Voir la source de Suite de Fibonacci

{{Voir homonymes|Fibonacci}}

{{Infobox}}

[[Fichier:Fibonacci Squares.svg|vignette|Une juxtaposition de carrés dont les côtés ont pour longueur des nombres successifs de la suite de Fibonacci :<br>
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et 21.]]

En [[mathématiques]], la '''suite de [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]''' est une [[Suite (mathématiques)|suite]] de nombres [[entier relatif|entiers]] dans laquelle chaque nombre est la somme des deux nombres qui le précèdent. Elle commence par les nombres 0 et 1<ref name=":1">{{Ouvrage|langue=FR|prénom1=Edouard|nom1=Lucas|titre=Théorie des nombres|passage=p. 3|date=1891|lire en ligne=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k29021h|consulté le=2023-09-24}}.</ref> puis se poursuit avec :
* 1 (comme somme de 0 et 1),
* 2 (comme somme de 1 et 1),
* 3 (comme somme de 1 et 2),
* 5 (comme somme de 2 et 3),
* 8 (comme somme de 3 et 5),
* etc.

Les termes de cette suite, c'est-à-dire les nombres apparaissant dans cette suite, sont appelés '''nombres de Fibonacci'''.

La suite de Fibonacci est répertoriée comme {{OEIS|id=A000045}}.

Elle est liée au [[nombre d'or]], noté {{mvar|φ}} (phi), qui intervient dans l'expression du terme général de la suite. Inversement, la suite de Fibonacci intervient dans l'écriture des [[fraction continue#Réduites d'une fraction continue|réduites]] de l'expression de {{mvar|φ}} en [[fraction continue]] : les quotients de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont les [[Fraction continue et approximation diophantienne#Théorème de meilleure approximation rationnelle|meilleures approximations]] du nombre d'or.

== Définition formelle ==
La suite de Fibonacci <math>(F_n)_{n \in \mathbb N}</math> est définie par <math>F_0=0,\quad F_1= 1</math>, et la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] <math>F_n=F_{n-1} + F_{n-2}</math> pour <math>n\geqslant2</math>. Le tableau suivant donne les 15 premiers termes de la suite de Fibonacci :
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
|{{math|''F''{{ind|0}}}}
|{{math|''F''{{ind|1}}}}
|{{math|''F''{{ind|2}}}}
|{{math|''F''{{ind|3}}}}
|{{math|''F''{{ind|4}}}}
|{{math|''F''{{ind|5}}}}
|{{math|''F''{{ind|6}}}}
|{{math|''F''{{ind|7}}}}
|{{math|''F''{{ind|8}}}}
|{{math|''F''{{ind|9}}}}
|{{math|''F''{{ind|10}}}}
|{{math|''F''{{ind|11}}}}
|{{math|''F''{{ind|12}}}}
|{{math|''F''{{ind|13}}}}
|{{math|''F''{{ind|14}}}}
|{{math|''F''{{ind|15}}}}
|...
|{{mvar|F{{ind|n}}}}
|-
| 0
| 1
| 1
| 2
| 3
| 5
| 8
| 13
| 21
| 34
| 55
| 89
| 144
| 233
| 377
| 610
|...
|{{math|''F''{{ind|''n'' – 1}} + ''F''{{ind|''n'' – 2}}}}
|}
Dans cet article, nous avons fait commencer la suite à <math>n=0</math> avec <math>F_0=0</math>, comme le fait [[Édouard Lucas]]<ref name=":1" />. D'autres auteurs font débuter la suite à 1<ref name=":3">{{Ouvrage|langue=English|prénom1=Miklos|nom1=Bona|titre=Walk Through Combinatorics, A: An Introduction To Enumeration And Graph Theory|éditeur=Wspc|date=2011-05-09|isbn=978-981-4460-00-2|lire en ligne=https://www.amazon.com/Walk-Through-Combinatorics-Introduction-Enumeration/dp/9814460001|consulté le=2023-09-24}}</ref> : <math>f_0 = f_1 = 1, f_2 = 2, f_3 = 3, f_4 = 5</math>, etc. Le nombre {{mvar|F{{ind|n}}}} s'appelle parfois le ''n''-ième nombre de Fibonacci<ref name=":3" /> (bien qu'il soit techniquement le ''n''+1-ième si on commence à 0).[[Fichier:11.19 Fraction continue - Phi.png|vignette|Représentation géométrique de la fraction continue de {{mvar|φ}} faisant apparaître les nombres de la suite de Fibonacci.|239x239px]]

== Histoire ==
=== En Inde ===
[[Fichier:Fibonacci Sanskrit prosody.svg|vignette|'''Treize ({{math|''F''{{ind|7}}}})''' façons d'alterner courtes et longues syllabes dans un vers de six mātrās. '''Huit ({{math|''F''{{ind|6}}}})''' finissent par une courte syllabe et '''cinq ({{math|''F''{{ind|5}}}})''' par une longue syllabe.]]
Dans la branche des mathématiques concernant la [[combinatoire]], les mathématiciens indiens s'intéressent à des problèmes de [[lexicographie]] et de [[Métrique (poésie)|métrique]]. Le {{lien|langue=en|trad=Arya metre|fr=mètre āryā}} est composé de syllabes pouvant être brèves (de longueur un [[Devanagari#Voyelles|mātrā]]) ou longues (de longueur deux mātrās). La question est de savoir comment peuvent s'alterner les brèves et les longues dans un vers de n mātrās. Ce problème apparaît très tôt en Inde, sous le nom ''maatraameru'' (montagne de cadence), dans le travail du grammairien du [[sanskrit]], [[Pingala (mathématicien)|Pingala]], auteur du ''Chhandah-shastra'' (l'art de la [[Prosodie (linguistique)|Prosodie]]), vers 450 ou 200 av. J.-C. Le mathématicien indien {{Lien|Virahanka}} en a donné des règles explicites au {{s|VIII}}. Le philosophe indien [[Acharya Hemachandra]] (c. 1150) ainsi que Gopala (c. 1135) ont revisité le problème de manière assez détaillée<ref>{{en}} Susantha Goonatilake, ''Toward a Global Science: Mining Civilizational Knowledge'', Indiana University Press, 1998, [https://books.google.fr/books?id=SI5ip95BbgEC&pg=PA126 p. 126].</ref>.

Si la [[syllabe]] longue ''L'' est deux fois plus longue que la syllabe courte ''C'', les solutions sont, en fonction de la longueur totale de la cadence :
::1 C                                                   →<!-- -> --> 1 
::2 CC,L                                                →<!-- -> --> 2 
::3 CCC, CL, LC                                         →<!-- -> --> 3 
::4 CCCC, CCL, CLC, LCC, LL                            →<!-- -> --> 5 
::5 CCCCC, CCCL, CCLC, CLCC, LCCC, CLL, LCL, LLC        →<!-- -> --> 8 
Le nombre de cadences fait apparaître les termes de la suite de Fibonacci. En effet, une cadence de longueur ''n'' peut être constituée en ajoutant C à une cadence de longueur ''n'' – 1, ou L à une cadence de longueur ''n'' – 2. Ainsi, le nombre de cadences de longueur ''n'' est la somme des deux nombres précédents de la suite.

Si on note {{mvar|S{{ind|n}}}}, le nombre de manière d'alterner les brèves et les longues dans un vers de ''n'' mātrās, cette remarque conduit naturellement à la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] suivante :
{{retrait|<math>S_n=S_{n-1} + S_{n-2} </math>,}}
formule explicitement donnée dans l’œuvre de Virahanka<ref>{{en}} Jayant Shah, [https://web.northeastern.edu/shah/papers/Pingala.pdf A history of Pingala's combinatorics], Northeastern University, Boston, p. 38.</ref>.

=== Population de lapins ===
[[File:Liber_abbaci_magliab_f124r.jpg|vignette|Une page du ''[[Liber abaci]]'' de Fibonacci à la [[Bibliothèque nationale centrale de Florence|bibliothèque nationale de Florence]]. Sur la droite se trouve la suite de Fibonacci, chaque terme ayant sa position en latin et [[chiffres romains]] suivi de sa valeur en [[chiffres arabes]].]]
La suite doit son nom à [[Leonardo Fibonacci]] qui, dans un [[mathématiques récréatives|problème récréatif]] posé dans l'ouvrage ''[[Liber abaci]]'' publié en 1202, décrit la [[Dynamique des populations|croissance d'une population]] de lapins : {{Citation|Quelqu’un a déposé un couple de lapins dans un certain lieu, clos de toutes parts, pour savoir combien de couples seraient issus de cette paire en une année, car il est dans leur nature de générer un autre couple en un seul mois, et qu’ils enfantent dans le second mois après leur naissance.}}<ref>Pour la version latine, voir [http://lhldigital.lindahall.org/cdm/compoundobject/collection/math/id/8734/rec/49 ce document] p. 283-284 et pour la traduction, ce [http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/analyse_fobonacci.pdf recueil d'extraits] par Jérôme Gavin et Alain Schärlig, p. 11.</ref>

Le problème de Fibonacci est à l'origine de la suite dont le {{mvar|n}}-ième terme correspond au nombre de paires de lapins au {{mvar|n}}-ième mois. Dans cette population idéale, on suppose que :
* au début du premier mois, il n'y a qu'une paire de lapereaux ;
* les lapins ne peuvent procréer qu'à partir de l'âge de deux mois ;
* chaque début de mois, toute paire susceptible de procréer engendre exactement une nouvelle paire de lapereaux ;
* les lapins ne meurent jamais (la suite de Fibonacci est donc croissante).

Notons {{mvar|F{{ind|n}}}} le nombre de couples de lapins au début du mois {{mvar|n}}. Jusqu’à la fin du deuxième mois, la population se limite à un couple ; on note {{math|''F''{{ind|1}} {{=}} ''F''{{ind|2}} {{=}} 1}}.

Dès le début du troisième mois, le premier couple de lapins atteint l'âge de deux mois et engendre un second couple de lapins ; on note alors {{math|''F''{{ind|3}} {{=}} 2}}.

Plaçons-nous maintenant au mois {{mvar|n}} et cherchons à exprimer ce qu'il en sera deux mois plus tard, soit au mois {{math|''n'' + 2}} : les {{math|''F''{{ind|''n'' + 2}}}} couples de lapins sont formés des {{math|''F''{{ind|''n'' + 1}}}} couples du mois précédent et des couples nouvellement engendrés.

Or, n'engendrent au mois {{math|''n'' + 2}} que les couples pubères, c'est-à-dire ceux qui existaient déjà deux mois auparavant, qui sont en nombre {{mvar|F{{ind|n}}}}. On a donc, pour tout entier {{mvar|n}} strictement positif :
<center><math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_n</math>.</center>

On choisit alors de poser {{math|''F''{{ind|0}} {{=}} 0}}, de manière que cette relation soit encore vérifiée pour {{math|1=''n'' = 0}}.

On obtient ainsi la ''[[Suite récurrente|forme récurrente]]'' de la suite de Fibonacci : ''chaque terme de cette suite est la somme des deux termes précédents'' ; pour obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents… et ainsi de suite, jusqu'à ce que ces deux termes soient les deux termes initiaux, {{math|''F''{{ind|1}}}} et {{math|''F''{{ind|0}}}}, qui sont connus.
[[Fichier:Fibonacci Rabbits.svg|centré|cadre|Chez une population à la croissance idéale, les nombres de couples de lapins forment la suite de Fibonacci. À la fin du ''n''-ième mois, ''le nombre de couples est égal à {{math|F{{ind|n}}}}''.]]

