Voir la source de Suite (mathématiques)

{{Voir homonymes|Suite}}
{{sources|date=octobre 2020}}
[[Fichier:Cauchy sequence illustration2.png|vignette|Exemple de suite : les points bleus représentent ses termes.]]
En [[mathématiques]], une '''suite''' est une [[famille (mathématiques)|famille]] d'éléments — appelés ses « termes » — indexée par les [[entier naturel|entiers naturels]]. Une [[Uplet#Formalisation|suite finie]] est une famille indexée par les entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à un certain entier, ce dernier étant appelé « longueur » de la suite.

Lorsque tous les éléments d'une suite (infinie) appartiennent à un même [[ensemble]] <math>E</math>, cette suite peut être assimilée à une [[application (mathématiques)|application]] de <math>\N</math> dans <math>E</math>. On note classiquement une suite <math>(u_n)_{n \in\N}</math>, ou en abrégé : <math> (u_n)</math>.

En particulier, on parle de suite « entière », suite « réelle » et suite « complexe », quand <math>E</math> est un sous-ensemble de <math>\Z</math>, <math>\R</math> et <math>\Complex</math>, respectivement.

== Fragments d'histoire ==
Les '''suites numériques''' sont liées à la mathématique de la mesure (mesures d'un phénomène prises à intervalles de temps réguliers) et à l'analyse (une suite numérique est l'équivalent discret d'une [[fonction numérique]]). La notion de suite est présente dès qu'apparaissent des procédés illimités de calcul. On en trouve, par exemple, chez [[Archimède]], spécialiste des procédés illimités d'approximation ([[série géométrique|séries géométriques]] de raison 1/4) pour des calculs d'[[Aire (géométrie)|aires]] et de [[Volume|volumes]], ou en Égypte vers 1700 {{av JC}} et plus récemment au {{s-|I|er}} {{ap JC}} dans le procédé d'extraction d'une [[racine carrée]] par la [[méthode de Héron]] d'Alexandrie : 
: ''Pour extraire la racine carrée de <math>A</math>, choisir un nombre arbitraire <math>a</math> strictement positif et prendre la moyenne entre <math>a</math> et <math>A \over a</math> et recommencer aussi loin que l'on veut le processus précédent.''
En [[Notation européenne moderne en mathématiques|notation moderne]], cela définit la suite de nombres <math>(u_n)</math> telle que
:<math>u_0 = a</math> et, pour tout entier <math>n \;</math>, <math>u_{n+1}= {1 \over 2}\left(u_n + {A\over u_n}\right)</math>.

