Voir la source de Système d'équations linéaires

{{sources|date=octobre 2022}}
[[Image:Intersecting Lines.svg|thumb|right|La solution au système d'équations linéaires {{nowrap|''x'' &minus; ''y'' {{=}} &minus;1}} et {{nowrap|3''x'' + ''y'' {{=}} 9}} est le point de coordonnées (2;3).]]

En [[mathématiques]] et particulièrement en [[algèbre linéaire]], un '''[[système d'équations]] linéaires''' est un [[système d'équations]] constitué d'[[Équation linéaire|équations linéaires]] qui portent sur les mêmes inconnues. Par exemple :

:<math>\begin{cases} 2x_1+\frac{3x_2}{2}+x_3=-1  \\ \frac{x_1}{2} + x_2 + 3x_3 = 4 \\2x_1+3x_2+\frac{x_3}{4}=3 \end{cases}</math>

Le problème est de trouver les valeurs des inconnues <math>x_1</math>, <math>x_2</math> et <math>x_3 </math> qui satisfassent les trois équations simultanément.

La résolution des systèmes d'équations linéaires appartient aux problèmes les plus anciens dans les mathématiques et ceux-ci apparaissent dans beaucoup de domaines, comme en [[traitement numérique du signal]], en [[optimisation linéaire]], ou dans l'approximation de problèmes non linéaires en [[analyse numérique]]. Un moyen efficace de résoudre un système d'équations linéaires est donné par l'[[élimination de Gauss-Jordan]] ou par la [[Factorisation de Cholesky|décomposition de Cholesky]] ou encore par la [[décomposition LU]]. Dans les cas simples, la [[règle de Cramer]] peut également être appliquée.

== Définitions mathématiques ==

En général, un système de ''m'' équations linéaires à ''n'' inconnues peut être écrit sous la forme suivante :
:<math>\left\{\begin{matrix}  a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\dots+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\dots+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\dots+a_{m,n}x_n = b_m\end{matrix}\right.</math>

Où <math>x_1,\dots, x_n</math> sont les inconnues et les nombres <math>a_{i,j}</math> sont les coefficients du système.

;Exemple
Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues est un système de la forme
:<math>(S)\quad\left\{\begin{matrix}
ax+by = e\\
cx+dy = f\end{matrix}\right.</math>

Résoudre <math>(S)</math>, c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue '''en même temps''' pour que '''toutes''' les égalités soient vraies.

Un système d'équations linéaires peut aussi s'écrire sous la forme [[matrice (mathématiques)|matricielle]] :
:<math>Ax=b</math>

avec :
:<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}; \qquad x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}</math>

===Système homogène===
Un système de la forme :
:<math>Ax=0</math>
est appelé système d'équations linéaires homogènes. Tous les systèmes homogènes admettent au moins une solution : 
:<math>x_1=0 \ ; \ x_2=0 \ ; \ \dots \ ; \ x_n=0</math>
Cette solution est la solution ''nulle'' ou ''triviale''.

== Nombre de solutions d’un système d'équations ==
Si le [[Corps commutatif|corps]] est infini (comme c'est le cas pour les [[Nombre réel|nombres réels]] et pour les [[Nombre complexe|nombres complexes]]) alors seulement les trois cas suivants sont possibles pour n'importe quel système donné d'équations linéaires à ''n'' inconnues :
*le système n'a pas de solution (pour un système homogène, ce cas est impossible) ;
*le système a un unique [[n-uplet|''n''-uplet]] solution ;
*le système a une infinité de ''n''-uplets solutions (pour un système homogène comportant strictement moins de ''n'' équations, on est toujours dans ce {{3e|cas}}).

Il n'existe de règle plus précise que pour un système d'équations linéaires [[Indépendance linéaire|indépendantes]] à ''n'' inconnues. Il existe alors :
* aucune solution lorsque le nombre d'équations est strictement supérieur à ''n'' ;
* une unique solution lorsque le nombre d'équations est égal à ''n'' ;
* une infinité de solutions (sur un corps infini) lorsque le nombre d'équations est strictement inférieur à ''n'' (par exemple, résoudre un système de deux [[Équation cartésienne|équations cartésiennes]] de [[Plan (mathématiques)|plans]] sécants, dans un [[espace affine]] de dimension ''n'' = 3, consiste à fournir une [[équation paramétrique]] de la [[Droite affine|droite]] intersection de ces deux plans).

=== Exemple d'équation à 2 inconnues ayant une infinité de solutions ===

L'équation <math>4x + 2y = -1</math> a une infinité de solutions. Si l'on prend pour <math>x</math> la valeur <math>1</math>, on obtient :
* <math>4 \times 1 + 2y = -1</math> ;
* <math>4 + 2y = -1</math> ;
* <math>2y = -5</math> ;
* <math>y =\dfrac {-5}2</math>.

