Voir la source de Suite arithmético-géométrique

{{Confusion|texte=Ne pas confondre avec les suites définissant la [[moyenne arithmético-géométrique]].}}
En [[mathématiques]], une '''suite arithmético-géométrique''' est une [[suite (mathématiques)|suite]] satisfaisant une [[relation de récurrence]] [[fonction affine|affine]], généralisant ainsi les définitions des suites [[suite arithmétique|arithmétiques]] et [[suite géométrique|géométriques]].

== Définition==

On se place dans un [[corps commutatif]] ''K ''quelconque, par exemple ℝ (corps des [[nombre réel|réels]]) ou ℂ (corps des [[nombre complexe|complexes]]). Une suite (''u{{ind|n}}''){{ind|''n'' ∈ ℕ}} à valeurs dans ''K ''est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments ''{{math|a}} '' et ''{{math|b}} ''de ''K '' tels que la suite vérifie la [[relation de récurrence]] suivante :
<center><math>\forall n\in\N,~u_{n+1}=a \, u_n+b</math>.</center>

;Remarque
:On peut toujours ramener l'étude d'une suite (''u{{ind|n}}''){{ind|''n ''≥ ''n''{{ind|0}}}} à celle d'une suite (''v{{ind|p}}''){{ind|''p ''∈ ℕ}} en posant ''v{{ind|p}} ''= ''u''{{ind|''n''{{ind|0}} + ''p''}}<ref>{{refinc|''J'intègre'' de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.}}</ref>. La suite (''u{{ind|n}}'') vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout ''n ''≥ ''n''{{ind|0}} si et seulement si la suite (''v{{ind|p}}''){{ind|''p ''∈ ℕ}} est arithmético-géométrique.

== Terme général ==
===Cas où {{math|1=''a'' = 1}}===
Pour le cas {{math|1=''a'' = 1}}, on a affaire à une [[suite arithmétique]], donc
<center><math>\forall n\in\N\quad u_n=u_0+nb</math>.</center>

=== Cas où {{math|''a'' ≠ 1}} ===
En posant
<center><math>r=\frac b{1-a}</math></center>
on a :
<center><math>\forall n\in\N\quad u_n=a^n(u_0-r)+r</math></center>
(y compris si {{mvar|a}} et {{mvar|n}} sont nuls, avec la [[0^0|convention 0{{exp|0}} = 1]]).

{{Démonstration|titre=Démonstration<ref>{{Ouvrage|prénom1=J.-P.|nom1=Ramis|lien auteur1=Jean-Pierre Ramis|prénom2=A.|nom2=Warusfel|lien auteur2=André Warusfel|responsabilité2=dir.|titre=Mathématiques|sous-titre=Tout-en-un pour la Licence – niveau 1|éditeur=[[Dunod]]|collection=Sciences Sup|année=2018|numéro d'édition=3|année première édition=2006|passage=532|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|fWFwDwAAQBAJ|page=532}}}}.</ref>{{,}}<ref>Voir aussi, pour une preuve plus méthodique et incluant le cas {{mvar|a}} = 1 précédent et les [[réciproque]]s des deux cas, la leçon sur [[Wikiversité]] ([[#Voir aussi|lien ci-dessous]]).</ref>|contenu=
On cherche d'abord le [[point fixe]], c'est-à-dire, le {{mvar|r}} tel que {{math|1=''f''(''r'') = ''r''}} avec {{mvar|f}} la fonction {{math|''x'' ↦ ''ax + b''}} associée à la suite :
:<math>ar+b=r\Leftrightarrow r=b/(1-a)</math>.
Puis on définit une suite [[Translation (géométrie)|translatée]] :
:<math>v_n=u_n-r</math>.
La relation {{math|1=''u''{{ind|''n ''+ 1}} = ''au{{ind|n}} + b''}} se traduit alors par {{math|1=''v''{{ind|''n ''+ 1}} + ''r = a''(''v{{ind|n}} + r'') + ''b''}} donc
:<math>v_{n+1}=av_n+ar+b-r=av_n</math>.
La suite {{math|(''v{{ind|n}}'')}} est donc [[Suite géométrique|géométrique]] de raison {{mvar|a}}. Par conséquent,
:<math>u_n=v_n+r=a^nv_0+r=a^n(u_0-r)+r</math>.
}}