== Expressions ==
Il existe plusieurs façons d'obtenir une expression mathématique du {{mvar|n}}-ième terme de la suite de Fibonacci.

=== Expression fonctionnelle ===
Le calcul du {{mvar|n}}-ième terme de la suite de Fibonacci via la formule de récurrence requiert le calcul des termes précédents. Au contraire, une expression ''fonctionnelle'' de la suite de Fibonacci est une expression où le calcul du {{mvar|n}}-ième terme ne présuppose pas la connaissance des termes précédents. [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] a redécouvert une formule en 1843<ref>{{Article |auteur1=J. Binet|titre=Mémoire sur l'intégration des équations linéaires aux différences finies, d'un ordre quelconque, à coefficients variables|périodique=[[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences]]|vol=17 |date=1843 |lire en ligne=http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-2976&I=567&M=tdm |pages=559-567 }}.</ref>, qui avait déjà été obtenue par [[Abraham de Moivre|de Moivre]]{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}} en 1718 et par [[Leonhard Euler|Euler]] en 1765<ref>[http://eulerarchive.maa.org/pages/E326 E326], ''Opera Omnia'', série 1, vol. 15, {{p.| 50-69}}.</ref>. Cette expression fonctionnelle s'appelle la {{ancre|formule de Binet}} ''formule de [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] :''
{{Bloc emphase|bord=1px solid #2288ff;|espacement=1.5ex|<math>F_n=\frac1{\sqrt5}(\varphi^n-\varphi'^n),\qquad\text{avec}\qquad\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\qquad\text{et}\qquad \varphi'=-\frac1\varphi</math>.|texte=<math>F_n=\frac1{\sqrt5}(\varphi^n-\varphi'^n),\qquad\text{avec}\qquad\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\qquad\text{et}\qquad \varphi'= \frac{1-\sqrt5}2=-\frac1\varphi</math>.}}

{{Démonstration|contenu=
Comme la suite de Fibonacci est [[Suite récurrente linéaire#Suite récurrente linéaire d’ordre 2|linéairement récurrente d’ordre 2]], son [[équation caractéristique]] est une [[équation du second degré]] :

:<math>x^2 - x - 1 =0</math>,
dont les deux solutions sont :
:<math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\qquad\text{et}\qquad \varphi'=-\frac1\varphi=\frac{1-\sqrt5}2</math>,
où {{mvar|φ}} est le [[nombre d'or]]. Les suites {{math|(''φ{{exp|n}}'')}} et {{math|(''φ'{{exp|n}}'')}} engendrent alors l'[[espace vectoriel]] des suites vérifiant {{math|''u''{{ind|''n'' + 2}} {{=}} ''u''{{ind|''n'' + 1}} + ''u{{ind|n}}''}}. Il en résulte que :

:<math>F_n = \alpha{}\varphi^n+\beta\varphi'^n</math> où {{mvar|α}} et {{mvar|β}} sont des constantes à déterminer à partir de {{math|''F''{{ind|0}}}} et {{math|''F''{{ind|1}}}}.

Les conditions initiales {{math|''F''{{ind|0}} {{=}} 0}} et {{math|''F''{{ind|1}} {{=}} 1}} conduisent au système suivant :
:<math>\left\{\begin{matrix}\alpha+\beta=0\\ \alpha-\beta=\frac2{\sqrt5}\end{matrix}\right.</math>

On obtient alors :

:<math>\alpha=\frac1{\sqrt5}\qquad\text{et}\qquad\beta=-\frac1{\sqrt5}.</math>

Nous obtenons finalement l'expression fonctionnelle recherchée.
}}

(Ces calculs restent valables pour {{math|''n''}} entier négatif quand la suite est prolongée comme ci-dessous.)

Quand {{math|''n''}} tend vers {{math|+∞}}, {{mvar|F{{ind|n}}}} est [[Équivalent#L'équivalence pour les suites|équivalent]] à <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt5}</math>. Plus précisément, {{mvar|φ{{exp|n}}}} tend vers l'infini et {{mvar|φ' {{exp|n}}}} tend vers zéro car <math>|\varphi'|<1<\varphi</math>.

En fait, dès le rang {{math|1=''n'' = 1}}, le deuxième terme <math>{\varphi'^n \over\sqrt5}</math> est assez petit pour que les nombres de Fibonacci puissent être obtenus uniquement à partir du premier terme :
:{{mvar|F{{ind|n}}}} est l'[[Partie entière et partie fractionnaire|entier le plus proche]] de <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt5}</math> (et il lui est supérieur ou inférieur, selon la parité de {{math|''n''}}).

Il existe d'autres démonstrations de la formule de Binet, telles que la [[transformation en Z]] et la technique des [[Série génératrice|fonctions génératrices]].{{Référence nécessaire|date=25 septembre 2023}}

Remarquons qu'une fois découverte, cette formule se démontre aussi par récurrence (y compris pour {{math|''n''}} entier négatif).

=== Expression matricielle ===
De la relation <math>\begin{bmatrix} F_{n} \\ F_{n-1}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{n-1} \\ F_{n-2}  \end{bmatrix} 
</math>, on déduit <math>\begin{bmatrix} F_{n} \\ F_{n-1}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^n\begin{bmatrix} 0 \\1  \end{bmatrix} 
</math> et <math>\begin{bmatrix} F_{n+1} \\ F_{n}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^n\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix} 
</math>; ceci permet d'écrire la forme matricielle :{{Centrer|<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^n=\begin{bmatrix} F_{n+1}&F_n \\ F_{n}&F_{n-1}  \end{bmatrix}</math>}}En appliquant le déterminant, on obtient simplement l'[[Identités de Cassini, de Catalan et de Vajda|identité de Cassini]] (propriété 5 ci-dessous) : <math> F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n  
</math>.

Et en calculant de deux façons <math> \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^{n+m}  
</math>, on obtient (propriété 2 ci-dessous) : <math> F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_m=F_{n+m}  
</math>.

=== Expression par déterminant d'ordre ''n'' – 1 ===
En développant par rapport à la première colonne le déterminant d'ordre ''n'' :
:<math>D_n = \begin{vmatrix}
1 & b & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a & 1 & b & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a & 1 & b & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & b & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & a & 1 & b & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a & 1 & b \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a & 1 \\
\end{vmatrix}</math>, 

on obtient {{math|''D{{ind|n}}'' {{=}} ''D''{{ind|''n'' – 1}} – ''abD''{{ind|''n'' – 2}}}}. 

Comme <math>D_1=1,D_2=1-ab</math>, si {{math|''ab'' {{=}} –1}}, on obtient : {{math|''D{{ind|n}}'' {{=}} ''F''{{ind|''n'' + 1}}}} d'où, pour <math>n\geqslant2</math>:

{{Centrer|<math>F_n = \begin{vmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}_{(n-1)\times{(n-1)}}
=\begin{vmatrix}
1 & i & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
i & 1 & i& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 1 & i & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & i & 1 & i \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & i & 1 \\
\end{vmatrix}_{(n-1)\times{(n-1)}}</math>}}

== Limite des quotients ==

Comme l'avait déjà remarqué [[Johannes Kepler]]<ref>{{lien web|lang=la|auteur=J. Kepler|url=http://www.thelatinlibrary.com/kepler/strena.html|titre=Strena seu de nive sexangula|année=1611}}.</ref>, le taux de croissance des nombres de Fibonacci, c'est-à-dire <math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math>, converge vers le nombre d'or {{mvar|φ}}.

En effet, puisque la suite {{mvar|F{{ind|n}}}} est [[Équivalent#L'équivalence pour les suites|équivalente]] à <math>\frac{\varphi^n}{\sqrt5}</math> (cf. supra, section [[#Expression fonctionnelle|Expression fonctionnelle]]), la suite
<math>\frac{F_{n+1}}{F_n}</math> est équivalente à <math>\frac{\frac{\varphi^{n+1}}{\sqrt5}}{\frac{\varphi^n}{\sqrt5}}=\varphi</math>, qui est donc sa limite.

En fait plus généralement, toutes les suites vérifiant la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci (cf. infra, section [[#Suites de Fibonacci généralisées|Suites de Fibonacci généralisées]]) satisfont cette propriété, sauf celles commençant par {{mvar|a}} et {{mvar|aφ'}}.

== Séries associées aux nombres de Fibonacci ==

=== Série des inverses ===
* La [[Somme des inverses des nombres de Fibonacci|série des inverses des nombres de Fibonacci]] non nuls est convergente, et sa somme <math>\sum^{\infty}_{n=1} \frac1{F_n}=3{,}35988566\dots</math> est parfois appelée ''constante de Fibonacci inverse'' ; Richard André-Jeannin en a démontré l'[[Nombre irrationnel|irrationalité]]<ref>{{Article|auteur=Richard André-Jeannin|titre=Irrationalité de la somme des inverses de certaines suites récurrentes|revue=[[CRAS|C. R. Acad. Sci. Paris]]|série=I Math.|vol=308|date=1989|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5686125p/f9.image|p.=539-541}}.</ref> en 1989<ref>Voir {{MathWorld|nom_url=ReciprocalFibonacciConstant|titre=Reciprocal Fibonacci Constant}}, ainsi que la {{OEIS|A079586}} ([[développement décimal]]) et {{OEIS2C|A079587}} ([[fraction continue]]).</ref>.
* La somme d'une de ses sous-séries  <math>\sum^{\infty}_{k=0} \frac1{F_{2^k}} = \frac{7 - \sqrt 5}2</math><ref name="cucu">{{Article |lang=en |auteur=Roger Cuculière |titre=Problem E2922 |journal=[[The American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]] |volume=89 |numéro=1 |année=1982 |page=63 |jstor=2321000}} et {{Article |lang=en |auteur= |titre=Solution to Problem E2922 |journal=ibid. |vol=91 |numéro=7 |date=1984 |p.=438 |jstor=2323005}}.</ref>{{,}}<ref name="badea">{{article|id=Badea (1993) | langue = en | nom1 = Badea | prénom1 = Catalin | url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa63/aa6342.pdf |titre=A theorem on irrationality of infinite series and applications | année = 1993 | périodique=[[Acta Arithmetica]] | volume = 63 |pages = 313-323 }}.</ref> est, elle, un [[nombre algébrique]], voir la {{OEIS|A079585}}.
* Le nombre <math>\sum^{\infty}_{k=0} \frac1{F_{2^k + 1}}</math> est lui aussi [[Nombre irrationnel|irrationnel]]<ref name="badea" />, voir la suite {{OEIS2C|A338305}}.

=== Série des carrés des inverses ===
Il a été démontré que la somme <math>\sum^{\infty}_{n=1} \frac1{(F_n)^2}=2{,}426323\dots</math> est un [[nombre transcendant]], voir la {{OEIS|A105393}}.