Plus généralement, cette équation détermine la valeur de <math>y</math> pour n'importe quel choix d'une valeur de <math>x</math> :
:<math>\begin{align}4x + 2y = -1&\Leftrightarrow2y = -1 - 4x\\&\Leftrightarrow y =\dfrac {-1 - 4x}2\\&\Leftrightarrow y = -0{,}5 - 2x.\end{align}</math>

== Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues ==
Le type le plus simple de système linéaire implique deux équations et deux variables :
:<math>(S)\quad\left\{\begin{matrix}
ax+by = e\\
cx+dy = f\end{matrix}\right.</math>
On peut résoudre un tel système [[#Méthode par substitution|par substitution et par combinaisons linéaires]]

=== Interprétation graphique ===
Celle-ci va nous permettre d'établir des [[théorème]]s utiles pour la suite.

Chaque équation du système <math>(S)</math> définit une [[fonction affine]], et est donc représentée par une droite dans un repère. Or :
* les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentent la solution de <math>(S)</math> ;
* deux droites ont :
** soit un unique point d'intersection ;
** soit aucun point d'intersection ;
** soit une infinité de points d'intersection.

D'où le théorème suivant :

{{théorème|nom=Théorème 1|Le système <math>(S)</math> a :
* soit une unique solution ;
* soit aucune solution ;
* soit une infinité de solutions.
}}

On démontre aussi le théorème suivant :

{{théorème|nom=Théorème 2|Le système <math>(S)</math> admet '''une seule''' solution si, et seulement si, le nombre <math>ad-bc</math> est non nul.}}

On appelle <math>ad-bc</math> le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] du système <math>(S)</math>.

'''Exemple de résolution graphique''' : Soit le système
:<math>\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x - y = 2.\end{matrix}\right.</math>

La première équation équivaut à <math>y = -0{,}5 - 2x</math> {{supra|Exemple d'équation à 2 inconnues ayant une infinité de solutions}}.

La deuxième équation équivaut à :
* <math>3x - y = 2</math> ;
* <math>-y = 2 - 3x</math> ;
* <math>y = -(2-3x) = 3x - 2 </math>.

En traçant les [[géométrie analytique|droites d'équations]] respectives <math>y = -0{,}5 - 2x</math> et <math>y = 3x - 2</math>, on voit que leur point d'intersection est <math>(0{,}3,-1{,}1)</math>. La solution du système est <math>x= 0{,}3</math> et <math>y= -1{,}1</math>.

=== Résolution algébrique ===
L'[[élimination de Gauss-Jordan]], mentionnée [[#Méthode par élimination|ci-dessous]], s'applique à tous ces systèmes, même si les coefficients viennent d'un corps arbitraire.

Il existe deux méthodes a priori différentes, mais qui reposent sur le même principe de base : élimination d'une inconnue. Détaillons-les sur un exemple.

==== Méthode par substitution ====
Reprenons par exemple le système :<math>\left\{\begin{matrix} 4x + 2y = -1 \\ 3x - y = 2 \end{matrix}\right.</math>

La première équation permet d'exprimer <math>y</math> en fonction de <math>x</math>. Plus précisément, elle est ''équivalente'' à <math>y=-0{,}5-2x</math> {{supra|Exemple d'équation à 2 inconnues ayant une infinité de solutions}}. Remplaçons donc <math>y</math> par <math>-0{,}5-2x</math> dans la deuxième équation. On a :
:<math>\begin{align}3x - (-0{,}5-2x) =2&\Leftrightarrow 3x + 0{,}5 + 2x = 2\\
&\Leftrightarrow5x + 0{,}5 = 2\\
&\Leftrightarrow5x = 1{,}5\\
&\Leftrightarrow x =\dfrac{1{,}5}5= 0{,}3.\end{align}</math>

Le système est donc ''équivalent'' à :
:<math>\begin{cases}
y=-0{,}5-2x\\
x=0{,}3\end{cases}.</math>

En remplaçant <math>x</math> par <math>0{,}3</math> dans la première équation, on obtient : <math>y =-0{,}5-2\times 0{,}3 = -0{,}5 - 0{,}6 = -1{,}1</math>.

Le système a donc une unique solution : le [[Couple (mathématiques)|couple]] <math>(x,y) = (0{,}3,-1{,}1)</math>.

==== Méthode par combinaison ou élimination ====
Cette méthode est aussi appelée « méthode par [[combinaison linéaire]] ».

