Voir la source de Système binaire

{{Voir homonymes}}
{{à sourcer|date=novembre 2021}}
[[Image:Information binaire.png|thumb|upright=1.4|Exemple d'informations binaires.]]
Le '''système binaire''' (du latin ''binārĭus'', « double ») est le [[système de numération]] utilisant la [[Base (arithmétique)|base]] [[2 (nombre)|2]].

On nomme couramment [[bit]] (de l'[[anglais]] ''{{lang|en|binary digit}}'', soit « chiffre binaire ») les [[chiffre]]s de la numération binaire positionnelle. Un bit peut prendre deux valeurs, notées par convention [[0 (chiffre)|0]] et [[1 (nombre)|1]].

Le système binaire est utile pour représenter le fonctionnement de l'[[électronique numérique]] utilisée dans les [[ordinateur]]s. Il fonde donc de nombreux [[format de données|formats de données]] [[informatique]]s. Les [[langage de programmation|langages de programmation]] ont souvent des [[type de donnée|types de données]] et des [[Opérateur (informatique)|opérateurs]] fondés sur la représentation binaire sous-jacente.

== Définition ==
[[Fichier:Leibniz binary system 1703.png|vignette|Page qui décrit le système binaire par Leibniz.]]
Le système binaire le plus courant est la [[Base (arithmétique)#Bases courantes|base deux]] [[Mathématiques|mathématique]], permettant de représenter des [[nombre]]s à l'aide de la [[Notation positionnelle|numération de position]] avec seulement deux chiffres : le 0 et le 1.

Dans ce type de codage, chaque nombre est représenté de façon unique par une suite ordonnée de [[chiffre]]s. Et chaque position ''m'' représente une [[Puissance d'un nombre|puissance]] (''m'' − 1) de la ''base''. Si l'on se limite dans un premier temps aux [[Entier naturel|nombres entiers]] positifs, en [[Système décimal|base dix]] ces puissances sont : 

* un (1) ;
* dix (représenté par 10) ;
* cent (dix fois dix, représenté par 100) ;
* mille (dix fois cent, représenté par 1000) ;
* dix mille, etc. 

En base deux, ces puissances sont : 

* un (1) ;
* deux (représenté lui aussi par 10) ;
* quatre (deux fois deux, représenté par 100) ;
* huit (deux fois quatre, représenté par 1000), seize (deux fois huit, représenté par 10000) ;
* etc.

On voit que la signification des représentations 10, 100, 1000, etc. dépend de la base utilisée : 10 est toujours égal à la base, c'est-à-dire ''dix'' en base dix, et ''deux'' en base deux.

En base dix, on utilise dix chiffres, de zéro à neuf ; en base ''n'', on utilise ''n'' chiffres, de zéro à ''n'' – 1 ; donc en base deux on utilise les deux chiffres « 0 » et « 1 ».

Un nombre qui s'exprime en base ''B'' par les quatre chiffres 1101 s'analyse :

<math>1\times B^3+1\times B^2+0\times B^1+1\times B^0</math>, qui donne :
{|
| 1101 en base ''B'' = 10 :
| <math>1\times 10^3</math>
| <math>+1\times 10^2</math>
| <math>+0\times 10^1</math>
| <math>+1\times 10^0</math>
| <math>=1101</math>
|-
| 1101 en base ''B'' = 8 :
| <math>1\times 8^3</math>
| <math>+1\times 8^2</math>
| <math>+0\times 8^1</math>
| <math>+1\times 8^0</math>
| <math>=577</math>
|-
| 1101 en base ''B'' = 2 :
| <math>1\times 2^3</math>
| <math>+1\times 2^2</math>
| <math>+0\times 2^1</math>
| <math>+1\times 2^0</math>
| <math>=13</math>
|}

