Voir la source de Stratification (Monte-Carlo)

{{ébauche|analyse}}

{{Article à sourcer|date=décembre 2023}}
{{Voir homonymes|Stratification}}
En [[Analyse (mathématiques)|analyse]], la '''stratification''' est une méthode de [[réduction de la variance]] qui peut être utilisée dans la [[méthode de Monte-Carlo]]. L'idée sous-jacente à la stratification est de décomposer le domaine d'intégration en sous-domaines, auxquels on associe une probabilité selon la fonction qu'on souhaite estimer.

== Théorie ==
=== En Monte-Carlo ===
{{article détaillé|Méthode de Monte-Carlo}}

On souhaite estimer une quantité ''G'', qui s'exprime sous la forme d'une intégrale :
<center><math>G = \int_a^b g(x) \,\mbox{d}x</math></center>
On considère ici une intégration en dimension 1, mais on peut généraliser à une dimension quelconque.

Le principe de base des méthodes de Monte-Carlo est de voir l'intégrale précédente comme 
<center><math>G = (b-a)\int_a^b g(x) f_X(x) \,\mbox{d}x = (b-a)\,\mathbb{E}(g(X))</math></center>
où ''X'' est une [[variable aléatoire]] [[Loi uniforme continue|uniformément distribuée]] sur [''a'' ; ''b''] et <math>f_X(\cdot)=\frac{1}{b-a}</math> sa [[Densité de probabilité|densité]].

Si on dispose d'un échantillon <math>(x_1, x_2, \cdots, x_N)</math>, indépendant et identiquement distribué (i.i.d.) selon <math>\mathcal U([a;b])</math>, on peut estimer ''G'' par :
<center><math>\hat{g}_N = \frac{(b-a)}{N} \sum_{i=1}^N g(x_i)</math></center>
Il s'agit d'un estimateur de ''G'' non-biaisé (c'est-à-dire que <math>\mathbb{E}( \hat{g}_N)= G</math>) et consistant (d'après la [[loi des grands nombres]]). Sa variance est :
<center><math>\sigma^2_{\hat{g}_N} = \frac{(b-a)^2\sigma^2_g}{N}</math></center>
avec <math>\sigma^2_g</math> la variance de la variable aléatoire <math>g(X)</math>
<center><math>\sigma^2_g =\frac{1}{(b-a)}\int_a^b g^2(x) \,\mbox{d}x - \left(\frac{1}{b-a}\int_a^b g(x) \,\mbox{d}x\right)^2</math></center>

L'erreur commise est alors une valeur aléatoire, suivant approximativement une [[loi normale]] centrée et de variance <math display=inline>\mathrm{Var}(g(X)) = \frac{\sigma_g^2}{N}</math>.

==== Principe de la stratification ====
L'idée principale de la stratification est de calculer l'intégrale sur une partition de l'intervalle [''a'' ; ''b''], qu'on précisera plus tard :
:<math>G = \int_a^b g(x) \,\mbox{d}x = \sum_{k=0}^{m} \int_{a_k}^{a_{k+1}} g(x) \,\mbox{d}x, \quad a = a_0 < a_1 < \ldots < a_m < a_{m+1} = b.</math>
Ainsi, l'intégrale se réécrit comme une somme de [[Probabilité conditionnelle|probabilités conditionnelles]] :
:<math>G = (b-a)\,\mathbb{E}(g(X)) = (b-a)\,\sum_{k=0}^{m} \mathbb{E}(g(X \mid X \in [a_k,a_{k+1}])) \mathbb{P}(X \in [a_k,a_{k+1}]).</math>
En supposant que chaque loi conditionnelle de ''X'' soit simulable, et que chaque valeur <math display=inline>p_k = \mathbb{P}(X \in [a_k,a_{k+1}])</math> soit connue, on peut donc calculer chaque sous-intégrale par une méthode de Monte-Carlo à ''N{{ind|k}}'' tirages, soit :
:<math>\forall k \in \{0; m\}, G_k = \mathbb{E}(g(X \mid X \in [a_k,a_{k+1}])) \approx \widehat{G_k} =\frac{1}{N_k} \sum_{j=0}^{N_k}g(X_j^{(i)}).</math>

==== Estimation de l'erreur ====
On a ainsi une erreur égale à 
:<math>e = G - \sum_{k=0}^{m} p_k \widehat{G_k} = \sum_{k=0}^{m} p_k (G_k - \widehat{G_k}).</math>
Pour de grands tirages, chaque terme de l'erreur peut être approchée par une loi normale centrée. En observant que :
:<math>
\begin{align}
\mathrm{Var}(g(X) \mid X \in [a_k,a_{k+1}]) &= \mathbb{E}\left(\left[g(X) -\mathbb{E}\left(g(X) \mid X \in [a_k,a_{k+1}]\right)\right]^2 \mid X \in [a_k,a_{k+1}]\right) \\
&= \frac{1}{p_k}\mathbb{E}\left(\left[g(X) -\mathbb{E}\left(g(X) \mid X \in [a_k,a_{k+1}]\right)\right]^2 1\!\!1_{[a_k,a_{k+1}]} (X)\right) \\
&= \frac{1}{p_k}\mathbb{E}\left[g(X)^2 1\!\!1_{[a_k,a_{k+1}]} (X)\right] -  \frac{1}{p_k^2}\mathbb{E}\left[g(X) 1\!\!1_{[a_k,a_{k+1}]} (X)\right]^2,
\end{align}
</math>
on peut en déduire que la variance de l'erreur approche <math display=inline>\sum_{k=0}^{m}\frac{p_k^2 \sigma_k^2}{N_k}</math>.

Il suffit de vérifier qu'on a bien l'inégalité <math>\mathrm{Var}(g(X)) \geqslant \mathrm{Var}(\widehat{G})</math> pour conclure à l'efficacité de la technique de réduction de la variance.

==== Méthodes de stratification ====

L'objectif est de réduire le nombre de tirages <math>N = N_0 + \ldots + N_m</math>.

Une méthode simple est la stratification uniforme, réalisée en s'assurant que <math>p_0 = p_1 = \ldots = p_m</math>.

On peut également chercher à optimiser la stratification en minimisant la variance conditionnelle. Une étude de la variance montre qu'elle atteint son minimum pour
:<math>\forall k \in \{0; m\}, N_k = N \frac{p_k \sigma_k}{\sum_{l=0}^{m}p_l \sigma_l}</math>
soit un minimum égal à <math>\sigma^2 =\sum_{k=0}^{m}p_k^2 \sigma_k^2 \frac{\sum_{l=0}^{m}p_l\sigma_l}{np_k\sigma_k} = \frac{1}{n}\left(\sum_{k=0}^{m}p_k \sigma_k \right)^2</math>

== Voir aussi ==
=== Liens internes ===
* [[Méthode de Monte-Carlo]]

== Références ==
* {{ouvrage |format=pdf |lang=en |auteur=Paul Glasserman |titre=Monte-Carlo Methods in Financial Engineering |chapitre=4.3: Stratified Sampling |éditeur=Springer |année=2004 |lire en ligne=https://www.bauer.uh.edu/spirrong/Monte_Carlo_Methods_In_Financial_Enginee.pdf}}
{{Références}}
{{Vide}}

{{Portail|probabilités et statistiques}}

{{DEFAULTSORT:Echantillonnage preferentiel}}
[[Catégorie:Probabilités]]