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Le '''support d'une fonction''' ou d'une [[Application (mathématiques)|application]] est la partie de son [[ensemble de définition]] sur laquelle se concentre l'information utile de cette [[fonction (mathématiques)|fonction]]. Pour une [[fonction numérique]], c'est la partie du domaine où elle n'est pas nulle et pour un [[homéomorphisme]] ou une [[permutation]], la partie du domaine où elle n'est pas invariante.

== Support d'une fonction==
{{Ancre|Support d'une fonction continue}}
=== Définition ===
Soit <math>f</math> une [[fonction (mathématiques)|fonction]] à valeurs complexes, définie sur un [[espace topologique]] <math>X</math>.

''Définition<ref>{{Rudin}}, définition 2.9.</ref>'' : On appelle support de <math>f</math>, noté <math>\operatorname{supp}(f)</math>, l'[[adhérence (mathématiques)|adhérence]] de l'ensemble des points en lesquels la fonction ne s'annule pas.
:<math>
\operatorname{supp}(f) :=
\overline{\{x\in X \mid f(x)\ne 0\}}
</math>.

C'est donc une partie [[fermé (topologie)|fermée]] de ''X''.

=== Fonction à support compact ===

Les [[Continuité (mathématiques)|fonctions continues]] à support compact ont des propriétés souvent utiles.

* Les [[Fonction C∞ à support compact|fonctions C{{exp|∞}} à support compact]] sont utilisées pour construire des [[Suite régularisante|suites régularisantes]]. Celles-ci permettent, via un [[produit de convolution]], d'approcher une fonction donnée par une [[Suite et série de fonctions|suite de fonctions]] régulières.
* Soit <math>\Omega</math> un ouvert de <math>\R^n</math>. Les fonctions <math>C^{\infty}</math> à support compact sont denses dans l'[[Espace Lp|espace <math>\mathrm L^p(\Omega)</math>]] pour <math>1 \leqslant   p < \infty</math>. On peut donc penser à démontrer des propriétés des espaces <math>\mathrm L^p</math> en utilisant un argument de densité : on démontre d'abord la propriété sur les fonctions <math>C^{\infty}</math> à support compact et ensuite on passe à la limite.
* L'espace des fonctions <math>C^{\infty}</math> à support compact sur un ouvert <math>\Omega</math> de <math>\R^n</math>, est noté <math>C^{\infty}_c(\Omega)</math>. Mais certains auteurs utilisent d'autres notations comme <math>\mathcal D(\Omega)</math> ou <math>C^{\infty}_0(\Omega)</math>. En fait, les [[Distribution (mathématiques)|distributions]] sont définies comme étant les éléments du [[dual topologique]] de <math>C^{\infty}_c(\Omega)</math>, muni d'une topologie adéquate.
* Sur un [[espace métrique]], les fonctions continues numériques à support [[espace compact|compact]] sont [[continuité uniforme|uniformément continues]]. C'est le [[théorème de Heine]].

== Support essentiel d'une fonction mesurable ==
{{Ancre|Support d'une fonction mesurable}}
On veut définir le support essentiel d'une [[fonction mesurable]] <math>f</math> de telle façon qu'il ne dépende que de la [[Relation d'équivalence|classe d'équivalence]] des fonctions égales à <math>f</math> presque partout, c'est-à-dire sauf sur un [[Ensemble négligeable|ensemble de mesure nulle]].

=== Définition ===
Soit <math>\Omega</math> un ouvert de <math>\R^N</math> et <math>f:\Omega\to\Complex</math> une fonction mesurable.

''Proposition'' : On considère l'ouvert <math>\omega</math> de <math>\Omega</math> constitué des points au voisinage desquels <math>f=0</math> [[Ensemble négligeable#Le concept de « presque partout »|p.p.]]. Alors, <math>f=0 ~ p.p.</math> sur <math>\omega</math>.

{{Démonstration |contenu=
Soit <math>\left(\omega_n\right)</math> une [[Espace à base dénombrable|base dénombrable d'ouverts]] de <math>\Omega</math>. Pour tout <math>x\in\omega</math>, il existe un ouvert <math>\omega_{n_x}</math> de cette base tel que <math>f=0 ~ p.p.</math> sur <math>\omega_{n_x}</math>. Par σ-additivité de la [[Mesure (mathématiques)|mesure]], <math>f=0 ~ p.p.</math> sur <math>\cup_{x\in\omega}\omega_{n_x}=\omega</math>.
}}

''Définition'' : Le support essentiel de <math>f</math> est :
<math>
\operatorname{supp}_{\mathrm{ess}}(f) := {\Omega \setminus \omega}
</math>.

