Voir la source de Système d'Anosov

{{article général|théorie du chaos}}
{{ébauche|analyse}}
En théorie des [[système dynamique|systèmes dynamiques]], un '''système d'Anosov''' est un système ''hyperbolique'', qui présente une dynamique extrêmement ''[[théorie du chaos|chaotique]]''.

== Définition ==

=== Notion de système dynamique différentiel ===

Un [[système dynamique]] différentiel est défini par une application [[bijection|bijective]] <math>\phi_t : \Gamma \to \Gamma </math> de l'[[espace des phases]] du système sur lui-même, telle qu'à une condition initiale <math>x_0</math> soit associé un et un seul état futur à l'instant ''t'' (condition de [[déterminisme]]) :

{| align="center" border="0"
|<math>x(t) \ = \ \phi_t(x_0)</math>
|}

Lorsque le temps ''t'' varie, cette bijection engendre un ''[[flot (mathématiques)|flot]]'' sur <math>\Gamma </math>, c’est-à-dire un [[groupe continu à un paramètre]] <math>\phi_t</math> tel que :

{| align="center" border="0"
|<math>\phi_0 \ = \ \mathrm{Id}
</math>
|}

{| align="center" border="0"
|<math>\forall \ (t,s) \, \in \, \mathbb{R}^2 \, \quad \phi_t \ \circ \phi_s \ = \ \phi_{t+s}
</math>
|}

Cette modélisation mathématique correspond par exemple au [[mécanique hamiltonienne|flot hamiltonien]] de la [[mécanique classique]], ainsi qu'au [[flot géodésique]] sur une [[variété riemannienne]].

=== La propriété d'hyperbolicité ===

L''''hyperbolicité''' de l'espace des phases a été mise en évidence par [[Dmitri Anosov]] par analogie avec le [[flot géodésique]] de surfaces à courbure négative de la [[géométrie hyperbolique]].

Typiquement pour un flot hamiltonien, l'hypersurface d'énergie constante <math>S_E</math> de l'espace des phases admet ''presque partout'' une décomposition du type :

<center><math>S_E \ = \ E_0 \ \oplus \ E_S \ \oplus \ E_I</math></center>

où :

* <math>E_0</math> est une variété à une dimension dans la direction du flot.
* <math>E_S</math> est le sous-espace des directions '''stables''', directions perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a ''contraction'' exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des [[exposant de Lyapounov|exposants de Lyapounov]] ''négatifs'' (cette variété est donc instable vers le passé.)
* <math>E_I</math> est le sous-espace des directions '''instables''', directions également perpendiculaires au flot. Pour une perturbation dirigée selon ces directions, il y a ''dilatation'' exponentielle vers le futur, ce qui correspond à des exposants de Lyapounov ''positifs'' (cette variété est donc stable vers le passé.).

Le fait qu'il existe nécessairement certaines directions contractantes complémentaires aux directions dilatantes peut être vu comme une conséquence du [[Théorème de Liouville (hamiltonien)|théorème de Liouville]], qui dit que le flot hamiltonien préserve le volume dans l'espace des phases.

Pour un système chaotique dissipatif, il n'y a pas nécessairement de directions contractantes partout dans l'espace des phases, mais il existe en général au moins un sous-ensemble « [[attracteur]] » dans cet espace des phases sur lequel la dynamique est hyperbolique presque partout.

== Articles connexes ==

* [[Système dynamique]]
* [[Théorie du chaos]]
* [[Théorie ergodique]]
* [[Sensibilité aux conditions initiales]]
* [[Chat d'Arnold]]

== Bibliographie ==

* {{en}} D. Anosov, « Geodesic flows on compact Riemannian manifolds of negative curvature », ''Proceedings of the Steklov Mathematical Institute'', vol. 90, {{n°}} 1, 1967, {{p.|1-235}}

=== Ouvrages d'initiation ===
* [[John H. Hubbard]] et Beverly H. West, ''Équations différentielles et systèmes dynamiques'', Cassini, 1999 {{ISBN|978-2-84225015-7}}
* [[Grégoire Nicolis]] et [[Ilya Prigogine]], ''À la rencontre du complexe'', coll. « Philosophie d'aujourd'hui », [[PUF]], 1992 {{ISBN|978-2-13043606-5}}
* {{en}} {{Lien|langue=de|fr=Boris Hasselblatt}} et [[Anatole Katok]], ''A First Course in Dynamics with a Panorama of Recent Developments'', [[Cambridge University Press]], 2003 {{ISBN|0-521-58750-6}} {{lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=SrGeiW49TFwC}}
* {{en}} Anatole Katok et Boris Hasselblatt, ''Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems'', coll. « Encyclopedia of Mathematics and Its Applications » ({{n°}} 54), Cambridge University Press, 1997 {{ISBN|978-0-52157557-7}} {{Lire en ligne|url=https://books.google.fr/books?id=9nL7ZX8Djp4C}}

=== Ouvrages plus techniques ===

* {{en}} [[Stephen Smale]], ''The mathematics of time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics'', Springer-Verlag, 1980 {{ISBN|978-0-387-90519-8}}
* {{en}} Boris Hasselblatt et Anatole Katok (eds.), ''Handbook of Dynamical Systems'', Elsevier. ''Vol. 1A'', 2002 {{ISBN|978-0-444-82669-5}} ; ''Vol. 1B'', 2005 {{ISBN|978-0-444-52055-5}}
* {{en}} [[Bernold Fiedler]] (ed.), ''Handbook of Dynamical Systems''. ''Vol. 2: Applications'', Elsevier, 2002 {{ISBN|978-0-444-50168-4}} ; ''Vol. 3: Geometric Methods of Differentiable Dynamics'', Elsevier, 2010 {{ISBN|978-0-444-53141-4}}
* {{en}} [[Leonid Bunimovich]], [[Roland Dobrushin|Roland Lwowitsch Dobruschin]], [[Iakov Sinaï]], [[Anatoly Vershik]] {{et al.}}, ''Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications'', Series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences '''100''', Volume package: Mathematical Physics, Springer-Verlag, {{2e|édition}}, 2000 {{ISBN|978-3-540-66316-4}}

=== Bibliothèque virtuelle ===

* Paul Manneville, ''Systèmes dynamiques et chaos'', 1998, 233 pages {{lire en ligne|url=http://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/manneville.html}}{{Commentaire biblio|Cours donné par l'auteur (LadHyX, École Polytechnique) aux DEA de Physique des Liquides et de Mécanique.}}
* {{en}} [[David Ruelle]], « Ergodic theory of differentiable dynamical systems », ''[[Publ. Math. IHES]]'', vol. 50, 1979, {{p.|27-58}} {{lire en ligne|url=http://archive.numdam.org/article/PMIHES_1979__50__27_0.pdf}}

{{Portail|analyse|physique}}

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