== Bases et espaces vectoriels ==

* La dénomination de « suite de Fibonacci généralisée » est attribuée plus généralement à toute suite {{math|(''G{{ind|n}}'')}} définie sur ℕ vérifiant pour tout entier naturel {{mvar|n}}, {{math|''G''{{ind|''n'' + 2}} {{=}} ''G''{{ind|''n'' + 1}} + ''G{{ind|n}}''}}. Ces suites sont précisément celles pour lesquelles il existe des nombres {{mvar|a}} et {{mvar|b}} tels que pour tout entier naturel {{mvar|n}}, {{math|''G''{{ind|''n''}} {{=}} ''aF{{ind|n}}'' + ''bF''{{ind|''n'' + 1}}}}. Ainsi, l'ensemble des suites de Fibonacci est un [[espace vectoriel|sous-espace vectoriel]] de <math>\mathbb R ^ \mathbb N</math>et les suites {{math|(''F{{ind|n}}'')}} et {{math|(''F''{{ind|''n'' + 1}})}} en forment une [[Base (algèbre linéaire)|base]].
* Le [[nombre d'or]] est la [[Racine d'un polynôme|racine]] positive du [[polynôme]] {{math||§=''X''{{2}} – ''X'' – 1}}, ainsi {{math|''φ''{{2}} {{=}} ''φ'' + 1}}. Si l'on multiplie les deux côtés par {{mvar|φ{{exp|n}}}}, on obtient {{math|''φ''{{exp|''n'' + 2}} {{=}} ''φ''{{exp|''n'' + 1}} + ''φ{{exp|n}}''}}, donc la suite {{math|(''φ{{exp|n}}'')}} est une suite de Fibonacci. La racine négative du polynôme, {{math|''φ{{'}}'' {{=}} 1 – ''φ''}}, possède les mêmes propriétés, et les deux suites linéairement indépendantes {{math|(''φ{{exp|n}}'')}} et {{math|(''φ{{'}}{{exp|n}}'')}}, forment une autre base de l'espace vectoriel.

== Interprétations combinatoires ==

=== Dénombrements de compositions ===
{{math||§=''F''{{ind|''n''+1}}}} est égal au nombre de [[Uplet|suites finies]] d'entiers égaux à 1 ou 2 dont la somme est égale à {{mvar|n}} (ou [[compositions]] de {{mvar|n}} formées des entiers 1 ou 2) <ref name="Cassini">{{Article|lang=en|auteur=M. Werman|auteur2=[[Doron Zeilberger|D. Zeilberger]]|titre=A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity|journal=[[Liste des journaux scientifiques en mathématiques#D|Discrete Math.]]|volume=58|numéro=1|année=1986|doi=10.1016/0012-365X(86)90194-9|math reviews=0820846|page=109}}.</ref>. Par exemple <math>F_4=3</math> car <math>3=1+1+1=1+2=2+1</math>. On peut donc interpréter {{math||§=''F''{{ind|''n''+1}}}} comme :
* le nombre de façons différentes de [[Pavage du plan|paver]] un [[rectangle]] 2×{{mvar|n}} au moyen de [[Dominos (jeu)|dominos]] 2×1,
* le nombre de façons de vider un tonneau de {{mvar|n}} litres à l'aide de bouteilles de un ou deux litres.
'''Démonstration''' : les compositions de {{mvar|n}} se terminant par 1 sont obtenues en ajoutant 1 à la fin d'une composition de <math>n-1</math>, celles se terminant par 2 sont obtenues en ajoutant 2 à la fin d'une composition de <math>n-2</math>, donc le nombre <math>C_n</math> de compositions de {{mvar|n}} vérifie <math>C_n=C_{n-1}+C_{n-2}</math>. De plus, <math>C_0=F_1=1</math> (la composition vide), <math>C_1=F_2=1 </math> (la composition (1)), ce qui montre la relation.

=== Dénombrements de suites de pile ou face ===
{{math||§=''F''{{ind|''n''+2}}}} est égal au nombre de jeux de pile ou face de longueur {{mvar|n}} qui ne contiennent pas ''2'' "pile" consécutifs.

'''Démonstration''' : pour former un jeu de longueur {{mvar|n}} qui ne contient pas ''2'' "pile" consécutifs on peut commencer par 0, et continuer avec un jeu de longueur {{math|''n'' – 1}} du même type, soit commencer par 1, 0 et continuer avec un jeu de longueur {{math|''n'' – 2}} du même type, donc le nombre <math>P_n</math> de tels jeux vérifie <math>P_n=P_{n-1}+P_{n-2}</math> ; De plus, <math>P_0=F_2=1</math> ( jeu de longueur nulle), <math>P_1=F_3=2 </math> ((1) et (0)), ce qui montre la relation.

On en déduit que {{math||§=''F''{{ind|''n''+2}}}} est aussi le nombre de parties de <math>[ \! [ 1,n ] \! ]</math> ne contenant pas 2 entiers consécutifs.

== Algorithmes de calcul des nombres de Fibonacci ==
Le calcul des nombres de Fibonacci est souvent donné en exemple pour introduire des notions d'algorithmique, comme dans le chapitre 0 du livre ''Algorithms'' de Dasgupta {{et al.}}<ref name=":2">{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Sanjoy Dasgupta|auteur2=Christos Papadimitriou|auteur3=Umesh Vazirani|titre=Algorithms|éditeur=McGraw-Hill|année=2008}}.</ref> ou alors dans le problème 31.3 laissé en exercice dans [[Introduction à l'algorithmique]] de Cormen {{et al.}}<ref name=":0" /> ou l'exercice 2 de la section 1.2.8 de ''[[The Art of Computer Programming|TAOCP]]'', qui est précisément consacrée aux nombres de Fibonacci.

=== Avec la formule de Binet ===

Calculer les nombres de Fibonacci à partir du nombre d'or est une possibilité très pratique. Néanmoins, la précision de calcul de la [[racine carrée]] génère des erreurs d'arrondis pour des valeurs assez grandes dépendant du système utilisé<ref>Cf. discussion à la fin de l'exercice 0.4 de {{Harvsp|Dasgupta|Papadimitriou|Vazirani|2008}}.</ref>. En général, on obtient les bonnes valeurs jusqu’à {{math|''F''{{ind|71}} {{=}} {{unité|308061521170129}}}}, sur ordinateur ou sur calculatrice.

Notons{{Référence nécessaire|date=10 octobre 2019}} qu’au-delà de {{math|''F''{{ind|79}}}}, les calculs dépassent les possibilités de calcul en notation entière, et sont alors représentés en [[notation scientifique]]. Les premiers chiffres significatifs sont alors de nouveau bien représentés par cette formule.

Voici le détail d’un exemple d'application faisable à partir d'une [[calculatrice]] : le calcul de {{math|''F''{{ind|50}}}}.

Le nombre d’or vaut <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2\approx 1{,}618</math> et d'après la [[#formule de Binet|formule de Binet]], <math>F_{50}</math> est l'entier le plus proche du réel <math>\frac{\varphi^{50}}{\sqrt 5}</math>, qui le dépasse à peine. Compte tenu de l'ordre de grandeur de ce réel, le [[théorème des accroissements finis]] permet de s'assurer que pour le calculer à 0,5 près par défaut, {{unité|1,61803398874989}} est une approximation suffisante de {{mvar|φ}}.

On trouve que le réel ({{unité|1.61803398874989}})<sup>50</sup>/{{racine|5}} est à peine inférieur à l'entier {{unité|12586269025}}, d'où
:<math>F_{50}\approx\frac{\varphi^{50}}{\sqrt5}\approx 12\,586\,269\,025</math>,

si bien que
:<math>F_{50} = 12\,586\,269\,025</math>.

=== Algorithme récursif naïf ===

Voici la mise en œuvre [[Récursivité|récursive]] naïve qui suit la définition de la suite de Fibonacci.
 // entrée : un nombre entier n
 // sortie : le terme de rang n de la suite de Fibonacci
 '''fonction''' fib(n)
     '''si''' n = 0
         '''renvoyer''' 0
     '''sinon''' '''si''' n = 1
         '''renvoyer''' 1
     '''sinon'''
         '''renvoyer''' fib(n - 1) + fib(n - 2)

Ce n'est cependant pas une façon judicieuse de calculer la suite de Fibonacci, car on calcule de nombreuses fois les mêmes valeurs. Le [[Théorie de la complexité (informatique théorique)|temps de calcul]] est [[fonction exponentielle|exponentiel]] en {{mvar|n}}, à moins d'employer une technique de [[mémoïsation]].

=== Algorithme polynomial ===

On calcule le {{mvar|n}}-ième terme de la suite de Fibonacci en mémorisant deux termes consécutifs de la suite. On commence avec les deux premières valeurs {{math|1=''a'' = 0}} et {{math|1=''b'' = 1}}, puis on remplace répétitivement le premier nombre par le second, et le second nombre par la somme des deux.
 '''fonction''' fib(n)
     (a, b) ← (0, 1)
     '''pour''' i '''de''' 1 '''à''' n
         (a, b) ← (b, a + b)
     '''renvoyer''' a

L'algorithme réalise {{mvar|n}} additions. On peut montrer que le {{mvar|n}}-ième terme de la suite de Fibonacci s'écrit avec {{math|O(''n'')}} bits. Comme l'addition de deux nombres sur {{mvar|n}} bits est linéaire en {{mvar|n}}, l'algorithme est en {{math|O(''n''<sup>2</sup>)}}<ref name=":2" />. De manière équivalente à l'algorithme ci-dessus, on peut écrire une fonction [[récursion terminale|récursive terminale]], c'est-à-dire où la dernière opération effectuée par la fonction est un appel récursif. Voici un algorithme récursif terminal<ref>{{Lien web|langue=en|titre=https://www.geeksforgeeks.org/tail-recursion-fibonacci/|url=https://www.geeksforgeeks.org/tail-recursion-fibonacci/|site=geeksforgeeks.org|date=<!--|consulté le=8/1/2021-->}}.</ref> pour calculer la suite de Fibonacci.
 '''fonction''' fib(n, a, b)
     '''si''' n = 0
         '''renvoyer''' a
     '''sinon''' '''si''' n = 1
         '''renvoyer''' b
     '''sinon'''
         '''renvoyer''' fib(n - 1, b, a + b)

L'appel à <code>fib(n, 0, 1)</code> lance le calcul pour la valeur de <code>n</code> donnée. Les paramètres <code>a</code> et <code>b</code> sont des accumulateurs : la valeur de <code>a</code> est {{mvar|F<sub>n</sub>}} et celle de <code>b</code> est {{math|''F<sub>n</sub>''<sub> + 1</sub>}}. Le temps de calcul est à chaque fois proportionnel à {{mvar|n}}. Par contre, l'espace mémoire occupé n'est ''a priori'' plus constant. Pour les langages qui réalisent l'optimisation d'[[Algorithme récursif#Récursion terminale|élimination de la récursivité terminale]], la mémoire occupée est constante.

=== Algorithme corécursif ===
En [[Haskell]], on peut définir la suite de Fibonacci comme un stream (une liste infinie qui est [[évaluation paresseuse|évaluée de façon paresseuse]]<ref>Voir par exemple l'[[Haskell#Fonction factorielle (liste infinie)|évaluation similaire de la factorielle]].</ref>)<ref>{{Ouvrage|lang=en
| auteur1=Antony J. T. Davie
| titre=Introduction to Functional Programming Systems Using Haskell
| éditeur=Cambridge University
| collection=Cambridge Computer Science Texts
| année=1992
|url={{Google Livres|OPFoJZeI8MEC|page=135}}
|numéro chapitre=7|chap=Lazy evaluation|passage=Section 7.3 : Streams
}}.
</ref>.
 fibs = 0:1:zipWith (+) fibs (tail fibs)

Le calcul du ''n''-ième terme s'effectue avec : 
 fibs !! n

=== Algorithme avec expression matricielle ===

Comme vu ci-dessus,<math>\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^n=\begin{bmatrix} F_{n+1}&F_n \\ F_{n}&F_{n-1}  \end{bmatrix}</math>, on écrit un algorithme qui utilise l'[[exponentiation rapide]] pour calculer <math>\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} ^n</math>, afin d'en déduire le ''n''-ième terme. Si on considère les additions et multiplications de nombres comme des opérations élémentaires, en coût constant, l'algorithme est logarithmique en ''n''. En comptabilisant la complexité des additions et multiplications, on peut montrer que la complexité de cet algorithme est en O(M(''n'') log ''n''), et même O(M(''n'')), où M(''n'') est la complexité de l'algorithme utilisée pour réaliser une multiplication de deux nombres sur ''n'' bits (voir exercice 0.4 dans <ref name=":2" />).

