Voir la source de Système bielle-manivelle

{{à sourcer|date=avril 2019}}
Le '''système bielle-manivelle''' est un assemblage [[mécanisme|mécanique]] qui tire son nom des deux [[Pièce mécanique|pièces mécaniques]] qui le constituent : la [[Bielle (mécanique)|bielle]] et la [[manivelle]]. Ce dispositif réalise la transformation du mouvement linéaire alternatif de l'extrémité de la bielle en un mouvement de rotation continu disponible sur la manivelle ([[Vilebrequin (moteur)|vilebrequin]]), et vice-versa.

Apparu dans l’[[Empire romain]] ([[scierie de Hiérapolis]]), il constitue une [[innovation]] majeure complétant les cinq [[machine simple|machines simples]] héritées des mécaniciens grecs. Sa cinématique, apparemment simple, cache une fonctionnalité technologique de première importance utilisée très couramment dans de nombreux mécanismes : moteur, pompe, scie, barrière automatique{{etc.}}

Au {{s|XVIII}} on l'utilise dans des dispositifs simples pour transformer l’énergie musculaire en [[Cinématique|mouvement]] rotatif (rouet). Au {{s|XIX}} apparait une nouvelle utilisation avec les [[Machine à vapeur|machines à vapeur]]. Aujourd'hui, il reste la solution technique couramment mise en œuvre dans les [[moteur à piston|moteurs à piston]] pour réaliser la variation cyclique de volume dans la [[chambre de combustion]].

<!--Images en fin d'intro = en face de la table des matières -->
[[Fichier:Cshaft.gif|vignette|Animation d'un ''système bielle-manivelle'' d'un moteur à quatre cylindres.]]

== Histoire ==
[[Fichier:Römische Sägemühle.svg|vignette|Schéma de la [[scierie de pierre de Hiérapolis]], la plus ancienne machine connue utilisant un système de [[Bielle (mécanique)|bielles]] et [[manivelle]]s.]]
Les systèmes bielle-manivelle semblent connus par les Romains dès la fin du {{s-|III}}. Ce mécanisme semble avoir été utilisé dans la [[scierie de Hiérapolis]]<ref name="Grewe 2009">{{pdf}} {{article |langue=de |auteur1=Klaus Grewe |directeur1= Martin Bachmann |titre=Die Reliefdarstellung einer antiken Steinsägemaschine aus Hierapolis in Phrygien und ihre Bedeutung für die Technikgeschichte. Internationale Konferenz 13.−16. Juni 2007 in Istanbul |périodique=Bautechnik im antiken und vorantiken Kleinasien |lire en ligne=http://www.freundeskreis-roemerkanal.de/Text/BAUTECHNIK%20IM%20ANTIKEN%20UND.pdf |série=Byzas |volume=9 |éditeur=Ege Yayınları/Zero Prod. Ltd.  |lieu=Istanbul |année=2009 |isbn=978-975-807-223-1 |passage=429–454 (429)}}</ref>{{,}}<ref name="Ritti, Grewe, Kessener 2007">{{article |langue=en |auteur1=Tullia Ritti |auteur2=Klaus Grewe |auteur3=Paul Kessener |année=2007 |titre=A Relief of a Water-powered Stone Saw Mill on a Sarcophagus at Hierapolis and its Implications |périodique=Journal of Roman Archaeology |volume=20 |passage=138–163 (161)}}</ref>{{,}}<ref name="Grewe 2010">{{article |langue=es |auteur1=Klaus Grewe |titre=La máquina romana de serrar piedras. La representación en bajorrelieve de una sierra de piedras de la antigüedad, en Hierápolis de Frigia y su relevancia para la historia técnica |traducteur=Miguel Ordóñez |série=V Congreso de las Obras |périodique=Las técnicas y las construcciones de la Ingeniería Romana |lire en ligne=http://www.traianvs.ne/pdfs/2010_15_grewe.pdf |année=2010 |passage=381–401}}</ref>, ainsi que dans deux scieries du {{s|VI}} découvertes à [[Éphèse]] et [[Jerash]]. Il convertit le mouvement de rotation de la roue hydraulique en un mouvement linéaire entraînant les scies. Ces scieries sont les plus anciennes machines connues à associer une bielle à une manivelle<ref name="Grewe 2009"/>{{,}}<ref name="Ritti, Grewe, Kessener 2007"/>{{,}}<ref name="Grewe 2010"/>.