On retrouve ensuite cette préoccupation plusieurs siècles plus tard (à partir du {{XVIIe siècle}}) avec la [[méthode des indivisibles]] ([[Bonaventura Cavalieri|Cavalieri]], [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], [[Blaise Pascal|Pascal]], [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]]). Dans l'[[Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers|Encyclopédie Raisonnée]] de [[Jean Le Rond d'Alembert|d'Alembert]] et [[Denis Diderot|Diderot]] (1751), une grande part est laissée aux suites et séries dont le principal intérêt semble être leur convergence<ref group=note>Toutefois, [[Leonhard Euler|Euler]] et ses successeurs montreront qu'il est possible d'utiliser également des suites et surtout des séries divergentes ; voir « [[Série divergente]] » pour plus de détails.</ref> :
:'''''Série ou suite''', en Algebre, se dit d'un ordre ou d'une progression de quantités qui croissent ou décroissent suivant quelques lois. Lorsque la suite va toujours en s'approchant  de plus en plus de quelque quantité finie […] on l'appelle suite convergente et si on la continue à l'infini, elle devient égale à cette quantité. […]  Ainsi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, etc. forment une suite qui s'approche toujours de la quantité 1, & qui lui devient enfin égale, quand cette suite est continuée à l’infini.''<ref>[[Jean Le Rond d'Alembert]], article ''Série ou suite'' dans le volume XV de l'''Encyclopédie'', p. 93b-96a [http://enccre.academie-sciences.fr/encyclopedie/article/v15-174-0/ lire en ligne]</ref>{{,}}<ref group=note>Suite est ici synonyme de série, il s'agit ici de convergence de la [[série (mathématiques)|série]] associée à ce que nous appelons aujourd'hui suite.</ref>  
C'est ainsi que l'on voit [[Daniel Bernoulli|Bernoulli]], [[Isaac Newton|Newton]], [[Abraham de Moivre|Moivre]], [[James Stirling (mathématicien)|Stirling]] et [[John Wallis|Wallis]], s'intéresser aux suites pour approcher des valeurs numériques. C'est à [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] que l'on doit, semble-t-il, la notation indicielle. L'étude des suites ouvre la porte à celle des [[série entière|séries entières]] dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du {{s-|XX}}, le développement des [[Calculateur mécanique|calculateurs]] et des [[Ordinateur|ordinateurs]] donne un second souffle à l'étude des suites en [[analyse numérique]] grâce à la [[méthode des éléments finis]]. On en retrouve l'usage aussi dans les [[mathématiques financières]]<ref>8- Application des séries géométriques aux mathématiques financières dans {{lien web|auteur=HEC Montreal|titre=Suites et séries géométriques|url=https://www.hec.ca/cams/rubriques/Suites_series_geometriques.pdf |site=hec.ca}}, p. 12</ref>.

Parallèlement à ces études de suites pour leur convergence, se développe un certain goût pour l'étude de la suite non tant pour sa convergence mais pour son terme général. C'est le cas par exemple d'un grand nombre de [[Suite d'entiers|suites d'entiers]] comme la [[suite de Fibonacci]], [[suite de Lucas|celle de Lucas]] ou, plus récemment, [[Conjecture de Syracuse|celle de Syracuse]]. Sont aussi particulièrement étudiées les suites de coefficients dans des [[Série entière|séries entières]] ou les suites de nombres découvertes lors de [[combinatoire|dénombrements]].

== Notations ==
L'ensemble des suites d'éléments de <math>E</math> indexées par une [[Inclusion (mathématiques)|partie]] <math>A</math> de <math>\N</math> se note <math>\mathcal F\left(A, E\right)</math> ou <math>E^A</math>.

Soit <math>A</math> une partie de <math>\N</math>.
Soit <math>u \in E^A</math> une suite d'éléments de <math>E</math>. On note <math>u_n</math> l'image <math>u(n)</math> de l'entier <math>n</math> par <math>u</math>.

Ainsi, les images de <math>0, 1, 2, \dots, n</math> sont notées <math>u_0, u_1, u_2, \dots, u_n</math>.

On dit que <math>u_n</math> est le terme de rang <math>n</math>, ou d'indice <math>n</math> de la suite <math>u</math>.

On note en général la suite <math>u</math> : <math>(u_n)_{n \in A}</math> qui est donc une application.

Lorsque <math>A =\N</math>, on note plus simplement la suite : <math>(u_n)</math>.

Lorsque <math>A =\N_n:=
[\![1,n]\!]=\{1, 2, \dots, n\}</math>, on peut noter la suite <math>(u_k)_{1 \le k \le n}</math> ou encore <math>(u_1, u_2, \dots, u_n)</math>.

=== Remarque ===
Il ne faut pas confondre la suite <math>u = (u_n)_{n \in\N}</math> avec l'ensemble des valeurs de la suite <math>\{u_n \mid n \in\N \}</math> qui est l'[[image directe]] de <math>\N</math> par <math>u</math>. Par exemple, considérons la suite <math>\left((-1)^n\right)_{n \in\N}</math>, l'ensemble des valeurs de la suite est <math>\{-1, 1\}</math>.

=== Exemples ===

La suite nulle est la suite dont tous les termes sont nuls :
:<math>\left(0, 0, 0, 0, \dots \right)</math>.