''Remarque'' : si <math>g=f~ p.p.</math> sur <math>\Omega</math>, grâce à la proposition ci-dessus, on constate que <math>
\operatorname{supp}_{\mathrm{ess}}(g) =
\operatorname{supp}_{\mathrm{ess}}(f)
 </math>
et donc le support essentiel d'une fonction mesurable est indépendant du représentant choisi.

=== Exemples ===
* Dans le cas d'une fonction continue, on vérifie aisément que le support essentiel coïncide avec le support {{supra|Support d'une fonction}}.
* Ce n'est plus nécessairement le cas si <math>f</math> n'est pas continue.
*:Par exemple, considérons la [[fonction de Dirichlet]] <math>1_{\Q}</math>, {{c.-à-d.}} la  [[fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction caractéristique]] de l'ensemble des [[Nombre rationnel|rationnels]]. Son support est <math>\R</math> mais son support essentiel est vide. En effet, comme la mesure de <math>\Q</math> dans <math>\R</math> est nulle, <math>1_{\Q}=0 ~ p.p.</math>.

=== Support d'un [[produit de convolution]]===
Les exemples les plus courants d'ensembles de fonctions mesurables sont les [[Espace Lp|espaces {{math|L{{exp|''p''}}}}]]. Plus exactement, tous les éléments d'un espace {{math|L{{exp|''p''}}}} sont des classes d'égalité presque partout de fonctions mesurables. 

''Proposition'' : Soient <math>f \in\mathrm L^p(\R^n)</math> et <math>g \in\mathrm L^q(\R^n)</math> avec <math>1\le\frac1p+\frac1q\le2</math>. Alors
:<math>
\operatorname{supp}(f * g) \subset
\overline{\operatorname{supp}(f )  +
\operatorname{supp}(g)} 
</math>

''Remarques'' :
*Le produit de convolution de deux fonctions à support compact est à support compact.
*En général, si l'un des supports seulement est compact, alors <math>f * g</math> n'est pas à support compact.

== Support d'une mesure ==
{{Article détaillé|Support d'une mesure}}

Le support d'une [[mesure borélienne]] (positive) sur un [[espace topologique]] est, par définition, l'intersection de tous les [[Fermé (topologie)|fermés]] de mesure pleine (c'est-à-dire dont le complémentaire est de mesure nulle). Certains auteurs complètent cette définition par une condition supplémentaire destinée à éviter quelques exemples pathologiques.

Sous des conditions assez couramment remplies (espace topologique [[Espace à base dénombrable|à base dénombrable]] ou [[mesure régulière|régularité de la mesure]] notamment), c'est le complémentaire du [[plus grand élément|plus grand]] [[ouvert (topologie)|ouvert]] de mesure nulle.

== Support d'une distribution ==

=== Définition ===
Soit <math>\Omega</math> un ouvert  de <math>\R^n</math> et <math>T \in \mathcal{D}'(\Omega)</math> une   [[Distribution (mathématiques)|distribution]].
On dit que <math>T</math> est nulle sur un ouvert <math>U\subset\Omega</math> lorsque, pour toute [[fonction test]] <math>\phi\in\mathcal D(\Omega)</math> dont le support (comme précédemment défini) est inclus dans <math>U</math>, on a <math>\langle T,\phi \rangle = 0</math>.

''Définition'' : On appelle support d'une distribution <math>T</math> sur <math>\Omega</math> le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel <math>T</math> est nulle. On le note <math>\operatorname{supp}(T)</math>.

''Remarque'' : Le support est bien défini, car si une distribution est nulle sur chacun des ouverts d'une famille, elle est nulle sur leur réunion ; son support est donc le complémentaire de la réunion de tous les ouverts sur lesquels elle est nulle.