Les concepteurs de l'époque pour corriger les arrêts possibles sur les deux points morts qui peuvent bloquer le système, associent un [[volant d'inertie]] à l'axe de rotation. C'est un volant constitué d'une roue ou de barres en équerre munies de masses et qui régule la vitesse de rotation du système. Cette innovation est en fait l'ancêtre du [[régulateur à boules]].

Le système bielle-manivelle est redécouvert au {{s-|XV}}. Un manuscrit anonyme, daté d’approximativement [[1430]], dit ''[[Croisades contre les Hussites|Anonyme de la guerre hussite]]''<ref name=Gille>{{Ouvrage |langue=fr |auteur1=[[Bertrand Gille (historien)|Bertrand Gille]] |titre=Les ingénieurs de la Renaissance |sous-titre=Thèse Histoire |lieu=Paris |éditeur=[[Éditions du Seuil|Seuil]] |collection=Points Sciences |année=1960, 1978 |pages totales=282 |isbn=978-2-02-004913-9 |isbn2=2-02-004913-9}}</ref>, contient plusieurs dessins de moulins à bras qui sont la première représentation figurée certaine de ce mécanisme : on y distingue parfaitement les bielles manœuvrées à bras, et les manivelles.

À la fin du Moyen Âge, le système bielle-manivelle constitue les prémisses d’un nouveau machinisme, d’abord de petite taille avec les machines à pédales qui libèrent la main de l’ouvrier, comme le [[Tour (outil)|tour]], la meule ou le [[Rouet (outil)|rouet]] (1470). L’interdiction de ce dernier, longtemps inscrite dans les règlements de [[corporation]]s<ref name=Gille/>, montre combien cette innovation est pertinente parce que déstabilisante du point de vue de l'organisation du travail. Viennent ensuite des machines de plus grande taille, actionnées par les roues des [[moulin]]s, comme la scie hydraulique ([[Francesco di Giorgio Martini]]), la [[Pompe à bras#Principe|pompe aspirante et foulante]] ({{s-|XVI}}) ou le marteau hydraulique ([[Martinet (industrie)|martinet]]) qui permet de forger des pièces de grandes dimensions.

Au {{s|XIX}} apparait une nouvelle utilisation avec les [[Machine à vapeur|machines à vapeur]] et son essor sera fulgurant à travers le monde.

<gallery caption="Différentes utilisations" mode="packed">
Encyclopedie volume 3-110.png|Moulin à bras.
Encyclopedie volume 3-116.png|Rouet à pédale.
Encyclopedie volume 4-232.png|Machines à couper et à polir le verre.
Perpetuum mobile villard de honnecourt.jpg|Volants d'inertie visibles sur un dessin de [[Villard de Honnecourt]] ({{s-|XIII}})
Hausbuch Wolfegg 48v Mühle.jpg|[[Meule à grains|Moulin à grains]] (après 1480).
Fotothek df tg 0006690 Mechanik ^ Wasserförderung ^ Pumpe.jpg|Pompe hydraulique (1661)
Alexandre-Gabriel Decamps 003.jpg|''Le rémouleur'' (1840) [[Alexandre-Gabriel Decamps]].
</gallery>

== Exemples d'applications ==
Quelques exemples de systèmes :
* les [[Architecture des moteurs à pistons|moteurs à piston]] (la manivelle est alors réceptrice) : la source d'énergie vient de l'explosion des gaz introduits dans la chambre et poussant le piston ;
* les [[pompe]]s hydrostatiques (la manivelle est alors motrice) : un couple moteur appliqué à la manivelle anime l'ensemble, le piston propulse alors le fluide contenu dans la chambre ;
* les mécanismes d'ouverture de certaines {{lien|texte=barrières automatiques|trad=Boom barrier|fr=barrière automatique}} ([[péage]]s ou [[parking]]) : l'intérêt du dispositif réside dans le fait que le moteur animant le mécanisme tourne dans le même sens pour la levée ou la descente de la lisse, à l'instar des mécanismes d’essuie-glace. La manivelle effectue exactement un demi-tour pour chaque mouvement ;
* les [[automate]]s ludiques des vitrines décorées des [[grands magasins]] : toutes les pièces animées d'un mouvement alternatif sont entraînées par des [[moteur électrique|moteurs électriques]] tournant en continu ; simplicité et effet garanti.