Plus généralement, si <math>(u_n)</math> est une suite et que <math> \exists N \in\N \quad \forall n \geq N \quad u_n = 0 </math>, alors on dit que <math>(u_n)</math> est une suite « presque nulle », ou « nulle à partir d'un certain rang ».

Pour des raisons de commodité, pour tout élément <math>k</math> de <math>E</math> on peut identifier <math>k</math> et la suite :
:<math>\left(k, k, k, \dots \right)</math>

Posons <math>\forall n \in \N, u_n={1 \over {n+1}}</math> ; <math>u = (u_n)_{n \in \N}</math> est la suite des inverses des nombres entiers. Celle-ci peut être représentée par :
:<math>\left(1,\frac12,\frac13,\frac14,\frac15,\frac16,\cdots\right)</math>.

=== Terme général et récurrence ===
Une suite étant une application de ''A'' (partie de <math>\N</math>) dans ''E'', il est intéressant, voire primordial, de connaître l'[[Image (mathématiques)|image]] de ''n'' pour tout ''n'' de ''A''. Si <math>u_n</math> est donné comme expression de ''n'' et permet un calcul direct du nombre, on dit que l'on connait le '''terme général''' de <math>u_n</math>.

Cependant, si <math>A=\{n\in\N\mid n \geq n_0\}</math>, la nature de l'ensemble de départ permet de définir la suite par une '''[[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]]''' : le terme d'indice ''n'' est donné comme fonction de ''n'' et des termes d'indices ''k'', ''k'' ≤ ''n''. Le principe de [[définition par récurrence]] permet d'affirmer qu'il suffit alors de donner <math>u_{n_0}</math> pour en déduire tous les termes (la suite <math>(u_{n})_{n\geq n_0}</math> est bien définie). En pratique, la détermination de <math>u_n</math> va nécessiter le calcul de tous les termes de <math>u_{n_0}</math> à <math>u_{n-1}</math>. En [[programmation]], cette récurrence a donné lieu à la création des [[fonction récursive|fonctions récursives]]. Une partie de la recherche sur les suites va consister à déterminer le terme général d'une suite connaissant sa relation de récurrence.

;Exemple
:La suite <math>(u_n)</math> définie par <math>u_0=1</math> et, pour tout entier ''n'', <math>u_{n+1}= (n+1)u_n</math> est la suite des factorielles : <math>u_n = n!</math>.

=== Somme des termes d'une suite ===
Si <math>E</math> est un [[groupe (mathématiques)|groupe]] additif, on note : <math>\sum_{n = p}^{q}u_n</math> ou <math>\sum_{p \le n \le q}u_n</math> la somme :
:<math display="block">u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q.</math>

{{Voir|Série (mathématiques)}}

== Exemples de suites ==

=== Suite arithmétique ===
{{Article détaillé|Suite arithmétique}}
C'est une suite à valeurs dans un [[groupe (mathématiques)|groupe]] additif, définie par récurrence par : <math>
\begin{cases}
u_{n_0} = a\\
\forall n \geq n_0\quad u_{n+1} = u_n + r
\end{cases}
</math> 

où <math>r</math> est une constante. Son terme général est alors : 
:<math display="block"> u_n = a + (n - n_0)r.</math>

=== Suite géométrique ===
{{Article détaillé|Suite géométrique}}
C'est une suite à valeurs dans un  [[monoïde]], définie par récurrence par : <math>
\begin{cases}
u_{n_0} = a\\
\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = qu_n
\end{cases}
</math> 

où <math>q</math> est une constante. Son terme général est alors : 
:<math display="block"> u_n = q^{n - n_0} a.</math>

