{,}}<ref name=indian>{{article|langue=en|auteur=Bruce C. Berndt, Youn Seo Choi et Soon Yi Kang|journal=Contemporary Mathematics|date=1997|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=D87937F8445F548D2A9A962B78B62B0D?doi=10.1.1.39.9228&rep=rep1&type=pdf|titre=The Problems Submitted by Ramanujan to
the Journal of the Indian Mathematical Society}}</ref>.

L'une de ses premières contributions à ce journal est un problème qui demande de déterminer la valeur d'un [[Radical imbriqué#Radicaux infinis de Ramanujan|radical imbriqué infini]], un objet certes inhabituel, mais qui ne devrait pas effrayer un mathématicien. Pourtant, après six mois, n'ayant toujours reçu aucune solution, il publie la réponse, ainsi que quelques indications sommaires pour l'obtenir{{sfn|Kanigel|1991|p=87}}.

En 1911, Ramanujan écrit pour le ''Journal'' un article de dix-sept pages sur les [[nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]], contenant plusieurs théorèmes et conjectures{{sfn|Kanigel|1991|p=91}}. À cette époque, son style d'écriture laisse encore beaucoup à désirer. Comme l'écrivait M. T. Narayana Iyengar{{note|groupe=n|nom=iyer}}, l'éditeur du ''Journal'',
{{citation|Les méthodes de M. Ramanujan étaient si laconiques et nouvelles, et sa présentation si peu claire et si imprécise, que le lecteur mathématicien ordinaire, peu habitué à une telle gymnastique intellectuelle, pouvait difficilement le suivre<ref>{{Article |langue=en |nom1=Seshu Iyer |prénom1=P. V. |date=juin 1920 |titre=''The Late Mr. S. Ramanujan, B.A., F.R.S.''|périodique=Journal of the Indian Mathematical Society |volume=12 |numéro=3 |page=83}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|Mr. Ramanujan's methods were so terse and novel and his presentation so lacking in clearness and precision, that the ordinary [mathematical reader], unaccustomed to such intellectual gymnastics, could hardly follow him.}}}}.}}

En {{date-|mars 1912}}, Ramanujan obtient finalement un poste permanent de comptable auprès du Trésorier général de Madras, un travail lui laissant assez de loisirs pour se consacrer complètement aux mathématiques{{sfn|Kanigel|1991|p=96}}.

=== Prise de contact avec les mathématiciens britanniques ===
À la fin de {{date-|1912}}, Narayana, Ramachandra et [[Edgar William Middlemast]] tentent de présenter les travaux de Ramanujan à des mathématiciens britanniques. [[Micaiah John Muller Hill]], de l'[[University College de Londres]], trouve les articles de Ramanujan trop lacunaires{{sfn|Kanigel|1991|p=105}} et affirme que, bien que Ramanujan {{citation|ait du goût pour les mathématiques, et de réelles capacités}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|a taste for mathematics, and some ability}}}}, il manque des bases nécessaires pour être accepté par ses confrères mathématiciens{{note|groupe=n|texte=Lettre de M. J. M. Hill à C. L. T. Griffith (un de ses anciens étudiants lui ayant écrit au nom de Ramanujan), 28 novembre 1912 ({{en}} P.K. Srinivasan, ''Ramanujan: An Inspiration'', memorial vols., 1 and 2, Muthialpet High School, Madras, 1968).}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Bien que certaines des critiques de Hill soient judicieuses, Ramanujan devait se plaindre dans sa deuxième lettre à Hardy que Hill ait cru bon de lui conseiller un livre d'analyse élémentaire pour lui {{citation|éviter de tomber dans le piège des séries divergentes}}, comme si Ramanujan n'était pas capable de se rendre compte tout seul qu'écrire que <math>1+2+3+\cdots=-1/12</math> n'avait aucun sens dans le langage usuel des sommes de séries ; on trouvera plus de détails dans l'article [[Somme de Ramanujan]].}}. Même si Hill ne propose pas de prendre Ramanujan comme étudiant, il lui offre des conseils professionnels détaillés sur son travail. Aidé par ses amis, Ramanujan écrit alors des lettres aux mathématiciens les plus prestigieux de l'[[université de Cambridge]]{{sfn|Kanigel|1991|p=106}}.

[[Fichier:Godfrey Harold Hardy 1.jpg|vignette|gauche|redresse|alt=Portrait en noir et blanc de Godfrey Harold Hardy assis dans un fauteuil.|[[Godfrey Harold Hardy]], dans la bibliothèque du [[Trinity College (Cambridge)|Trinity College]].]]

Les deux premiers, [[Henry Frederick Baker]] et [[Ernest William Hobson]], renvoient les articles de Ramanujan sans commentaires{{sfn|Kanigel|1991|p=170-171}}. Le {{date-|16 janvier 1913}}, Ramanujan envoie alors à [[Godfrey Harold Hardy]] une lettre de neuf pages, que ce dernier prend d'abord pour une mystification{{note|groupe=n|texte=Ramanujan semblait s'y attribuer des théorèmes bien connus ; de plus, l'un des résultats qu'il énonçait sur les [[nombre premier|nombres premiers]] était certainement faux. Hardy devait déclarer par la suite qu'il comprenait la réaction de ses collègues, lesquels avaient certainement dû penser qu'il s'agissait d'un « illuminé » (''crank'') comme on en voyait si souvent{{sfn|Kanigel|1991|p=161 et 169}}.}} : Hardy reconnaît bien certaines des formules qui y figurent, mais d'autres lui {{citation|semblent à peine croyables}}{{sfn|Hardy|1920}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|seemed scarcely possible to believe.}}}}. En particulier, la plupart des étranges [[fraction continue|fractions continues]] de la dernière page du manuscrit laissent Hardy perplexe, avouant qu'il n'avait {{citation|jamais vu auparavant quoi que ce soit qui leur ressemble même vaguement}}{{note|groupe=c|nom=jamais|texte={{citation étrangère|langue=en|I had never seen anything in the least like them before .}}}}. Il fait à leur sujet cette remarque, aujourd'hui devenue célèbre : {{citation|Ces théorèmes doivent être vrais, car s'ils n'étaient pas vrais, personne n'aurait assez d'imagination pour les inventer}}{{sfn|Kanigel|1991|p=168}}{{,}}{{note|groupe=c|nom=vraie|texte={{citation étrangère|langue=en|They must be true, because, if they were not true, no one would have the imagination to invent them.}}}}.

Hardy demande alors à son collègue [[John Edensor Littlewood|J. Littlewood]] de lire ce manuscrit{{note|groupe=n|texte=Selon Hardy, il avait reçu la lettre au courrier du matin, y avait jeté un bref coup d'œil, estimé qu'il s'agissait d'une plaisanterie, et n'y avait plus pensé. Mais certaines des formules le hantèrent toute la journée ; il prit finalement contact avec Littlewood et ils s'isolèrent dans la soirée dans la bibliothèque de Cambridge, pour en ressortir au bout de deux heures et demi, {{citation|désormais certains qu'il s'agissait d'un homme de génie}}{{sfn|Kanigel|1991|p=162-163 ; 169}}.}}. Stupéfié, ce dernier affirme qu'il ne peut provenir que d'un {{citation|homme de génie}}{{note|texte=Cité par [[Charles Percy Snow|C. P. Snow]]{{sfn|Hardy|1985|loc=Postface}}.}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|A man of genius}}}}, un qualificatif souvent repris de nos jours<ref name="S&V">« Sortie en DVD de l'incroyable histoire d'un génie des mathématiques », ''[[Science et Vie]]'', mars 2017, {{p.|126-127}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte= [[Robert Kanigel]] a ainsi donné à [[The Man Who Knew Infinity|la biographie qu'il a écrite]] le titre {{citation étrangère|langue=en|The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan}} [« L'homme qui connaissait l'infini : une vie du génie Ramanujan »]{{sfn|Kanigel|1991}}.}}. Hardy déclarera à la mort de Ramanujan que cette lettre est {{citation|sûrement la plus remarquable qu'il a jamais reçue}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|certainly the most remarkable that I have ever received.}}}} et montre que son auteur est {{citation|un mathématicien de toute première qualité, un homme d'une puissance et d'une originalité exceptionnelles}}{{sfn|Hardy|1920}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|A mathematician of the highest quality, a man of altogether exceptional originality and power.}}}}.

Le {{date-|8 février 1913}}, Hardy répond à Ramanujan ; il lui exprime son intérêt pour son travail et lui signale qu'il est {{citation|essentiel qu'il examine la démonstration de certains résultats}}{{sfn|Kanigel|1991|p=173}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|It is essential I should see proofs of some of your assertions.}}}}. Avant même que sa lettre n'arrive à Madras, Hardy contacte le [[bureau de l'Inde]] dans le but d'organiser un séjour de Ramanujan à Cambridge. Arthur Davies, secrétaire du comité d'aide aux étudiants indiens, rencontre Ramanujan au début de 1914 pour discuter des détails de ce séjour, mais pour ne pas contrevenir à son éducation brahmane{{note|groupe=n|texte=Pour un brahmane orthodoxe, traverser l'océan était à cette époque un tabou connu sous le nom de [[Kala pani (tabou)|Kala pani]].}} et pour ne pas heurter sa famille{{note|nom=decision|groupe=n|texte=Une analyse plus nuancée de cette décision est donnée par Kanigel : Ramanujan aurait prétendu par la suite que son refus ne venait pas de lui, mais de son ami Narayana, cependant cette déclaration pourrait n'avoir été qu'un moyen de sauver la face{{sfn|Kanigel|1991|p=184-186}}.}}, Ramanujan refuse de quitter son pays pour {{citation|une terre étrangère}}{{sfn|Kanigel|1991|p=185}}{{,}}{{note|groupe=c|texte= {{citation étrangère|langue=en|a foreign land}}}}. Cependant, il a entre-temps envoyé à Hardy une seconde lettre remplie de théorèmes, dans laquelle il écrit : {{citation|J'ai trouvé en vous un ami qui examine mes travaux avec bienveillance}}{{sfn|Kanigel|1991|p=176}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|I have found a friend in you who views my labours sympathetically.}}}}. [[Gilbert Walker]], qui travaille alors avec Hardy au [[Trinity College (Cambridge)|Trinity College]], étudie alors les travaux de Ramanujan, exprimant lui aussi son étonnement, et insiste pour que le jeune homme vienne travailler à Cambridge{{sfn|Kanigel|1991|p=175}}. 

À la suite de sa décision de rester en Inde{{note|nom=decision|groupe=n}}, Narayana et Ramachandra réunissent le bureau d'études mathématiques de l'[[université de Madras]] pour discuter de {{citation|ce qu'on pouvait faire pour Ramanujan}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1=Ram|prénom1=Suresh|titre=Srinivasa Ramanujan|année=1972|éditeur=National Book Trust|lieu=New Delhi|isbn=|passage=29}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|what we can do for S. Ramanujan.}}}}. Le bureau décide de lui attribuer une bourse de recherche de {{nobr|75 roupies}} par mois durant deux ans, soit plus du double de son salaire de comptable{{sfn|Ranganathan|1967|pp=30–31}}. Durant cette période, Ramanujan continue de proposer des articles au ''Journal of the Indian Mathematical Society''. Ainsi, Narayana publie certains théorèmes sur la [[série divergente|sommation de séries divergentes]], en les lui attribuant{{sfn|Kanigel|1991|p=182}} ; une autre série de théorèmes publiés dans ce journal porte sur le calcul d'intégrales définies. Ramanujan généralise une méthode due à [[Giuliano Frullani]]{{sfn|Kanigel|1991|p=183}}.

Après que Ramanujan a décliné l'invitation de Hardy, la correspondance avec celui-ci se gâte quelque peu. Hardy propose alors à E. H. Neville, un collègue donnant des conférences à Madras, de superviser les travaux de Ramanujan, et d'essayer de le convaincre de venir{{sfn|Kanigel|1991|p=184}}. Cela se révèle inutile, car entre-temps la mère de Ramanujan fait un rêve dans lequel la [[Kuladevata|déesse familiale]] [[Namagiri Thayar]] lui a recommandé de « ne plus s'interposer entre son fils et l'accomplissement de son destin »<ref name="Neville293">{{Article|langue=en|nom1=Neville|prénom1=Eric Harold|date=mars 1942|titre=''Srinivasa Ramanujan''|périodique=Nature|volume=149|numéro=3776|page=293|doi=10.1038/149292a0|bibcode=1942Natur.149..292N}}.</ref>{{,}}{{sfn|Kanigel|1991|p=168 et 190}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|to stand no longer between her son and the fulfillment of his life's purpose.}}}}. Ramanujan s'embarque alors pour l'Angleterre en laissant sa femme, alors âgée de quinze ans, à la garde de ses parents{{sfn|Kanigel|1991|p=194}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Elle avait demandé à Ramanujan de l'accompagner, mais il avait refusé (peut-être influencé par Ramachandra), lui expliquant qu'il ne pourrait pas se concentrer sur ses mathématiques, tant elle était jeune et jolie{{sfn|Kanigel|1991|p=194}}.}}.

=== Séjour en Angleterre ===
[[Fichier:RamanujanCambridge.jpg|vignette|gauche|alt=Photographie noir et blanc d'un groupe de sept hommes, posant, de face, en toge noire de professeur d'université, devant l'entrée d'un bâtiment.|Ramanujan (au centre) et [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] (à l'extrême droite) devant le [[Senate House (université de Cambridge)|Senate House de l’université de Cambridge]], vers 1915.]]
[[Fichier:Whewell's Court, Trinity College, Cambridge.jpg|vignette|droite|redresse|alt=Photo couleur de la façade ornementale d'un bâtiment à trois étages en pierre de couleur beige. Un ciel bleu, en arrière-plan, et un trottoir au premier.|Whewell's Court, au [[Trinity College (Cambridge)]].]]