=== Énumération des premiers nombres ===
Les premiers nombres, et chiffres de la base de numération 10, s'écrivent :
{|
! align=center | décimal
! align=right | binaire
! commentaire
|-
|  align=center | 0
|  align=right style="padding-right:1em" |    0
| zéro
|-
|  align=center | 1
|  align=right style="padding-right:1em" |    1
| un = base puissance zéro (valable pour toutes les bases, donc deux et dix)
|-
|  align=center | 2
|  align=right style="padding-right:1em" |   10
| deux = deux puissance un (un zéro derrière le 1)
|-
|  align=center | 3
|  align=right style="padding-right:1em" |   11
|-
|  align=center | 4
|  align=right style="padding-right:1em" |  100
| quatre = deux puissance deux (deux zéros derrière le 1)
|-
|  align=center | 5
|  align=right style="padding-right:1em" |  101
|-
|  align=center | 6
|  align=right style="padding-right:1em" |  110
|-
|  align=center | 7
|  align=right style="padding-right:1em" |  111
|-
|  align=center | 8
|  align=right style="padding-right:1em" | 1000
| huit = deux puissance trois (trois zéros derrière le 1)
|-
|  align=center | 9
|  align=right style="padding-right:1em" | 1001
|-
|}
On donne à chaque bit une [[puissance de deux]], comme cette suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Pour obtenir le nombre 7, on additionne les trois premiers bits ; pour obtenir 6, on additionne seulement le bit de poids 4 et le bit de poids 2.

=== Opérations ===
{{wikifier|date=novembre 2021}}
Les techniques des quatre opérations de base ([[addition]], [[soustraction]], [[multiplication]] et [[division]]) restent ''exactement les mêmes'' qu'en notation décimale ; elles sont juste simplifiées de façon drastique parce qu'il n'y a que les deux chiffres 0 et 1. Pour la multiplication par exemple, quelle que soit la base, la multiplication par 10 (c’est-à-dire par la base elle-même)<ref>Attention : 10 et non ''dix'' ; en base deux, 10 vaut ''deux''.</ref> se fait en ajoutant un zéro à droite.

Seules changent d'une part la forme de la suite de chiffres qui exprime le résultat (elle ne compte que des zéros et un), d'autre part la signification de cette suite (10 signifie « deux » et non « dix », 100 signifie « quatre » et non « cent », etc.).

==== Addition et soustraction ====

On passe d'un nombre binaire au suivant en ajoutant 1, comme en décimal, sans oublier les retenues et en utilisant la table ordinaire (mais réduite à sa plus simple expression) :
  0 + 0 = 0    0 + 1 = 1                  1 + 0 = 1   1 + 1 = 0 avec 1 retenue
  0 - 0 = 0    0 - 1 = 1 avec 1 retenue   1 - 0 = 1   1 - 1 = 0
On constate que l'addition de deux bits A et B donne A XOR B avec une retenue valant A ET B.

Ainsi :
    11
 +   1
  ____
   100
Détail :
 1 + 1 = 10           =&gt; on pose 0 et on retient 1
 1 + 1(retenue) = 10  =&gt; on pose 0 et on retient 1
 0 + 1(retenue) = 1   =&gt; on pose 1 devant 00

Autres exemples :
    1011   
 +  1001
  ______
   10100
==== Multiplication et division ====

Multiplier par deux se fait en décalant chaque chiffre d'un cran à gauche et en insérant un zéro à la fin.
<br>Par exemple, deux fois onze :
  1011 onze
 ////  décalage et insertion de 0
 10110 vingt-deux

La division entière par deux se fait en décalant chaque chiffre d'un cran à droite, le chiffre de droite étant le reste supprimé.
<br>Par exemple onze divisé par deux :
 1011 onze
 \\\  décalage et suppression du chiffre à droite
  101 cinq reste un

== Théorie informatique ==
[[Fichier:Bases_informatiques.svg|vignette|Aide-mémoire sur les bases.]]
L'arithmétique binaire (plus simplement le calcul binaire) est utilisée par les systèmes électroniques les plus courants (calculatrices, ordinateurs, etc.). Les deux chiffres 0 et 1 s'y traduisent par la [[Tension électrique|tension]] ou le passage d'un courant.

Par exemple, le 0 peut être représenté par l'état bas (tension ou courant nul) et 1 par l'état haut{{Référence nécessaire|date=16 décembre 2017}} (tension qui existe, courant qui passe).

=== Représentation des entiers négatifs ===
Pour compléter la représentation des entiers, il faut pouvoir écrire des entiers [[Nombre négatif|négatifs]].
Deux représentations existent, le [[complément à un]] et le [[complément à deux]].