<gallery mode="packed" caption="Différents exemples d'utilisation">
Triebwerk Lok S 2 6.JPG|Embiellage multiple de locomotive à vapeur
moteur_plan.jpg|Moteur thermique à piston. <br>''Piston(rouge), bielle(bleu) et vilebrequin (vert)''.
tringlerie_voiture_pedales.jpg|Entrainement de voiture d'enfant.<br> ''Manivelle (jaune) et biellettes en (bleu)''
Singer sewing machine.jpg|Pédalier sur machine à coudre.
</gallery>

== Description et terminologie ==
[[Fichier:Sys Bielle-manivelle graphe des liaisons.jpg|vignette|Graphe des liaisons {*}]]
Le système bielle-manivelle permet la '''transformation du mouvement''' linéaire de l'extrémité de la bielle en un mouvement de rotation continu disponible sur la manivelle ([[Vilebrequin (moteur)|vilebrequin]]), et réciproquement. Il est constitué de 4 pièces principales :
* le [[bâti]] (1).
* la [[manivelle]] (2), appelée aussi [[Vilebrequin (moteur)|vilebrequin]] sur les moteurs,
* la [[bielle (mécanique)|bielle]] (3),
* L'[[effecteur]] (4) : [[Piston (mécanique)|piston]], levier, pédale suivant les cas,

Le système est très généralement complété par un [[volant d'inertie]] stabilisant la vitesse de rotation de la manivelle.
[[Fichier:Steam engine in action.gif|vignette|Machine à vapeur, la biellette est reliée à un piston assujetti à une trajectoire rectiligne]]
[[Fichier:Halfrotate400.gif|vignette|Mouvement de demi-rotation, la biellette est reliée à une autre manivelle]]
La manivelle et l'effecteur constituent les deux pièces d''''entrée-sortie''' du mécanisme.

* La manivelle est dite '''motrice''', quand elle ''entraine'' le système - elle fournit l'énergie au système : cas du rouet, de la scie sauteuse, de la pompe hydraulique, etc.
* La manivelle est dite '''réceptrice''', quand elle ''est entrainée par '' le système - elle reçoit l'énergie du système : cas du moteur à piston.

La manivelle (motrice ou réceptrice) est animée d'un [[mouvement de rotation]] continue, alors que l'effecteur est animé d'un mouvement linéaire alternatif, rectiligne ou pas. La bielle est munie de deux articulations, d'un côté à la manivelle, et de l'autre à l'effecteur.
Suivant le type de liaison imposé à l'effecteur, le système réalise les conversions de mouvement suivantes :

'''Rotation continue <math>  \Leftrightarrow</math> mouvement rectiligne alternatif.'''

C'est le cas où l'extrémité de bielle est fixée à un piston mobile dans un cylindre ou plus généralement à une liaison glissière. L'extrémité de bielle décrit un segment de droite. Exemples :
* sens ''moteur'' : moteur thermique, machine à vapeur.
* sens ''récepteur'' : pompe hydrostatique, compresseur, machine à scier, [[machine à coudre]] (mouvement de l'aiguille), machine à perforer.

'''Rotation continue <math>  \Leftrightarrow</math> rotation alternative.'''

C'est le cas où l'extrémité de bielle est liée à une autre manivelle, une pédale ou un bras articulé.
L'extrémité de bielle décrit un segment de courbe circulaire. Exemples :
* sens ''moteur'' : dispositif à pédale, voiture d'enfant, machine à coudre (entrainement), rouet.
* sens ''récepteur'' : pompe rotative alternative, essuie-glace, barrière automatique, griffe d'entrainement.
et plus généralement tout [[mécanisme à quatre barres]]

== Modélisation cinématique ==
[[Fichier:Sys Bielle-manivelle Schema cinématique RT.jpg|vignette|Schéma cinématique <br> ''Moteur à piston''<br>Transformation '''rotation en translation''']]
[[Fichier:Sys Bielle-manivelle Schema cinématique RR.jpg|vignette|Schéma cinématique <br> ''Barrière automatique''<br>Transformation '''rotation en rotation''']]
{{Article connexe|Modélisation cinématique des mécanismes}}
Le mécanisme bielle-manivelle comporte un [[nombre cyclomatique]] égal à 1, et présente une mobilité utile. Le tableau ci-dessous répertorie les principales solutions [[cinématique]]s en indiquant le type de chaque [[liaison mécanique]], les degrés d'[[hyperstatisme]] et de mobilité.