== Série génératrice ==
La [[série génératrice]] de la suite de Fibonacci<ref>Cet exemple de la théorie développée dans {{Ouvrage|langue=la|auteur1=[[Abraham de Moivre]]|titre=Miscellanea analytica de seriebus et quadraturis|éditeur=|année=1730|passage=26-42|lire en ligne=http://www.e-rara.ch/zut/content/pageview/1256118}}, est détaillé par {{Stillwell}} ({{Google Livres|3bE_AAAAQBAJ|page=192|titre=p. 192-194}}) comme outil de la seconde preuve de la [[#formule de Binet|formule « de Binet »]], indépendante de la première, publiée par [[Daniel Bernoulli]] deux ans auparavant.</ref> donne une [[série entière]] dont le [[rayon de convergence]] vaut 1/[[Nombre d'or|{{math|''φ''}}]] (d'après le [[théorème de Cauchy-Hadamard]] ou plus simplement, la [[règle de d'Alembert]]). Pour tout [[Nombre complexe|complexe]] {{mvar|z}} de [[Module d'un nombre complexe|module]] strictement inférieur à {{math|1/''φ''}}, la [[Série (mathématiques)|série]] correspondante ([[Convergence absolue|absolument convergente]]) est égale à
{{retrait|<math>\sum_{n\in\N}F_nz^n=\frac z{1-z-z^2}</math>}}
(donc à <math>z\sum_{m\in\N}(z+z^2)^m=\sum_{m,k\in\N}{m\choose k}z^{1+m+k}</math>, où les [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] <math>m\choose k</math> sont nuls pour {{math|''k'' > ''m''}}).
{{Démonstration|
Notons
{{Retrait|<math>s(z)=\sum_{n\in\N}F_nz^n</math>.}}
En multipliant les deux membres de la relation de récurrence par {{math|''z''{{exp|''n''+2}}}} puis en sommant sur tous les entiers naturels {{mvar|n}}, on obtient :
{{Retrait|<math>s(z)-F_0-F_1z=z\left(s(z)-F_0\right)+z^2s(z)</math>,}}
c'est-à-dire, compte tenu de {{math|''F''{{ind|0}} {{=}} 0}} et {{math|''F''{{ind|1}} {{=}} 1}} :
{{Retrait|<math>s(z)-z=zs(z)+z^2s(z)</math>,}}
ou encore
{{Retrait|<math>(1-z-z^2)s(z)=z</math>.}}
On peut diviser les deux membres par {{math|1 – ''z'' – ''z''{{2}}}} puisque {{mvar|z}} est différent des deux racines {{math|–''φ''}} et {{math|1/''φ''}}.
}}
En particulier, pour tout réel {{math|''k'' > ''φ''}},
{{Retrait|<math>\frac1{k^2-k-1}=\sum_{n=1}^{\infty}F_n\times k^{-(n+1)}</math>.}}

== Propriétés de la suite de Fibonacci ==
La suite de Fibonacci présente de remarquables propriétés. Leur recherche et leur étude font l'objet de publications régulières, notamment par l'association d'universitaires  « [[The Fibonacci Association]] » dans sa revue « The Fibonacci Quarterly », consultable en ligne<ref>{{Lien web |titre=The Fibonacci Quarterly |url=https://www.fq.math.ca/ |site=www.fq.math.ca |consulté le=2023-02-07}}</ref>. Certaines de ces propriétés, que l'on peut démontrer à partir de la [[#formule de Binet|formule de Binet]], ou [[raisonnement par récurrence|par récurrence]] ou encore à l'aide de l'[[#Expression matricielle|expression matricielle]] de la suite, sont indiquées dans cette section. Nous  donnons également quelques propriétés liant la suite de Fibonacci et la [[Nombre de Lucas|suite de Lucas]] ({{mvar|L{{ind|n}}}} ) définie par la même relation de récurrence mais avec pour initialisation {{math|''L''{{ind|0}} {{=}} 2}} et {{math|''L''{{ind|1}} {{=}} 1}}, et pour laquelle l'analogue de la formule de Binet est : <math>L_n=\varphi^n+\varphi'^n</math>.

'''Propriété 1''' : <math>\forall(p,q,r)\in\Z^3,F_pF_{q+r}-(-1)^rF_{p-r}F_q=F_{p+q}F_r</math>, ou encore : <math>F_pF_{q+r}-F_rF_{p+q}=(-1)^rF_{p-r}F_q</math>.
:C'est un cas particulier des [[v:Approfondissement_sur_les_suites_numériques/Exercices/Récurrence_linéaire_d'ordre_2#Identit%C3%A9s_remarquables|identités remarquables vérifiées par les suites récurrentes linéaires d'ordre 2]]  

'''Propriété 2''' : <math>\forall(p,q)\in\Z^2,F_pF_{q+1}+F_{p-1}F_q=F_{p+q}</math>.
:C'est le cas {{math|''r'' {{=}} 1}} de la propriété 1<ref name="Benjamin4">Pour une preuve combinatoire, voir {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Arthur T. Benjamin]]|auteur2=Jennifer J. Quinn|titre=Proofs that Really Count|sous-titre=The Art of Combinatorial Proof|éditeur=[[Mathematical Association of America|MAA]]|année=2003|passage=4|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|ovUwGLm2IJEC|page=4}}}}.</ref>. On peut aussi la démontrer à l'aide de l'[[#Expression matricielle|expression matricielle]] :
{{Démonstration|contenu=On pose <math>\mathcal{M}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>   et on a donc : <math>\mathcal{M}^n=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix} F_{n+1}&F_n \\ F_{n}&F_{n-1}  \end{bmatrix}</math>

On a également : <math>\mathcal{M}^{p+q}=\mathcal{M}^{p}\times \mathcal{M}^{q}</math>

Donc : <math>\begin{bmatrix} F_{p+q+1}&F_{p+q} \\ F_{p+q}&F_{p+q-1}  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{p+1}&F_{p} \\ F_{p}&F_{p-1}  \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} F_{q+1}&F_{q} \\ F_{q}&F_{q-1}  \end{bmatrix}</math>

En calculant explicitement la valeur de <math>F_{p+q}</math> dans la ligne du bas et colonne de gauche de la première matrice, on trouve la formule recherchée : <math>F_{p+q}=F_{p}\times F_{q+1}+F_{p-1}\times F_{q}</math>}}

'''Propriété 3''' : <math>\forall p\in\Z,F_{2p-1}=F_{p-1}^2+F_p^2</math>.
:C'est le cas {{math|''q'' {{=}} ''p'' – 1}} de la propriété 2.

'''Propriété 4''' : (identité d'[[Maurice d'Ocagne|Ocagne]])<math>\forall(p,r)\in\Z^2,F_pF_{r+1}-F_rF_{p+1}=(-1)^rF_{p-r}</math>.
:C'est le cas {{math|''q'' {{=}} 1}} de la propriété 1.

'''Propriété 5''' : <math>\forall(p,q)\in\Z^2,F_p^2-F_{p-q}F_{p+q}=(-1)^{p-q}F_q^2</math> (identité de [[Eugène Charles Catalan|Catalan]]) et <math>F_{p+1}F_{p-1}-F_p^2=(-1)^p</math> (identité de [[Giovanni Domenico Cassini|Cassini]]<ref name="Cassini" />{{,}}<ref>Pour une preuve combinatoire, voir {{Harvsp|Benjamin|Quinn|2003|p=8}}.</ref>).
:L'identité de Catalan est le cas {{mvar|r {{=}} p – q}} de la propriété 1. L'identité de Cassini est le cas {{math|''q'' {{=}} 1}} de celle de Catalan (c'est donc aussi le cas {{math|''r {{=}} p'' – 1}} de la propriété 4). L'identité de Cassini peut aussi se démontrer à l'aide de l'[[#Expression matricielle|expression matricielle]] :
{{Démonstration|contenu=On pose <math>\mathcal{M}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}</math>   et on a donc : <math>\mathcal{M}^p=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^p=\begin{bmatrix} F_{p+1}&F_p \\ F_{p}&F_{p-1}  \end{bmatrix}</math>. Les déterminants de ces deux dernières matrices sont donc égaux, ce qui donne : <math> F_{p+1}\times F_{p-1}-F_{p}^2=(-1)^p</math>, qui est la formule recherchée.}}

:''Corollaire 1'' : <math>\forall p\in\Z, F_p=\frac{F_{p-1}+\sqrt{5F_{p-1}^2-4(-1)^p}}2~\text{et}~\sqrt{5F_p^2+4(-1)^p}\in\N</math>.
{{Démonstration|contenu=Pour prouver la première propriété, il suffit de considérer l'identité de Cassini <math>(F_p+F_{p-1})F_{p-1}-F_p^2=(-1)^p</math> et de résoudre l'équation du second degré obtenue d'inconnue {{mvar|F{{ind|p}}}}, à savoir <math>F_p^2-F_{p-1}F_p-F_{p-1}^2+(-1)^p=0</math>.

La suite de Fibonacci apparaît également comme une suite récurrente du premier ordre, mais non linéaire.

Pour en déduire la fin du corollaire, on fait un petit décalage d'indice dans la formule précédente, en remarquant que les termes de la suite de Fibonacci sont entiers.
}}

:''Corollaire 2'' : <math>\forall p\in\Z,F_{p+2}F_{p+1}F_{p-1}F_{p-2}-F_p^4+1=0</math>.
{{Démonstration|contenu=
<math>\begin{align}F_{p+1}F_{p-1}F_{p+2}F_{p-2}&=
(F_p^2-(-1)^{p-1}F_1^2)(F_p^2-(-1)^{p-2}F_2^2)\\&=
(F_p^2\pm1)(F_p^2\mp1)\\&=
F_p^4-1.\end{align}</math>
}}

'''Propriété 6''' : La suite de Fibonacci est [[Suite à divisibilité faible ou forte|à divisibilité faible]]<ref>Plus généralement, toute [[#Suites de Lucas|suite de Lucas]] [[Suite de Lucas#Divisibilité|''U''(''P'', ''Q'') est à divisibilité faible]].</ref> : <math>\forall (k,n)\in\Z^2\quad F_n\mid F_{nk}</math><ref>Pour une preuve combinatoire, voir {{Harvsp|Benjamin|Quinn|2003|p=11}}.</ref>.
:Cela résulte de la propriété 2.
{{Démonstration|contenu=Appliquons la propriété 2 à <math>q=p</math>. Nous obtenons : <math>F_pF_{p+1}+F_{p-1}F_p=F_{2p}</math>. Donc <math>F_p</math> divise <math>F_{2p}</math>.