'''Exemple''' : Reprenons le système
:<math>\begin{cases}4x + 2y&= -1\\ 3x - y&= 2\end{cases}</math>

On obtient un système ''équivalent'' en ''conservant la première ligne'' et en multipliant la seconde par 2 puis en lui ajoutant la première, de façon à éliminer <math>y</math>. Le système devient :
:<math>\begin{cases}4x +2y&= -1 \\2 \times 3x - 2 \times y&= 2 \times 2 \end{cases}</math>, c'est-à-dire <math>\begin{cases}4x +2y&= -1 \\ 6x - 2y&= 4\end{cases}</math>
puis (par addition) :
:<math>\begin{cases}4x +2y&= -1 \\10x&= 3\end{cases}</math>, c'est-à-dire <math>\begin{cases}4x +2y&= -1 \\ x&= \dfrac3{10}.\end{cases}</math>

Remplaçons <math>x</math> par <math>\dfrac3{10}=0{,}3</math> dans la première ligne. Elle devient :
* <math>4 \times 0{,}3 + 2y = -1</math> ;
* <math>1{,}2 + 2y = -1\,</math> ;
* <math>2y = -1 - 1{,}2 = -2{,}2</math> ;
* <math>y = \dfrac{-2{,}2}2= -1{,}1</math>.

Le système initial est donc équivalent à
:<math>\begin{cases}y&=-1{,}1\\ x&=0{,}3\end{cases}</math>
On retrouve ainsi qu'il a une unique solution : le couple <math>(0{,}3,-1{,}1)</math>.

==== Cas général ====
{{Voir|Règle de Cramer}}
D'une manière générale, un système de la forme
:<math>\left\{\begin{matrix}
ax+by = e\\
cx+dy = f\end{matrix}\right.</math>
dont le déterminant <math>ad-bc</math> est non nul a pour unique solution :
:<math>x = { \begin{vmatrix}e&b\\f&d\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc},\quad y = { \begin{vmatrix}a&e\\c&f\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} } =  { af - ec \over ad - bc}.</math>

== Système de 3 équations à 3 inconnues ==
Les systèmes de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :

=== Méthode par substitution ===

: <math>\left\{\begin{matrix} x+10y-3z=5 \quad[1] \\ 2x-y+2z=2 \quad[2] \\ -x+y+z=-3 \quad[3] \end{matrix}\right.</math>.

Pour résoudre ce système de 3 équations à  3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1] 
: [1] : <math>x=-10y+3z+5 </math>.

Maintenant on remplace l'inconnue <math>x</math> dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre.
:<math>\left\{\begin{matrix} 2(-10y+3z+5)-y+2z=2 [2] \\ -(-10y+3z+5)+y+z=-3 [3] \end{matrix}\right.</math>.

Après avoir trouvé <math>y</math> et <math>z</math>, on les remplace dans l'équation [1] pour trouver <math>x</math>.

=== Méthode par élimination ===
:<math>\begin{cases}x&-&3y&+&10z&=5&[1]\\2x&+&2y&-&z&=2&[2]\\-x&+&y&+&z&=-3&[3]\end{cases}</math>

Pour résoudre ce système, on peut éliminer <math>x</math> par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations [2'] := –2 × [1] + [2] et [3'] := [1] + [3]. Puisque ''cette transformation est réversible'' ([2] = [2'] + 2 × [1] et [3] = [3'] – 1), le système initial est ''équivalent'' au nouveau système
:<math>\begin{cases}x&-&3y&+&10z&=5&[1]\\&&8y&-&21z&=-8&[2']\\&&-2y&+&11z&=2&[3']\end{cases}</math>

Il suffit alors d'éliminer une autre inconnue, <math>y</math> par exemple dans l'équation [3'], en remplaçant cette dernière (là encore, de façon réversible) par 4 × [3'] + [2']. Le système est donc équivalent au système suivant, qui est [[Matrice échelonnée|échelonné]] (et même [[Matrice triangulaire|triangulaire]]) :
:<math>\begin{cases}x&-&3y&+&10z&=5&[1]\\&&8y&-&21z&=-8&[2']\\&&&&23z&=0&[3'']\end{cases}</math>

L'équation [3"] détermine <math>z</math> qui, remplacé dans l'équation [2'], détermine <math>y</math>. Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1], déterminent <math>x</math>.

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de [[méthode du pivot de Gauss]].

== Notes et références ==
{{Crédit d'auteurs|interne|Système d'équations (mathématiques élémentaires)|130559878}} 
{{références|colonnes=1}}

{{Palette|Mathématiques élémentaires}}
{{Portail|algèbre}}

[[Catégorie:Algèbre linéaire]]
[[Catégorie:Équation]]