Voir la source de Suite logistique

{{homon|Logistique (homonymie)}}
En [[mathématiques]], une '''suite logistique''' est une [[suite (mathématiques)|suite]] réelle simple, mais dont la [[relation de récurrence|récurrence]] n'est pas linéaire. Sa relation de récurrence est 
:<math>x_{n+1} = \mu\cdot x_n\cdot(1 - x_n), ~x_0\in [0; 1].</math>
Suivant la valeur du paramètre {{math|μ}} (dans [0; 4] pour assurer que les valeurs de {{math|''x''}} restent dans [0; 1]), elle engendre soit une suite convergente, soit une suite soumise à oscillations, soit une suite ''[[théorie du chaos|chaotique]]''.

Souvent citée comme exemple de la [[complexité]] de comportement pouvant surgir d'une relation non linéaire simple, cette suite fut popularisée par le biologiste [[Robert May]]<ref name="May">{{article|lang=en|nom1=May|prénom1=R. M.|année=1976|titre=Simple mathematical models with very complicated dynamics|périodique=Nature|volume=261|numéro=5560|pages=459–467|doi=10.1038/261459a0}}</ref> en [[1976 en science|1976]]. Une application de la suite logistique est la [[Modèle mathématique|modélisation]] de la taille d'une population biologique au fil des générations.

Elle est la solution [[Simulation à événements discrets|en temps discret]] du [[modèle de Verhulst]]. Le terme « logistique » provient de l'ouvrage de [[Pierre François Verhulst]] qui appelle [[courbe logistique]] la solution en temps continu de son modèle. Il écrit en 1845 dans son ouvrage consacré à ce phénomène : {{citation|Nous donnerons le terme de logistique à cette courbe}}. L'auteur n'explique pas son choix mais « logistique » a la même racine que [[logarithme]] et ''logistikos'' signifie « calcul » en grec<ref>{{en}} [http://rasch.org/rmt/rmt64k.htm Why logistic ogive and not autocatalytic curve?]</ref>.

== Comportement selon {{math|μ}} ==

Dans le modèle logistique, nous considérerons que la variable notée ici {{math|''x{{ind|n}}''}} désigne le rapport de la population d'une espèce sur la population maximale de cette espèce (c'est un nombre compris entre 0 et 1). En faisant varier le paramètre {{math|μ}}, plusieurs comportements différents sont observés :
* Cas {{math|0 ≤ µ ≤ 1}} : la population s'éteint. <br />L’espèce finira par mourir, quelle que soit la population de départ. Autrement dit, <math>\lim_{+\infty} x_n = 0</math>.
* Cas {{math|1 ≤ µ ≤ 3}} : l'effectif de la population se stabilise.
** Si {{math|1 ≤ µ ≤ 2}}, la population finit par se stabiliser autour de la valeur <math>\frac {\mu-1}{\mu}</math>, quelle que soit la population initiale. Autrement dit <math>\lim_{+\infty} x_n = \frac {\mu-1}{\mu}</math>.
** Si {{math|2 ≤ µ ≤ 3}}, elle finit également par se stabiliser autour de <math>\frac {\mu-1}{\mu}</math> après avoir oscillé autour pendant quelque temps. La vitesse de convergence est linéaire, sauf pour ''µ''=3 où elle est très lente.
* Cas {{math|3 < µ ≤ 3,57|§=<math> 3<\mu\leq \approx3{,}56 </math>}} : l'effectif de la population oscille entre 2, 4, 8… valeurs (liste des [[Puissance de deux|puissances de 2]]).
** Si {{math|3 < µ ≤ 1+√6}} (environ 3,45), elle finit par osciller entre deux valeurs, dépendantes de ''µ'' mais pas de la population initiale.
** Si {{math|3,45 < µ < 3,54}} (environ), elle finit par osciller entre quatre valeurs, là encore dépendantes de ''µ'' mais pas de la population initiale.
** Si {{math|µ}} est légèrement plus grand que 3,54, la population finit par osciller entre huit valeurs, puis 16, 32, etc. La largeur de l’intervalle des valeurs de ''µ'' conduisant au même nombre d’oscillations décroît rapidement. Le rapport des largeurs entre deux de ces intervalles consécutifs se rapproche à chaque fois de la [[constante de Feigenbaum]], δ = 4,669…. Aucun de ces comportements ne dépend de la population initiale.
* Cas {{math|3,57 ≤ µ}} : l'effectif de la population est [[Théorie du chaos|chaotique]], sauf exception.
** Vers {{math|µ{{=}} 3,57}}, le [[Théorie du chaos|chaos]] s’installe. Aucune oscillation n’est encore visible et de légères variations de la population initiale conduisent à des résultats radicalement différents.
** La plupart des valeurs au-delà de 3,57 présentent un caractère chaotique, mais il existe quelques valeurs isolées de ''µ'' avec un comportement qui ne l’est pas. Par exemple à partir de 1+√8 (environ 3,82), un petit intervalle de valeurs de ''µ'' présente une oscillation entre trois valeurs et pour ''µ'' légèrement plus grand, entre six valeurs, puis douze, etc. D’autres intervalles offrent des oscillations entre 5 valeurs, etc. Toutes les périodes d’oscillation sont présentes, là encore indépendamment de la population initiale.
** Au-delà de {{math|µ{{=}}4}}, le rapport de la population de l'espèce sur la population maximale quitte l’intervalle [0,1] et diverge quasiment pour toutes les valeurs initiales.