{| class="wikitable"
! Exemple
! Liaison O 1/2
! Liaison A 2/3
! Liaison B 3/4
! Liaison C 4/1
! Mobilité Mc
! Hyperstatisme
-Ms
|-bgcolor="#EFEFEF"
| 
| colspan="6"| '''Trans formation : rotation continue <math>  \Leftrightarrow</math> mouvement rectiligne alternatif.'''
|-----
| Moteur pompe classique
| Pivot (5)
| Pivot (5)
| Pivot glissant (4)
| Pivot glissant (4)
| 1
| 1
|-
| Piston de section oblongue
| Pivot (5)
| Pivot (5)
| Pivot glissant (4)
| Glissière (5)
| 1
| 2
|-----
| Machine vapeur<br>(bielles très longues)
| Pivot (5)
| Pivot (5)
| Pivot (5)
| Pivot glissant (4)
| 1
| 2
|-
| Piston de forme ovalisée ou jeu
| Pivot (5)
| Pivot (5)
| Pivot glissant (4)
| Linéaire annulaire (3)
| 1
| 0
|-----
| autre combinaison admissible
| Pivot (5)
| Pivot glissant (4)
| Rotule(3)
| Pivot glissant(3)
| 2
| 0
|-bgcolor="#EFEFEF"
| 
| colspan="6"| '''Transformation : rotation continue <math>  \Leftrightarrow</math> Rotation alternative.'''
|-----
| Barrière automatique <br> Essuie glace
| Pivot (5)
| Pivot (5)
| Pivot glissant(4)
| Pivot (5)
| 1
| 2
|-----
| Pédalier d'entrainement
| Pivot (5)
| rotule (3)
| rotule (3)
| Pivot (5)
| 2
| 0
|}
{*} La liaison éventuelle avec le volant d'inertie, s'il est présent, est une liaison encastrement.

== Équations horaires ==
On considère ici que le système bielle-manivelle est dans la configuration où la liaison de l'extrémité de la bielle est une liaison glissière (cas des moteurs et pompes) ; que le mécanisme est un mécanisme plan et que l'axe du piston croise l'axe de la manivelle (axes concourant). La géométrie, suivant le schéma ci-contre, est décrite par :
* le rayon R = OA de la manivelle,
* la longueur L = AB de la bielle,
* la distance entre le point O et la droite de déplacement du point B,
* l'angle θ de rotation.

[[Fichier:bielle manivelle.jpg|vignette|gauche|redresse|Schéma plan du système bielle-manivelle avec piston dans l'axe.]]
[[Fichier:TRUE piston2 ANI.gif|vignette|redresse|Animation bielle-manivelle avec piston dans l'axe pour L&nbsp;≈&nbsp;R (vert) et {{nobr|L {{=}} 3R (rouge)}}.]]

Dans notre configuration le point B est sur l'axe (O, y).
On repère la position du mécanisme par la position angulaire <math>\theta </math> de la manivelle.
Vilebrequin tournant, l'angle <math>\theta </math> est fonction du temps.
En écrivant la longueur du segment h(t) = OB, il vient (voir calcul détaillé au § cinématique) : <br>
:<math> \   \   OB  = R\sin \theta  + \sqrt{L^2 - R^2\cos^2 \theta} </math>
avec <math>\ \ \theta  = \theta(t) = \omega t </math> dans le cas d'une rotation à vitesse constante.<br>
Par dérivation, on obtient la ''vitesse'' puis l'''accélération'' (voir en § cinématique).