Ramanujan arrive à Londres le {{date-|14 avril 1914}} après un mois de traversée ; il est accueilli par Neville qui le loge chez lui à Cambridge, et il commence aussitôt à travailler avec Hardy et Littlewood{{sfn|Kanigel|1991|p=196}}. Au bout de six semaines, Ramanujan emménage à Wheewell's Court, à cinq minutes à pied du logement de Hardy{{sfn|Kanigel|1991|p=202}}, et ce dernier et Littlewood peuvent étudier ses cahiers. Hardy a déjà reçu {{nobr|120 formules}} et théorèmes dans les deux premières lettres, mais les cahiers en contiennent beaucoup plus. Certains sont faux{{note|groupe=n|texte=Hardy remarquera par la suite que ces erreurs proviennent du manque de maîtrise par Ramanujan des techniques modernes de l'analyse, mais, ajoutera-t-il, ces échecs sont en un sens plus spectaculaires encore que ses réussites (préface de l'édition de 1927{{sfn|Ramanujan|1962}}) ; il reviendra sur cette remarque dans ses conférences à partir de 1937, observant que ces erreurs apparentes cachent souvent des résultats exacts plus profonds, qu'il faut découvrir{{sfn|Hardy|1940}}.}}, et d'autres sont déjà connus, mais la majorité constitue des découvertes importantes{{sfn|Hardy|1940|p=10}}, leur faisant à tous deux une forte impression. Littlewood commente {{citation|qu'il le croit au moins du calibre d'un [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Jacobi]]}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|I can believe that he's at least a Jacobi.}}}} tandis que Hardy {{citation|ne peut le comparer qu'à [[Leonhard Euler|Euler]] ou à Jacobi}}<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=Hardy |prénom1=G. H. |titre=Collected Papers of G. H. Hardy |année=1979 |éditeur=Oxford University Press |lieu= Oxford |isbn= |volume=7|pages totales=720}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|I can compare him only with Euler or Jacobi.}}}}. Hardy, qui aimait classer les [[mathématicien]]s sur une échelle de 1 à 100, s'attribuera par la suite 25, donnera 30 à Littlewood, 80 à [[David Hilbert]] et 100 à Ramanujan{{note|groupe=n|texte=[[Bruce Carl Berndt]] tenait cette information de [[Paul Erdős]]<ref>{{Article|langue=en |auteur=B. C. Berndt|titre=''Srinivasa Ramanujan''|périodique= The American Scholar|numéro= 58|année=1989|page= 234-244}}.</ref>.}}.

Hardy et Ramanujan ont des personnalités contrastées, et leur collaboration voit s'affronter des cultures, des croyances et même des styles de travail opposés. Les décennies précédentes ont connu en Occident une [[crise des fondements]] des mathématiques, rendant nécessaire une [[logique mathématique|approche rigoureuse]] des démonstrations, dont Hardy est un fervent partisan{{note|groupe=n|texte=Il explique en 1927 que les plus grands échecs de Ramanujan ont eu lieu en [[théorie analytique des nombres]], là où {{citation|deviner le théorème n'est presque rien, et où seule la démonstration rigoureuse permet d'éviter des erreurs [que même [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] a pu commettre]}}{{sfn|Hardy|1927|p=151 et 154}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|It is comparatively easy to make clever guesses, but nothing short of absolute rigour counts.}}}}.}}, alors que Ramanujan compte sur son instinct et ses intuitions fulgurantes. Hardy fera de son mieux pour combler les lacunes dans l'éducation de Ramanujan et pour le convaincre d'appuyer ses résultats sur des preuves rigoureuses, sans pour autant brider son inspiration ; le conflit entre les deux approches est pénible à chacun, et Hardy déplorera par la suite à plusieurs reprises que Ramanujan n'ait pas reçu une éducation plus traditionnelle, qui lui aurait peut-être {{citation|permis de devenir le plus grand mathématicien de son temps}}{{sfn|Hardy|1920}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|He might have become the greatest mathematician of his time.}}}} ; il fait cependant remarquer qu'il n'a pas pris le temps de lui demander d'où provenaient exactement ses connaissances, car, dit-il, {{citation|pourquoi lui aurais-je demandé s'il connaissait tel ou tel résultat, quand il me montrait pratiquement chaque jour une demi-douzaine de nouveaux théorèmes{{sfn|Hardy|1937|p=146}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|It seemed ridiculous to worry him about how he had found this or that known theorem, when he was showing me half a dozen new ones almost every day.}}}} ?}}

Ramanujan reçoit un [[Bachelor of Science]] « de recherche » (grade disparu correspondant au [[Doctorat#Amérique (PhD)|Ph. D.]] actuel) en mars 1916 pour son travail sur les [[nombre hautement composé|nombres hautement composés]], travail dont la première partie a été publiée dans les ''{{langue|en|Proceedings of the [[London Mathematical Society]]}}''<ref name=hc>{{Article|langue=en|prénom=S.|nom=Ramanujan|titre=''Highly composite numbers''|lire en ligne=http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram15.pdf|doi=10.1112/plms/s2_14.1.347|périodique=Proc. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]] (2)|volume=14|année=1915|page=1347-409}} ; retrouvé dans les [[cahiers de Ramanujan]], le reste du mémoire a été complété et commenté en 1997 par Jean-Louis Nicolas et Guy Robin dans le ''Ramanujan Journal'' ({{en}} [http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf lire en ligne]). </ref>. Cet article de plus de {{nobr|60 pages}} démontre de nombreuses propriétés de ces nombres ; Hardy remarquera {{citation|qu'il s'agissait d'un travail de recherche des plus inhabituels, et que Ramanujan y avait fait preuve d'une ingéniosité extraordinaire}}<ref name=hc/>{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|This long memoir represents work, perhaps, in a backwater of mathematics, […] it shows very clearly Ramanujan’s extraordinary mastery over the algebra of inequalities.}}}}.

Le {{date-|6 décembre 1917}}, il est admis dans la [[London Mathematical Society]] ; en 1918, il est élu [[Royal Society|Fellow of the Royal Society]] {{citation|pour ses recherches sur les [[Fonction elliptique|fonctions elliptiques]] et la théorie des nombres}}, devenant le second Indien à y être admis, après [[Ardaseer Cursetjee]] en 1841. La même année, le {{date-|13 octobre 1918-}}, il est le premier Indien à devenir [[Trinity College (Cambridge)|Fellow of Trinity College]]{{sfn|Kanigel|1991|p=299-300}}.

Au total, Ramanujan passe près de cinq ans à Cambridge, y publiant beaucoup de ses découvertes, dans une vingtaine d'articles réunis après sa mort en un livre par Hardy et ses collaborateurs{{sfn|Ramanujan|1962}} ; la [[Première Guerre mondiale]] n'empêche pas ces articles de susciter une grande attention, car ils ouvrent de nouvelles pistes de recherche{{sfn|Hardy|1920}}.

=== Maladie et mort ===
Durant toute sa vie, Ramanujan a été tourmenté par des problèmes de santé. Son état s'aggrave en Angleterre, peut-être en raison du climat, et des difficultés à maintenir le strict régime végétarien exigé par son [[brahmanisme]] orthodoxe, au milieu des restrictions dues à la guerre entre 1914 et 1918. Diagnostiqué [[Tuberculose|tuberculeux]], et souffrant d'un déficit sévère en [[vitamine]]s, il fréquente plusieurs établissements hospitaliers à partir de 1917, avant d'être admis en [[sanatorium]] à [[Putney]], où Hardy lui rend des visites fréquentes<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Srinivasa Ramanujan Aiyangar|auteur2=Bruce C. Berndt|auteur3=Robert Alexander Rankin|traduction titre=Ramanujan : lettres et commentaires|titre=Ramanujan|sous-titre=Letters and Commentary|éditeur=[[American Mathematical Society]]|collection=''History of mathematics''|lieu=[[Providence (Rhode Island)|Providence]]|année=1995|pages totales=347|passage=3|isbn=978-0-8218-0287-8|oclc=901689611|lire en ligne={{Google Livres|id=Of5G0r6DQiEC|page=3}}}}.</ref>. En février 1918, très déprimé, affaibli et démoralisé, semble-t-il, par la nourriture proposée dans ces établissements{{sfn|Kanigel|1991|p=297}},  le jeune mathématicien tente de se suicider en se jetant sous les roues d'une rame du [[Métro de Londres|métro londonien]]{{note|groupe=n|texte= Arrêté par des agents de [[Scotland Yard]], sain et sauf {{incise|le train avait été stoppé quelques mètres avant l'endroit où le jeune homme s'était laissé tomber}}, il est libéré grâce à l'intervention de Hardy<ref>{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=en|auteur=Kameshwar C. Wali|traducteur=Anne Magnon|titre=Chandrasekhar, la naissance de l'astrophysique|titre original=''Chandra : a biography of Chandra S. Chandrasekhar''|éditeur=Diderot Editeur, Arts et sciences|collection=Biographie|lieu=[[Paris]]|année=1997|année première édition=1990|pages totales=350|passage=281-283|isbn=978-2-86332-214-7|oclc=36998066|bnf=36966939}}.</ref>{{,}}{{sfn|Berndt|Rankin|2001|p=77-80}}.}}. Cependant, à partir du printemps 1918, une succession de bonnes nouvelles, dont son admission à la Royal Society, lui redonne le moral, tandis que la fin de la guerre en novembre lui permet d'envisager un retour en Inde{{sfn|Kanigel|1991|p=307}}.

En mars 1919, apparemment en meilleure santé, mais encore fragile, il retourne à [[Kumbakonam]] rejoindre sa femme et ses parents ; sa réputation (due aux honneurs reçus en Angleterre) l'a précédé, et on lui propose en particulier un poste de professeur d'université à Madras, qu'il déclare accepter dès qu'il sera complètement guéri{{sfn|Kanigel|1991|p=317}} ; cependant, peut-être à cause de la chaleur excessive, il recommence à s'affaiblir durant l'été, ce qui ne l'empêche pas de continuer à produire de nouveaux résultats mathématiques{{note|groupe=n|nom=theta|texte= L'importance de ces résultats (concernant en particulier les « [[fonction thêta|fausses fonctions thêta]] » qu'il a construites) ne sera pleinement reconnue qu'après la redécouverte du « cahier perdu » en 1976{{sfn|Kanigel|1991|p=325}}.}}, mais ses derniers mois sont assez pénibles{{note|groupe=n|texte= Il souffre en permanence de douleurs à l'estomac, et son caractère, jusque là tranquille et optimiste, s'en ressent, mais, alité,  il continue ses recherches jusqu'à ses derniers jours{{sfn|Kanigel|1991|p=329}}.}} ; il meurt le {{date-|26 avril 1920}}, à l'âge de {{nobr|32 ans}}{{sfn|Kanigel|1991|p=329}}{{,}}{{sfn|Hardy|1921}}.

En 1994, une analyse des dossiers médicaux et des symptômes de Ramanujan par le docteur D. A. B. Young<ref>{{article|langue=en|auteur=D. A. B. Young|titre=''Ramanujan's Illness''|volume=48|numéro=1|périodique=Notes and records of the Royal Society of London|éditeur=[[Royal Society]]|lieu=[[Londres]]|année=1994|mois=janvier|pages=107-119|jstor=531423}}.</ref> amène ce dernier à conclure que sa maladie ressemblait beaucoup plus à une [[amœbose]] hépatique (une maladie alors [[Endémisme|endémique]] à Madras) qu'à la tuberculose. En effet, Ramanujan avait connu deux épisodes de [[dysenterie]] avant de quitter l'Inde. Or lorsqu'elle n'est pas correctement traitée, la dysenterie peut effectivement devenir chronique, et conduire à une amœbose<ref name="lostnotebook">{{Lien web|langue=en|url=http://www.las.illinois.edu/alumni/magazine/articles/2006/lostnotebook/|titre=''Raiders of the Lost Notebook''|consulté le=11 janvier 2014|nom1=Peterson|prénom1=Doug|éditeur=UIUC College of Liberal Arts and Sciences}}.</ref>, alors que correctement diagnostiquée (mais les erreurs n'étaient alors pas rares), la maladie aurait pu être soignée et même guérie à cette époque<ref name="lostnotebook"/>{{,}}<ref>{{article|langue=en|nom1=Gunn|prénom1=J. W. C.|nom2=Savage|prénom2=B.|année=1919|titre=''Report on the Treatment of Entamoeba Histolytica Infections''|périodique=Journal of the Royal Army Medical Corps|volume=33|numéro=5|passage=418-426}}.</ref>.

== Personnalité et vie religieuse ==
[[Fichier:Gopuras in Kumbakonam - India.JPG|droite|vignette|alt=Photo couleur de deux tours d’un temple hindou, surchargées de frises colorées superposées. Un ciel nuageux en arrière-plan.|Temple de Sarangapani à [[Kumbakonam]], où Ramanujan et sa famille offraient des prières à [[Vishnou]]{{sfn|Kanigel|1991|p=29-30}}.]]

Ramanujan est décrit par ses amis indiens comme amical et tranquille, capable de plaisanter en [[tamoul]] et en anglais ; sa passion pour les mathématiques lui donne un charme et une innocence que tous lui reconnaissent, et lui attire des amis désireux de l'aider{{sfn|Kanigel|1991|p=76}}. À [[Cambridge]], son entourage en parle comme d'un compagnon au caractère timide et calme, mais s'animant d'un enthousiasme communicatif lorsqu'il expose ses idées mathématiques ou philosophiques en petit comité ; c'est un personnage digne aux manières agréables et à l'existence spartiate<ref name="Ramanujan's Personality">{{Lien web|langue=en|auteur=K. Srinivasa Rao|titre=''Ramanujan's Personality''|mois=mars|année=2003|site=imsc.res.in|éditeur=[[Institut des sciences mathématiques de Chennai]]|url=http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/newnow/pcm5.htm}}.</ref>.