Appliquons maintenant la propriété 2 à <math>q=kp</math>. Nous avons : <math>F_pF_{kp+1}+F_{p-1}F_{kp}=F_{(k+1)p}</math>. Donc si <math>F_p</math> divise <math>F_{kp}</math>, il divise aussi <math>F_{(k+1)p}</math>. En raisonnant par récurrence depuis <math>k=1</math>, on démontre donc bien que <math>\forall (k,p)\in\Z^2\quad F_p\mid F_{kp}</math>.}}

On peut aussi démontrer cette propriété par la proposition 4 (par récurrence sur {{math|{{!}}''k''{{!}}}}), ou par un calcul explicite du quotient (en particulier, {{nobr|<math>F_{2n}=F_nL_n</math>).}}

'''Propriété 7''' : Pour tout entier naturel {{mvar|n}} différent de 4, si {{mvar|F{{ind|n}}}} est [[Nombre premier|premier]], alors {{math|''n''}} est premier.
{{Démonstration|contenu= Il est plus facile de démontrer la [[Proposition contraposée|contraposée]] de cette proposition : si {{mvar|n}} est composé alors {{mvar|F{{ind|n}}}} aussi. En effet, supposons {{mvar|n {{=}} mk}} avec {{mvar|m}} et {{mvar|k}} entiers strictement supérieurs à 1. Comme {{mvar|n}} est supposé différent de 4, l'un au moins des deux facteurs est strictement supérieur à 2 : par exemple {{math|''m'' > 2}}. D'après la propriété 6, {{mvar|F{{ind|m}}}} est alors un diviseur propre de {{mvar|F{{ind|n}}}}, qui n'est donc pas premier.}}
:La [[Implication réciproque|réciproque]] est fausse, car 2 est premier alors que {{math|''F''{{ind|2}}}} ne l'est pas ; de façon moins triviale, <math>F_{19}=4181=37\times 113</math>.

'''Propriété 8''' : La suite de Fibonacci est même à [[Suite à divisibilité faible ou forte|divisibilité forte]]<ref>Plus généralement, dans tout [[anneau intègre]] [[anneau à PGCD|à PGCD]], une [[#Suites de Lucas|suite de Lucas]] [[Suite de Lucas#Divisibilité|''U''(''P'', ''Q'') est à divisibilité forte si (et seulement si)]] ses paramètres ''P'' et ''Q'' sont premiers entre eux.</ref> : <math>\forall(a,b)\in\Z\times\Z^*,~F_a\land F_b=F_{a\land b}</math>, où ∧ désigne le [[Plus grand commun diviseur de nombres entiers|PGCD de nombres entiers]].
:En particulier pour tout entier {{mvar|n}}, {{mvar|F{{ind|n}}}} et {{math|''F''{{ind|''n'' + 1}}}} sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]]<ref>Car deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux.</ref>.
{{Démonstration|contenu=
Soient <math>d=a\land b</math> et <math>D=F_a\land F_b</math> (qui sont tous deux positifs, de même que <math>F_d=|F_{-d}|</math>).
* D'après la propriété 6, <math>F_d\mid F_a</math> et <math>F_d\mid F_b</math> donc <math>F_d\mid D</math>.
* D'après les propriétés 2 et 4, <math>\forall(p,q)\in\Z\times\Z^*\quad F_p\land F_q\mid F_{p\pm q}\land F_q</math> donc par [[anthyphérèse]], <math>D\mid F_d</math>.
*Nous en concluons que <math>F_d=D</math>.
}}

'''Propriété 9''' : <math>\forall(p,r)\in\Z^2,F_{p+r}-(-1)^rF_{p-r}=F_rL_p</math>. En particulier :
:<math>F_{p+1}+F_{p-1}=L_p,\quad F_{p+2}-F_{p-2}=L_p,\quad F_{p+3}+F_{p-3}=2L_p</math>.
:L'égalité est immédiate si {{math|''p'' {{=}} 0}}. Pour {{math|''p'' ≠ 0}}, c'est le cas particulier {{mvar|q {{=}} p}} de la propriété 1.

'''Propriété 10''' : <math>\forall n\in\Z,\varphi^n=F_n\varphi+F_{n-1}~\text{et}~\varphi'^n=F_n\varphi'+F_{n-1}</math>.

{{Démonstration|contenu=
Par somme et différence, il revient au même de démontrer que
:<math>L_n=F_nL_1+2F_{n-1}~\text{et}~F_n=F_nF_1</math>.
La seconde égalité est immédiate et la première résulte de la propriété 9 :
:<math>L_n=F_{n+1}+F_{n-1}=(F_n+F_{n-1})+F_{n-1}</math>.
}}

'''Propriété 11''' : La suite de Fibonacci possède plusieurs propriétés de récurrence additive forte, notamment : <math>\forall n\in\N^*\quad\sum_{i=1}^{n}F_{2i-1}=F_{2n},\quad1+\sum_{i=0}^{n-1}F_{2i}=F_{2n-1}\quad\text{et}\quad1+\sum_{i=0}^{n-1}F_i=F_{n+1}</math><ref>Pour une preuve combinatoire, voir {{Harvsp|Benjamin|Quinn|2003|p=2-3}}. On peut aussi obtenir les deux premières égalités par [[somme télescopique]], et en déduire la troisième en les additionnant, de façon différente suivant la parité de {{mvar|n}} : voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Mathématiques en MPSI/Devoir/Décomposition en éléments simples, dénombrement, rudiments de logique et vocabulaire ensembliste, sommes, systèmes linéaires#Exercice 5 : sommes avec la suite de Fibonacci|cet exercice corrigé|début=}}</ref>.

La suite <math>(F_{2n})</math> vérifie en outre : <math>F_{2n}=n+\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)F_{2k}</math> pour <math>n\geqslant2</math> ; voir la {{OEIS|A088305}}.
{{Démonstration|contenu=Les trois premières formules peuvent se démontrer par la même méthode, dite de [[somme télescopique]] : 

a) pour la première, on remplace dans la somme chaque <math>F_{2i-1}</math> par son égal : <math>(F_{2i}-F_{2i-2})</math>, et, comme <math>F_0=0</math>, on trouve l'égalité recherchée.

b) pour la deuxième, on remplace dans la somme chaque <math>F_{2i}</math> par son égal : <math>(F_{2i+1}-F_{2i-1})</math>, et, comme <math>F_{-1}=1</math>, on trouve l'égalité recherchée.

c) pour la troisième on remplace dans la somme chaque <math>F_{i}</math> par son égal : <math>(F_{i+1}-F_{i-1})</math>, et, comme <math>F_{-1}=1</math>, on trouve l'égalité recherchée. Cette troisième formule peut aussi se démontrer par récurrence directe à partir de <math>n=1</math>, ou, après avoir démontré les deux formules mentionnées en a) et b), en remarquant qu'elle en découle par addition.

La quatrième formule se démontre par récurrence et en utilisant les deux premières formules.}}

[[File:PascalFibonacci.svg|thumb|right|upright=1.4|La somme des diagonales ascendantes du [[triangle de Pascal]] forme la suite de Fibonacci.]]
'''Propriété 12''' : <math>\forall n\in\N,~F_n=\sum_{k\in\Z}{n-1-k\choose k}</math> (somme finie car les [[Coefficient binomial|coefficients binomiaux]] <math>{n-1-k\choose k}</math> sont nuls si {{math|''k'' < 0}} ou si {{math|''k'' > ''n'' – 1 – ''k''}}).

Cette propriété se déduit immédiatement de l'expression de la série génératrice {{supra|Série génératrice}}. On peut aussi la démontrer par une récurrence d'ordre 2 sur {{mvar|n}}<ref name="Benjamin4" /> :

{{Démonstration/début|titre=Démonstration}}
* Initialisation 
:(''n'' = 0) : <math>\sum_k{-1-k\choose k} =0</math> et <math>\mathcal{F}_0=0</math>
:(''n'' = 1) : <math>\sum_k{-k\choose k} = 1 </math> et <math>\mathcal{F}_1= 1</math>
* Hypothèses de récurrence : 
: au rang ''n'', <math>\mathcal{F}_n= \sum_k{n-1- k \choose k}</math> 
: au rang ''n'' + 1, <math>\mathcal{F}_{n+1}= \sum_k{n- k \choose k}</math>
* Hérédité (rang ''n'' + 2) :
:<math>\sum_k{n+1-k \choose k} = \sum_k\left({n- k \choose k} + {n- k \choose k-1}\right)</math> (formule du triangle de Pascal)
:<math>= \mathcal{F}_{n+1}+\sum_m{n-1- m\choose m}</math> (hypothèse de récurrence, changement de variable {{math|''m {{=}} k'' – 1}})
:<math>= \mathcal{F}_{n+1}+ \mathcal{F}_n</math> (hypothèse de récurrence)
:<math>= \mathcal{F}_{n+2} </math> (définition de la suite de Fibonacci).
{{Démonstration/fin}}
Cela signifie que, dans un [[triangle de Pascal]], les nombres de Fibonacci s'obtiennent en sommant les termes situés sur une diagonale (du bas vers la droite). Les termes de ces diagonales sont d'ailleurs les coefficients des [[polynôme de Fibonacci|polynômes de Fibonacci]] ; ainsi, <math>F_6(x)=x^5+4x^3+3x</math> et <math>F_9(x)=x^8+7x^6+15x^4+10x^2+1</math>.

'''Propriété 13''' : <math>\forall n\in\N,~2^{n-1}F_n=\sum_{0\le k\le n/2}{n\choose 2k+1}5^k</math>.

Cette propriété découle du développement binomial de la formule de Binet<ref>Voir {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Steven Vajda]]|titre=Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2008|année première édition=1989|passage=68-69|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|KkLfBQgYfdgC|page=68}}}}.</ref> ; on a d'ailleurs une formule analogue pour les [[nombre de Lucas|nombres de Lucas]] : <math>\forall n\in\N,~2^{n-1}L_n=\sum_{0\le k\le n/2}{n\choose 2k}5^k</math>.

'''Propriété 14''' : La suite <math>(u_n)_{n\in\N^*}</math> définie par <math>u_n=F_{n+1}/F_n</math> vérifie{{Retrait|<math>u_{n+1}=1+1/u_n\text{ et }u_n^2-u_n-1=(-1)^n/F_n^2</math>}}.{{Démonstration|contenu=On a <math>u_n=F_{n+1}/F_n</math>, donc : <math>u_{n+1}=F_{n+2}/F_{n+1}= (F_{n+1}+F_{n})/F_{n+1}= 1+1/u_n</math>, ce qui est la première formule recherchée.