La position angulaire de la manivelle ''θ'' en fonction de la position du piston (OB) se détermine avec la formule réciproque :<br>
: <math>\  \ \theta  = \arcsin\left(\frac {R^2 +OB^2 -L^2}{2 R\;OB}\right) </math>

<gallery caption="Course, vitesse et accélération du piston">
Syst Bielle-manivelle Course.jpg|upright|'''Course''' du piston en fonction de θ.
Syst Bielle-manivelle vitesse.jpg|upright|'''Vitesse''' du piston en fonction de θ.
Syst Bielle-manivelle acceleration.jpg|upright|'''Accélération''' du piston en fonction de θ.
</gallery>

;Considérations géométriques
* Pour que le système puisse exécuter un tour, il faut que la bielle soit plus longue que la manivelle (la fonction [[Arc sinus|arcsin]] n'acceptant pas d'argument supérieur à 1) ;
* Le milieu de course du piston ne correspond pas exactement à ''θ'' = 0.

;Points morts
Il existe deux points où la vitesse s'annule pour changer de signe :
* ''θ'' = 90° : OB = R + L : correspond à la position la plus haute de B, appelée '''point mort haut''',
* ''θ'' = 270° : OB = L - R : par opposition, correspond au '''point mort bas'''.

;Course
La distance séparant les deux points morts et valant 2R est appelée ''course'' du piston.
Pour un système bielle-manivelle avec piston dans l'axe :
* La course du piston vaut deux fois le rayon (R).
* La longueur (L) de bielle n'a pas d'incidence sur la course.

;Lois du mouvement :les courbes ci-contre obtenues à partir de l'équation horaire, donnent la course, la vitesse et l'accélération du système bielle-manivelle pour différents rapports ''longueur de bille / rayon de la manivelle''. On constate suivant les cas
* ''Bielle longue (L = 8R)'' : course, vitesse et accélération sont des fonctions quasi sinusoïdales. Cette configuration est exploitée sur les anciennes machines à vapeur.
* ''Bielle moyenne (L = 3R)'' (rapport proche des valeurs en usage dans les [[moteurs à explosion]]) : course et vitesse restent des fonctions quasi sinusoïdales, mais la décélération après le point mort haut est brusque, ce qui optimise la propagation du front de flamme. Autour du point mort bas, sur presque une demi-période, l'accélération est constante, ce qui favorise le remplissage et l'évacuation des gaz<ref name=":0">{{Lien web|titre=Il ne modifie pas la cinématique du piston|url=http://www.mce-5.com/pop_up/atouts_technologiques/pdf/Piston_kinematics_FR.pdf|site=mce-5.com/|date=|consulté le=1 octobre 2016}}</ref>.
* ''Bielle courte (L = 1,5 x R)'' : le point mort haut est bref alors que le point mort bas dure beaucoup plus longtemps. Cette configuration est propice au moteur bas régime et au compresseur<ref name=":0" />.

Quelques '''exemples de valeurs''' conventionnelles dans le cas des moteurs thermiques :
* moteur de [[cyclomoteur]] {{unité|50|cm|3}} : R = 20 et L = 80 = 4R (mm) ;
* moteur de modélisme {{unité|6|cm|3}} : R = 10 et L = 35 = 3,5R.
{{clr}}

== Comportement statique ==
L'étude statique du mécanisme permet de déterminer la relation liant l'effort appliqué au piston et le couple exercé/disponible sur la manivelle. On considère le mécanisme en équilibre sous l'effet de l'ensemble des efforts extérieurs et on néglige les forces d'inertie (cas particulier d'un système à l’arrêt). C'est le principe de calcul adopté par les logiciels élémentaires de simulation mécanique, qui donnent l'évolution des efforts et du couple en fonction des positions angulaires.

=== Méthode statique ===
[[Fichier:bielle manivelle tech.jpg|vignette|upright=1.5|Modélisation du problème statique.]]
Dans cette étude, on adopte les conventions suivantes :
* Force extérieure <math> \vec F_e </math> appliquée sur et suivant la direction de l'axe du piston. L'intensité de <math>\| \vec F_e \| = F_e </math> est supposée connue ;
* Couple <math>C_m</math> appliquée à la manivelle (<math>C_m</math> colinéaire à l'axe de la manivelle).