Les premiers biographes indiens de Ramanujan insistent sur son [[hindouisme]] rigoureusement orthodoxe, et affirment qu'il attribue sa capacité de réflexion à sa [[Kuladevata|déesse familiale]], [[Namagiri Thayar]], qu'il compte sur elle pour l'inspirer dans son travail{{sfn|Kanigel|1991|p=36}} et qu'il prétend avoir rêvé de gouttes de sang symbolisant son époux, [[Narasimha]], [[Avatar (hindouisme)|avatar]] de [[Vishnou]], après avoir reçu les visions de rouleaux de formules mathématiques complexes se déroulant sous ses yeux{{sfn|Kanigel|1991|p=281}}. Selon ces biographes, Ramanujan dit souvent : {{Citation |Une équation pour moi n'a aucune signification, à moins qu'elle ne représente une pensée de Dieu{{Sfn|Ranganathan|1967|p=88}}{{,}}<ref>{{Article|langue=en|titre=''Less Proof, More Truth''|lien périodique=New Scientist|périodique=[[New Scientist]]|numéro=2614 |date=2007-07-28 |pages=49|lien auteur=Gregory Chaitin|nom=Chaitin|prénom=Gregory}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|An equation for me has no meaning unless it represents a thought of God.}}}}.}}

Cependant, Hardy tenait à ce qu'on ne considère pas Ramanujan comme un mystique dont les inspirations mathématiques proviendraient {{citation|d'une mystérieuse et immémoriale sagesse orientale}}{{sfn|Hardy|1937|p=140}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|some mysterious manifestation of the immemorial wisdom of the East.}}}}, le décrivant au contraire comme {{citation|un être humain rationnel qui se trouvait être un grand mathématicien}}{{sfn|Hardy|1937|p=140}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|a rational human being who happened to be a great mathematician.}}}} ; il cite (en insistant sur l'étonnement qu'elles lui ont causé) des remarques de Ramanujan qui montrent que toutes les religions {{citation|lui semblaient plus ou moins également vraies}}{{sfn|Hardy|1937|p=140}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|all religions seemed to him more or less equally true.}}}}. Hardy en déduisait que la piété de Ramanujan avait été idéalisée par les Occidentaux et exagérée par ses biographes indiens ; il n'évoquait pourtant là que ses croyances et non ses pratiques religieuses, se plaignant au contraire des conséquences regrettables de son observance stricte du [[végétarisme]] sur sa santé et peut-être sur son travail{{sfn|Hardy|1937|p=139}}.

== Travaux mathématiques ==
[[Fichier:Ramanujan Notebook 1 Chapter 8 on 1234 series.jpg|vignette|redresse=2|alt=Photographie noir et blanc d'un texte manuscrit, formant une démonstration mathématique.|Une [[sommation de Ramanujan]], dans son [[cahiers de Ramanujan|premier cahier]], montrant pourquoi [[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯|la somme de tous les entiers est égale à -1/12]].]]

=== Apports théoriques ===
[[Fichier:Ramanujan's "Master Theorem" page.jpg|vignette|gauche|alt=Photographie noir et blanc d'une page d'équations mathématiques manuscrites.|Une page du [[cahiers de Ramanujan|cahier de Ramanujan]] où est énoncé le ''[[master theorem de Ramanujan|master theorem]]''.]]

Les travaux de Ramanujan portent principalement sur divers aspects de la [[théorie des nombres]] (par exemple les [[nombre premier de Ramanujan|nombres premiers de Ramanujan]], les [[nombre hautement composé|nombres hautement composés]], les [[identités de Rogers-Ramanujan]], ou encore l'étude détaillée, accomplie en collaboration avec Hardy, de la fonction donnant le nombre de [[partition d'un entier|partitions d'un entier]] et en particulier à ce sujet les [[Congruences de Ramanujan|congruences qui portent son nom]]{{sfn|Hardy|1940}}), et plus particulièrement sur l'utilisation dans cette théorie de [[théorie analytique des nombres|méthodes analytiques]] comme la [[méthode du cercle de Hardy-Littlewood|méthode du cercle]] (qu'il a contribué à développer), ainsi que sur l’utilisation des [[fonction elliptique|fonctions elliptiques]] et [[forme modulaire|modulaires]], et des [[fonction thêta|fonctions thêta]]{{sfn|Alladi|2012|p=3-5}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Il a en particulier découvert dans la dernière année de sa vie des fonctions analogues, les « [[Fausse fonction thêta|fausses fonctions thêta]] » ; il a consigné dans le « cahier perdu »  des formules et des conjectures à leur sujet dont l'importance n'a été vraiment reconnue qu'après la redécouverte de ce cahier en 1976{{sfn|Kanigel|1991|p=325}}, et qui n'étaient pas encore pleinement comprises au début du {{s|XXI}}{{sfn|Bleicher|2014}}.}} ; [[Paul Erdős]] considérait également qu'il était l'initiateur, en [[combinatoire]], des [[méthode probabiliste|méthodes probabilistes]]<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Paul Erdős|titre=''Ramanujan and I''|traduction titre=Ramanujan et moi|mois=novembre|année=2006|jour=5|url=https://users.renyi.hu/~p_erdos/1989-29.pdf|format=pdf|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>. Il a fait par ailleurs des découvertes dans plusieurs autres domaines des mathématiques, comme en [[analyse (mathématiques)|analyse]] avec la [[sommation de Ramanujan]] ou le « ''[[master theorem de Ramanujan|master theorem]]'' », ainsi que de fécondes [[conjecture]]s, comme [[conjecture de Ramanujan|celles concernant la fonction tau]]{{sfn|Alladi|2012|p=3-5}}.

=== Formules ===
Ramanujan est célèbre pour son extraordinaire productivité en matière de formules. [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] a déclaré, faisant allusion à [[Leonhard Euler]], lui aussi grand créateur de [[Formule d'Euler|formules remarquables]], qu'il {{Citation |était né {{nobr|150 ans}} trop tard}}{{sfn|Ramanujan|1962}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|ought to have been born 150 years ago}}}}, et, concernant la lettre qu'il lui avait envoyée en 1913, que les formules qu'elles contenaient ne pouvaient qu'être justes {{Citation|car, si elles étaient fausses, personne n'aurait eu une imagination suffisante pour les inventer {{sfn|Hardy|1985}}{{,}}{{note|groupe=c|nom=vraie}}}}.

Répartis dans [[Cahiers de Ramanujan|trois cahiers]], ainsi que sur un ensemble de feuillets épars redécouvert en 1976, et appelé le « cahier perdu », pour un total d'environ {{nobr|700 pages}}<ref name=BerndtRef/>, plusieurs milliers de ses résultats ont été analysés et désormais tous démontrés (parfois à l'aide d'outils informatiques){{note|groupe=n|texte=Ce travail de vérification, s'étalant sur plus de {{nobr|25 ans}}, et achevé pour l'essentiel en 1996, est en grande partie dû à [[Bruce Carl Berndt]], avec la collaboration de plusieurs autres mathématiciens, dont [[George Andrews (mathématicien)|George Andrews]] et les frères [[Jonathan Borwein|Jonathan]] et [[Peter Borwein]] ; beaucoup de vérifications de routine ont pu être confiées à [[Mathematica]], mais Berndt attire à plusieurs reprises l'attention sur l'extraordinaire puissance de calcul de Ramanujan, lui ayant permis de découvrir et de contrôler ces résultats sans aide. La dernière de ces formules, portant sur les représentations d'entiers comme sommes de carrés, n'a été démontrée qu'en 2019<ref name="dernier"/>.}} : très peu sont faux (le plus souvent à la suite d'erreurs de copie) et les deux tiers sont originaux<ref name="ET" />{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[Bruce Carl Berndt]]|titre=Ramanujan’s Notebooks|sous-titre=Part V|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=1998|pages totales=624|isbn=978-0-387-94941-3|doi=10.1007/978-1-4612-1624-7|présentation en ligne=https://www.springer.com/us/book/9780387949413}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|url={{Google Livres|Z__xZ9pNkZMC|page=4}}|titre=Ramanujan's Notebooks, Part 5|auteur=[[Bruce Carl Berndt]]|année=1997|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|isbn=978-0-387-94941-3|page=4}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|url=http://www.frontline.in/static/html/fl1617/16170810.htm|revue=[[Frontline (magazine)]]|mois=août|année=1999|titre=''Rediscovering Ramanujan''|volume=16|numéro =17|page=650}}.</ref>. Ramanujan ne disposant pas de certaines théories, inconnues ou en cours de développement au début du {{s-|XX|e}}, comme la [[théorie analytique des nombres]], et ignorant même des résultats fondamentaux de l'[[analyse complexe]], comme le [[théorème des résidus]]{{sfn|Hardy|1937|p=145}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Bien qu’il ait contribué par exemple au développement de la [[méthode du cercle de Hardy-Littlewood|méthode du cercle]], son intuition l’a ainsi trompé dans l’étude de la [[Fonction de compte des nombres premiers|répartition des nombres premiers]] : {{citation|sa théorie ressemblait à ce qui se passerait si les zéros complexes de la [[fonction zêta de Riemann]] n'existaient pas}}{{sfn|Hardy|1921|p=44}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|It was (so to say) what the theory might be if the zeta function had no complex zeros.}}.}}}}, les méthodes qui lui ont permis de découvrir une telle quantité de formules et de théorèmes restent obscures<ref name="ET">{{article|langue=fr|auteur1=Édouard Thomas|titre=Les mystérieux carnets de Ramanujan enfin décryptés|périodique=Maths Société Express, Comité international des jeux mathématiques (www.cijm.org)|volume=|numéro=|jour=|mois=|année=2016|pages=57 à 62|lire en ligne=}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Certaines déclarations de Ramanujan, attribuant par exemple ces formules à [[Namagiri Thayar]], sa [[Kuladevata|déesse tutélaire]]{{sfn|Kanigel|1991|p=30}}, ont contribué à entretenir le mystère. Si Hardy a insisté pour qu'on ne voie là qu'une {{citation|extraordinaire puissance de manipulations formelles, de rapidité dans la formation et le rejet d'hypothèses, et d'intuition des relations cachées entre objets apparemment sans lien}}{{sfn|Hardy|1937|p=149}}, [[Ken Ono]] mentionne sa perplexité devant certaines prédictions de Ramanujan, confirmées récemment par de pénibles calculs informatiques, et qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont Ramanujan disposait{{sfn|Ono|2006|p=649}}{{,}}{{sfn|Bleicher|2014|p=55}}.}}. Les sections suivantes donnent une idée de la variété de ces formules{{note|groupe=n|texte=On trouvera d'autres exemples avec les [[identités de Rogers-Ramanujan]], l'[[Partition d'un entier#Estimation asymptotique|estimation asymptotique]] de la [[Partition d'un entier|fonction de partition]], ou encore la [[conjecture de Ramanujan]].}}.

==== Formules de la lettre à Hardy ====
La première lettre de Ramanujan à Hardy, datée du {{date-|16 janvier 1913}}, est constituée essentiellement de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy en reconnut certains, mais d'autres lui {{citation|semblaient à peine croyables{{sfn|Hardy|1920}}}}. Ainsi, au bas de la page 3, figure l'identité suivante :
<center><math>
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{1+\frac{x^2}{(b+1)^2}}{1+\frac{x^2}{a^2}} \times\frac{1+\frac{x^2}{(b+2)^2}}{1+\frac{x^2}{(a+1)^2}}\times\cdots\,\mathrm{d}x \quad 
= \quad & \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma\left(a+\frac12\right) \Gamma(b+1) \Gamma(b-a+1)}{\Gamma(a)\Gamma\left(b+\frac12\right)\Gamma\left(b-a + \frac12 \right)},
\end{align}
</math> </center>
valable pour {{math|0 < ''a'' < ''b'' + {{sfrac|1|2}}}}, et où la [[fonction gamma|fonction gamma {{math|Γ}}]], due à [[Leonhard Euler|Euler]], généralise aux réels la [[factorielle]] (elle vérifie <math>\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)</math> et <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math> pour les entiers). Ce résultat avait déjà été obtenu par [[Gustav Conrad Bauer]] en 1859, mais Hardy l'ignorait à l'époque.

Hardy a également été fort impressionné par certaines des séries infinies manipulées par Ramanujan, par exemple les deux suivantes :
<center><math>
\begin{align}
1 \; \; & - \; 5\left(\frac12\right)^3 \; + \; \; 9 \; \left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3  \; -  \; 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 \; \; + \cdots = \; \frac{2}{\pi}, \\
1 \; \; & + \; 9\left(\frac14\right)^4 \; + \; 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4  \; +  \; 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 \; + \cdots = \; \frac{2\sqrt 2}{\sqrt\pi\,\left(\Gamma\left(\frac34\right)\right)^2}, \\
\end{align}
</math> </center>
dans lesquelles les coefficients sont en [[Suite arithmétique|progression arithmétique]] (1, 5, 9, 13,… et 1, 9, 17, 25,…). Hardy put redémontrer ces résultats à l'aide de propriétés des [[série hypergéométrique|séries hypergéométriques]] prolongeant les travaux d'[[Leonhard Euler|Euler]] et de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]], mais il trouva néanmoins qu'ils étaient {{citation|beaucoup plus surprenants}} que ceux de Gauss{{sfn|Kanigel|1991|p=167}}.