Pour démontrer la deuxième égalité, on part de : <math>F_{n}^2\times (u_{n}^2-u_{n})=F_{n+1}^2-F_{n+1}\times F_{n}</math>. Donc, par l'identité de Cassini : <math>F_{n}^2\times (u_{n}^2-u_{n})=F_{n+2}\times F_{n}-(-1)^{n+1}-F_{n+1}\times F_{n}=(F_{n+2}-F_{n+1})\times F_{n}+(-1)^{n}=F_{n}^2+(-1)^{n}</math>, soit : <math>u_{n}^2-u_{n}=1+(-1)^{n}/F_{n}^2</math>, qui est la formule recherchée.}}
'''Propriété 15''' : La [[factorisation des polynômes]] de Fibonacci permet d'exprimer les <math>{F}_n</math> (pour [[Produit vide<!--Sury p. 202-->|{{math|''n'' ≥ 1}}]]) sous forme de  produits trigonométriques<ref>{{Article|lang=en|auteur=Bala Sury|url=https://www.emis.de/journals/AMUC/_vol-79/_no_2/_sury/sury.pdf|titre=Trigonometric expressions for Fibonacci and Lucas Numbers|revue=Acta Math. [[Université Comenius de Bratislava|Univ. Comenianae]]|vol=79|numéro=2|année=2010|p.=199-208}}.</ref> :{{Retrait|<math>{F}_n=\prod_{1\le k \le (n-1)/2}3+2\cos\left(\frac{2k\pi}n\right)</math>.}}

== Arithmétique ==

=== Divisibilité des nombres de Fibonacci ===
Une première approche de la question de la divisibilité de {{mvar|F{{ind|n}}}} par un entier ''a'' consiste à étudier la suite des restes de {{mvar|F{{ind|n}}}} [[arithmétique modulaire|modulo ''a'']] : cette suite (''r{{ind|n}}'') vérifie (dans '''Z'''/''a'''''Z''') la même récurrence {{nobr|1=(''r''{{ind|''n''+2}} = ''r''{{ind|''n''+1}} + ''r{{ind|n}}'')}} et est donc périodique de période au plus ''a''{{2}} (les longueurs des périodes en fonction de ''a'' forment la suite des [[Période de Pisano|périodes de Pisano]], {{OEIS|id=A001175}}) ; on en déduit que pour tout ''a'', il existe {{math|''n''}} inférieur ou égal à ''a''{{2}} tel que {{mvar|F{{ind|n}}}} (et donc {{mvar|F{{ind|kn}}}}) soit divisible par ''a''. Plus précisément, l'étude de cette récurrence dans le corps '''Z'''/''p'''''Z''' (où ''p'' est un nombre premier) amène à des formules analogues à la formule de Binet, d'où l'on déduit finalement (selon que 5 est ou n'est pas un carré modulo ''p'' ; voir la [[loi de réciprocité quadratique]]) que <math>F_{5n}</math> est divisible par 5, et que si ''p'' est premier autre que 5, <math>F_{(p-1)n}</math> est divisible par ''p'' si ''p'' est de la forme 5''m'' + 1 ou 5''m'' + 4, et <math>F_{(p+1)n}</math> est divisible par ''p'' sinon. Des résultats plus précis peuvent d'ailleurs être obtenus ; ainsi, dans le premier cas, <math>F_{(p-1)/2}</math> est divisible par ''p'' si (''p'' – 1)/2 est pair<ref name="order">{{en}} T. Lengyel, [http://www.fq.math.ca/Scanned/33-3/lengyel.pdf The order of the Fibonacci and the Lucas numbers], ''[[Fibonacci Quarterly]]'', 1995.</ref>. Enfin, si ''p'' > 2 est premier et  divise {{mvar|F{{ind|n}}}}, ''p<sup>k</sup>'' divise <math>F_{p^{k-1}n}</math>, et 2<sup>''k''+1</sup> divise <math>F_{3\times 2^{k-1}}</math> (si ''k''>1) ; ces derniers résultats sont des  conséquences du [[lemme de Hensel]]<ref>{{en}} [[Paulo Ribenboim]], ''The New Book of Prime Number Records'', New York, Springer, 1996 {{ISBN|0-387-94457-5}}, {{p.|64}}.</ref>{{,}}<ref>{{en}} [[Franz Lemmermeyer]], ''Reciprocity Laws'', New York, Springer, 2000 {{ISBN|3-540-66957-4}}, ex. 2.25-2.28, {{p.|73-74}}.</ref> ; les mêmes méthodes permettent d'obtenir des résultats analogues pour les [[nombre de Lucas|nombres de Lucas]]<ref name="order" />{{,}}<ref>{{en}} Thomas Jeffery et Rajesh Pereira, [https://www.hindawi.com/journals/isrn/2014/750325/ Divisibility Properties of the Fibonacci, Lucas, and Related Sequences], 2013.</ref>.

=== Primalité des nombres de Fibonacci ===
{{Voir|Nombre premier de Fibonacci}}
Un ''nombre premier de Fibonacci'' est un nombre de Fibonacci qui est également [[Nombre premier|premier]].

Les sept plus petits nombres premiers de Fibonacci <math> F_n</math> sont<ref>Voir les suites {{OEIS2C|id=A005478}} et {{OEIS2C|id=A001605}} de l'[[OEIS]] pour plus de termes de cette [[sous-suite]] et de ses indices.</ref> 2, 3, 5, 13, 89, 233 et {{nombre|1 597}}, et les indices {{math|''n''}} correspondants sont 3, 4, 5, 7, 11, 13 et 17 (sauf pour <math>F_4</math>, ces indices sont nécessairement premiers<ref>Voir propriété 7.</ref>)  .

On découvre au fil des ans des nombres de Fibonacci premiers de plus en plus grands, mais on ignore toujours s'il en existe une infinité.

=== Décomposition d'un entier en somme de nombres de Fibonacci ===
{{voir|Théorème de Zeckendorf}}
Tout entier positif se décompose de manière unique comme somme de nombres de Fibonacci distincts et non consécutifs.

;Exemple
:<math>25 = 21 + 3 + 1 = F_8 + F_4 + F_2</math>.

== Applications ==

=== En mathématiques ===
* La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de dénombrement. Par exemple, le terme d'indice ''n'' (pour ''n'' supérieur ou égal à 2) de la suite de Fibonacci permet de dénombrer le nombre de façons de parcourir un chemin de longueur ''n-1'' en faisant des pas de 1 ou 2. Ce problème est également équivalent au [[problème de bin packing]] pour ''n'' articles de longueur 1 ou 2, tel qu'on le trouve par exemple dans ''[[The Art of Computer Programming]]'' de [[Donald Knuth]].{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}}
* Les nombres de Fibonacci interviennent dans l'étude de l'exécution de l'[[algorithme d'Euclide]] qui détermine le [[plus grand commun diviseur]] de deux entiers<ref name=":0">{{Ouvrage|auteur=[[Thomas H. Cormen]]|auteur2=[[Charles E. Leiserson]]|auteur3=[[Ron Rivest|Ronald L. Rivest]]|auteur4=[[Clifford Stein]]|titre=[[Introduction à l'algorithmique]]|éditeur=|année=|pages totales=1176|passage=Section 31.2}}.</ref>.
*Ils sont l'outil (grâce à la [[#Propriétés de la suite de Fibonacci|propriété 8 et la factorisation de {{math|''F''{{ind|19}}}}]]) d'une démonstration originale du [[théorème d'Euclide sur les nombres premiers]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Victor H. Moll|titre=Numbers and Functions : From a Classical-experimental Mathematician's Point of View|éditeur=[[American Mathematical Society|AMS]]|année=2012|passage=113|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|koRPfGJUntgC|page=113}}}}, reproduit dans {{Lien web|url=http://www.cut-the-knot.org/proofs/FibonacciPrimes.shtml|titre=Infinitude of Primes - via Fibonacci Numbers|site=[[Cut The Knot]]}}.</ref>.
* [[Youri Matiiassevitch]] a montré que les nombres de Fibonacci pouvaient être définis par une [[équation diophantienne]]{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}}, ce qui a conduit à la résolution du [[dixième problème de Hilbert]]. En 1975, Jones en a déduit que, pour des valeurs de ''x'' et ''y'' entières positives ou nulles, les valeurs positives du polynôme <math>2xy^4 + x^2y^3 - 2x^3y^2 - y^5 - x^4y + 2y</math> étaient exactement les nombres de Fibonacci{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}}. Ces valeurs positives s'obtiennent d'ailleurs en attribuant pour valeurs à ''x'' et ''y'' deux nombres de Fibonacci successifs.
* Les nombres de Fibonacci apparaissent dans la formule des diagonales du [[triangle de Pascal]] (voir [[#Propriétés de la suite de Fibonacci|Propriétés]], ''Propriété 12'').

* Une bonne approximation d'un [[Nombre d'or#Rectangle et spirale d'or|rectangle d'or]] peut être construite à l'aide de carrés dont les côtés sont égaux aux nombres de Fibonacci.[[Fichier:Fibonacci Spiral.svg|vignette|La spirale de Fibonacci : une approximation de la [[Nombre d'or#Rectangle et spirale d'or|spirale d'or]] formée en traçant des [[Arc de cercle|arcs de cercle]] reliant les sommets opposés des carrés de Fibonacci (voir image en haut de cette page).]]

* Une [[spirale logarithmique]] peut être approchée de la manière suivante : on commence à l'origine d'un repère cartésien, on se déplace de {{math|''F''{{ind|1}}}} unités vers la droite, puis de {{math|''F''{{ind|2}}}} unités vers le haut, on se déplace de {{math|''F''{{ind|3}}}} unités vers la gauche, ensuite de {{math|''F''{{ind|4}}}} unités vers le bas, puis de {{math|''F''{{ind|5}}}} unités vers la droite, etc. Cela ressemble à la construction mentionnée dans l'article sur le [[nombre d'or]].
* Les nombres de Fibonacci apparaissent souvent dans la nature lorsque des spirales logarithmiques sont construites à partir d'une unité discrète, telles que dans les tournesols ou dans les pommes de pin. Le nombre de pétales de la marguerite (et d'autres fleurs composées comme le tournesol) appartient à la suite de Fibonacci : souvent 34, 55 ou 89. Cela s'explique par le mécanisme de développement de la [[plante]] (voir le [[Nombre d'or#Phyllotaxie|paragraphe « Phyllotaxie » de l'article sur le nombre d'or]]).

=== Informatique ===
* La suite de Fibonacci est utilisé comme outil mathématique dans l'analyse de la [[Complexité dans le pire des cas|complexité pire cas]] de l'[[algorithme du simplexe]]<ref>{{Chapitre|langue=en|prénom1=D.|nom1=Avis|prénom2=V.|nom2=Chvátal|titre chapitre=Notes on Bland’s pivoting rule|titre ouvrage=Polyhedral Combinatorics: Dedicated to the memory of D.R. Fulkerson|éditeur=Springer|collection=Mathematical Programming Studies|date=1978|isbn=978-3-642-00790-3|doi=10.1007/bfb0121192|lire en ligne=https://doi.org/10.1007/BFb0121192|consulté le=2023-09-24|passage=24–34}}</ref>.
* La suite de Fibonacci intervient dans les [[tas de Fibonacci]].

=== Biologie ===
[[Fichier:Animation Fibonacci.gif|vignette|Animation GIF représentant Fibonacci]]La plupart des êtres vivants sexués sont issus de deux parents, de sorte que leurs ancêtres à la ''n''{{e}} génération, supposés distincts, sont au nombre de 2<sup>''n''</sup>. Mais les [[Hymenoptera|hyménoptères]] sont tels que les femelles sont issues de deux parents, et les mâles sont issus d'une mère seulement. Il en résulte que leurs ancêtres à la ''n''-ième génération sont constitués :{{retrait|pour les femelles, de {{mvar|F{{ind|n}}}} mâles et {{math|''F''{{ind|''n'' + 1}}}} femelles,}}{{retrait|pour les mâles, de {{math|''F''{{ind|''n'' – 1}}}} mâles et {{mvar|F{{ind|n}}}} femelles.}} Cette forme de reproduction asexuée décrit exactement la reproduction des abeilles. Récemment, une analyse mathématique et historique du contexte de [[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]] et sa proximité de la ville de [[Béjaïa]], une grande source de cire à l'époque (la version française du nom de cette ville est ''Bougie''), a suggéré que ce seraient en fait les apiculteurs de Béjaïa et la connaissance de la reproduction des abeilles qui, plutôt que la reproduction des lapins, auraient  inspiré la découverte de Fibonacci<ref>{{article |lang=en|prénom1=T.C.|nom1=Scott| prénom2=P.|nom2=Marketos| url texte=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf |titre=On the Origin of the Fibonacci Sequence | périodique=[[MacTutor History of Mathematics archive]], University of St Andrews| mois=mars |année=2014}}.</ref>.