==== Vérifications requises ====
Avant de coder avec tout complément, il est nécessaire de vérifier le bon nombre de bits est utilisés pour encoder le nombre en tant que nombre binaire signé.

Le nombre de bits est suffisant si et seulement s'il vérifie l'équation où n correspond au nombre de bits et N au nombre à encoder.

<math>-2^{n-1} \leq N \leq 2^{n-1}-1</math>

<math>2^{n-1} - 1</math> correspond au nombre de caractères possibles (1 est soustrait à 2n puisque l'on compte à partir de 0) tout en réservant un bit pour le signe.

==== Complément à un ====
{{Article détaillé|Complément à un}}
Ce codage consiste à inverser la valeur de chaque bit.
<br>Par exemple pour obtenir −7 :

 0111 sept
 1000 moins sept

Un défaut de ce système est que zéro a deux représentations : 0000 et 1111 (« +0 » et « −0 »). Il n'est pas utilisé par les ordinateurs courants, mais l'était par des ordinateurs anciens comme le [[Control Data 6600]]. Les deux représentations du zéro compliquent les circuits de test.

==== Complément à deux ====
{{Article détaillé|Complément à deux}}

Le complément à deux consiste à réaliser un complément à un, puis d'ajouter 1.
<br>Par exemple pour obtenir −7 :

 0111 sept
 1000 complément à un
 1001 complément à deux en ajoutant 1

Ce codage a l'avantage de ne pas nécessiter de différenciation spéciale des nombres positifs et négatifs, et évite en particulier le problème de double représentation du zéro.

Voici une addition de −7 et +9 réalisée en complément à deux sur 4 bits :

 -7        1001 
 +9        1001
 __        ____
  2    (1) 0010 (on « ignore » la retenue)

Avec ''n'' bits, ce système permet de représenter les nombres entre −2<sup>''n''−1</sup> et 2<sup>''n''−1</sup> − 1.

=== Entre les bases 2, 8 et 16 ===
==== Du binaire vers octal ou hexadécimal ====
Les bases 8 (octale) et 16 (hexadécimale) sont des bases puissances de la base 2. Ces deux bases sont couramment employées en informatique pour des raisons pratiques : les nombres écrits dans ces bases sont humainement plus « manipulables » car d'écriture plus courte et celle-ci est facilement obtenue par regroupement de chiffres de l'écriture du nombre en base 2.
* Octal : base 8 = 2{{3}}. Il suffit de parcourir le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires 3 par 3 : chaque paquet de 3 (le dernier devant être parfois complété par des 0 à gauche) est l'écriture binaire d'un chiffre en base 8 (0<sub>8</sub> = 000, 1<sub>8</sub> = 001, 2<sub>8</sub> = 010, 3<sub>8</sub> = 011, 4<sub>8</sub> = 100, 5<sub>8</sub> = 101, 6<sub>8</sub> = 110, 7<sub>8</sub> = 111).
** 10101101110<sub>2</sub> va s'écrire 10 101 101 110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en un chiffre octal, on obtient le nombre octal 2556<sub>8</sub>.
* Hexadécimal : base 16 = 2{{4}}. Il suffit de parcourir le nombre binaire de la droite vers la gauche en regroupant les chiffres binaires 4 par 4 : chaque paquet de 4 bits est la représentation binaire d'un chiffre en base 16. En base 16, il faut 16 symboles et conventionnellement, on utilise les 10 chiffres décimaux suivis des 6 premiers caractères de l'alphabet selon la règle suivante: A<sub>16</sub> = 10<sub>10</sub> = 1010<sub>2</sub>, B<sub>16</sub> = 11<sub>10</sub> = 1011<sub>2</sub>, C<sub>16</sub> = 12<sub>10</sub> = 1100<sub>2</sub>, D<sub>16</sub> = 13<sub>10</sub> = 1101<sub>2</sub>, E<sub>16</sub> = 14<sub>10</sub> = 1110<sub>2</sub> et F<sub>16</sub> = 15<sub>10</sub> = 1111<sub>2</sub>.
** 10101101110<sub>2</sub> va s'écrire 101 0110 1110 et en convertissant la valeur de chacun des blocs en décimal on obtient : 5, 6, 14 c'est-à-dire 56E<sub>16</sub>.

