Voir la source de Surface (physique)

{{Voir homonymes|Surface}}
{{Confusion|texte = Ne pas confondre avec la notion d'[[aire (géométrie)|aire]] ou de [[superficie]], voir [[surface, aire et superficie]].}}
{{Infobox Grandeur physique
| nom            = Surface
| image          = Saddle point2-sm.png
| légende        = 
| unités         = [[mètre carré]]
| autres unités  = 
| symbole        = s ou S ou Σ
| unités de base = 
| dimension      = <math>L^2</math>
| extensive      = oui
| intensive      = 
| conservative   = 
| nature         = scalaire
| expressions    = <math>{\vec{\mathrm d^2S}\over\mathrm du\,\mathrm dv} = {\vec{\partial P}\over\partial u}\wedge{\vec{\partial P}\over\partial v} </math>
}}
En [[physique]], une '''surface''' est une étendue géométrique à deux dimensions, sur laquelle il est localement possible de se repérer à l'aide de deux [[système de coordonnées|coordonnées]] [[Nombre réel|réelles]], comme dans le [[plan (mathématiques)|plan]] (avec l'[[abscisse]] et l'[[ordonnée]]) ou sur une [[sphère]] (avec la  [[latitude]] et la [[longitude]]). Une surface apparaît généralement comme une [[Science des surfaces|interface]] entre deux milieux, ou entre l'intérieur et l'extérieur d'un système physique, supportant une [[distribution surfacique]] d'un [[champ scalaire]], ou à travers laquelle passe un [[flux (physique)|flux]] d'un [[champ vectoriel]]. Le [[phénomène physique]] analysé se rapporte alors localement à un '''élément de surface''' à caractère vectoriel. La '''surface''' est également une [[grandeur physique]], qui mesure globalement l'étendue géométrique de cette interface, le plus souvent sous forme d'une intégrale double. Cette [[grandeur physique]] a alors un caractère scalaire extensif.

== Grandeur physique ==

=== Surface élémentaire ===

Une surface en physique peut généralement être paramétrée par deux paramètres indépendants {{mvar|u}} et {{mvar|v}}. Pour tout point <math>\mathrm M(u,v)</math> appartenant à cette surface, le [[vecteur position]] <math>\overrightarrow\mathrm{OM}</math> (où {{math|O}} désigne une origine fixe quelconque) a pour [[différentielle]] :
:<math>\mathrm{d\,\overrightarrow{OM}}=\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial u}\right)\mathrm du+\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial v}\right)\mathrm dv</math>.
Les vecteurs <math>(\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}/\partial u)</math> et <math>(\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}/\partial v)</math>, indépendants [[Ensemble négligeable#Le concept de « presque partout »|presque partout]], définissent le [[plan tangent]] à la surface en {{math|M}}. Une variation élémentaire <math>(\mathrm du,\mathrm dv)</math> des deux paramètres forme l''''élément de surface''' (ou '''surface élémentaire''') <math>\overrightarrow{\mathrm d^2S}</math> (ou simplement <math>\overrightarrow{\mathrm dS}</math> si l'on na pas besoin de rappeler que deux variables varient indépendamment), vecteur défini par :
:<math>\overrightarrow{\mathrm d^2S}=\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial u}\right)\wedge\left(\frac{\partial\,\overrightarrow\mathrm{OM}}{\partial v}\right)\,\mathrm du\,\mathrm dv</math>.

Le module d'un vecteur position s'exprimant en [[mètre]]s (m), celui d'un élément de surface s’exprime en [[mètre carré|mètres carrés]] (m{{2}}). Sur le plan de sa [[grandeur d'orientation]], la surface élémentaire est un [[pseudovecteur]], donc de dimension {{dimension|m=2|o=y}}.

=== Intégrale et distribution de surface ===

{{voir|Intégrale de surface}}

L'analyse d'un système physique caractérisé par une surface conduit fréquemment à étudier la [[distribution surfacique]] d'une certaine grandeur physique ''X''. Dans le cas, la surface considérée est normalement une surface matérielle, limite d'un corps physique ou interface entre deux milieux.

Une telle distribution correspond à la [[dérivée partielle]] de cette grandeur physique par rapport à l'[[élément de surface]], c'est la limite de la valeur observée sur une certaine partie S de la surface, divisée par l'aire de cet élément, lorsque le diamètre de cet [[élément de surface]] tend vers zéro :
:<math>{\partial X\over\partial S} = \lim_{\phi S\rightarrow0} { \langle X|S\rangle \over S}</math>
Si la grandeur physique ''X'' a pour dimension [X], sa distribution surfacique sera exprimée en [X].m<sup>-2</sup>.