D'après la [[#Définition|remarque qui suit la définition]], on en déduit que, plus généralement :
<center><math>\forall p\in\N,\; \forall n\ge p,~u_n=a^{n-p}(u_{p}-r)+r</math>.</center>

== Somme des premiers termes ==

Si {{math|''a'' ≠ 1}}, toujours en posant {{math|1=''r'' = ''b''/(1 – ''a'')}}, la somme des ''n ''premiers termes (de 0 à ''n ''– 1) est :
<center><math>S_n=\sum_{k=0}^{n-1}u_k=(u_0-r)\dfrac{1-a^n}{1-a}+nr</math>.</center>

{{Démonstration|contenu=
D'après l'[[#Cas a ≠ 1|expression du terme général]] de la section précédente et celle de la [[série géométrique|somme des premiers termes d'une suite géométrique]],
<center><math>\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1}u_k&=\sum_{k=0}^{n-1}\left(a^k(u_0-r)+r\right)\\&=(u_0-r)\left(\sum_{k=0}^{n-1}a^k\right)+nr\\&=(u_0-r)\frac{1-a^n}{1-a}+nr.\end{align}</math></center>
}}

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour  ''{{math|n > p}}'',
:<math>\sum_{k=p}^{n-1}u_k=S_n-S_p=(u_{p}-r)\dfrac{a^{p}-a^n}{1-a}+(n-p)r</math>.

== Convergence==

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la [[Limite d'une suite|limite d'une telle suite]] suivant les valeurs de {{mvar|a}} et, éventuellement, le signe de {{math|''u''{{ind|0}} – ''r''}} (si {{math|''a'' ≠ 1}} et {{math|''r'' {{=}} ''b''/(1 – ''a'')}}).

Dans le cas où {{math|§={{!}}''a''{{!}} < 1}}, la limite de la suite est {{mvar|r}} quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type  est donc ''indépendante des conditions initiales''. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire ([[suite logistique]]) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une [[chaîne de Markov]], cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

== Utilisation==

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).

''Exemple'' : apport de 10 et fuite de 5 % :

:<math>u_{n+1} = u_n+ 10 - 0{,}05 \, u_n</math>.

Elles se rencontrent aussi dans les [[plan de remboursement|plans de remboursement]] : un capital {{Formule|§=''C''}} emprunté à un taux mensuel {{Formule|§=''t''}} et remboursé par mensualités {{Formule|§=''M''}} conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si {{Formule|§=''R''{{ind|''n''}}}} représente le capital restant dû au bout de {{Formule|§=''n''}} mensualités, la suite {{Formule|§=(''R''{{ind|''n''}})}} est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence : 

:<math>R_{n+1} = (1 + t)\, R_n - M</math>.


On les trouve aussi dans une [[chaîne de Markov]] à deux états A et B dont les probabilités sont, à l'étape <math>n</math>, <math> p_n</math> et <math> q_n</math> avec <math> p_n+q_n=1</math>. La [[matrice stochastique]] est alors :
:<math>
\begin{pmatrix}
a & 1-a \\
1-b  & b
\end{pmatrix}
</math>.

De la relation 
:<math> (p_{n+1},q_{n+1})=(p_n,q_n)
\begin{pmatrix}
a & 1-a \\
1-b  & b
\end{pmatrix}</math>

on déduit que :
:<math>p_{n+1} = ap_n + (1-b)q_n</math>.
Comme d'autre part 
:<math>q_n = 1-p_n</math>,
en remplaçant on obtient la relation de récurrence:
:<math> p_{n+1}= (a + b - 1)p_n + 1 - b</math>.

== Notes et références==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{Autres projets|v=Approfondissement sur les suites numériques/Suites arithmético-géométriques}}
* [[Suite arithmétique]]
* [[Suite géométrique]]

{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Mathématiques élémentaires]]
[[Catégorie:Suite de nombres|Arithmetico-geometrique]]