Les théorèmes sur les [[Fraction continue|fractions continues]] de la dernière page du manuscrit, tels que celui-ci (déjà démontré par [[Charles Gustave Jacob Jacobi|Jacobi]], et proche de [[Fraction continue de Gauss|résultats connus de Gauss]]) :
<center><math>\int_0^a\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}2 \operatorname{erf}(a)= \frac{\sqrt\pi}2- \cfrac{{\rm e}^{-a^2}}{2a + \cfrac{1}{a + \cfrac{2}{2a+ \cfrac{3}{a+\cfrac{4}{2a+\,\cdots}}}}}</math>, où {{math|erf}} est la [[fonction d'erreur]]</center>
laissèrent pour la plupart Hardy perplexe : il n'avait {{citation|jamais vu auparavant quoi que ce soit leur ressemblant même vaguement}}{{sfn|Kanigel|1991|p=168}}{{,}}{{note|groupe=c|nom=jamais}}.

==== Fractions continues généralisées ====
{{Article connexe|Fraction continue généralisée}}

Deux exemples spectaculaires de la créativité de Ramanujan sont les formules suivantes :
<center><math>\sqrt{\varphi+2}- \varphi = \cfrac{{\rm e}^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{{\rm e}^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{{\rm e}^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{{\rm e}^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}}</math></center>
reliant {{math|e}}, {{math|π}} et le [[nombre d'or]], <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math> (cette formule figurait dans sa première lettre à Hardy, et faisait partie de celles qui {{Citation |ne ressemblaient à rien de ce qu'il connaissait}}{{note|groupe=c|nom=jamais}}{{,}}{{sfn|Hardy|1937|p=144}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=C'est un cas particulier de la [[fraction continue de Rogers-Ramanujan]] <math>R(p)= \cfrac1{1 + \cfrac p{1 + \cfrac{p^2}{1+ \cfrac{p^3}{1+\,\cdots}}}}</math>, dont il a obtenu beaucoup de valeurs non triviales, liées aux [[identités de Rogers-Ramanujan|identités qu'il avait découvertes]]{{sfn|Hardy|1937|p=148}}.}}), et une autre mettant en jeu {{math|e}} et {{math|π}}{{note|groupe=n|texte=Une formule plus générale figure dans le deuxième cahier de Ramanujan (B. C. Berndt, ''[[#Œuvre de Ramanujan|Ramanujan's Notebooks]]'', vol. II, entrée 43, p.166) : <math> 1+\frac{x}{1\cdot 3} + \frac{x^2}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{x^3}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{x^4}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + \cfrac 1{x+\cfrac 1{1+\cfrac2 {x+\cfrac3{1+\cfrac 4{x+ \cdots }}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e^x}\pi}2x}</math> (pour <math>x>0</math>).}} :
<center><math> 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + \cfrac 1{1+\cfrac 1{1+\cfrac2 {1+\cfrac3{1+\cfrac 4{1+ \cdots }}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e}\pi}2}.</math></center>
Cette seconde formule combine une [[série (mathématiques)|série]] infinie et une [[fraction continue généralisée]] pour donner une relation entre les deux plus célèbres [[Table de constantes mathématiques|constantes des mathématiques]].

==== Séries pour {{math|π}} ====
{{Article détaillé|Approximation de π{{!}}Approximation de {{math|π}}}}
Les frères [[Jonathan Borwein|Jonathan]] et [[Peter Borwein]] ont démontré en 1987 un ensemble de formules que Ramanujan avait découvertes en 1910 et qui figuraient dans son premier article publié en Angleterre (sans aucune démonstration, et avec seulement quelques vagues indications sur leur origine)<ref>{{Article|langue=en|auteur=Nayandeep Deka Baruah, [[Bruce Carl Berndt]] et Heng Huat Chan|journal= [[Mathematical Association of America]]|année=2009|url=http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.158.2533&rep=rep1&type=pdf|titre=''Ramanujan’s Series for 1/π'' |traduction titre=Les séries de Ramanujan pour <math>1/\pi</math>}}.</ref>{{,}}<ref name=borwein>{{en}} {{pdf}} [[Jonathan Borwein|Jonathan]] et [[Peter Borwein]], ''Pi and the AGM'', Monographies et Études de la
Société mathématique du Canada, 1987 {{lire en ligne|lien=http://plouffe.fr/simon/math/Borwein%20-%20Pi%20and%20the%20AGM%20(Wiley,%201987).pdf}}.</ref>{{,}}<ref name=ramanujan1910/>, dont la plus surprenante (et d'ailleurs la plus efficace) est :
<center><math> \frac1\pi = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \displaystyle\sum^\infty_{n=0} \frac{(4n)!}{(n!)^4} \times \frac{1103 + 26390n}{(4 \times 99)^{4n}}</math></center>
Cette formule fournit huit décimales supplémentaires de 1/{{math|π}} à chaque nouveau terme de la série (et produit dès le premier terme l'excellente approximation <math> \pi \simeq \frac{9801\sqrt{2}}{4412}</math>, vraie à 10{{exp|–7}} près).

Hardy a fait remarquer que les résultats de Ramanujan cachent souvent des théories plus profondes qu'il n'y paraît{{sfn|Kanigel|1991|p=169}} ; ainsi, le résultat précédent proviendrait de l'étude du « discriminant fondamental »{{note|groupe=n|texte=Il s'agit du discriminant du [[Extension quadratique#Cas des rationnels|corps quadratique réel]] <math>{\mathbb Q}(\sqrt{58})</math>, c'est-à-dire du discriminant de la forme quadratique <math>m^2-58n^2</math> ; on trouvera une étude plus approfondie de cette notion et de ses applications dans le livre de [[Gérald Tenenbaum]] : ''Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres''<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Gérald Tenenbaum]]|titre=Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres|éditeur=[[Éditions Belin|Belin]]|lieu=[[Paris]]|collection=Échelles|année=2015|numéro d'édition=4|année première édition=1990|pages totales=592|passage=388|isbn=978-2-7011-9656-5|bnf=44452677|oclc=933777932}}.</ref>.}} {{nobr|{{mvar|d}} {{=}} −4 × 58 {{=}} −232}} de [[groupe des classes d'idéaux|nombre de classes]] {{nobr|''h''(''d'') {{=}} 2}} et serait lié à la « [[nombre presque entier|coïncidence numérique]] » <math display="inline"> \mathrm{e}^{\pi\sqrt{58}} = 396^4 - 104,000000177\dots. </math> (on a en effet {{nobr|26390 {{=}} 5 × 7 × 13 × 58}}, {{nobr|16 × 9801 {{=}} 396<sup>2</sup>}} et {{nobr|1103 {{=}} 19 × 58 + 1}})<ref name=borwein/>.

==== Radicaux imbriqués ====
{{Article détaillé|Radical imbriqué}}
Dans l'une de ses premières publications dans le ''Journal of the [[Société mathématique indienne|Indian Mathematical Society]]''{{sfn|Kanigel|1991|p=86}}, Ramanujan demandait de déterminer la valeur de [[radical imbriqué|radicaux imbriqués]] infinis tels que
:<math>r=\sqrt{1+2\sqrt{1+3 \sqrt{1+\cdots}}}</math> ; 
:à la page 105 de son [[cahiers de Ramanujan|premier cahier]], on trouve une formule plus générale :
:<math>x+n+a = \sqrt{ax+(n+a)^2 +x\sqrt{a(x+n)+(n+a)^2+(x+n) \sqrt{\cdots}}}</math>,
:d'où on déduit que la solution de la question du ''Journal''{{note|groupe=n|texte=Prendre <math>x=2</math> et <math>n=a=1</math> ; montrer la [[Suite (mathématiques)#Suite convergente|convergence]] de ce radical infini n'est pas très difficile, mais obtenir le résultat de Ramanujan demande d'ingénieuses manipulations algébriques (voir [[Radical imbriqué#Radicaux infinis de Ramanujan|une analyse plus précise]] dans l'article [[Radical imbriqué]]).}}{{,}}<ref name=indian/> est simplement {{nobr|1=''r'' = 3}}.

Dans le « cahier perdu », on trouve d'autres formules plus spectaculaires encore, par exemple<ref>{{en}} [[Bruce Carl Berndt]] , ''Ramanujan's Notebooks IV'', p(p|)[//.]? ?([1-9][0-9]*(-[1-9][0-9]*)?).</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Berndt fait remarquer qu'il n'est pas très difficile de démontrer ces formules (par exemple à l'aide d'un logiciel de calcul formel), mais que leur forme relativement simple pour ce choix précis de coefficients et de signes montre, sinon l'existence de théories profondes sous-jacentes, du moins la virtuosité de Ramanujan.}}
: <math>\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots}}}}}}}=\frac{2+\sqrt5+\sqrt{15-6\sqrt5}}2</math> (où la séquence des signes <math>(+,+,-,+)</math> se reproduit périodiquement).

==== Autres identités algébriques ====
Sa virtuosité dans la manipulation des nombres algébriques l'a amené à produire de surprenantes égalités telles que<ref>{{en}} [[Bruce Carl Berndt]], ''Ramanujan's Notebooks IV'', p.39.</ref> :
:<math>\left(\cos\frac{2\pi}9\right)^{1/3}+\left(\cos\frac{4\pi}9\right)^{1/3}-\left(\cos\frac{\pi}9\right)^{1/3}=\left(\frac{3(9^{1/3}-2)}2\right)^{1/3}</math>, 
qu'il avait également proposé comme problème dans le ''Journal of the [[Société mathématique indienne|Indian Mathematical Society]]''<ref name=indian/>.

Dans un genre un peu différent, il découvrit également plusieurs identités permettant de construire des exemples de sommes de trois cubes égales à un cube<ref>{{MathWorld|nom_url=DiophantineEquation3rdPowers|titre=Diophantine Equation — 3rd Powers}}.</ref>, comme celle-ci :
:<math>(3x^2+5xy-5y^2)^3 + (4x^2-4xy+6y^2)^3 + (5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3 </math>
qui généralise la curieuse coïncidence numérique 3{{3}} + 4{{3}} + 5{{3}} = 6{{3}} = [[216 (nombre)|216]] pour ''x'' = 1 et ''y'' = 0 ; elles sont aisées à vérifier par un simple développement algébrique, mais semblent difficiles à obtenir sans disposer d'une théorie générale ; là encore, on ignore si Ramanujan en possédait une (la question pourrait avoir un rapport avec la théorie des [[nombre taxicab|nombres taxicab]]){{note|groupe=n|texte=Hardy fait cependant remarquer que ces formules ne produisent pas toutes les solutions de ce problème, et semble les trouver plus anecdotiques que profondes{{sfn|Hardy|1937|p=146}}.}}.

==== Approximations numériques ====
{{article connexe|Nombre presque entier|Coïncidence mathématique}}
[[Fichier:Squaring the circle.djvu|vignette|alt=Reproduction d'une page imprimée montrant la figure géométrique correspondant à la construction de cette quadrature|Une [[quadrature du cercle]] (approchée) publiée par Ramanujan dans le ''Journal of Indian Mathematical Society'' en 1913, exploitant la [[coïncidence mathématique|coïncidence]] <math>\pi\simeq\frac{355}{113}</math><ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Srinivasa Ramanujan|auteur institutionnel=[[Wikisource]]|traduction titre=Quadrature du cercle|titre=''Squaring the circle''|année=2013|mois=février|jour=2|url=https://en.wikisource.org/wiki/Squaring_the_circle|éditeur=Journal of the Indian Mathematical Society|site=en.wikisource.org|description=reproduction d'un article du JIMS, {{vol.|138}}, {{p.|132}}|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>.]]
Dans son premier article écrit à Cambridge<ref name="ramanujan1910">{{Article|langue=en|auteur= S. Ramanujan|titre=''Modular equations and approximations to <math>\pi</math>''|périodique=Quart. J. Math.|url=http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram06.pdf|volume=45|numéro=|passage=350-372|date=1914}}</ref>, Ramanujan fournit d'étonnantes approximations numériques (en précisant l'erreur commise, mais avec très peu de justifications), telles que
:<math>\pi\simeq\frac{12}{\sqrt{190}}\ln[(3+\sqrt{10})(\sqrt8+\sqrt{10})]</math> (à 10{{exp|–18}} près, c'est-à-dire avec 18 décimales exactes).
Il donne également dans le même article trois exemples de [[nombre presque entier|nombres « presque entiers »]] :
:<math>\mathrm{e}^{\pi\sqrt{22}} = 2508951,9982\dots</math> ,
:<math>\mathrm{e}^{\pi\sqrt{37}} = 199148647,999978\dots</math> , et
:<math>\mathrm{e}^{\pi\sqrt{58}} = 24591257751,99999982\dots</math>{{note|groupe=n|texte=Ces approximations sont reproduites dans le deuxième cahier de Ramanujan (B. C. Berndt, ''[[#Œuvre de Ramanujan|Ramanujan's Notebooks]]'', vol. II, p.88).}}.
Un phénomène analogue se produit pour les [[nombre de Heegner|nombres de Heegner]] ; c'est ce qui a donné à [[Martin Gardner]] l'idée du [[poisson d'avril]] attribuant à Ramanujan la prédiction selon laquelle <math>\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}</math> serait entier<ref>{{Article|langue=en|lien auteur=Martin Gardner|nom1=Gardner|prénom1=Martin|titre=''Mathematical Games''|périodique=Scientific American|volume=23|numéro=|page=127|date=avril 1975}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=De fait, ce nombre est lui aussi [[nombre presque entier|presque entier]] : {{math|e{{exp|π{{racine|163}}}}}} = 262537412640768743,'''999999999999'''25… Cependant, sans moyens informatiques, et sans utiliser les résultats théoriques liés à ces nombres (résultats que d'ailleurs Ramanujan connaissait et qu'il avait contribué à établir pour des nombres comme <math>\mathrm{e}^{\pi\sqrt{58}}</math>), il est impossible d'obtenir une valeur approchée assez précise pour trancher la question. Le [[théorème de Gelfond-Schneider]] montre de toute façon que ce nombre, égal à <math>(-1)^{-\mathrm{i}\sqrt{163}}</math>, est nécessairement [[nombre transcendant|transcendant]].}} ; pour cette raison, ce dernier nombre est parfois connu sous le nom de [[Nombre presque entier#Constante de Ramanujan|constante de Ramanujan]].