Les périodes d'oscillation précédemment décrites répondent à la règle suivante. Considérons l'[[théorème de Charkovski|ordre de Charkovski]] défini sur les [[Entier naturel|entiers strictement positifs]] de la façon suivante :
: <math>3 \;\triangleleft\; 5 \;\triangleleft\; 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2\times 3 \;\triangleleft\; 2\times 5 \;\triangleleft\; 2\times 7 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n\times 3 \;\triangleleft\; 2^n\times 5 \;\triangleleft\; 2^n\times 7 \;\triangleleft\; \ldots </math>
::<math>\;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 3 \;\triangleleft\; 2^{n+1}\times 5 \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^n \;\triangleleft\; 2^{n-1} \;\triangleleft\; \ldots \;\triangleleft\; 2^2 \;\triangleleft\; 2 \;\triangleleft\; 1</math>.
:Autrement dit, on place d'abord les impairs à partir de 3 par ordre croissant, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc. ; et on termine par les puissances de 2 par ordre décroissant. Si une valeur du paramètre ''µ'' correspond à une période d'oscillation ''n'', alors tous entiers succédant à ''n'' dans l'ordre de Charkovski correspondent à des périodes d'oscillation déjà apparues pour des valeurs du paramètre inférieures à ''µ''. Ainsi, puisque {{math|µ{{=}}3,82}} correspond à une période 3, toutes les périodes d'oscillation possibles sont déjà apparues pour des valeurs de ''µ'' entre 0 et 3,82.

Un [[diagramme de bifurcation]] permet de résumer graphiquement les différents cas :<br />
[[image:LogisticMap BifurcationDiagram.png|thumb|center|420px|L'axe horizontal porte les valeurs du paramètre ''µ'' (noté r), tandis que l'axe vertical montre les valeurs d'adhérence possibles.]]

== Commentaires ==

Quelques raisonnements simples et quelques graphiques permettent d'éclairer partiellement les résultats qui précèdent.

=== Graphiques ===
[[Image:Suite logistique construction.png|right|upright=1.5]]
L'évolution de la suite logistique peut être représentée dans le plan (''x<sub>n</sub>'', ''x''<sub>''n''+1</sub>).

L'équation de base représente une parabole qui passe par les points d'abscisses 0 et 1 sur l'axe horizontal. Pour que les valeurs de ''x''<sub>''n''+1</sub> ne deviennent pas négatives, il faut ne retenir que l'arc compris entre ces deux points ; celui-ci présente, pour ''x<sub>n</sub>'' = {{frac|1|2}}, un maximum de valeur {{frac|μ|4}}. Cette valeur doit aussi être comprise entre 0 et 1, d'où μ < 4.

Si la suite converge, sa limite satisfait l'équation lim ''x''<sub>''n''+1</sub> = lim ''x<sub>n</sub>''. Cette limite éventuelle, notée ''x'', est solution de l'équation du second degré 
: <math>x = \mu x(1-x)</math>
et peut donc prendre l'une ou l'autre des valeurs 
: <math>x = 0 ,   x = {1 - {1/\mu}}</math>
Pour décrire le comportement de la suite, il faut partir d'une abscisse ''x''<sub>0</sub>, déterminer sur la parabole la valeur ''x''<sub>1</sub> qui est alors transformée en une nouvelle abscisse en passant par la bissectrice ''x''<sub>''n''+1</sub> = ''x<sub>n</sub>'' et répéter ces deux opérations.

{{clr}}

=== Domaines de convergence ===
Pour certaines valeurs du paramètre μ, la suite se comporte comme une suite classique et converge vers l'une des deux limites possibles. L'équation de base peut se réécrire sous la forme
:<math>{x_{n+1}\over x_n} = \mu (1-x_n)</math>

Si <math>0 \le \mu < 1</math>, la suite est majorée par une [[suite géométrique]] qui tend vers 0.
Si <math>\mu = 1</math>, on peut montrer que <math>u_n \sim 1/n</math> quand <math>n</math> tend vers l'infini, et donc la suite <math>x_n</math> tend vers 0.

Pour voir le comportement vis-à-vis de la seconde limite éventuelle, il suffit d'effectuer le changement de variable ''x<sub>n</sub>'' = ''u<sub>n</sub>'' + 1 - 1/μ. La formule devient :
:<math>{{u_{n+1}+ 1 - 1/\mu}\over {u_n+ 1 - 1/\mu}} = 1-\mu u_n</math>

Dans ce cas, la condition de convergence exige que le second membre soit compris entre -1 et + 1 : <math>1 \le \mu \le 3</math>.