=== Suites arithmético-géométriques ===
{{Article détaillé|Suite arithmético-géométrique}}
C'est une suite à valeurs dans un [[corps commutatif]]<ref group=note>Ou, plus généralement, dans un [[anneau commutatif]].</ref>, définie par récurrence par : <math>
\begin{cases}
u_{n_0} = U\\
\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = au_n + b.
\end{cases}
</math> 
* Si <math>a = 1</math>, la suite est une suite [[suite arithmétique|arithmétique]].
* Si <math> a\ne 1</math><ref group=note>Ou, plus généralement, si <math>a-1</math> est [[Inverse|inversible]].</ref>, son terme général est alors :
:<math display="block"> u_n = \frac b{1-a}  + a^{n - n_0} \left(U - \frac{b}{1-a}\right).</math>

=== Suites récurrentes linéaires à coefficients constants ===
{{Article détaillé|suite récurrente linéaire}}
Une [[suite récurrente linéaire]] est définie par une relation de récurrence :
: <math display="block"> u_{n+p} = a_0u_n + a_1u_{n+1} + \cdots+ a_{p-1}u_{n+p-1}</math>
où  <math>a_0</math>, <math>a_1</math>, …<math>a_{p-1}</math> sont <math>p</math> [[Scalaire (mathématiques)|scalaires]] (<math>a_0\ne0</math>).

L'entier ''p'' est appelé l’ordre de la récurrence. Les suites à récurrence linéaire d’ordre 1 sont les [[suite géométrique|suites géométriques]] ; une suite récurrente linéaire d’ordre 2 célèbre est la [[suite de Fibonacci]]. L’étude des suites récurrentes linéaires d’ordre p fait appel à la notion d’[[espace vectoriel]] et au calcul matriciel, et on dispose de méthodes permettant le calcul du terme général de n'importe quelle suite de ce type.

=== Quelques suites notoires ===
C'est dans l'univers des [[Suite d'entiers|suites d'entiers]] que l'on trouve les suites les plus célèbres : 
* la [[suite de Fibonacci]] où chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dont on connaît le terme général et sa relation avec le [[nombre d'or]] ;
* la [[suite de Conway]], où chaque terme est la description à voix haute du terme précédent ;
* la [[conjecture de Syracuse|suite de Syracuse ou de Collatz]] définie par une relation de récurrence simple : le terme suivant est obtenu en prenant, ou bien la moitié du terme précédent si celui-ci est pair, ou bien le triple du terme précédent augmenté de 1 si celui-ci est impair. Les mathématiciens ne sont pas encore, en 2023, capables de la modéliser à l'aide d'une fonction ou encore de déterminer si le nombre 1 y apparaît au moins une fois, peu importe le terme initial.

== Limite d'une suite ==
{{Article détaillé|Limite d'une suite}}
=== Suite convergente ===
La définition de limite d'une suite est classique en [[topologie]]. La convergence des suites dans <math>\R</math> ou dans <math>\Complex</math> est un cas particulier de cette définition : elle se formule à l'aide de la distance (sur laquelle la topologie de ces espaces est construite).

Intuitivement, une suite possède une (valeur) limite si ses points se rapprochent toujours plus de cette limite lorsque l'indice augmente indéfiniment.

'''Définition générale :'''

Soient <math>E</math> un [[espace topologique]] et <math>(u_n)</math> une suite à valeurs dans <math>E</math>.
On dit qu'un élément <math>\ell</math> de <math>E</math> est une limite de la suite <math>(u_n)</math> si 
:pour tout [[Ouvert (topologie)|ouvert]] <math>O</math> contenant <math>\ell</math>, il existe <math>N\in \N</math> tel que <math>\forall n > N\quad u_n \in O</math>.

'''Suite réelle convergente''' 

On dit qu'une suite réelle <math>(u_n)</math> converge vers <math>\ell</math> lorsque pour tout <math>\varepsilon\in\R_+^*</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>n>N</math> :
:<math display="block">|u_n-\ell|\le\varepsilon.</math>On dit alors que <math>(u_n)</math> tend vers <math>\ell</math>, et on le note : <math>\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell</math>.

'''Suite complexe convergente''' 

La définition dans ℝ s'applique dans ℂ en remplaçant la [[valeur absolue]] par le [[module d'un nombre complexe|module]].