=== Anecdote du taxi ===
{{Article détaillé|1 729 (nombre)|Nombre taxicab}}
Ramanujan faisait preuve d'une extraordinaire mémoire des nombres et de leurs propriétés{{note|groupe=n|texte=Les premières notes de ses carnets, écrites alors qu'il était encore écolier, décrivent ses recherches sur les [[carré magique (mathématiques)|carrés magiques]], et mentionnent en particulier sa construction d'un étonnant [[carré diabolique]] dont la première ligne, 22 12 18 87, représente sa date de naissance<ref>{{en}} [http://mathstimes.com/wp-content/uploads/2014/10/Birthday-magic-square.pdf Carré magique anniversaire], sur mathstimes.com.</ref>.}}. [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] rapporte à ce sujet l'anecdote suivante, devenue célèbre{{sfn|Hardy|1985}}{{,}}<ref>{{MacTutor|class=history|id=Quotations/Hardy|title=Quotations by G H Hardy (''Citations de G. H. Hardy'')}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Une copie de ce taxi a été réalisée pour les besoins du film ''[[L'Homme qui défiait l'infini]]''.}} :
{{citation bloc|Je me souviens que j'allais le voir une fois alors qu'il était malade, à [[Putney]]. J'avais pris un taxi portant le numéro [[1 729 (nombre)|1729]] et je remarquais que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe. <br />— Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen. “No, he replied, it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways”.}}}}.}} En effet, <math>9^3 + 10^3 = 1^3 + 12^3 = 1729</math>. Et Hardy, citant [[John Edensor Littlewood|Littlewood]], conclut (après avoir tout de même remarqué que Ramanujan ignorait la réponse à la même question pour les puissances quatrièmes{{note|groupe=n|texte=Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est {{formatnum:635318657}}<math>=158^4 + 59^4 = 133^4 + 134^4</math> ; il a été découvert par [[Leonhard Euler]] vers 1770, mais ce n'est qu'en 1957 que [[John Leech (mathématicien)|John Leech]] démontra que c'était le plus petit.}}) qu'il donnait l'impression que {{citation|chaque entier naturel était un de ses amis personnels}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|every positive integer was one of his personal friends.}}}}{{,}}<ref>{{Lien web |langue=en |url=http://www.numbertheory.org/obituaries/LMS/ramanujan/page18.html |titre=''Obituary Notices: Srinivasa Ramanujan'' |éditeur=Hardy, G.H., ''Proceedings of the London Mathematical Society 19'', p. lvii}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=C'est à la suite de cette anecdote qu'on a défini un ''[[nombre taxicab]]'' (nom complet des taxis anglais de l'époque) comme un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes (d'autres nombres ayant cette propriété, comme <math>4104 = 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3</math>, avaient déjà été trouvés au {{s-|XVII}} par [[Bernard Frénicle de Bessy]]).}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Bien que ce ne soit peut-être qu'une coïncidence, plusieurs mathématiciens ont fait remarquer que le nombre 1729 intervenait dans l'étude que Ramanujan avait fait de [[Courbe elliptique|courbes elliptiques]] en relation avec une certaine [[K3 (géométrie)|surface K3]]<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Marianne Freiberger|titre=''Ramanujan surprises again''|traduction titre=Ramanujan surprend encore|jour=3|mois=novembre|année=2015|éditeur= [[Plus Magazine]]|url=https://plus.maths.org/content/ramanujan|site=plus.maths.org|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>.}}.

== Reconnaissance posthume ==
[[Fichier:Srinivasa Ramanujan - OPC - 2.jpg|vignette|redresse|alt=Portrait noir et blanc (cadre en médaillon) d'un jeune homme aux cheveux noirs et à la peau foncée.|Ramanujan en 1919{{note|groupe=n|texte=Cette photographie, la meilleure parmi les rares que l'on possède de Ramanujan, provenant de son passeport, a été transmise à Hardy pour ce livre par sa veuve, Janaki Ammal, comme [[Subrahmanyan Chandrasekhar|Chandrasekhar]] (grand admirateur de Ramanujan) le raconte [https://books.google.fr/books?id=FEAXcmDN5NMC&pg=PA280&lpg=PA280&dq=ramanujan+photo+passeport&source=bl&ots=pc4_WFc0WS&sig=EOM5AVgy8P3FRXqt2-4TPYyXAi8&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjqr4yl0f_ZAhVHVhQKHdZSDgYQ6AEINjAB#v=onepage&q=ramanujan%20photo%20passeport&f=false dans ce livre de souvenirs].}}, [[frontispice (livre)|frontispice]] du livre de {{Ouvrage |nom=Hardy |auteur1=[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] |titre=Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work}}.]]

=== Postérité mathématique ===
==== Articles et manuscrits de Ramanujan ====
{{Article détaillé|Cahiers de Ramanujan}}
Faute de papier, Ramanujan a pris en Inde l'habitude d'effectuer ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs ; il conserve cette méthode de travail toute sa vie, remplissant ainsi en tout trois cahiers (contenant près de quatre mille formules sur plus de sept cents pages<ref name=BerndtRef/>) qu'il transporte partout avec lui{{sfn|Kanigel|1991|p=55-56}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=En 2003, [[Bruce Carl Berndt]] a retracé (en s'appuyant sur la correspondance des différents acteurs) les vicissitudes de ces trois cahiers. Le premier était resté en Angleterre en 1919 ; après la mort de Ramanujan, Hardy l'envoya à l'université de Madras,  qui lui en fournit une copie manuscrite, suivie de l'envoi des deux autres cahiers, ainsi que de notes éparses constituant le « cahier perdu », entre 1923 et 1925. À une date indéterminée après 1935, les cahiers (mais non les autres documents) furent retournés à Madras par [[George Neville Watson]], qui avait commencé à les exploiter, mais s'en était désintéressé<ref name=BerndtRef/>.}}.

Après sa mort, Thirunarayanan, son plus jeune frère, réunit certaines de ses notes manuscrites<ref name="express">{{Article|langue=en|nom1=Janardhanan|prénom1=Arun|titre=''A passage to infinity''|url=http://indianexpress.com/article/lifestyle/life-style/a-passage-to-infinity-the-untold-story-of-srinivasa-ramanujan/|consulté le=7 septembre 2016|périodique=Indian Express|date=6 décembre 2015}}.</ref>, et Janaki Ammal, sa femme, fait don de l'ensemble de ses cahiers et de ses notes à l'[[université de Madras]], où les trois cahiers sont conservés actuellement<ref name=cahiers>{{Article|langue=en|auteur1=B. Aravind Kumar|titre=''3 notebooks of Ramanujan being microfilmed''|traduction titre=Trois cahiers de Ramanujan sont microfilmés|périodique=[[The Hindu]]|lieu=[[Madras]]|jour=24|mois=novembre|année=2010|lire en ligne=http://www.thehindu.com/sci-tech/science/3-notebooks-of-Ramanujan-being-microfilmed/article15713504.ece|consulté le=4 mai 2018}}.</ref> ; en {{date-|août 1923}}, le secrétaire général de l'université, Francis Drewsbury, envoie la plus grande partie de ces documents à [[Godfrey Harold Hardy|Hardy]]<ref name=lost>{{Ouvrage|langue=en|auteur=[[George Andrews (mathématicien)|George Andrews]]|auteur2=[[Bruce Carl Berndt]]|titre=Ramanujan's Lost Notebook, Part 1|année=2005|éditeur=Springer|page=1|url=https://books.google.com/books/about/Ramanujan_s_Lost_Notebook.html?id=OPYqaWb3wHIC&pg=PA1|isbn=978-0-387-25529-3}}.</ref>.

Hardy écrit, en juin 1920, un article nécrologique dans ''[[Nature (revue)|Nature]]''{{sfn|Hardy|1920}}, et, l'année suivante, une nécrologie plus détaillée pour la [[London Mathematical Society]] ; il y affirme, ce qui va s'avérer prophétique, qu'il faudra au moins vingt années pour qu'on mesure tout ce qu'a apporté Ramanujan{{sfn|Hardy|1921}}. Il commence alors, en collaboration avec S. Aiyar et [[Bertram Martin Wilson]], à réunir et à éditer ses textes publiés dans divers journaux indiens ou anglais ; l'ensemble ({{nobr|37 articles}} en tout) est publié en 1927{{sfn|Ramanujan|1962}}. En 1937, Hardy écrit pour ''[[The American Mathematical Monthly]]'' un article, ''The Indian Mathematician Ramanujan''{{sfn|Hardy|1937}}, racontant les circonstances de leur rencontre et se consacrant surtout à ses travaux, puis donne une série de conférences en Angleterre et aux États-Unis, qu'il réunit dans un livre publié en 1940{{sfn|Hardy|1940}}.

À une date indéterminée (probablement après 1935), Hardy transmet les cahiers (et des manuscrits épars) à [[George Neville Watson]], lequel, en collaboration avec Wilson, avait commencé à travailler sur un projet d'édition, mais qui semble s'être désintéressé de ce projet après la mort de Wilson en 1935<ref name=BerndtRef>{{Lien web |langue=en |auteur=Bruce C. Berndt |titre=''An overview of Ramanujan's notebooks'' |passage=1-4 |site=math.uiuc.edu |url=http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/aachen.pdf |format=pdf |année=2003 |mois=juin|jour=5}}.</ref>.

Après la mort de Watson en 1965, [[John Macnaghten Whittaker]] (le fils de son ami [[Edmund Taylor Whittaker|Edmund Whittaker]]) inspecte ses archives (avant leur incinération quelques jours plus tard) et découvre{{note|groupe=n|texte=Whittaker expliquera par la suite que des papiers disparates couvraient le sol d'une vaste pièce sur une épaisseur de {{unité|30 cm}}, et qu'il avait eu {{citation|une chance incroyable}} de tomber sur quelque chose d'intéressant{{sfn|Kanigel|1991|p=345}}.}} un ensemble de {{nobr|138 feuillets}} de la main de Ramanujan, que [[Robert Alexander Rankin|Rankin]] et lui envoient à la bibliothèque du [[Trinity College (Cambridge)|Trinity College]] en décembre 1968. [[George Andrews (mathématicien)|George Andrews]] en entend parler par [[Lucy Joan Slater]], et l'y redécouvre à son tour au printemps de 1976, comme il en fait le récit en 2012, pour les célébrations du {{150e|anniversaire}}{{note|groupe=n|texte=Andrews explique alors que Whittaker et Rankin, dont les intérêts mathématiques ne vont pas dans la direction des résultats de ces documents (contrairement aux siens), ne se sont pas rendu compte de leur importance, pensant qu'il s'agit de notes éparses de Ramanujan et non d'un ensemble cohérent couvrant ses dernières recherches<ref>{{Article |langue=en |nom1=Andrews |prénom1=George E. |date=décembre 2012 |titre=''The Discovery of Ramanujan's Lost Notebook'' |url=http://www.math.illinois.edu/~berndt/andrews.pdf |périodique=The Legacy of Srinivasa Ramanujan: Proceedings of an International Conference in Celebration of the 125th Anniversary of Ramanujan’s Birth: University of Delhi |volume= |pages=17–22}}</ref>.}}. C'est à partir de ce moment que cet ensemble est connu sous le nom de « cahier perdu » (''{{langue|en|lost notebook}}'')<ref name=lost/>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Cette appellation, due à Andrews, a été contestée<ref name=lost/>, Rankin expliquant par exemple que ce n'était pas un cahier, et que, bien classé dans la bibliothèque Wren de Cambridge, il n'était pas perdu ; Andrews faisait cependant remarquer que des documents dont on avait ignoré l'existence durant {{nobr|55 ans}} pouvaient légitimement être nommés ainsi{{sfn|Kanigel|1991|p=346}}.}}{{,}}{{note|groupe=n|texte=Berndt considère la découverte du « cahier perdu » comme essentielle dans le renouveau d'attention pour Ramanujan au début des années 1980 ; Emma Lehmer a ainsi déclaré que sa découverte {{citation|était comparable à celle d'une esquisse complète de la dixième symphonie de Beethoven}}{{sfn|Kanigel|1991|p=346}}.}}.