On vérifie que, si ''u<sub>n</sub>'' est proche de la limite 1 - 1/μ, alors 1-μ ''u<sub>n</sub>'' est proche de 2 - μ et ''u<sub>n</sub>'' tend vers sa limite par valeurs croissantes si μ est inférieur à 2, par valeurs alternées s'il est supérieur à 2.

<gallery heights="250px" widths="200px" mode="nolines">
Image:Suite logistique 095.png|μ = 0,95
Image:Suite logistique 160.png|μ = 1,60
Image:Suite logistique 280.png|μ = 2,80
</gallery>

=== Bifurcations ===

Dans le paragraphe précédent, la formule de récurrence de la forme ''x''<sub>''n''+1</sub> = ''f''(''x<sub>n</sub>'') a permis d'obtenir les premiers [[attracteur]]s en cherchant une limite éventuelle conforme à l'équation ''x'' = ''f''(''x'').

Lorsque μ devient supérieur à 3, il faut chercher une solution à l'équation ''x'' = ''f''(''f''(''x'')). Cela conduit à une équation du quatrième degré qui possède naturellement les racines déjà connues <math>0, 1-\frac{1}{\mu}</math> — mais ce ne sont plus des attracteurs — et la paire de nouvelles racines

{{centrer|<math>{1 \over 2} \left ({1 + \mu \over \mu} \pm {1 \over \mu} \sqrt{\mu^2 - 2 \mu - 3} \right )</math>}}

Il n'y a plus de convergence : un cycle-limite apparaît. Le résultat de l'itération bascule alternativement de l'une des deux dernières racines à l'autre : u<sub>n+1</sub> =u<sub>n-1</sub> tandis que u<sub>n+2</sub> =u<sub>n</sub>. Pour μ = 3.4, les valeurs approchées successives 0.84, 0.45, 0.84, 0.45, 0.84.... apparaissent.

Au-delà de la [[limite de stabilité]] de ce cycle, √6 + 1, deux nouvelles bifurcations se produisent, qui dépendent des solutions de x = f(f(f(f(x)))). Pour μ = 3.47, les valeurs successives sont de l'ordre de 0.47, 0.86, 0.40, 0.84, 0.47...

<gallery heights="250px" widths="200px" mode="nolines">
Image:Suite logicielle 340.png|μ = 3,40
Image:Suite logistique 347.png|μ = 3,47
</gallery>

=== Chaos ===

De bifurcation en bifurcation, les évolutions deviennent de plus en plus complexes. Le processus aboutit, pour μ > 3.57 environ, à des systèmes qui ne présentent généralement plus d'attracteurs visibles. Les graphiques représentent alors une évolution « chaotique » au sens usuel du terme.

Cependant, dans le langage des mathématiciens, le mot chaos représente une forte sensibilité aux conditions initiales. Les deux graphiques correspondant à μ = 3.9 avec des valeurs initiales ''u''<sub>0</sub> 0.100 et 0.101 montrent que les trajectoires s'éloignent l'une de l'autre jusqu'à devenir rapidement distinctes. Dans un problème concret les conditions initiales ne sont jamais connues exactement : au bout d'un certain temps, un phénomène chaotique est devenu imprévisible alors même que la loi qui le définit est parfaitement déterministe.

<gallery heights="250px" widths="200px" mode="nolines">
Image:Suite logistique 390 100.png|μ = 3,90 ; u{{ind|0}} = 0,1
Image:Suite logistique 390 101.png|μ = 3,90 ; u{{ind|0}} = 0,101
</gallery>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Annexes ==

=== Bibliographie ===
*{{Ouvrage|langue=fr|prénom1=Alain|nom1=Hillion|titre=Les Théories mathématiques des populations|lieu=Paris|éditeur=[[Presses universitaires de France]]|collection=[[Que sais-je]]|année=1986|pages totales=127|format=n°2258|isbn=2-13-039193-1}}
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Nicolas |nom1=Bacaër |titre=Histoires de mathématiques et de populations |lieu=Paris |éditeur=Éditions Cassini |collection=Le sel et le fer |année=2008 |pages totales=212 |isbn=978-2-84225-101-7 |bnf=420357297 |titre chapitre=Verhulst et l'équation logistique}}

=== Articles connexes ===
* [[Système dynamique]]
* [[Théorie du chaos]]
* [[Théorie ergodique]]
* [[Fractale de Liapounov]]
* [[Rétroaction]], [[Autorégulation]]

=== Liens externes ===
* {{en}} Elmer G. Wiens, [http://www.egwald.com/nonlineardynamics/logisticsmapchaos.php ''The Logistic Map and Chaos'']
* {{PDF}} Daniel Perrin, ''[https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP2.pdf La Suite logistique et le chaos]''
* {{fr}} [http://experiences.math.cnrs.fr/Diagramme-de-Bifurcation-de-l.html Expérience numérique interactive du diagramme de bifurcation de l'application logistique] http://experiences.math.cnrs.fr

{{Portail|analyse|physique}}

[[Catégorie:Suite de nombres|Logistique]]
[[Catégorie:Système dynamique remarquable]]
[[Catégorie:Théorie du chaos]]