On pourrait facilement étendre ce principe à toutes les bases qui sont puissances de 2.

==== Vers le binaire ====
Il suffit de convertir la valeur de chacun des chiffres sous leur forme binaire en utilisant un nombre de chiffres correspondant à la puissance de la base : 16 = 2<sup>4</sup>, 8 = 2<sup>3</sup>, donc 4 chiffres pour l'hexadécimal et 3 pour l'octal :
* 1A2F<sub>16</sub> va s'écrire 1 ⇒ 0001, A ⇒ 1010, 2 ⇒ 0010, F ⇒ 1111, soit 0001 1010 0010 1111<sub>2</sub>.
* 156<sub>8</sub> va s'écrire 1 ⇒ 001, 5 ⇒ 101, 6 ⇒ 110, soit 001 101 110<sub>2</sub>.

=== Table des valeurs des groupements de chiffres binaires ===
{| style="border:0px;"
|
{|cellpadding="2" cellspacing="0" style="text-align:center; margin:6px; border:1px solid; background:#FFFFEE;"
! Binaire
! Décimal
! Octal
! Hexadécimal
|-
|0000
|0
|0
|0
|-
|0001
|1
|1
|1
|-
|0010
|2
|2
|2
|-
|0011
|3
|3
|3
|-
|0100
|4
|4
|4
|-
|0101
|5
|5
|5
|-
|0110
|6
|6
|6
|-
|0111
|7
|7
|7
|}
|
{|cellpadding="2" cellspacing="0" style="text-align:center; margin:6px; border:1px solid; background:#FFFFEE;"
! Binaire
! Décimal
! Octal
! Hexadécimal
|-
|-
|1000
|8
|10
|8
|-
|1001
|9
|11
|9
|-
|1010
|10
|12
|A
|-
|1011
|11
|13
|B
|-
|1100
|12
|14
|C
|-
|1101
|13
|15
|D
|-
|1110
|14
|16
|E
|-
|1111
|15
|17
|F

|}
|}

== Code de Gray ou binaire réfléchi ==
{{article détaillé|Code de Gray}}

Le code de Gray, également appelé binaire réfléchi, permet de ne faire changer qu'un seul bit à la fois quand un nombre est incrémenté ou décrémenté d'une unité. Le nom du code vient de l'ingénieur américain [[Frank Gray (physicien et chercheur)|Frank Gray]], qui déposa un brevet sur ce code en 1947<ref>{{US patent|2,632,058|assignee=[[Bell Labs]]|inventor=Frank Gray|date=17 mars 1953|filed=13 novembre 1947|title=Pulse code communication}}</ref>.

Pour calculer directement le code de Gray d'un entier à partir de celui de son prédécesseur on peut procéder ainsi :
* lorsqu'il y a un nombre pair de 1 on inverse le dernier bit ;
* lorsqu'il y a un nombre impair de 1 on inverse le bit directement à gauche du 1 le plus à droite.

== Décimal codé binaire (DCB, ou BCD pour ''{{langue|en|binary coded decimal}}'') ==
{{Article détaillé|Décimal codé binaire}}
Afin de concilier la logique binaire de l'ordinateur avec la logique humaine, on peut convertir en binaire, plutôt que les nombres eux-mêmes, chacun des chiffres qui les composent en notation décimale positionnelle. Chacun de ces chiffres est alors codé sur 4 bits :

 1994 =  0001    1001   1001   0100
       1×1000 + 9×100 + 9×10 + 4×1

Avec n bits (n multiple de 4), il est possible de représenter les nombres entre 0 et 10<sup>n/4</sup>-1. Soit approximativement entre 0 et 1.778<sup>n</sup>-1. 

Le DCB est un code redondant. En effet, certaines combinaisons ne sont pas utilisées. Par exemple, <code>1111</code> ne pourra pas être utilisé.

Cette représentation évite, par construction, tous les problèmes gênants de cumul d'[[Arrondi (mathématiques)|arrondi]]. Ceux-ci peuvent intervenir lors de la manipulation de grands nombres dépassant la taille des circuits en arithmétique entière. Ils obligent alors à recourir au [[Virgule flottante|flottant]]. 