À partir de 1977 et pendant plus de vingt ans, [[Bruce Carl Berndt]] se consacre à l'édition commentée des trois cahiers (appelés désormais ''[[cahiers de Ramanujan]]''{{note|groupe=n|texte=Parfois mentionnés comme les {{citation|cahiers effilochés de Ramanujan}} (''{{langue|en|Ramanujan' frayed notebooks}}'') en raison de leur état d'usure<ref name=cahiers/>.}}), en cinq volumes totalisant plus de {{unité|1800 pages}}<ref name=edit>Voir plus bas [[#Œuvre de Ramanujan|le détail des éditions]].</ref>. En tout, les cahiers contiennent près de {{unité|3900 « assertions »}}{{note|groupe=n|texte=Le nombre exact n'est pas tout à fait clair, d'une part à cause de répétitions, d'autre part parce que certaines « formules » regroupent plusieurs résultats similaires<ref>{{Lien web|langue=en|auteur institutionnel=[[Frontline (magazine)|Frontline]]|url=http://www.frontline.in/static/html/fl1617/16170810.htm|titre=''Rediscovering Ramanujan''|année=1999|mois=août|description={{vol.|16}}, {{n°|17}}}}, une interview de [[Bruce Carl Berndt]].</ref>.}}, le plus souvent sans aucune démonstration. Berndt et ses collaborateurs, notamment les mathématiciens [[George Andrews (mathématicien)|George Andrews]], [[Richard Askey]] et [[Robert Alexander Rankin|Robert Rankin]], s'attellent soit à les démontrer, soit à chercher des références dans la littérature existante ; Berndt peut également s'appuyer sur les notes que Watson et Wilson ont prises dans les années 1930 pour leur projet abandonné d'édition. Entre 2005 et 2018, il publie une édition commentée, en cinq autres volumes, des résultats du « cahier perdu »<ref name=lost/>, en étant cette fois aidé également par [[Ken Ono]], qui, comme Andrews, est un spécialiste des [[forme modulaire|formes modulaires]] sur lesquelles ces résultats portent pour l'essentiel<ref name=edit/>.

==== Héritage mathématique ====
Dès l'annonce de sa mort, Hardy déclare : {{citation|Ce qu'il a réussi à faire [malgré ses handicaps] est déjà merveilleux [...] lorsque les recherches que ses travaux ont inspirées seront achevées, ceux-ci sembleront bien plus merveilleux encore{{sfn|Hardy|1920}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|What he did actually is wonderful enough [...] when the researches which his work has suggested have been completed, it will probably seem a good deal more wonderful than it does today.}}}}.}} Plusieurs des pistes ouvertes par Ramanujan sont explorées au cours des vingt années suivantes<ref group =n>Il s'agit en particulier des [[identités de Rogers-Ramanujan]], de [[Conjecture de Ramanujan|ses travaux sur la fonction tau]] et des ''congruences de Ramanujan'' qu'il avait découvertes entre les [[Partition d'un entier#Propriétés|partitions d'un entier]].</ref> ; Hardy décrit certaines de ces avancées dans ses conférences de la fin des années 1930, qu'il réunit dans un livre publié à Cambridge en 1940{{sfn|Hardy|1940}}.

Cependant, vers la fin des années 1950, les travaux de Ramanujan tombent dans un oubli relatif{{sfn|Kanigel|1991|p=341}}, et les carnets, publiés par le ''[[Tata Institute of Fundamental Research|Tata Institute]]'' en 1957, mais difficilement déchiffrables{{note|groupe=n|texte=L'écriture de Ramanujan est généralement lisible, mais il a développé un système de notations personnelles, utilisant par exemple des lettres inhabituelles pour certaines constantes et variables{{sfn|Berndt|1985|loc=vol. I, p. 5}}, qui ne permettent pas toujours de se rendre compte de l'importance des résultats obtenus{{sfn|Kanigel|1991|p=342}}.}}, restent confidentiels{{sfn|Kanigel|1991|p=342}}. Une importante avancée résulte pourtant de travaux sur la [[conjecture de Ramanujan]] à partir de 1965, culminant dans la démonstration de la conjecture par [[Pierre Deligne]] en 1974{{sfn|Kanigel|1991|p=344}}. Les idées de Ramanujan donnent naissance à de féconds développements (utilisant en particulier les nouveaux outils de la [[géométrie algébrique]]), rattachant cette conjecture apparemment très spécialisée à de nombreuses et importantes questions ouvertes, telles que le [[programme de Langlands]]{{sfn|Kanigel|1991|p=344}}. De manière peut-être plus anecdotique, la conjecture a permis la construction explicite de certains [[Théorie des graphes|graphes]], auxquels on a justement donné le nom de ''[[graphe de Ramanujan|graphes de Ramanujan]]''<ref>{{article|langue=en|prénom1=M. Ram|nom1=Murty|titre=''Ramanujan Graphs''|périodique=J. Ramanujan Math. Soc.|volume=18|numéro=1|année=2003|passage=1-20|url texte=http://www.mast.queensu.ca/~murty/ramanujan.pdf|format=pdf}}.</ref>.

Au début des années 1980, les travaux de [[Bruce Carl Berndt]] sur les résultats des trois cahiers, ainsi que la découverte du « cahier perdu », amènent à prendre conscience que, comme le disait [[Freeman Dyson]], {{citation|la plupart des conjectures de Ramanujan n'étaient pas seulement de jolies formules, mais avaient de la consistance et de la profondeur}}{{sfn|Kanigel|1991|p=346}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|So much that he conjectured was not just pretty formulas but had substance and depth.}}}}. En particulier, l'importance des dernières découvertes de Ramanujan{{note|groupe=n|texte=Consignés pour l'essentiel dans le « cahier perdu », il s'agit de résultats concernant les [[fonction thêta|fonctions thêta]] et des fonctions analogues qu'il a construites, les « [[fausse fonction thêta|fausses fonctions thêta]] » ; certains de ces résultats n'ont été confirmés qu'en 2012 par des calculs informatiques, mais on n'en possède encore que des justifications théoriques partielles{{sfn|Bleicher|2014|p=55}}.}} n'est perçue que progressivement à partir des années 1990, principalement à la suite des travaux de [[Ken Ono]]{{sfn|Ono|2006}} : celui-ci s'appuie sur certains de ces résultats pour obtenir, en 2014, un ensemble spectaculaire de nouvelles [[Algèbre|formules algébriques]]<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Michael J.|nom1=Griffin|prénom2=Ken|nom2=Ono|prénom3=S. Ole|nom3=Warnaar|titre=''A Framework of Rogers–Ramanujan Identities and Their Arithmetic Properties''|traduction titre=Un cadre pour les [[identités de Rogers-Ramanujan]] et leurs propriétés arithmétiques|arxiv=1401.7718|année=2014|doi=10.1215/00127094-3449994|périodique=[[Duke Mathematical Journal]]}}.</ref>{{,}}<ref name=r2014>{{Lien web|langue=en|auteur=Ariel Bleicher|titre=''One of Srinivasa Ramanujan's Neglected Manuscripts Has Helped Solve Long-standing Mathematical Mysteries''|année=2014|mois=mai|url=https://www.scientificamerican.com/article/one-of-srinivasa-ramanujans-neglected-manuscripts-has-helped-solve-long-standing-mathematical-mysteries/|éditeur=''[[Scientific American]]''|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>. Enfin, la démonstration de sa dernière formule non élucidée n'a été publiée qu'en 2019<ref name="dernier">{{En}} [[Bruce Carl Berndt|Bruce Berndt]], ''[https://jligit.github.io/paper/finalproblempaper.pdf The final problem: an identity from Ramanujan's lost notebook]''. ''[[Journal of the London Mathematical Society]]'', 2019.</ref>.

Cet impressionnant héritage explique le qualificatif de « visionnaire », au moins aussi souvent accolé à son nom que celui de « génie »<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=Clara Moskowitz|traduction titre=Un mathématicien visionnaire porté à l'écran|titre=''A Visionary Mathematician Comes to the Silver Screen''|année=2016|mois=mai|url=https://www.scientificamerican.com/article/a-visionary-mathematician-comes-to-the-silver-screen/|éditeur=''[[Scientific American]]''|consulté le=10 mai 2018}}, article sur le film ''[[L'Homme qui défiait l'infini]]''.</ref>. Certains propos de Ramanujan ont contribué à entretenir le mystère{{note|groupe=n|texte=Il affirmait par exemple que [[Namagiri Thayar]], sa [[Kuladevata|déesse tutélaire]], lui avait dévoilé certaines formules en rêve{{sfn|Kanigel|1991|p=30}}.}}, et si Hardy a insisté pour qu'on ne voie « rien de mystique » dans les conjectures qu'il a énoncées{{sfn|Hardy|1937|p=149}}, [[Ken Ono]] mentionne sa perplexité devant certaines de ses prédictions, précises et détaillées, qui lui paraissent inaccessibles avec les outils dont il disposait<ref>{{harvsp|Ono|2006|p=649}}.</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Bleicher|2014|p=55}}.</ref>.

=== Autres hommages ===
[[Fichier:Srinivasa Ramanujam bust BITM.JPG|vignette|redresse|Buste de Ramanujan, à [[Calcutta]], dans le jardin du [[Musée industriel et technologique Birla]].|alt=Photo couleur d'un buste en bronze, posé sur un piédestal en pierre grise et figurant un homme en veston-cravate. Des arbres et des arbustes en arrière-plan.]]
En 1983, à la demande de Janaki Ammal, sa veuve, [[Richard Askey]] commissionne le sculpteur Paul Granlund pour la réalisation de bustes en bronze de Ramanujan (s'appuyant sur la photographie de son passeport). Une [[subvention]] permet de réaliser dix bustes{{note|groupe=n|texte=Lors d'une interview, en 1978, Janaki a déclaré : {{citation|On m'avait promis d'ériger une statue en souvenir de mon mari. Où est-elle{{sfn|Kanigel|1991|p=352}}{{,}}{{note|groupe=c|texte={{citation étrangère|langue=en|They said years ago a statue would be erected in honor of my husband. Where is the statue?}}}} ?}} C'est en lisant cette interview que Richard Askey décide de faire réaliser ces bustes<ref>{{Lien web|langue=|auteur1=[[Gerald L. Alexanderson]]|auteur2=Leonard F. Klosinski|titre=''About The Cover: Ramanujan In Bronz''|mois=octobre|année=2016|url=http://www.ams.org/journals/bull/2016-53-04/S0273-0979-2016-01541-2/S0273-0979-2016-01541-2.pdf|éditeur=[[American Mathematical Society]]|description={{vol.|53}}, {{n°|4}}|format=pdf|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>.}}. Celui promis à Janaki se trouve à présent au ''{{langue|en|Ramanujan Institute for Advanced Study in Mathematics}}'' (le département de mathématiques de l'[[université de Madras]], lequel porte d'ailleurs le nom de Ramanujan depuis 1950)<ref>{{Lien web|langue=en|titre=Historique du département de mathématiques de l'université|url=http://www.unom.ac.in/index.php?route=department/department/about&deptid=48|éditeur=[[université de Madras]]|consulté le=6 avril 2018}}.</ref>.

Le [[Tamil Nadu]]{{note|groupe=n|texte=Le Tamil Nadu est l'État où résidait Ramanujan.}} célèbre l'anniversaire de Ramanujan le {{date|22 décembre}} comme ''{{langue|en|State IT Day}}'' (''Journée nationale de l'Industrie et de la Technologie''). Cet anniversaire est également célébré par le [[Government Arts College de Kumbakonam|''Government Arts College'' de Kumbakonam]] où il a fait ses études, ainsi que par l'[[Institut indien de technologie de Madras|Institut indien de technologie]] de [[Madras]]. En 2011, pour le {{125e|anniversaire}} de sa naissance, le gouvernement indien déclare que le {{date|22 décembre}} sera désormais « Journée nationale des mathématiques »<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=C. Jaishankar|traduction titre=Le jour anniversaire de Ramanujan sera une « Journée nationale des mathématiques »|titre=''Ramanujan's birthday will be National Mathematics Day''|année=2011|mois=décembre|jour=27|url=http://www.thehindu.com/todays-paper/tp-national/ramanujans-birthday-will-be-national-mathematics-day/article2750788.ece|éditeur=[[The Hindu]]|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>, et le Premier ministre indien, [[Manmohan Singh]], annonce de plus que 2012 sera pour cette raison [[Année nationale des mathématiques]]<ref>{{Lien web |langue=en |url=https://gauravtiwari.org/2011/12/28/2012/ |titre=''Welcome 2012 – The National Mathematical Year in India'' |lieu=Inde}}.</ref>{{,}}<ref name=année2012>{{Lien web|langue=en|auteur=Pradip K. Datta|titre=''National Mathematics Year : A Tribute To Srinivasa Ramanujan''|année=2013|mois=mars-avril|url=http://www.scienceandculture-isna.org/mar-april-13/06%20Article_National%20Mathematics%20Year%20A%20Tribute%20to%20Srinivasa%20Ramanujan_by_PRADIP%20K%20DATTA_Pg.158.html|site=Science and Culture|éditeur=Indian Science News Association|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>.

Plusieurs institutions décernent des distinctions mathématiques en référence à Ramanujan : 

* l'[[académie Shanmugha]] décerne le [[prix SASTRA Ramanujan]] à un jeune mathématicien (de moins de {{nobr|32 ans}}, l'âge de sa mort) ayant fait un travail remarquable dans les domaines de prédilection de Ramanujan : [[Fraction continue|fractions continues]], [[Série (mathématiques)|séries]], [[théorie des nombres]] ; en partenariat avec l'université de [[Kumbakonam]], elle a par ailleurs créé en 2000 un musée et un centre universitaire consacré à sa vie et à son œuvre, le ''{{langue|en|Srinivasa Ramanujan Centre}}''<ref name="musee">{{Lien web|langue=en|auteur institutionnel=Shanmugha Arts, Science, Technology & Research Academy|titre=''Srinivasa Ramanujan Centre (SRC)''|année=2018|mois=mai|url=http://sas.sastra.edu/ramanujan/index.php|site=sas.sastra.edu|consulté le=11 mai 2018}}.</ref> ;
* le [[Centre international de physique théorique]] à [[Trieste]] décerne le [[prix ICTP Ramanujan]] à des jeunes mathématiciens des [[pays en développement]], en coopération avec l'[[Union mathématique internationale]]{{sfn|Alladi|2012|loc=[https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-81-322-0767-2_13 Chap. ''Niels Henrik Abel: Norwegian Mathematical Genius''], {{p.|81-88}}}}.