Le problème [[statique du solide|statique]]<math>C_m=f(\vec F_e) </math> peut être résolu à l'aide de torseurs mais la symétrie du système permet une résolution graphique. On isole successivement la bielle, le piston et la manivelle et on applique les lois d'équilibre mécaniques :
* l'équilibre de la bielle montre que les actions <math>  \vec F_a</math> et <math>  \vec F_b</math> transmises en A et B ont une direction colinéaire à la direction principale de la bielle, leurs sens opposés et ont même intensité <math>\| \vec F_a \| = \| \vec F_b \|</math>;
* l'équilibre du piston sous les 3 actions (<math>  \vec F_e,\vec Ffrottement, \vec F_b </math>) permet de donner la relation entre l'intensité de l'action au point B : <math> \| \vec F_b \|</math>et <math>  F_e </math>;
* l'équilibre de la manivelle sous 3 actions (2 articulations et un couple) donne finalement la valeur du couple <math>C_m </math> en fonction de <math>F_e </math>.
L'étude <math>F_e=f(C_m) </math> est menée de la même manière en inversant simplement les deux dernières étapes.

=== Méthode énergétique ===
[[Fichier:Syst Bielle-manivelle couple.jpg|vignette|'''Couple''' de la manivelle pour une force constante sur le piston.]]
En considérant que le système est de rendement 1, que la manivelle tourne à vitesse constante, et que les inerties sont négligeables, on établit une relation simplifiée donnant <math>C_m</math> en fonction de <math>F_e</math>, à partir de l'égalité des puissances consommée et fournie (<math>F_e.V  =  C_m.\omega</math>) :

:<math>C_m = F_e. R \cos\theta \left(1 + \frac{R\sin\theta}{\sqrt{L^2-R^2\cos^2\theta}}\right)</math>
'''Analyse :'''
* Lorsque L est suffisamment grand, le deuxième terme devient négligeable et la fonction est quasi périodique.
* Les maximums ont lieu aux environs des positions 180° et 360° mais pas exactement. Le décalage est d'autant plus grand que la bielle est courte.
* Quelle que soit la longueur de la bielle, nous avons un couple nul aux points morts haut et bas. Ici, l'action de F est sans effet sur la rotation (de même sur un pédalier de vélo l'action de la jambe n'a pas d'effet lorsque la pédale est à la verticale de l'axe). En pratique, on compense ce défaut par un volant d'inertie.

== Cinématique ==
[[Fichier:bielle manivelle.jpg|vignette|upright=1.5|Schéma plan du système bielle manivelle avec piston dans l'axe.]]

Considérons :
* le rayon de la manivelle <math>r=OA </math>,
* la longueur de la bielle <math>\ell=AB</math>,
* la distance <math>x =OB </math> entre le point O et la droite de déplacement du point B,
* l'angle de rotation <math>\theta =  \theta(t) =\omega t </math> dans le cas d'une rotation à vitesse constante..
* Le rapport ''bielle/rayon manivelle'' <math>\lambda = \frac {\ell} {r} </math>
Nous pouvons écrire les relations géométriques :
:(1) <math> \textstyle OH = r\sin\theta \   \ </math> (2) <math> \textstyle HA = r\cos\theta \ \ </math> (3) <math> \textstyle HB = OB-OH = x -r\sin\theta </math>
Le [[théorème de Pythagore]] donne : <math>\textstyle AB^2 = HB^2 + HA^2 \   \ </math> soit (4) <math>\ \textstyle HB =\sqrt{ AB^2 - HA^2}</math>

Nous devons distinguer deux cas : l'axe du piston peut-être concourant avec l'axe de manivelle, ou pas.

=== Cas d'axes concourants ===
En remplaçant avec (2) et (3) dans (4), il vient : <math> \textstyle x-r\sin\theta = \sqrt{\ell^2 - r^2\cos^2\theta}</math><br>
d'où <math> \ \displaystyle x= r\left(\sin\theta  +\sqrt{\lambda ^2 - \cos^2\theta}\right)</math>

=== Cas d'axes non concourants ===
Notons <math>d</math> le décalage entre les axes et définissons <math>\epsilon </math> tel que :
: <math>\ d = \epsilon r</math>
Les relations écrites plus haut restent inchangées à l’exception de (2) qui devient :
: <math>\textstyle HA = r\cos\theta + d = r(\cos\theta +\epsilon )</math>
En remplaçant (2) dans (4) nous obtenons :
: <math> \displaystyle x= r\left(\sin\theta  +\sqrt{\lambda ^2 - (\cos\theta +\epsilon )^2}\right)</math><br>