Il est cependant possible de manipuler des [[Arithmétique multiprécision|nombres à précision arbitraire]] en utilisant un codage plus efficace que le DCB.

Il existe des variantes du codage DCB :
* le code Aiken où 0, 1, 2, 3, 4 sont codés comme en DCB et 5, 6, 7, 8, 9 sont codés de 1011 à 1111 ; ce code permet d'obtenir le complément à 9 en permutant les 1 et les 0 ;
* le codage binaire excédant 3, qui consiste à représenter le chiffre à coder + 3.

== Applications ==
=== Théorie de l'information ===

{{Article détaillé|Entropie de Shannon}}

En [[théorie de l'information]], l'[[Entropie de Shannon|entropie]] d'une source d'information est exprimée en ''bits''. La théorie elle-même est indifférente à la représentation des grandeurs qu'elle utilise.

=== Logique ===
La [[logique classique]] est une logique bivalente : une proposition est soit vraie, soit fausse. Il est donc possible de représenter la vérité d'une [[Proposition (logique mathématique)|proposition]] par un chiffre binaire.

On peut, par exemple, modéliser les opérations de l'arithmétique binaire à l'aide de l'[[algèbre de Boole (logique)|algèbre de Boole]].

L'algèbre de Boole représente un cas très particulier d'usage des [[probabilité]]s ne faisant intervenir que les seules valeurs de vérité 0 et 1. Le [[Théorème de Cox-Jaynes]] en est une autre illustration.

=== Informatique ===
Le binaire est utilisé en informatique car il permet de modéliser le fonctionnement des [[Commutation de circuits|composants de ''commutation'']] comme le [[Transistor-Transistor logic|TTL]] ou le [[Complementary metal oxide semi-conductor|CMOS]]. La présence d'un seuil de [[Tension électrique|tension]] aux bornes des [[Transistor|transistors]], en négligeant la valeur exacte de cette tension, représentera 0 ou 1.

Par exemple, le chiffre 0 sera utilisé pour signifier une absence de tension à {{unité|0.5|V}} près, et le chiffre 1 pour signifier sa présence à plus de {{unité|0.5|V}}. Cette ''marge de tolérance'' permet de pousser les cadences des [[Microprocesseur|microprocesseurs]] à des valeurs atteignant plusieurs [[gigahertz]].

En [[informatique]], la représentation binaire permet de clairement manipuler des [[bit]]s : chaque chiffre binaire correspond à un bit. Cependant, la représentation binaire nécessitant l'usage de beaucoup de chiffres, même pour des nombres assez petits. Elle entraîne d'importants problèmes de [[Lisibilité (programmation)|lisibilité]] et donc de ''risques d'erreur'' de transcription pour les programmeurs. On préfère donc d'autres ''représentations'' : la [[Système hexadécimal|notation hexadécimale]], qui permet de manipuler l'information par paquets de 4 bits, est adaptée à la quasi-totalité des [[microprocesseur]]s actuels travaillant avec des [[Mot (architecture informatique)|mots]] de 8, 16, 32 ou 64 bits ; plus rare, la notation [[système octal|octale]], populaire du temps des premiers [[mini-ordinateur]]s [[Digital Equipment Corporation|DEC]] à 12 ou 36 bits, qui permet de représenter l'information par paquets de 3 bits.

* 63 <sub>[[système décimal|(10)]]</sub> = 111111 <sub>(2)</sub> = 77 <sub>[[système octal|(8)]]</sub> = 3F <sub>[[système hexadécimal|(16)]]</sub>
* 64 <sub>(10)</sub> = 1000000 <sub>(2)</sub> = 100 <sub>(8)</sub> = 40 <sub>(16)</sub>
* 255 <sub>(10)</sub> = 11111111 <sub>(2)</sub> = 377 <sub>(8)</sub> = FF <sub>(16)</sub>
* 256 <sub>(10)</sub> = 100000000 <sub>(2)</sub> = 400 <sub>(8)</sub> = 100 <sub>(16)</sub>