[[Fichier:Ramanujan museum SASTRA Kumbakonam.jpg|vignette|gauche|Musée SASTRA Ramanujan, à [[Kumbakonam]].|alt=Photo couleur d'une salle contenant de nombreux manuscrits et photographies sous verre ; au centre, un piédestal exhibant une biographie de Ramanujan, sous une statuette le représentant.]]La [[Société mathématique indienne]] organise chaque année depuis 1990 une [[Société mathématique indienne#Conférences commémoratives|conférence commémorative]] « Srinivasa Ramanujan ».

En 2010, le collège Deshbandhu, un collège universitaire affilié à l'[[université de Delhi]] et situé dans le quartier Kalkaji du [[sud de Delhi]], est rebaptisé collège Ramanujan<ref>{{Lien web|langue=en|auteur institutionnel=Ramanujan College ([[université de Delhi]])|titre=''History of Ramanujan College''|année=2018|mois=mai|url=http://rcdu.in/ramanujan/sub_menu_pages_details.php?submenu_page=NTk=|site=rcdu.in|consulté le=11 mai 2018}}.</ref>.

Un timbre à l'effigie de Ramanujan est émis par le [[gouvernement de l'Inde]] en 1962 (pour le {{75e|anniversaire}} de sa naissance) commémorant ses découvertes en théorie des nombres<ref name="Navlakha_2013_01">{{Lien web|langue=en|auteur=Vijay Navlakha|éditeur=Gujarat Philatelists' Association|titre=''National Mathematics Day : facts and figures''|année=2013|mois=janvier|url=https://books.google.fr/books?id=Zz9U4spzU2sC&pg=PA10&lpg=PA10|site=[[Google Livres]]|consulté le=10 mai 2018|passage=10}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=n|texte=Ce timbre (très agrandi) illustre la couverture du livre de Berndt et Rankin, ''Ramanujan : Letters and Commentary''<ref>{{Lien web|langue=en|auteur institutionnel=American Mathematical Society|titre=''Ramanujan: Letters and Commentary''|année=2018|mois=mai|url=https://bookstore.ams.org/hmath-9|éditeur=[[American Mathematical Society]] / [[London Mathematical Society]]|consulté le=10 mai 2018}}.</ref>.}}.  Après avoir été repensé, ce timbre est remis en circulation le {{date-|26 décembre 2011}} par [[India Post]]<ref name="Navlakha_2013_01" />{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en|titre=''India Post Issued a Commemorative Stamp on S Ramanujan''|éditeur=Phila Mirror|url=http://philamirror.info/2011/12/26/india-post-will-issue-a-commemorative-stamp-on-s-ramanujan-today/|date=26 décembre 2011|consulté le=22 mai 2012}}.</ref>. Le {{date-|22 décembre 2012}}, un timbre de cinq [[Roupie indienne|roupies]], édité à l'occasion de la première « Journée nationale des mathématiques », figure un portrait du mathématicien indien, sur fond de formules et de figures géométriques<ref name="Navlakha_2013_01" />.

L'[[astéroïde]] {{PM1|4130|Ramanujan}} est [[éponymie|nommé en son honneur]].

=== Dans la fiction ===
* Dans son [[Roman (littérature)|roman]], intitulé ''Le Comptable indien'' et publié en 2009<ref>{{Ouvrage|langue=fr|titre=Le Comptable indien|auteur=[[David Leavitt]]|traduction=Johan-Frédérik Hel Guedji|lieu=[[Paris]]|éditeur=[[Éditions Denoël|Denoël]]|collection=Et d'ailleurs|année=2009|pages totales=721|isbn=978-2-207-26004-3|oclc=495205756|bnf=42085441 }}.</ref>, l'écrivain [[États-Unis|américain]] [[David Leavitt]] retrace la collaboration, sur fond de Première Guerre mondiale, entre Ramanujan et Hardy, à travers des souvenirs de ce dernier, évoqués alors qu'il entame une série de conférences sur les travaux de Ramanujan à l'occasion des célébrations du tricentenaire de l'[[université Harvard]]. Bien que centrée sur le personnage du mathématicien britannique, notamment sa jeunesse et ses relations sociales au sein de la [[société secrète]] des ''{{langue|en|[[Cambridge Apostles]]}}'', l'œuvre du romancier décrit la figure du talentueux autodidacte indien par la présentation des rencontres faites à Cambridge par celui-ci et de divers éléments de sa biographie<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=[[Heini Halberstam]]|titre=''A Book Review''|sous-titre=''The Indian Clerk''|traduction titre=Revue littéraire : ''Le Comptable indien''|mois=septembre|année=2008|url=http://www.ams.org/notices/200808/tx080800952p.pdf|site=ams.org|format=pdf|description=chapitre du journal ''Notices of [[American Mathematical Society]]'', {{vol.|55}}, {{n°|8}}, {{p.|952-956}}|consulté le=12 mai 2018}}.</ref>.
* En 2007, [[Simon McBurney]] a écrit et dirigé ''A Disappearing Number'', pièce de  théâtre inspirée par la collaboration entre Ramanujan et Hardy<ref>{{Ouvrage |langue=en |nom1=McBurney |prénom1=Simon|auteur=[[Simon McBurney]]|titre=A Disappearing Number |lieu=Londres |éditeur=Oberon |année=2008 |isbn=978-1-84002-830-0}}.</ref> ; cette pièce a été en particulier jouée en France (en version originale surtitrée) au [[Théâtre Nanterre-Amandiers]] en 2008<ref>''[http://www.nanterre-amandiers.com/2008-2009/a-disappearing-number/ A Disappearing Number]'', sur le site du théâtre.</ref>.

=== Au cinéma et à la télévision ===
Plusieurs films et documentaires lui sont consacrés :
* ''[[Ramanujan (film)|Ramanujan]]'', film biographique de [[Gnana Rajasekaran]], sorti en 2014<ref>{{IMDb titre|titre=Ramanujan|id=3037162}}.</ref>.
* ''[[L'Homme qui défiait l'infini]]'', film biographique  de Matt Brown, 2016 (sorti en France en DVD en 2017)<ref>{{IMDb titre|titre=L'Homme qui défiait l'infini|id=0787524}}.</ref>, basé sur le livre de {{Ouvrage |nom1=Kanigel |prénom1=Robert |lien auteur1=Robert Kanigel |titre=The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan}}<ref name=S&V/> ; le rôle de Ramanujan y est tenu par [[Dev Patel]].
* En 2016, le [[Ministère des Affaires extérieures|ministère des Affaires extérieures de l'Inde]] a produit un documentaire intitulé ''Srinivasa Ramanujan - The Mathematician & His Legacy'' [« Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage »]<ref name=docu/>, contenant en particulier des interviews de mathématiciens contemporains, ainsi que des reconstitutions de scènes de la vie de Ramanujan.
Ramanujan est également une source d'inspiration pour plusieurs [[Personnage de fiction|personnages de fiction]] : 
* Dans ''[[Will Hunting]]'', Will, un génie mathématique autodidacte, est comparé à Ramanujan par le professeur Lambeau, qui l'a découvert et lui sert de mentor<ref>{{article|langue=en|titre=''Genius by numbers: why Hollywood maths movies don't add up''|périodique=The Guardian|date=6 avril 2016|auteur=Stuart Jeffries|url texte=https://www.theguardian.com/film/2016/apr/06/mathematics-movies-the-man-who-knew-infinity}}</ref>.
* [[Numbers_(série_télévisée)#Personnages|Amita Ramanujan]], la jeune mathématicienne indienne de la série ''[[Numbers (série télévisée)|Numb3rs]]'', a été nommée ainsi pour lui rendre hommage<ref>{{en}} [https://www.imdb.com/title/tt0433309/trivia ''Numb3rs - Trivia''] sur ''IMDb''.</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|langue=en
|prénom1=Marie-Pierre |nom1=Moreau
|prénom2=Heather |nom2=Mendickn
|prénom3=Debbie |nom3=Epstein
|titre chapitre=''Constructions of Mathematical Masculinities in Popular Culture''
|auteurs ouvrage=Elwood Watson |titre ouvrage=Pimps, Wimps, Studs, Thugs and Gentlemen
|année=2009
|pages totales=318
|présentation en ligne={{Google Livres|I6kmsCfJUyUC|page=145|surligne=Ramanujan}}
}}</ref>.

== Œuvre de Ramanujan ==
Les articles publiés dans les journaux indiens et anglais ont été réunis par [[Godfrey Harold Hardy]] et ses collaborateurs :
* {{Ouvrage|nom=Ramanujan|auteur=Srinivasa Ramanujan|titre=Collected Papers of Srinivasa Ramanujan|lieu=[[Providence (Rhode Island)|Providence]]|éditeur=''[[American Mathematical Society]]''|année=1962}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom=Ramanujan|auteur=Srinivasa Ramanujan|titre=Collected Papers of Srinivasa Ramanujan|traduction titre=<!--Compilation des articles publiés par Ramanujan-->|champ libre=G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar et [[Bertram Martin Wilson]], éd.|lieu=[[Providence (Rhode Island)|Providence]]|éditeur=''[[American Mathematical Society]]''|année=1962|année première édition=1927|présentation en ligne=https://www.ias.ac.in/article/fulltext/reso/018/09/0859-0865}}.</ref>.
Les photocopies des [[cahiers de Ramanujan]] ont été publiées par le ''[[Tata Institute of Fundamental Research]]'' (TIFR) ; celles du « cahier perdu » (et d'autres documents épars) par ''Narosa Publishing House''{{note|groupe=n|texte=On trouvera des versions numérisées de ces photocopies sur [http://ramanujan.sirinudi.org/ ce site consacré aux écrits de Ramanujan] {{en}}.}}.
* {{Ouvrage|titre=Notebooks |format=2 volumes |auteur=S. Ramanujan |éditeur=Tata Institute of Fundamental Research |lieu=Bombay |année=1957}}{{Commentaire biblio|1=En 2012, une seconde édition (de bien meilleure qualité, et respectant en particulier la couleur des encres utilisées par Ramanujan) a été publiée par le TIFR<ref>{{article |langue=en |url=http://www.thehindu.com/news/national/heres-a-collectors-edition-of-ramanujan-notebook/article2750407.ece |titre=''Here's a collector's edition of Ramanujan notebook'' |traduction titre=Une édition collector des cahiers de Ramanujan |périodique=[[The Hindu]] |date=27 décembre 2011}}.</ref>.}}
* {{Ouvrage|titre=The Lost Notebook and Other Unpublished Papers|auteur=S. Ramanujan|éditeur=Narosa Publishing House|lieu=New Delhi|année=1988}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|titre=The Lost Notebook and Other Unpublished Papers|auteur=S. Ramanujan|éditeur=Narosa Publishing House|lieu=New Delhi|année=1988|isbn=3-540-18726-X}}.</ref>.
Les résultats des trois cahiers, du {{citation|cahier perdu}} et de la correspondance ont été analysés par [[Bruce Carl Berndt]] (en collaboration avec d'autres mathématiciens, en particulier [[George Andrews (mathématicien)|George Andrews]] et [[Robert Alexander Rankin|Robert Rankin]]).

* {{Ouvrage|nom1=Berndt |prénom1=Bruce C.|titre=Ramanujan's Notebooks| traduction titre= Les cahiers de Ramanujan|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|lieu=New York|lire en ligne=}}.