=== Exemples ===
* Si <math>T</math> est une fonction continue, alors le support ici défini est identique aux supports introduits précédemment pour les fonctions continues.
* Si <math>T</math> est une  [[Mesure (mathématiques)|mesure]] ou une [[mesure de probabilité]], le support ici défini est identique à celui précédemment défini pour les mesures.
* Si <math>\alpha \in \N^p</math> est un [[multi-indice]], la distribution <math>D^{\alpha} \delta_a</math> obtenue par différentiation de la [[mesure de Dirac]] au point <math>a</math>, a un support réduit au point <math>a</math>.

=== Support singulier d'une distribution ===
Intuitivement, le '''support singulier''' d'une distribution peut être compris comme l'ensemble des points où la distribution ne peut pas être une identifiée à une fonction. Il s'agit là d'une notion différente de celle introduite jusqu'à présent.

''Définition'' : On appelle support singulier d'une distribution <math>T</math>, et on note : <math>
\operatorname{supp ~ sing}(T) </math> le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel <math>T</math> est une fonction <math>C^{\infty}</math>.

''Exemple'' : <math>
\operatorname{supp ~ sing}( vp \frac{1}{x})
=  \left\{ 0 \right\}
</math> 
où la distribution <math>
 vp ~ \frac{1}{x}
</math>
est définie par <math>
vp ~ \frac{1}{x} ( \phi )=
\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\left| x \right|  > \epsilon} \frac{\phi(x)}x\,\mathrm dx
</math> pour toute fonction <math>\phi \in \mathcal D(\Omega)</math>. Ici '''<math>
vp </math>''' désigne la [[valeur principale de Cauchy]].

Pour les distributions de plusieurs variables, le support singulier permet de définir  des [[front d'onde|fronts d'ondes]] et de comprendre le [[principe de Huygens]] en termes d'[[analyse mathématique]].

La notion de support singulier permet d'expliquer l'impossibilité de multiplier des distributions : en gros, pour que la multiplication de deux distributions soit possible, il faut que leurs supports singuliers soient disjoints.

== Support d'un champ de vecteurs ==

En [[géométrie différentielle]], pour un [[champ de vecteurs]] ''X'' (sur un ouvert de <math>\R^n</math> ou sur une variété) est l'adhérence des points ''x'' en lesquels ''X''(''x'') est nul. Le champ ''X'' engendre un flot à un paramètre de difféomorphismes ''g''<sub>''t''</sub> défini au moins localement. Le flot est globalement défini si le champ ''X'' est à support compact. Pour ''t'' non nul suffisamment petit, le support de ''g''<sub>''t''</sub> est exactement le support de ''X''.

== Support d'un homéomorphisme ==

En [[topologie]], un [[homéomorphisme]] ''f'' de ''X'' sur ''X'' est une [[bijection]] continue et d'inverse continu. Son support est l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels ''f''(''x'') diffère de ''x''. En particulier, en [[géométrie différentielle]] et en [[systèmes dynamiques]], on peut s'intéresser aux difféomorphismes à support compact. Le mot ''[[difféomorphisme]]'' prend sens ici, et est un cas particulier d'homéomorphisme.

== Support d'une permutation ==

En  [[Combinatoire|analyse combinatoire]], le support d'une [[permutation]] est le complémentaire de l'ensemble de ses points fixes. Par exemple, toute permutation sur un [[ensemble fini]] se décompose de manière unique comme produit de cycles à supports disjoints.

''Remarque'' : En munissant l'ensemble sur lequel opère la permutation de la [[topologie discrète]], on peut considérer la permutation comme un homéomorphisme et alors les deux définitions du support coïncident.

== Support d'une suite ==
Il arrive (particulièrement dans l'étude des [[Famille sommable|familles sommables]]) que l'on s'intéresse à des [[Famille (mathématiques)|familles]] (de nombres, de vecteurs, etc.) indexés par des ensembles non dénombrables ; les concepts utiles (somme d'une série, etc.) n'ayant de sens que pour des ensembles finis ou dénombrables, on définit le support de la famille comme l'ensemble des indices où elle est non nulle.

==Référence==
{{Références}}

==Bibliographie==
*{{Brezis}}
*[[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]], ''Théorie des distributions'', Hermann, 1978
* {{en}} [[Kōsaku Yosida]], ''[https://books.google.fr/books?id=QqNpbTQwKXMC&printsec=frontcover Functional Analysis]'', [[Academic Press]], 1968

{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Analyse fonctionnelle]]
[[Catégorie:Topologie]]
[[Catégorie:Théorie de la mesure]]
[[Catégorie:Permutation]]