=== Art ===
En poésie, un [[fib]] est un petit poème, sorte de [[haïku]], dont le nombre de pieds des premiers vers correspond aux premiers nombres de la suite (1, 1, 2, 3, 5, 8).

== Généralisations ==

{{Article détaillé|Généralisations de la suite de Fibonacci}}

Il existe plusieurs façons de généraliser la suite de Fibonacci : étendre aux indices négatifs, modifier les valeurs initiales, modifier les coefficients de la relation de récurrence ou modifier le nombre de termes (ou [[Suite récurrente linéaire|ordre]]) de la relation de récurrence. Si on modifie tout à la fois (initialisation, récurrence, ordre) on arrive à l'ensemble général des suites à [[suite récurrente linéaire|récurrence linéaire]]. Un bon nombre de propriétés se généralisent au cas où le polynôme minimal de la suite récurrente linéaire définit un [[Nombre de Pisot-Vijayaraghavan|nombre de Pisot]]. Ces propriétés ont été étudiées en lien avec la théorie des [[Automate fini|automates finis]] (sur les mots finis et les mots infinis) dans la [[Diplôme national de doctorat|thèse d'État]] de Christiane Frougny sur la représentation des entiers et des réels en base Pisot, sur une suggestion de [[Marcel-Paul Schützenberger]].

=== Extension aux indices négatifs ===
La suite est étendue aux indices négatifs et Knuth parle de nombres de ''negafibonacci''<ref>{{en}} Donald Knuth (2008-12-11), « Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane », ''Annual meeting, The Fairmont Hotel, San Jose, CA: The Mathematical Association of America''.</ref>. La formule de récurrence les définit aussi de proche en proche :{{Retrait|<math>F_n=F_{n+2}-F_{n+1}</math>}}

Ainsi, autour de 0, la suite est :
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
|-
|{{math|''F''{{ind|–6}}}}
|{{math|''F''{{ind|–5}}}}
|{{math|''F''{{ind|–4}}}}
|{{math|''F''{{ind|–3}}}}
|{{math|''F''{{ind|–2}}}}
|{{math|''F''{{ind|–1}}}}
|{{math|''F''{{ind|0}}}}
|{{math|''F''{{ind|1}}}}
|{{math|''F''{{ind|2}}}}
|{{math|''F''{{ind|3}}}}
|{{math|''F''{{ind|4}}}}
|{{math|''F''{{ind|5}}}}
|{{math|''F''{{ind|6}}}}
|-
|−8
|5
|−3
|2
|−1
|1
|0
|1
|1
|2
|3
|5
|8
|}

On remarque, sur ces premières valeurs, que
* si {{math|''n''}} est pair alors {{math|''F''{{ind|–''n''}} {{=}} –''F''{{ind|''n''}}}}
* si {{math|''n''}} est impair alors {{math|''F''{{ind|–''n''}} {{=}} ''F''{{ind|''n''}}}}
ou plus synthétiquement :
<center><math>F_{-n}=(-1)^{n+1}F_n</math>.</center>
On peut le démontrer pour tout entier {{math|''n''}}, par la formule de Binet ci-dessus, ou directement par récurrence.

=== Suites de Fibonacci généralisées ===

On appelle suite de Fibonacci généralisée toute suite définie par la même relation de récurrence que la suite de Fibonacci, mais dont les termes initiaux sont différents de 0 et 1{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}}. Sur le modèle de la démonstration donnée plus haut (voir section [[#Expression fonctionnelle|Expression fonctionnelle]]), une telle suite {{math|''u{{ind|n}}'')}} est encore de la forme {{mvar|αφ{{exp|n}} + βφ'{{exp|n}}}} où {{mvar|φ}} est le nombre d'or et <math>\varphi'=-1/\varphi</math>. Elle est donc [[Équivalent#L'équivalence pour les suites|équivalente]] à {{mvar|αφ{{exp|n}}}}, sauf si {{math|''α'' {{=}} 0 }} (ce qui ne se produit que si <math>u_1=\varphi'u_0</math>), si bien que (comme la [[#Limite des quotients|suite des quotients de la suite de Fibonacci]]) la suite <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}</math> converge vers {{mvar|φ}}.

Parmi ces suites de nombres, il faut signaler les [[nombre de Lucas|nombres de Lucas]] obtenus en choisissant comme initialisation : <math>L_0=2</math> et <math>L_1=1</math>. Cela donne la suite 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,… On trouve parfois une initialisation  <math>L_0 =1</math> et <math>L_1=3</math> qui ne consiste qu'à décaler la suite d'un rang. Ces nombres interviennent dans la résolution d'[[Équation diophantienne|équations diophantiennes]]. Ils sont très liés à la suite de Fibonacci par la relation suivante : <math>L_n=F_{n+1}+F_{n-1}</math> pour tout  entier {{math|''n'' > 0}} (voir [[#Propriétés de la suite de Fibonacci|Propriétés]], ''Propriété 9'').

=== Suites de Lucas ===
Ce sont les suites où la relation de récurrence a changé et est devenue{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}} 
:<math>X_{n+2}=PX_n-QX_{n+1}</math>.
Elles sont de deux types, notés {{mvar|X {{=}} U}} et {{mvar|X {{=}} V}}, selon que l'initialisation est {{math|''U''{{ind|0}} {{=}} 0}} et {{math|''U''{{ind|1}} {{=}} 1}} ou qu'elle est {{math|''V''{{ind|0}} {{=}} 2}} et {{math|''V''{{ind|1}} {{=}} ''P''}}.
 
La suite de Fibonacci et la suite des nombres de Lucas sont les suites {{mvar|U}} et {{mvar|V}} de Lucas de paramètres {{math|''P'' {{=}} 1}} et {{math|''Q'' {{=}} –1}}.

{{Article détaillé|Suite de Lucas|Nombre de Lucas}}

=== Suites de k-bonacci ===

Ce sont des suites dont la relation de récurrence est d'ordre <math>k</math>''<ref>{{Ouvrage|prénom1=Martin|nom1=Gardner|titre=The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Vol. II|éditeur=Simon and Schuster|année=1961|passage=101}}</ref>''. Un terme est la somme des ''<math>k</math>'' termes qui le précèdent :
:<math> u_{n+k} \, = \, u_n + u_{n+1} + u_{n+2} + \dots +u_{n+k - 1}</math>.
Parmi ces suites, on distingue la [[suite de Tribonacci]] (récurrence d'ordre 3) et la [[Généralisations de la suite de Fibonacci#Les suites de Tétranacci|suite de Tetranacci]] (récurrence d'ordre 4). Selon ce nouveau classement de suites, la suite de Fibonacci est une suite de 2-bonacci.

== Dans la nature ==
[[Fichier:Centre d'une fleur.JPG|thumb|alt=Coeur d'une fleur jaune avec des petites fleurs disposées en spirales concentriques|Centre d'une fleur de tournesol. Le [[Réceptacle floral|réceptacle]] forme des spirales régulières, dextres et sénestres, dans lesquelles on peut retrouver la suite de Fibonacci.]]

La suite de Fibonacci apparaît sous de nombreuses formes biologiques<ref>{{Ouvrage | langue=en | auteur1=Mario Livio | titre=The Golden Ratio : The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number Paperback | éditeur=Broadway Books; Reprint edition | date=23 septembre 2003 | pages totales=294 | isbn=978-0-7679-0816-0}}.</ref>, comme la [[Ramification (botanique)|ramification]] des arbres, la disposition des feuilles sur une tige, les fruits de l'[[ananas]]<ref name=Zhao2016/>, la floraison de l'[[artichaut]], le déroulement des feuilles de [[Filicophyta|fougères]], la disposition d'une [[Cône (botanique)|pomme de pin]]<ref>{{Article | langue = en | auteur = Brousseau, A | titre = Fibonacci Statistics in Conifers | périodique = Fibonacci Quarterly | volume = 7 | date = 1969 | pages = 525–532 | lire en ligne = https://www.fq.math.ca/Scanned/7-5/brousseau1.pdf}}.</ref>, la coquille de l’escargot et la disposition des nuages lors des ouragans. Quant aux [[Marguerite commune|marguerites]], elles ont le plus souvent un nombre de pétales issu de la suite de Fibonacci.

Chez les [[Asteraceae|Astéracées]], dans les [[inflorescence]]s en [[Capitule (botanique)|capitule]], la disposition des fleurons sur le [[Réceptacle floral|réceptacle]] forme des spirales régulières, dextres et sénestres, qui suivent les règles de la [[phyllotaxie]] dans lesquelles on peut retrouver la suite de Fibonacci<ref name=Zhao2016>{{Article|langue=en|prénom1=Yafei|nom1=Zhao|et al.=oui|titre=Evolutionary Co-Option of Floral Meristem Identity Genes for Patterning of the Flower-Like Asteraceae Inflorescence|périodique=Plant Physiology|date=septembre 2016|volume=172|numéro=1|pages=284-296|doi=10.1104/pp.16.00779}}.</ref>.

Les [[Apis mellifera|abeilles domestiques]] ont une [[Système de détermination sexuelle haplodiploïde|reproduction haplodiploïde]] : un œuf non fécondé donnera un mâle et un œuf fécondé donnera une ouvrière ou une reine. Ainsi, un mâle aura une mère, quand les ouvrières et reine auront une mère et un père. Par conséquent, le pedigree d'un mâle est constitué d'un parent, de deux grands-parents, de trois arrière-grands-parents, de cinq arrière-arrière-grands-parents, etc. ; il s'agit d'une suite de Fibonacci<ref>{{Article | langue = en | prénom1= S.L. |nom1=Basin| titre = The Fibonacci sequence as it appears in nature | périodique = The Fibonacci Quarterly | volume = 1 | numéro = 1 | année = 1963 | pages = 53–56 |url texte = https://www.fq.math.ca/Scanned/1-1/basin.pdf}}.</ref>.

== Dans la culture ==
=== Peinture ===
[[Fichier:Georges Seurat 066.jpg|thumb|right|[[Georges Seurat]], ''Parade de cirque'', 1887-1888]]
Dans son tableau ''Parade de cirque'', peint en 1887-1888, [[Georges Seurat]] emploie les premiers termes de la suite : un personnage central, deux personnages à droite, trois musiciens, cinq banderoles ou cinq spectateurs en bas à gauche, huit à droite, treize en tout<ref>{{article|auteur=C. Pasquet|titre=Du nombre d'or à la Section d'or|périodique=[[Dossier de l'Art]]|numéro=257|mois=mars|année=2018|pages=70-71}}.</ref>.

