Voir la source de Statistique de Fermi-Dirac

En [[mécanique quantique]] et en [[physique statistique]], la '''statistique de Fermi-Dirac''' désigne la [[distribution statistique]] de [[fermion]]s indiscernables (tous similaires) sur les états d'[[énergie]] d'un système à l'[[équilibre thermodynamique]]. La distribution en question tient à une particularité des [[fermion]]s : les particules de [[spin]] demi-entier sont assujetties au [[principe d'exclusion de Pauli]], à savoir que deux particules ne peuvent occuper simultanément un même état quantique (voir l'article [[Gaz de Fermi]]).

== Note historique ==
Avant l'avènement de la '''distribution de Fermi-Dirac''' dans les années 1920, la compréhension du comportement des [[électron]]s dans les métaux était très rudimentaire. Le [[modèle de Drude]] utilisait la [[Statistique de Maxwell-Boltzmann|statistique classique de Maxwell-Boltzmann]] pour décrire la dynamique des électrons. Ainsi les scientifiques ne comprenaient pas bien pourquoi les électrons participaient en grand nombre dans la [[conduction]] du [[courant électrique]] dans un [[métal]] et que ce nombre devenait extrêmement réduit quand il s'agit de contribuer à la [[capacité calorifique]] du même métal. Il y a manifestement ici un problème de [[statistique]] qui se pose dans l'évaluation de la capacité calorifique des métaux.

L'explication fut apportée par le [[modèle de l'électron libre]] de [[Arnold Sommerfeld]] (1927) qui introduisait la distribution de Fermi-Dirac, en révélant que seuls les états situés près du [[niveau de Fermi]], étaient sollicités pour la contribution à la capacité calorifique du métal.

== Distribution de Fermi–Dirac ==
La statistique de Fermi-Dirac a été introduite en [[1926]] par [[Enrico Fermi]] et [[Paul Dirac]]. En [[1927]] elle fut appliquée aux électrons dans un métal par Arnold Sommerfeld. Statistiquement, le nombre ''n<sub>i</sub>'' de particules dans l'état d'énergie ''E<sub>i</sub>'' est donné par :
:<math> n_i = \frac{ g_i } { \exp \left( \frac{ E_i - \mu } { k_{\rm B} T } \right) + 1 }\ </math>

où :
* ''g<sub>i</sub>'' &nbsp; est la [[Dégénérescence (physique)|dégénérescence]] de l'état d'énergie ''E<sub>i</sub>'' , à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
* ''μ'' &nbsp; est le [[potentiel chimique]] ;
* ''k''<sub>B</sub> &nbsp; est la [[constante de Boltzmann]] ;
* ''T'' &nbsp; est la [[température absolue]].

=== Utilisation ===
Les distributions de Fermi-Dirac pour les fermions, en même temps que la [[Statistique de Bose-Einstein|distribution de Bose-Einstein]] analogue pour les [[Boson|bosons]], sont utilisées lorsque les effets quantiques sont pris en compte, et lorsque les particules sont considérées comme [[particules indiscernables|indiscernables]]. Cela correspond à une concentration de particules (''N/V'') supérieure à une certaine densité d'état, c'est-à-dire que la distance intermoléculaire est inférieure à celle de la [[longueur d'onde thermique de de Broglie]].

<gallery widths="300" heights="300">
Fichier:FD e mu.svg|'''Distribution de Fermi-Dirac''' en fonction de ε/μ et de différentes températures
Fichier:Fermi-dirac-bose-einstein.png|Représentation de <math>\langle n(E)\rangle</math> pour les [[Boson|bosons]] (courbe du haut) et les [[Fermion|fermions]] (courbe du bas).
</gallery>

== Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique ==
L'[[entropie (thermodynamique)|entropie]] d'un système constitué par des fermions, décrits par des [[Fonction d'onde|fonctions d'onde]] antisymétriques ([[spin]] demi-entier), peut être trouvée en utilisant le [[principe d'exclusion de Pauli]] et la description [[Physique statistique|statistique]] due à [[Willard Gibbs|J. Willard Gibbs]]<ref>{{ouvrage|langue=en|auteur1=[[Lev Landau]]|auteur2=[[Evgueni Lifchits]]|titre=Statistical Physics|éditeur=[[Pergamon Press]]|année=1969|url=https://archive.org/details/ost-physics-landaulifshitz-statisticalphysics}}</ref>. Elle vaut

::<math>S=-k_{\rm B}\sum_j G_j\left[(1-n_j)\log{(1-n_j)}+n_j\log n_j\right]</math>
où
{|
|-
|&ensp;<math>k_{\rm B}</math>||&ensp; [[constante de Boltzmann]],
|-
|&ensp;<math>n_j</math> || &ensp; nombre d'occupation (proportion de fermions dans un état d'énergie donné),
|-
|&ensp;<math>G_j</math> || &ensp; nombre d'états possibles dans le groupe ''j'' ([[Dégénérescence (physique quantique)|dégénérescence]]).
|}

{{démonstration|contenu=
En suivant la méthode énoncée par J.W. Gibbs en [[physique statistique]] et le [[principe d'exclusion de Pauli]],  on dénombre dans le système étudié les fermions d'énergie ''E<sub>j</sub>'', leur nombre dans ce groupe ''N<sub>j</sub>'', chacun de ces groupes pouvant comporter ''G<sub>j</sub>'' états. Le calcul de l'entropie revient à calculer le poids statistique Ω d'un tel système, c'est-à-dire le nombre de [[Micro-état (physique statistique)|micro-états]] accessibles permettant de réaliser cet état macroscopique. Chaque groupe étant supposé indépendant on a Ω = Π<sub>''j''</sub> Ω<sub>''j''</sub>. Le problème est donc ramené à la connaissance de Ω<sub>''j''</sub>.