:{| border=0|class="wikitable"
|-
| — volume I, || 1985 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Srinivasa Ramanujan|auteur2=Bruce C. Berndt|titre=Ramanujan’s Notebooks|sous-titre=Part I|traduction titre=Les carnets de Ramanujan : volume I|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=1985|pages totales=357|isbn=978-0-387-96110-1|oclc=643580261|doi=10.1007/978-1-4612-1088-7}}.</ref> ;
|-
| — volume II, || 1989 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Srinivasa Ramanujan|auteur2=Bruce C. Berndt|titre=Ramanujan’s Notebooks|sous-titre=Part II|traduction titre=Les carnets de Ramanujan : volume II|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=1989|pages totales=360|isbn=978-0-387-96794-3|oclc=848480391|doi=10.1007/978-1-4612-4530-8}}.</ref> ;
|-
| — volume III, || 1991 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Srinivasa Ramanujan|auteur2=Bruce C. Berndt|titre=Ramanujan’s Notebooks|sous-titre=Part III|traduction titre=Les carnets de Ramanujan : volume III|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=1991|pages totales=510|isbn=978-0-387-97503-0|doi=10.1007/978-1-4612-0965-2}}.</ref> ;
|-
| — volume IV, || 1993 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Srinivasa Ramanujan|auteur2=Bruce C. Berndt|titre=Ramanujan’s Notebooks|sous-titre=Part IV|traduction titre=Les carnets de Ramanujan : volume IV|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=1994|pages totales=451|isbn=978-0-387-94109-7|doi=10.1007/978-1-4612-0879-2}}.</ref> ;
|-
| — volume V, || 2005 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Srinivasa Ramanujan|auteur2=Bruce C. Berndt|titre=Ramanujan’s Notebooks|sous-titre=Part V|traduction titre=Les carnets de Ramanujan : volume V|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=1998|pages totales=624|isbn=978-0-387-94941-3|doi=10.1007/978-1-4612-1624-7}}.</ref>.
|}
* {{Ouvrage|nom1=Berndt |prénom1=Bruce C. |nom2=Andrews |prénom2=George E. |titre=Ramanujan's Lost Notebook| traduction titre=Le cahier perdu de Ramanujan |éditeur=Springer |lieu=New York}}.
:{| border=0|class="wikitable"
|-
| — volume I, || 2005 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]|auteur2=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Lost Notebook|sous-titre=Part I|traduction titre=Le cahier perdu de Ramanujan : volume I|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=2005|pages totales=438|isbn=978-0-387-25529-3|doi=10.1007/0-387-28124-X}}.</ref> ;
|-
| — volume II, || 2008 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]|auteur2=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Lost Notebook|sous-titre=Part II|traduction titre=Le cahier perdu de Ramanujan : volume II|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=2009|pages totales=420|isbn=978-0-387-77765-8|doi=10.1007/b13290}}.</ref> ;
|-
| — volume III, || 2012 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]|auteur2=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Lost Notebook|sous-titre=Part III|traduction titre=Le cahier perdu de Ramanujan : volume III|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=2012|pages totales=436|isbn=978-1-4614-3809-0|doi=10.1007/978-1-4614-3810-6}}.</ref> ;
|-
| — volume IV, || 2013 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]|auteur2=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Lost Notebook|sous-titre=Part IV|traduction titre=Le cahier perdu de Ramanujan : volume IV|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=2013|pages totales=439|isbn=978-1-4614-4080-2|doi=10.1007/978-1-4614-4081-9}}.</ref> ;
|-
| — volume V, || 2018 || <ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[George Andrews (mathématicien)|George E. Andrews]]|auteur2=[[Bruce Carl Berndt|Bruce C. Berndt]]|titre=Ramanujan's Lost Notebook|sous-titre=Part V|traduction titre=Le cahier perdu de Ramanujan : volume V|éditeur=[[Springer Science+Business Media]]|lieu=[[New York]]|année=2018|pages totales=425|isbn=978-3-319-77832-7|doi=10.1007/978-3-319-77834-1}}.</ref>.
|}
* {{Ouvrage|nom1=Berndt|prénom1=Bruce C.|nom2=Rankin|prénom2=Robert A.|année=1995|titre=Ramanujan: Letters and Commentary|traduction titre=Ramanujan : Lettres commentées|éditeur=''[[American Mathematical Society]]''|lieu=[[Providence (Rhode Island)|Providence]]}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|nom1=Berndt|prénom1=Bruce C.|nom2=Rankin|prénom2=Robert A.|année=1995|titre=Ramanujan: Letters and Commentary|présentation en ligne=https://bookstore.ams.org/hmath-9|traduction titre=Ramanujan : Lettres commentées|éditeur=''[[American Mathematical Society]]''|lieu=[[Providence (Rhode Island)|Providence]]|isbn=0-8218-0287-9}}.</ref>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{Traduction/Référence|en|Srinivasa Ramanujan|835736435|type=note}}
{{références nombreuses|groupe=n|taille=35}}

=== Citations originales ===
{{références|groupe=c}}

=== Références ===
{{références nombreuses|taille=25}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|commons=Category:Srinivasa Ramanujan|wikisource=en:Author:Srinivasa Ramanujan}}

=== Bibliographie ===
{{légende plume}}

;En français
* {{Chapitre|auteur=[[Godfrey Harold Hardy]]|titre chapitre=Ramanujan, un mathématicien indien|auteurs ouvrage= |titre ouvrage=Hardy, 1877-1947|sous-titre ouvrage=l'apologie d'un mathématicien|traducteur=Dominique Jullien et Serge Yoccoz|préface=[[Charles Percy Snow]]|éditeur=[[Belin éditeur]]|collection=Un savant, une époque|lieu=[[Paris]]|année=1985|pages totales=191|isbn=9782701105307|isbn2=2701105307|oclc=19251745}}
* {{Article|langue=fr|auteur1=[[Jonathan Borwein]]|auteur2=[[Peter Borwein]]|titre=Srinivasa Ramanujan|périodique=[[Pour la science]]|numéro=2|année=1994|mois=janvier|pages=108-116|issn=1246-7685|champ libre=dossier hors-série ''Les Mathématiciens''}}
* {{Ouvrage|langue=fr|titre=Les Carnets indiens de Srinivasa Ramanujan|prénom1=Bernard|nom1=Randé|lieu=Paris|éditeur=Cassini|année=2002|isbn=2-842-25065-6|présentation en ligne=http://www.sciencespourtous.org/livre-les-carnets-indiens-de-srinivasa-ramanujan-139641}}
* {{Article|langue=fr|auteur=Ariel Bleicher|titre=Les notes de Ramanujan, un trésor inépuisé|traduction titre=|périodique=[[Pour la science]]|volume=|numéro=441|mois=juillet|année=2014|pages=50-55|issn=|lire en ligne=https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/les-notes-de-ramanujan-un-tresor-inepuise-7955.php|consulté le=|plume=oui}} 
* {{ouvrage|prénom1=Juan José|nom1=Rué Perna|traducteur=Magali Mangin|titre=L'Esprit qui voulut comprendre l'infini|sous-titre=Ramanujan|éditeur=RBA Coleccionables|lieu=Barcelone|année=2018|pages totales=159|isbn=978-84-473-9318-3}}
* [[Godfrey Harold Hardy]], ''Mathématiques et mathématiciens'', Nitens, 2018 {{ISBN|978-2-901122-00-5}} {{commentaire|Parmi les 23 textes de ou sur Hardy, plusieurs évoquent Ramanujan.}}

;En anglais
* {{Article |langue=en |nom1=Hardy |prénom1=G. H.|auteur1=[[Godfrey Harold Hardy]] |mois=juin |année=1920 |titre=''Obituary, S. Ramanujan'' |périodique=Nature |volume=105 |numéro=7 |doi= |lire en ligne=https://www.nature.com/articles/105494a0.pdf |passage=494}}
* {{Article |langue=en|nom=Hardy |auteur1=[[Godfrey Harold Hardy]] |titre=''Srinivasa Ramanujan Obituary''|traduction titre= Nécrologie de Srinivasa Ramanujan|périodique= Proceedings of the [[London Mathematical Society]]|volume=19 |numéro= |mois=|année=1921 |pages=40-58 |issn= |lire en ligne=http://www.numbertheory.org/obituaries/LMS/ramanujan/index.html |consulté le=|id=|plume=oui}}
* {{Article |langue=en|nom=Hardy |auteur1=[[Godfrey Harold Hardy]] |titre=''The Indian Mathematician Ramanujan''|traduction titre= Le mathématicien indien Ramanujan|périodique= [[The American Mathematical Monthly]]|volume=44 |numéro= 3|mois=mars|année=1937 |pages=137-155 |issn= |lire en ligne=https://sites.tufts.edu/histmath/files/2015/11/hardy-ramanujan.pdf |consulté le=|id=|plume=oui }} (article repris dans l'ouvrage suivant)
* {{Ouvrage |langue=en|nom=Hardy |auteur1=[[Godfrey Harold Hardy]] |titre=Ramanujan, Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work |année=1940|traduction titre= Ramanujan, douze conférences sur des sujets concernant sa vie et son œuvre |éditeur=Cambridge University Press|issn= |lire en ligne=|consulté le=|id= }}
* {{ouvrage|langue=en|auteur=[[John Edensor Littlewood]]|titre=A Mathematician's Miscellany|traduction titre= Réflexions diverses d'un mathématicien|éditeur=Methuen|lieu=Londres|année=1953|lire en ligne=https://ia800303.us.archive.org/10/items/mathematiciansmi033496mbp/mathematiciansmi033496mbp.pdf}} (chapitre 9 : ''Review of Ramanujan's Collected Papers'', pages 84 à 90)
* {{ouvrage|langue=en|titre=Ramanujan, the Man and the Mathematician|traduction titre= Ramanujan, l'homme et le mathématicien|auteur= [[Shiyali Ramamrita Ranganathan]]|nom=Ranganathan|année=1967|éditeur=Asia Publishing House|lieu=Bombay|série=Great thinkers of India|isbn=978-81-7000-557-5}}
* {{Ouvrage |langue=en |nom1=Kanigel |prénom1=Robert|lien auteur1=Robert Kanigel |titre=[[The Man Who Knew Infinity|The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan]]|traduction titre=L'homme qui connaissait l'infini : une vie du génie Ramanujan|lieu=New York |éditeur=Charles Scribner's Sons |année=1991|isbn=0-684-19259-4|plume=oui}}
* {{ouvrage|langue=en|auteur1=[[Bruce Carl Berndt]]|auteur2=[[Robert Alexander Rankin]]|auteur3=[[Subrahmanyan Chandrasekhar]]|auteur4=D. A. B. Young|et al.=oui|titre=Ramanujan: Essays and Surveys|traduction titre= Ramanujan : Essais et Études|collection = History of Mathematics, {{vol.|22}}|lieu=[[Providence (Rhode Island)|Providence]]|éditeur=''[[American Mathematical Society]]'' |année=2001 |isbn=978-0-8218-2624-9|oclc=490711330|bnf=38852724|présentation en ligne= http://www.ams.org/books/hmath/022/hmath022-endmatter.pdf|plume=oui}}
* {{Article |langue=en|nom=Ono |auteur1=[[Ken Ono]]|titre=''Honoring a Gift from Kumbakonam''|traduction titre= Hommage à un cadeau venu de Kumbakonam|périodique= ''[[Notices of the American Mathematical Society]]''|volume=56 |numéro= 6|mois=juin-juillet|année=2006 |pages=640-651 |issn= |lire en ligne=http://www.ams.org/notices/200606/fea-ono.pdf |consulté le=|id=|plume=oui}}
* {{ouvrage|langue= en|nom1=Alladi |prénom1=Krishnaswami | lien auteur1=Krishnaswami Alladi |titre=Ramanujan's Place in the World of Mathematics|traduction titre=La Place de Ramanujan dans le monde des mathématiques|collection= |lieu= |éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]], India |année=2012 |isbn=978-81-322-0766-5}}
* {{Article |langue=en|nom1=Alladi |prénom1=Krishnaswami | lien auteur1=Krishnaswami Alladi|titre=''Srinivasa Ramanujan: Going Strong at 125''|traduction titre= Srinivasa Ramanujan : toujours en forme à 125 ans|périodique= ''[[Notices of the American Mathematical Society]]''|volume=59|numéro= |mois=décembre|année=2012 |pages=1522-1537 (partie I)|issn= |lire en ligne=https://www.ams.org/notices/201211/rtx121101522p.pdf |consulté le=|id= }} et volume 60, janvier 2013, {{p.|10-2}}2 (partie II) {{lire en ligne|lien=https://www.ams.org/notices/201301/rnoti-p10.pdf}}

=== Articles connexes ===
{{catégorie principale}}
* ''[[Cahiers de Ramanujan]]''
* [[Nombre presque entier]]
* [[Partition d'un entier]]
* [[Fausse fonction thêta]]
* [[Liste de sujets nommés d'après Srinivasa Ramanujan]], en particulier : [[Conjecture de Ramanujan]] - [[Identités de Rogers-Ramanujan]]
* [[Prix SASTRA Ramanujan]]
* ''[[The Ramanujan Journal]]'', périodique dédié aux domaines des mathématiques qu'il a influencés.

=== Liens externes ===
* [https://www.youtube.com/watch?v=MKWUFiCX8ik « Les mystérieux carnets de Ramanujan »], conférence d'Édouard Thomas (parties [https://www.youtube.com/watch?v=CAby3JDcRNM 2/4], [https://www.youtube.com/watch?v=AEh_XXZQnLQ 3/4], [https://www.youtube.com/watch?v=ZdLJTe2awGE 4/4]) ; voir également [http://kafemath.fr/2016-2017/1703-11mars/Edouard-Thomas-ratp-2017.pdf les transparents de cette conférence]
* {{en}} [http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/introindex.html Site consacré à Ramanujan], patronné par l'[[Institut des sciences mathématiques de Madras]] (sous la direction de K. S. Rao), et contenant en particulier :
** {{en}} [http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/newnow/hardyletterindex.htm des extraits de la correspondance entre Ramanujan et Hardy]
** {{en}} [http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/notebookindex.htm les photocopies des cahiers]
** {{en}} [http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/collectedindex.html les articles publiés en Inde et en Angleterre], etc.
* {{Lien web|langue=en|url=http://www.frontline.in/static/html/fl1617/16170810.htm|auteur institutionnel=[[Frontline (magazine)|Frontline]]|titre=''Rediscovering Ramanujan''|traduction titre=Redécouvrir Ramanujan}} : interview de [[Bruce Carl Berndt]] sur les démonstrations des résultats des ''[[cahiers de Ramanujan]]''

;Notices et ressources
* {{Autorité}}
* {{Dictionnaires}}
* {{Bases}}

{{Portail|mathématiques|Monde indien|XIXe siècle|XXe siècle}}
{{Article de qualité|oldid=149167032|date=2 juin 2018}}

{{CLEDETRI:Ramanujan, Srinivasa Aaiyangar}}
[[Catégorie:Srinivasa Ramanujan|*]]
[[Catégorie:Mathématicien indien du XXe siècle]]
[[Catégorie:Personnalité végétarienne]]
[[Catégorie:Étudiant de l'université de Madras]]
[[Catégorie:Membre de la Royal Society]]
[[Catégorie:Autodidacte]]
[[Catégorie:Naissance en décembre 1887]]
[[Catégorie:Naissance dans la présidence de Madras]]
[[Catégorie:Naissance dans le district d'Erode]]
[[Catégorie:Décès en avril 1920]]
[[Catégorie:Décès à 32 ans]]
[[Catégorie:Décès au Tamil Nadu]]
[[Catégorie:Décès dans le Raj britannique]]
[[Catégorie:Éponyme d'un objet céleste]]