Inversement, si c'est la distribution surfacique ''Y'' d'une certaine grandeur ''X'' qui est connue, l'intégrale de surface sur une certaine région correspond à la quantité de ''X'' présente sur cette région :
:<math>\int_S Y.\mathrm dS = \langle X|S\rangle \qquad</math> avec <math>\quad \mathrm dS = \|\overrightarrow{\mathrm dS}\| </math>
Si la grandeur physique ''Y'' a pour dimension [Y], son intégrale surfacique sera exprimée en [Y].m<sup>2</sup>. Le résultat d'une intégrale de surface est une grandeur additive, dans le sens où l'intégrale sur une surface partitionnée est la somme des intégrales sur chaque partie.

Une intégrale de surface porte souvent sur une grandeur scalaire, mais ce n'est pas une nécessité : par exemple, une [[Portance (aérodynamique)|portance]] est l'intégrale de surface (sur une aile) d'une distribution vectorielle de force.

=== Aire d'une surface ===

L'intégrale de surface se fait par rapport à la norme du vecteur [[élément de surface]].

En particulier, l'aire d'une surface donnée est l'intégrale surfacique de la fonction unité :
:<math>S = \int_S \mathrm dS </math>

Il convient de noter que si une surface élémentaire est un pseudovecteur défini pour chaque point (donc une grandeur intensive), l'aire d'une surface est au contraire un scalaire défini pour l'ensemble du système physique considéré, donc un scalaire extensif (de dimension {{dimension|m=2|o=0}}).

== Surfaces et limites ==

=== Flux ===

{{voir|flux (physique)}}

L'analyse d'un [[champ vectoriel]] d'une [[grandeur physique]] conduit fréquemment à en considérer le [[flux (physique)|flux]] à travers une certaine surface. Dans ce cas, la surface considérée n'est pas nécessairement une surface matérielle, mais peut également représenter une frontière arbitraire.

Le flux d'un champ vectoriel <math>\vec X</math> à travers une surface ''S'' est l'intégrale sur cette surface du [[produit scalaire]] des deux vecteurs. En termes d'intégrale de surface, c'est l'intégrale au sens précédent de la projection du champ vectoriel sur la normale à la surface :
:<math>\Phi_S = \int_S \vec X\cdot\overrightarrow{\mathrm dS} = \int_S X.\cos(\vec X,\overrightarrow{\mathrm dS}).\mathrm dS</math>
Si la grandeur physique vectorielle ''Y'' a pour dimension [Y], son flux sera exprimée en [Y].m<sup>2</sup>. En ce qui concerne la [[grandeur d'orientation]] associée, si la grandeur physique initiale est un vecteur d'orientation {{dimension|o=x}}, son produit par l'[[élément de surface]] d'orientation {{dimension|o=y}} donnera une grandeur physique d'orientation {{dimension|o=z}}, c'est-à-dire un [[pseudoscalaire]].

=== Théorème du rotationnel ===

{{voir|Rotationnel|Nabla|Théorème du rotationnel}}

Le champ vectoriel <math>\scriptstyle \vec X</math> étudié peut fréquemment être analysé comme étant le [[rotationnel]] (schématiquement, la « dérivée ») d'un champ vectoriel <math>\scriptstyle \vec Y</math> (qui schématiquement est sa « primitive »). Dans ce cas, le [[théorème du rotationnel]] relie l'intégrale volumique de <math>\scriptstyle \vec X</math> à une intégrale de surface de sa « primitive » sur la frontière ''S'' de ce volume ''V'' :
:<math>\iiint_V \vec X.\mathrm dV = \iint_S \vec Y\wedge\overrightarrow{\mathrm dS}\qquad</math> avec <math>\quad \vec\nabla\wedge\vec Y=\vec X</math>

Dans cette même configuration, le même théorème relie le flux du champ <math>\scriptstyle \vec X</math> à travers une surface ''S'' à la circulation de <math>\scriptstyle \vec Y</math> le long de la courbe limite ''C'' de cette surface :
:<math>\iint_S \vec X\cdot\overrightarrow{\mathrm dS} = \oint_C \vec Y\cdot\overrightarrow{\mathrm d\ell}\qquad</math> avec <math>\quad \vec\nabla\wedge\vec Y=\vec X</math>

=== Convention d'orientation ===

Les intégrales de surface précédentes permettent en particulier de calculer la surface et le volume d'objets physiques. Cependant, ces deux [[grandeurs physiques]] sont des grandeurs essentiellement positives, alors que la surface élémentaire est un [[pseudovecteur]]. Si ces formules sont appliquées sans correction conventionnelle, on obtiendra alors des surfaces ou des volumes susceptibles de prendre des valeurs négatives, suivant le choix du repère, au lieu d'être par convention toujours positif.