=== Limites infinies ===
Pour les suites réelles, on élargit le champ des limites possibles aux deux limites infinies {{math|+∞}} et {{math|–∞}} :
{{Voir|Limite d'une suite#Limite infinie}}

=== Propriétés ===
Les propriétés sur les limites :
*[[Axiome de séparation (topologie)#Espaces à unique limite séquentielle|unicité]]
*opération
*complétude
vont dépendre de l'espace sur lequel on travaille et sont détaillées dans l'article « [[Limite d'une suite]] ».

== Suites réelles et relation d'ordre ==

=== Suites monotones ===
==== Définition ====
Une suite réelle ''monotone'' est une [[fonction monotone]] (c'est-à-dire croissante ou décroissante) de ℕ dans ℝ. De même, une suite réelle est dite [[Fonction monotone#Monotonie stricte|strictement monotone]] lorsqu'elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

==== Propriétés ====
On démontre qu'une suite réelle <math>(u_n)</math> est :
*'''croissante''' si (et seulement si) <math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}\ge u_n</math> ;
* '''strictement croissante''' si (et seulement si) <math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}>u_n</math> ;
*'''décroissante''' si (et seulement si) <math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}\le u_n</math> ;
*'''strictement décroissante''' si (et seulement si) <math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}< u_n</math>.

==== Exemples ====
La suite <math>(u_n)</math> définie par <math>\forall n\in\N\quad u_n = 2n+1</math> est strictement croissante. En effet, <math>\forall n\in\N\quad u_{n+1}-u_n=[2(n+1)+1]-(2n + 1)=2>0.</math>

=== Critères de monotonie===
{{Section vide ou incomplète}}

=== Limites de suites monotones ===
'''Suite monotone bornée'''

D'après le [[théorème de la limite monotone]] :

Si une suite réelle <math>(u_n)</math> est croissante (resp. décroissante) et majorée par <math>M</math> (resp. minorée par <math>m</math>), alors elle est convergente et <math>\lim_{n\to+\infty}u_n\le M</math> (resp. <math>\lim_{n\to+\infty}u_n\ge m</math>).

De cette propriété, découle la remarque suivante :

Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites réelles. Si :
* <math>(u_n)</math> est croissante ;
* <math>(v_n)</math> est décroissante ;
* <math>\exist N\in\N\quad\forall n > N\quad u_n \le v_n</math> ;
alors :
:<math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont convergentes et <math>\lim_{n\to+\infty}u_n\le\lim_{n\to+\infty}v_n</math>.

'''Suite monotone non bornée'''

Encore d'après le théorème de la limite monotone :

Si une suite réelle <math>(u_n)</math> est croissante (resp. décroissante) et non majorée (resp. non minorée), alors elle tend vers <math>+\infty</math> (resp. <math>-\infty</math>).

=== Suites adjacentes ===
{{Article détaillé|Théorème des suites adjacentes}}
Deux suites réelles <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math> sont dites adjacentes lorsque :
* l'une est croissante ;
* l'autre est décroissante ;
* la suite <math>(a_n-b_n)</math> converge vers <math>0</math>.

L'intérêt des [[Théorème des suites adjacentes|suites adjacentes]] est qu'elles permettent d'une part de prouver l'existence d'une limite, d'autre part de fournir un encadrement de celle-ci aussi fin qu'on le souhaite. Ceci grâce aux deux propriétés suivantes : 
* Si deux suites réelles <math>(a_n)</math> et <math>(b_n)</math> sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite <math>\ell</math>.
* De plus, en supposant <math>(a_n)</math> croissante et <math>(b_n)</math> décroissante on a :<center><math>\forall n \in\N\quad a_n \leq a_{n+1} \leq \ell \leq b_{n+1} \leq  b_n.</math></center>

== Suites particulières ==
=== Suites de Cauchy ===
{{Article détaillé|Suite de Cauchy}}
Dans ce paragraphe, il s'agit de suites à valeurs dans un [[espace métrique]] <math>(E,d)</math>.
 