=== Littérature ===
{{section à sourcer|date=avril 2024}}
{{colonnes|nombre=2|
* {{Ouvrage|prénom1=Kurt|nom1=Aust|titre=La confrérie des invisibles|éditeur=City Edition|date=2010|pages totales=450|isbn=978-2-8246-0164-9|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=kTrrNo-R6psC&pg=PT42&dq=fibonacci+confr%C3%A8rie+des+invisibles|consulté le=2020-04-30}}
* {{Ouvrage|auteur1=Silvia Brena|auteur2=[[Iginio Straffi]]|titre=Maya Fox 2012|sous-titre=La prédestinée|tome=1|éditeur=[[Pocket Jeunesse]]|année=2011|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Dan Brown]]|titre=[[Da Vinci Code]]|éditeur=Le Livre de Poche|année=2014|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[William Dietrich]]|titre=Les pyramides de Napoléon|éditeur=[[Pocket]]|année=2010|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Emily Gravett]]|titre=Le problème avec les lapins|éditeur=Kaléidoscope|année=2009|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Jacques Lacan]]|titre=Le Séminaire, livre XVI|sous-titre=D'un Autre à l'autre|éditeur=[[Éditions du Seuil|Le Seuil]]|année=2006}}, chap. « Du pari de Pascal »
* {{Ouvrage|auteur1=[[Éric Pessan]]|titre=L'écorce et la chair |résumé=http://www.chemindefer.org/catalogue/l-ecorce-et-la-chair/presentation-du-livre.html |éditeur=Éditions du chemin de fer|année=2015|isbn=}}
* {{Ouvrage|auteur1=[[Hiroshi Yuki]]|titre=Math Girls|éditeur=Bento Books|année=2011|isbn=}}
* Dans la nouvelle de science-fiction ''[[Histoires_de_robots#Le_Gardien_du_savoir|Le Gardien du savoir]]'', le robot-garde exige comme mot de passe une "formule magique" qui n'est autre que la suite de Fibonacci, oubliée des hommes.
* ''[[Steel Ball Run]]''}}

=== Cinéma ===
{{colonnes|nombre=4|
* ''[[Pi (film)|Pi]]''
* ''[[Le Nombre 23]]''
* ''[[Crimes à Oxford]]''
* ''[[Las Vegas 21]]''
* ''[[Jean de Florette (film)|Jean de Florette]]''
* ''[[Da Vinci Code]]''
* ''[[L: Change the World]]''
* ''[[Nymphomaniac]]''<ref> Seligman, qui recueille l’héroïne, est adepte de pêche à la ligne, de Bach et de la suite de Fibonacci selon [http://next.liberation.fr/cinema/2013/12/30/nymphomaniac-un-coup-pour-rien_969764 Libération]</ref>{{,}}<ref>Détails et explications dans l'article [http://www.slate.fr/story/81925/nymphomaniac-mathematiques «Nymphomaniac», un film fourré aux mathématiques] de Thomas Messias sur ''Slate''</ref>
* ''[[Le Monde de Nathan]]''<ref>{{lien web|url=http://wegotthiscovered.com/movies/x-y-review-tiff-2014/|titre=X + Y Review [TIFF 2014]|consulté le=13 juin 2015}}</ref>

}}

=== Télévision ===
{{colonnes|nombre=4|
* ''[[Numbers (série télévisée)|Numb3rs]]'' (épisode 6 de la saison 1 ; épisode 21 de la saison 5)
* ''[[Fringe (série télévisée)|Fringe]]'' (épisode 10 de la saison 1 ; épisode 6 de la saison 4)
* ''[[Chuck (série télévisée)|Chuck]]'' (épisode 7 de la saison 2)
* ''[[Alias (série télévisée)|Alias]]''
* ''[[Lost : Les Disparus|Lost]]''
* ''[[Esprits criminels]]'' (épisode 8 de la saison 4)
* ''[[Disparition (mini-série, 2002)|Disparition]]''
* ''[[Touch (série télévisée)]]''
}}

=== Musique ===
* Le groupe de [[metal progressif]] ''[[Tool]]'' structure le rythme de certaines parties du morceau ''[[Lateralus (chanson)|Lateralus]]'' selon une suite de Fibonacci<ref>{{en}} Christopher diCarlo, ''Interview with [[Maynard James Keenan]]'' {{lire en ligne|url=http://www.cdicarlo.com/paper_04maynard.htm}}.</ref>.
* La chanteuse suisse pour enfants ''[[Sonia Grimm]]'' a publié sur son album ''Un petit lapin'' une chanson intitulée ''Le lapin de Fibonacci''. Cette chanson présente aux enfants le nombre d'or et la suite de Fibonacci à travers l'exemple de la croissance d'une population de lapins<ref>Voir la liste des chansons de l'album sur la [http://www.sonia-grimm-boutique.com/-ses-cd-albums/a2-un-petit-lapin-/product_info.php/cPath/21/products_id/28 boutique en ligne] de l'artiste.</ref>.
* Selon [[Ernő Lendvai]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Ernő Lendvai|titre=Béla Bartók: An Analysis of His Music — With an Introduction by [[Alan Bush]]|éditeur=Kahn & Averill|année=1971|isbn=978-0-900707-81-0}}.</ref>, le compositeur [[Béla Bartók]] s'est régulièrement servi du nombre d'or et de la suite de Fibonacci dans ses œuvres. L'exemple le plus emblématique serait sa ''[[Musique pour cordes, percussion et célesta]]''. Cependant, d'autres spécialistes de Bartók ont critiqué cette interprétation<ref>Voir par exemple {{Lien web|lang=en|url=http://mathcs.holycross.edu/~groberts/Courses/Mont2/Handouts/Lectures/Bartok-web.pdf|titre=The Bartók Controversy|auteur=Gareth E. Roberts|année=2015}}.</ref>.
* Le compositeur [[Iannis Xenakis]] a plusieurs fois utilisé la suite de Fibonacci : dès 1952 en tentant de créer une "image auditive" de cette série, puis dans quelques compositions : ''Zygia'' en 1952 et ''Le Sacrifice'' en 1953<ref>{{Lien web|titre = Iannis Xenakis, Ingénieur et Architecte. p122|url = http://lib.ugent.be/fulltxt/RUG01/000/840/651/RUG01-000840651_2010_0001_AC.pdf|date = 2004|auteur1 = Sven Sterken|format = pdf}}</ref>.
* Sur la guitare de [[Robert Smith (musicien)|Robert Smith]], chanteur de [[The Cure]], pour la tournée 2016 du groupe, figure le début de la suite de Fibonacci<ref>http://s1.lprs1.fr/images/2016/11/15/6332622_the-cure007.jpg</ref>.

=== Architecture ===
[[Le Corbusier]] et son ''[[Modulor]]'', une mesure harmonique à l'échelle humaine applicable universellement à l'architecture et à la mécanique.

<gallery caption="Illustrations architecturales">
Fichier:Unna Lindenbrauerei Kamin Fibonacci IMGP3083.jpg|Cheminée d'usine à [[Unna]].
Fichier:Fibonacci molle.JPG|[[Mole Antonelliana]] à [[Turin]].
</gallery>

[[Mario Merz]], ''Suite de Fibonacci'', commande publique artistique, 1994, Strasbourg.

=== Jeux et jeux vidéo ===
Dans le jeu ''{{langue|en|[[Metal Gear Solid 4: Guns of the Patriots]]}}'', la suite de Fibonacci apparaît en tant que petite comptine chantée par la petite Sunny.

Dans le jeu ''[[Watch Dogs (jeu vidéo)|Watch Dogs]]'', la suite de Fibonacci est introduite dans l'algorithme de Bellwether, capable de transmettre un message subliminal à travers le système ctOS.

Dans le jeu ''[[Elite (jeu vidéo)|Elite]]'' sur [[BBC Micro]], les développeurs ont utilisé la suite de Fibonacci pour permettre au jeu de tenir dans 22 ko. Le jeu génère donc aléatoirement la galaxie, mais il peut ensuite la générer exactement de la même façon lorsqu'une partie est sauvegardée puis rechargée.

Le jeu de société « 4.6.Suite » (jeu de cartes) est basé sur les suites numériques et notamment sur les suites de Fibonacci.

=== Informatique ===
En méthodologie [[Scrum (développement)|scrum]], la suite de Fibonacci est utilisée pour chiffrer les développements lors du [[planning poker]].{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}}

== Curiosité ==
La suite de Fibonacci peut servir à mémoriser des conversions de [[Mille terrestre international|milles]] américains en kilomètres{{Référence nécessaire|date=24 septembre 2023}}. En effet, {{nobr|1 mi {{=}} 1,609 km}}, or le [[nombre d'or]] {{math|''&phi;'' ≈ 1,6}} et {{math|''F''{{ind|''n'' + 1}} ≈ ''&phi;F{{ind|n}}''}} donc on peut utiliser la formule approchée : {{nobr|{{mvar|F{{ind|n}}}} mi ≈ {{math|''F''{{ind|''n'' + 1}}}} km}}, éventuellement multipliée par une constante{{Laquelle|date=24 septembre 2023}}.

Par exemple, {{nobr|3 mi ≈ 5 km}} (en réalité 4,8 km), donc {{nobr|6 mi ≈ 10 km}}, {{nobr|5 mi ≈ 8 km}} donc {{nobr|10 mi ≈ 16 km}} et {{nobr|50 mi ≈ 80 km}}, {{nobr|8 mi ≈ 13 km}}.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Fibonacci number|60447654|type=n}}
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
* {{en}} Hrant Arakelian, ''{{Langue|en|Mathematics and History of the Golden Section}}'', Logos 2014, 404 p. {{ISBN|978-5-98704-663-0}} (rus.)
* {{Article|lang=en|auteur=J. H. Halton|titre=On the divisibility properties of Fibonacci numbers|revue=[[Fibonacci Quarterly]]|vol=4|numéro=3|année=1966|p.=217-240|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/4-3/halton.pdf}}
* {{Lien|trad=Nikolai Nikolayevich Vorobyov (mathematician)|Nikolai Vorobiev}}, ''Caractères de divisibilité — Suite de Fibonacci'', coll. Initiation aux Mathématiques, [[Éditions Mir]], Moscou, 1973
* {{Ouvrage|auteur1=Ronald Graham|auteur2=Donald Knuth|auteur3=Oren Patashnik|traducteur=Alain Denise|titre=[[Mathématiques concrètes]]|sous-titre=Fondations pour l'informatique|lieu=Paris|éditeur=[[Vuibert]]|année=2003|numéro d'édition=2|pages totales=xiv+688|isbn=978-2-7117-4824-2}}, § 6.6 p. 309.

=== Articles connexes ===
* [[Généralisations de la suite de Fibonacci]]
* [[Liste de sujets en rapport avec Fibonacci#Pages mathématiques en rapport avec la suite de Fibonacci|Liste de pages en rapport avec la suite de Fibonacci]]
* [[Mot de Fibonacci]]
* [[Codage de Fibonacci]]
* ''[[The Fibonacci Association]]''

=== Liens externes ===
* {{mathworld|nom_url=FibonacciSequence|titre=Fibonacci Sequence}}
* {{mathworld|nom_url=FibonacciQ-Matrix|titre=Fibonacci Q-Matrix}}
* [http://framy.free.fr/fibonacci%20dans%20mandelbrot.htm Suite de Fibonacci et nombre d'or dans l'ensemble de Mandelbrot]
* [http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Fibonacc.htm Suite de Fibonacci dans le dictionnaire des nombres]
* {{Lien web|url=http://www.gecif.net/articles/mathematiques/nombre_d_or/|titre=Le nombre d'or|site=gecif.net|auteur=J.-C. Michel}}
* {{Lien web|lang=en|auteur=R. N. Knott|auteur2=the Plus Team|date=4/11/2013|url=http://pass.maths.org.uk/issue3/fibonacci/index.html|titre=The life and numbers of Fibonacci|site=plus.maths.org}}
* {{Lien web |auteur=[[Benoît Rittaud]] |titre=Les suites de Fibonacci aléatoires |url=https://www.dailymotion.com/video/x839eq5 |site=Daylymotion |éditeur=Universcience}}
* {{Autorité}}

{{Portail|analyse|mathématiques}}

[[Catégorie:Suite d'entiers|Fibonacci]]
[[Catégorie:Combinatoire]]
[[Catégorie:Nombre d'or]]
[[Catégorie:Suite de Fibonacci|*]]
{{Interwiki extra|qid=Q47577}}