=== Vitesse ===
La vitesse en fonction de <math>\theta</math> s'obtient en dérivant la relation obtenue plus haut:

:<math>
\begin{array}{lcl}
 x' & = & \frac{dx}{d\theta}     \\
    & = & r\cos\theta + \frac{\frac{1}{2} \cdot (-2) \cdot r^2 \cos \theta \cdot (- \sin\theta)}{\sqrt{\ell^2-r^2\cos^2\theta}} \\
    & = & r\cos\theta\left(1 + \frac{\sin \theta }{\sqrt{\lambda^2 -\cos^2\theta }}\right)
\end{array}
</math>

La vitesse en fonction du temps avec <math>\theta(t) =\omega\, t </math>

<math>
\begin{array}{lcl}
  v & = & \frac{dx}{dt} = \frac{dx}{d\theta} \, \frac{d\theta}{dt} = x'\,\omega \\
    & = & \omega\,r\cos\theta \left(1 + \frac{\sin \theta }{\sqrt{\lambda^2 -\cos^2\theta }} \right)
\end{array}
</math>

=== Accélération ===
:<math>
\begin{array}{lcl}
 x'' & = & \frac{d^2x}{d\theta^2}     \\
   & = & -r\sin\theta\left(1+\frac{\sin\theta}{\sqrt{\lambda^2-\cos^2\theta}}\right)+r\cos\theta\left(\frac{\cos\theta}{\sqrt{\lambda^2-\cos^2\theta}}-\frac{\sin^2\theta\cos\theta}{(\lambda^2-\cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}}\right)\\
& = & r\left(-\sin\theta+\frac{\cos(2\theta)}{\sqrt{\lambda^2-\cos^2\theta}}-\frac{1}{4}\frac{\sin^2(2\theta)}{(\lambda^2-\cos^2\theta)^{\frac{3}{2}}}\right)

\end{array}
</math>

Accélération en fonction du temps :
:<math>
\begin{array}{lcl}
  a & = & \frac{d^2x}{dt^2} =\frac{d}{dt} \frac{dx}{dt} =\frac{d}{dt} \left(\frac{dx}{d\theta} \, \frac{d\theta}{dt}\right) \\
    & = & \frac{d}{d\theta} \left(\frac{dx}{d\theta}\right) \, \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \frac{dx}{d\theta} \, \frac{d^2\theta}{dt^2} \\
    & = & \frac{d^2x}{d\theta^2} \, \left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 + \frac{dx}{d\theta} \, \frac{d^2\theta}{dt^2} \\
    & = & \frac{d^2x}{d\theta^2} \, \omega^2 + \frac{dx}{d\theta} \cdot 0 \\
    & = & x'' \, \omega^2 \\
\end{array}
</math>

=== Relation entre couple et force ===
L'égalité des puissances consommée et fournie s'écrit <math>F\cdot v= C\cdot \omega </math>. En remplaçant dans l'équation en haut, il vient :
:<math>F\cdot\omega\cdot r\cos\theta \left(1 + \frac{\sin \theta }{\sqrt{\lambda^2 -\cos^2 \theta}} \right) = C\cdot \omega</math>
D'où :
:<math>C = F\cdot r\cos\theta \left(1 + \frac{\sin \theta }{\sqrt{\lambda^2 -\cos^2 \theta}} \right) </math>
Si notre système tourne dans le sens horaire (contrairement au schéma)
: <math> \theta_h =-\theta \ , \sin\theta_h = -\sin\theta \ , \cos\theta_h = \cos\theta</math>
et :
:<math>C = F\cdot r\cos\theta_h \left(1 - \frac{\sin \theta_h }{\sqrt{\lambda^2 -\cos^2 \theta_h}} \right) </math>

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Manivelle]]
* [[Système manivelle-cadre]]

=== Liens externes ===
* {{lien|lang=en|Piston motion equations}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/bielledeberard/bielledeberard.shtml Animation du mouvement de la bielle de Bérard]

{{Palette|Groupe motopropulseur}}
{{Portail|génie mécanique|technologies|automobile|motocyclette|camion}}

{{DEFAULTSORT:Systeme bielle-manivelle}}
[[Catégorie:Organe d'un moteur à explosion]]
[[Catégorie:Dispositif mécanique]]