== Histoire ==
* Les [[Hexagramme Yi Jing|hexagrammes]] chinois, plus tard reconnus comme la première expression d'une numération binaire, apparaissent dans le [[Yi Jing]] vers 750 av J.C, [[période des Zhou de l'Ouest]]<ref>{{en}} E. L. Shaugnessy, « I Ching (Chou I) », dans M. Loewe (dir.), ''Early Chinese Texts: A Bibliographical Guide'', Berkeley, 1993, p. 216-228.</ref>. Mais leur signification mathématique, si elle a été connue, fut oubliée ensuite<ref>Témoignage du père [[Joachim Bouvet|Bouvet]] rapporté par Leibniz ([[s:Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Numération.binaire#226|sur Wikisource]]).</ref>.
* Le mathématicien [[Inde|indien]] [[Pingala (mathématicien)|Pingala]] est crédité d'une table représentant 0 à 7 en numération binaire, dans son ''Chandaḥ-śāstra,'' datant peut-être du troisième ou deuxième siècle av J.C.<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Kim Plofker]]|titre=Mathematics in India|lieu=Princeton (N.J.)|éditeur=[[Princeton University Press]]|année=2009|pages totales=357|passage=55-57|isbn=978-0-691-12067-6|lire en ligne=https://books.google.com/books?id=DHvThPNp9yMC&printsec=frontcover|numéro chapitre=3|titre chapitre=Mathematical Traces in the Early Classical Period}}.</ref>{{,}}<ref>{{Article |langue=en |prénom1=B. |nom1=Van Nooten |titre=Binary numbers in Indian antiquity |périodique=Journal of Indian Philosophy |volume=21 |numéro=1 |date=1993-03 |issn=0022-1791 |doi=10.1007/BF01092744|pages=31–50 }}.</ref>.
* Vers 1600, le mathématicien anglais [[Thomas Harriot]] effectue des opérations en numération binaire, ainsi qu'en témoigne ses manuscrits publiés récemment seulement<ref>[https://images.math.cnrs.fr/L-edition-electronique-des-manuscrits-de-Thomas-Harriot-1560-1621 ''L’édition électronique des manuscrits de Thomas Harriot (1560-1621)''] ; [https://images.math.cnrs.fr/IMG/jpg/fig_2_binary.jpg fac-similé en ligne].</ref>.
* À la même époque [[Francis Bacon (philosophe)|Francis Bacon]] utilise un code secret bilitère (à deux lettres) pour protéger ses messages : il remplace les lettres du message par leur position en binaire, puis les 0 et les 1 par des A et des B. Exemple : lettre E → 5 → 00101 → codée AABAB<ref>{{en}} [[:en:Bacon's cipher|Bacon's cipher]].</ref>.
* [[John Napier]], mathématicien écossais inventeur des logarithmes, dans son traité ''[[Rhabdologie]]'' publié en 1617, décrit trois systèmes pour faciliter les calculs, dont un, dit [[:en:Rabdology|''checkerboard'']], est binaire<ref>{{en}} John Napier, ''Rabdologiæ'', traduit du latin par William Frank Richardson, 'ntroduction par Robin E. Rider, 1990, MIT Press {{ISBN|0-262-14046-2}}.</ref>.
* L'espagnol [[Juan Caramuel y Lobkowitz|Caramuel]] dans son ''Mathesis biceps vetus et nova'' publié en 1670, paraît le premier à avoir donné une étude des numérations non décimales, dont binaire, succinctement<ref>Robert Ineichen, ''Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem'', Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 16, 2008, issue 1, p. 14.</ref>.
* À [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] revient d'avoir étudié le système binaire pour lui-même, montré comment s'y pratiquent les quatre opérations (« si aisées qu’on n’a jamais besoin de rien essayer ni deviner, comme il faut faire dans la division ordinaire<ref name="Explication">Leibniz, ''Explication de l'arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 et 1, avec des remarques sur son utilité, et sur ce qu'elle donne le sens des anciennes figures chinoises de Fohy'' ([[s:/Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Numération.binaire#226|lire sur Wikisource]] et sur [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3483p/f247.image ''Mémoires de l'Académie des sciences''] de Paris, 1703, {{p.|85-89}}).</ref> »), noté que ce calcul « est le plus fondamental pour la science, et donne de nouvelles découvertes<ref name="Explication" /> », et même envisagé que « ce type de calcul pourrait également être réalisé avec une machine (sans roues), de la manière suivante certainement très facilement et sans effort. Avec une boîte munie de trous, qui peuvent être ouverts et fermés<ref>''De progressione dyadica'', manuscrit daté de 1679, traduction de Yves Serra, p. 5 ([http://bibnum.education.fr/sites/default/files/leibniz-numeration-texte.pdf lire en ligne]) ; voir aussi Yves Serra, ''Le manuscrit « De Progressione Dyadica » de Leibniz'' ([https://journals.openedition.org/bibnum/553 lire en ligne] sur [[Bibnum ]]).</ref>. »<br> En outre, ayant communiqué « au R. P. [[Joachim Bouvet|Bouvet]], Jésuite Français célèbre, qui demeure à Pékin, (sa) manière de compter par 0 et 1, il n’en fallut pas davantage pour lui faire reconnaître que c’est la clef des figures de Fohy », en 1701<ref name="Explication" />. Ainsi fut déchiffrée l’énigme des [[Hexagramme Yi Jing|hexagrammes]] attribués à [[Fuxi]], et Leibniz fait ensuite publier son exposé du système binaire par l'[[Académie des sciences de Paris]] en 1703<ref name="Explication" />.
* En 1847 [[George Boole]] publie les premiers travaux de son [[Algèbre de Boole (logique)|algèbre binaire, dite booléenne]], n'acceptant que deux valeurs numériques : 0 et 1.
* 1872 : publication d'une application du système binaire pour la résolution du problème du baguenodier ({{Ouvrage|prénom1=Luc-Agathon-Louis|nom1=Gros|titre=Théorie du baguenodier par un clerc de notaire lyonnais|lieu=Lyon|éditeur=[[Aimé Vingtrinier]]|année=1872|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=EcoBJRekd-sC&pg=PP1}})
* 1876 : L.-V. Mimault dépose le brevet 3011 concernant :
** les systèmes télégraphiques multiples, imprimeurs et écrivants basés sur des combinaisons mécaniques ou graphiques provenant de « (''X'' + 1) puissance ''m'' » ;
** les systèmes télégraphiques multiples, imprimeurs et écrivants basés sur des combinaisons de la progression 1 : 2 : 4 : 8 : 16<ref>[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3058f/f1262.image Description des notes] contenues dans le brevet sous plis.</ref>.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets|wikisource=Leibniz-en.francais-Gerhardt.Math.1a7.djvu/Numération.binaire|wikisource titre=Leibniz, Explication de l'arithmétique binaire}}