Pour cette raison, on convient que dans le cas d'une surface fermée délimitant un volume, l'orientation d'une surface élémentaire est toujours prise dirigée vers l'extérieur.

== Classification topologique ==

Une surface peut ainsi être un domaine du plan, délimité par un contour plus ou moins régulier comme un [[polygone]], un [[cercle]] ou d'autres [[courbe plane|courbes]]. Mais il est aussi possible de définir des surfaces comme sous-variétés de l'[[géométrie dans l'espace|espace à trois dimensions]] (ou plus), notamment comme ensemble de solutions d'un [[système d'équations]] pour lequel il y a deux inconnues de plus que d'équations.

Certaines surfaces sont des figures classiques de la géométrie du plan ([[triangle]]s et autres [[polygone]]s, [[disque (géométrie)|disques]], [[anneau (géométrie)|anneaux]]…) ou de l'espace (sphères, [[cylindre]]s, [[ellipsoïde]]s et autres [[quadrique]]s, [[tore]]s, [[ruban de Möbius]]…) tandis que d'autres ne peuvent être plongées dans l'espace à trois dimensions, soit pour des raisons géométriques comme pour le [[demi-plan de Poincaré]], soit pour des raisons topologiques comme pour le [[plan projectif]] ou la [[bouteille de Klein]].

Parmi les surfaces de l'espace à trois dimensions, certaines sont obtenues par rotation d'une courbe autour d'un axe, ce qui fournit entre autres des formules permettant d'évaluer leur aire.
{{Article détaillé|Surface de révolution}}
Une [[surface réglée]] est une surface obtenue comme réunion d'un ensemble de droites, comme les cylindres ou les [[hyperboloïde]]s à une nappe.

Les surfaces [[Espace compact|compactes]] [[Espace connexe|connexes]] peuvent être classifiées [[topologie|topologiquement]] par trois invariants :
* leur [[Orientation (mathématiques)#Orientabilité et orientation pour une variété|orientabilité]] ;
* leur [[Genre (mathématiques)#Surface close|genre]] ;
* le nombre de [[Connexité (mathématiques)#Composantes connexes|composantes]] de leur bord.

== Conversion des unités ==

{| class=wikitable
|- valign=top
! scope=row | unité de mesure !! [[millimètre carré|mm{{exp|2}}]] !! [[centimètre carré|cm{{exp|2}}]] !! [[décimètre carré|dm{{exp|2}}]] !! [[mètre carré|m{{exp|2}}]]<br />[[centiare|ca]] !! [[décamètre carré|dam{{exp|2}}]]<br />[[are|a]] !! [[hectomètre carré|hm{{exp|2}}]]<br /> [[hectare|ha]] !! [[kilomètre carré|km{{exp|2}}]]
|-
| scope=row | équivalent en mètres carrés || 0,000 001 m{{exp|2}}|| 0,000 1 m{{exp|2}} || 0,01 m{{exp|2}} || 1 m{{exp|2}} || 100 m{{exp|2}} || 10 000 m{{exp|2}} || 1 000 000 m{{exp|2}} 
|}

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
{{Colonnes|nombre=3|
* [[Surface (géométrie analytique)]]
* [[Surface minimale]]
* [[Courbe tracée sur une surface]]
* [[Intégrale de surface]]
* [[Géométrie différentielle des surfaces]]
* [[Surface algébrique]]
* [[Aire (géométrie)]]
* [[Surface spécifique]]
* [[Surface idéale]]
* [[Surface alaire]]
* [[Surface (logement)]]
* [[Unités de superficie courantes]]
* [[Liste des pays et territoires par superficie|Liste des pays par superficie]]
* [[État de surface (mécanique)|État de surface]]
}}

=== Liens externes ===
{{Lien web|lang=en|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/2-manifolds|titre=2-manifolds|site=Manifold Atlas}}

{{Portail|physique|géométrie}}

[[Catégorie:Surface| ]]
[[Catégorie:Métrologie]]