Une suite <math>(u_n)</math> est dite de Cauchy lorsque : <math>\forall \eta \in\R^*_+\quad\exist N \in\N\quad\forall p \in\N\quad\forall q \in\N\quad(p \ge N</math> et <math>q \ge N)\Rightarrow d(u_p,u_q)\le\eta</math>.

On démontre que : 
*toute suite convergente est de Cauchy ;
*toute [[suite de Cauchy]] est bornée.

On appelle [[espace complet]] un espace où toute suite de Cauchy est convergente.

=== Suites extraites ===
{{Article détaillé|Sous-suite}}
Soit <math>(u_n)</math> une suite.

Si <math>\sigma:\N\to\N</math> est une fonction strictement croissante (une telle fonction s'appelle une '''extractrice'''), on dit que la suite <math> (u_{\sigma(n)})_{n \in\N }</math> est une '''suite extraite''' (ou '''sous-suite''') de la suite <math> (u_n)_{n \in\N }</math>.

Grosso modo, c'est la suite <math> (u_n)</math> pour laquelle on n'a gardé que certains termes (une infinité quand même).

Ces suites extraites se révèlent intéressantes quand on cherche à déterminer des [[Valeur d'adhérence|valeurs d'adhérence]].

=== Suites équivalentes et suites négligeables ===
{{Article détaillé| Comparaison asymptotique}}

'''Définition'''

Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites réelles. On dit que <math>(u_n)</math> est négligeable devant <math>(v_n)</math>, et l'on note <math>u_n = o(v_n)</math>, si :
:<math>\exists({\varepsilon}_n)\quad\lim_{n \to \infin}{\varepsilon}_n= 0 </math> et <math>u_n = \varepsilon_n v_n</math>.

;Remarque
:Si <math> v_n \ne 0</math> à partir d'un certain rang, alors <math>u_n = o(v_n)</math> si et seulement si <math> \lim_{n \to \infin} {{u_n} \over {v_n}} = 0</math>.

'''Exemple'''

Considérons <math> u_n = {1 \over n^2} </math> et <math> v_n = {1 \over n} </math>.

Posons <math> {\varepsilon}_n = {1 \over n}</math>.
On a alors :
* <math> u_n = {\varepsilon}_nv_n </math> ;
* <math> \lim_{n \to \infin} {1 \over n} = 0 </math>.
D'où <math> {1 \over n^2} = o \left({1 \over n}\right) </math> et <math> {1 \over n^2} +{1 \over n}\sim{1 \over n} </math>.

'''Définition'''

Deux suites réelles <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont dites [[suites équivalentes|équivalentes]] si <math>u_n-v_n= o(v_n)</math>. On note alors <math> u_n \sim v_n </math>.

;Remarque
:Si <math> v_n \ne 0</math> à partir d'un certain rang, alors <math> u_n \sim v_n </math> si et seulement si <math> \lim_{n \to \infin} {{u_n} \over {v_n}} = 1</math>.

==Notes et références ==
=== Notes ===
{{Références|groupe=note}}

=== Références ===
{{Références}}

==Voir aussi==
{{Autres projets
 | commons = Category:Sequence (mathematics)
 | wikiversity = Suite numérique
}}

===Bibliographie===
* {{BouvItardSallé}}

=== Articles connexes ===
* [[Adhérence (mathématiques)]]
* [[Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers]]
* [[Suite (mathématiques élémentaires)]]
* [[Suite d'entiers]]
* [[Suite généralisée]]
* [[Vitesse de convergence des suites]]
* [[Série (mathématiques)]]

=== Liens externes ===
* [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k505471 L'encyclopédie de d'Alembert et Diderot] sur Gallica. Tome XV (voir {{p.|93}})
* {{autorité}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Analyse réelle]]
[[Catégorie:Suite|*]]