{{autres projets|wikibooks=Algèbre de Boole/Utiliser le système binaire|wikibooks titre=Utiliser le système binaire
<!--cf. Discussion modèle:Autres projets#Wikibook2_wikilivres2
|wikibooks2=Architecture des ordinateurs/Représentation des données|wikibooks titre2=Représentation des données
-->
}}
{{autres projets|wikibooks=Utilisateur:Merrheim/Architecture des ordinateurs/Représentation des données|wikibooks titre=Représentation des données}}

=== Articles connexes ===
* [[Auguste De Morgan]]
* [[Système hexadécimal]]
* [[Système Bibi-binaire]] de [[Boby Lapointe]]
* [[Virgule flottante]]
* [[Débit binaire]]
* [[Préfixe binaire]]
* [[Byte]]

=== Liens externes ===
* {{en}} {{lang|en|[https://www.nature.com/news/polynesian-people-used-binary-numbers-600-years-ago-1.14380 Polynesian people used binary numbers 600 years ago : Nature News & Comment]}}
* {{YouTube|id=DY6_bJWkXIs|titre=Une introduction au binaire en utilisant ses deux mains|langue=fr|chaîne=}}
* {{YouTube|id=A7WUzkXZRcQ|titre=Un tour de magie utilisant le système binaire|langue=fr|chaîne=}}
* [https://www.oratlas.com/convertisseur-de-nombre-decimal-en-nombre-binaire Convertisseur de nombre décimal en nombre binaire avec une liste étape par étape des calculs effectués]

{{Palette|Base de numération positionnelle}}
{{Portail|logique|informatique|programmation informatique|nombre|informatique théorique}}

[[Catégorie:Système de numération|02]]
[[Catégorie:Calcul informatique]]
[[Catégorie:Calcul numérique]]
[[Catégorie:2 (nombre)]]