Le nombre de possibilités de répartir ''N<sub>j</sub>'' fermions identiques dans ''G<sub>j</sub>'' états avec au plus une particule par état (selon le principe de Pauli) est
::<math>\Omega_j=\frac{G_j!}{N_j!(G_j-N_j)!}</math>
En utilisant la [[formule de Stirling]] &#x2005;<math>\log{N!}\approx N\log{N}</math>&#x2005; on calcule l'entropie
::<math>S=k_{\rm B}\log \Omega=k_{\rm B}\sum_j\log \Omega_j=k_{\rm B}\sum_j\left[G_j\log{G_j}-N_j\log{N_j}-(G_j-N_j)\log{(G_j-N_j)}\right]</math>
Soit, en introduisant le nombre d'occupation &#x2005;<math>n_j=\frac{N_j}{G_j}</math>
::<math>S=-k_{\rm B}\sum_jG_j\left[n_j\log n_j+(1-n_j)\log{(1-n_j)}\right]</math>
}}

Dans l'[[ensemble microcanonique]], les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de fermions <math>N=\sum_iG_in_i</math>&#x2005; et l'énergie totale &#x2005;<math>E=\sum_in_iG_iE_i</math>. En utilisant la méthode des [[multiplicateurs de Lagrange]], ''α'' pour le nombre de particules et ''β'' pour l'énergie, la solution vérifie
::<math>\frac{\partial}{\partial n_j}\left(S-\alpha N-\beta E\right)=0\,,\qquad \forall j</math>

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Fermi-Dirac

::<math>n_j=\frac{1}{\mathrm{e}^{\alpha+\beta E_j}+1}</math><br />

On peut retrouver les valeurs de ''α'' et ''β'' à partir du [[premier principe de la thermodynamique]]. Donc, ''α=-μ β'' et ''β''=(''k''<sub>B</sub>''T'')<sup>-1</sup>.

== Limite classique et comparaison avec les bosons ==
[[Fichier:Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann statistics.svg|vignette|346x346px|Comparaison des distributions de Fermi-Dirac, [[Statistique de Bose-Einstein|Bose-Einstein]] et [[Statistique de Maxwell-Boltzmann|Maxwell-Boltzmann]].]]
À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Fermi-Dirac tend vers la [[statistique de Maxwell-Boltzmann]] ; il en est de même pour la [[statistique de Bose-Einstein]] qui régit les bosons. À basse température, si les particules occupent en priorité les [[Niveau d'énergie|niveaux d'énergie]] les plus faibles, les statistiques diffèrent cependant. Par exemple, à température nulle :
* avec la statistique de Fermi-Dirac, le niveau de plus basse énergie, ''E''<sub>0</sub>, est occupé par au plus ''g''<sub>0</sub> fermions ; les états de basse énergie ''E<sub>i</sub>'' sont ensuite occupés chacun dans l'ordre croissant des énergies par au plus ''g<sub>i</sub>'' fermions jusqu'à épuisement de ces derniers;
* avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons (cas limite du [[condensat de Bose-Einstein]]).

== Ensembles de fermions ==
Les électrons dans les [[État solide|solide]]s forment un gaz de fermions dont la description requiert la statistique de Fermi-Dirac. Récemment, le refroidissement de gaz d'atomes dilués fermioniques jusqu'à des températures de l'ordre du μK a permis d'obtenir des [[Condensat fermionique|condensats fermioniques]], uniquement descriptibles par cette statistique.

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Entropie (fermions)|150945280}}
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets| wikiversity=Distributions statistiques des particules/Statistique de Fermi-Dirac}}

=== Bibliographie ===
* {{Physique de l'état solide (Charles Kittel)}}
* {{ouvrage|langue=en|auteur1=[[Lev Landau]]|auteur2=[[Evgueni Lifchits]]|titre=Statistical Physics|éditeur=[[Pergamon Press]]|url=https://archive.org/details/ost-physics-landaulifshitz-statisticalphysics|année=1969}}

=== Articles connexes ===
* Autres distributions statistiques en physique statistique :
** en mécanique quantique : [[Statistique de Bose-Einstein]] et [[Anyon]]
** en mécanique classique : [[Statistique de Maxwell-Boltzmann]]
* [[Gaz de Fermi]]
* [[Physique statistique]]
* [[Physique quantique]]

{{Palette|Mécanique quantique}}

{{portail|physique}}

[[Catégorie:Physique quantique]]
[[Catégorie:Physique statistique]]