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Un '''système différentiel''' est un ensemble d'[[Équation différentielle|équations différentielles]] couplées, c'est-à-dire d'équations différentielles qui ne peuvent pas être résolues séparément.

Il s'agit en général d'[[équation différentielle ordinaire|équations différentielles ordinaires]], mais un ensemble d'[[Équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] peut aussi être qualifié de système différentiel.

== Exemples ==
=== Équations différentielles couplées ===
[[Système dynamique de Lorenz|Système de Lorenz]] :
:<math>\left\{\begin{align}
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=\sigma\,[(y(t)-x(t)]\\
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=\rho\,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\
\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}&=x(t)\,y(t)-\beta\,z(t)
\end{align}\right.</math>

Ce système à seulement trois [[degré de liberté (mécanique)|degrés de liberté]] est une simplification des [[équations de Navier-Stokes]] (voir ci-dessous), applicable à la [[Convection#Convection de Rayleigh-Bénard|convection de Rayleigh-Bénard]] pour des [[nombre de Rayleigh|nombres de Rayleigh]] supérieurs à la valeur critique (<math>\rho=\mathrm{Ra/Ra_c}</math>). C'est un des systèmes différentiels les plus simples conduisant à un [[théorie du chaos|comportement chaotique]] (ainsi qu'à des trajectoires périodiques).

=== Équations aux dérivées partielles couplées ===
[[Équations de Navier-Stokes]] :
:<math>\left\{\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}(\rho\,\mathbf{u})+\nabla\cdot(\rho\,\mathbf{u}\otimes\mathbf{u})&=-\nabla\cdot p\,\mathbf{I}+\nabla\cdot\boldsymbol\tau+\rho\,\mathbf{g}\\
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}\right)&=-\nabla\bar{p}+\mu\,\nabla^2\mathbf u+\tfrac13 mu\,\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})+\rho\mathbf{g}
\end{align}\right.</math>
où les grandeurs <math>p</math> et <math>\boldsymbol\tau</math> sont reliées à <math>\mathbf{u}</math> par des relations non différentielles.

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des [[Fluide newtonien|fluides newtoniens]], et constituent le cœur de la [[dynamique des fluides]].

== Système différentiel vs équation différentielle unique ==
La résolution d'un système d'équations différentielles peut être ramenée à celle d'une unique équation différentielle, d'ordre supérieur. Dans le [[Système dynamique de Lorenz|système de Lorenz]] par exemple (cf. ci-dessus), on peut utiliser la {{1e}} équation pour exprimer <math>y(t)</math> en fonction de <math>x(t)</math> et <math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math>, et reporter le résultat dans les deux autres équations. On peut ensuite extraire <math>z(t)</math> de la {{2e}} équation pour l'exprimer en fonction de <math>x(t)</math>, <math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math> et <math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}</math>, et reporter le résultat dans la {{3e}} et dernière équation. On obtient ainsi une unique relation entre <math>x(t)</math>, <math>\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math>, <math>\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}</math> et <math>\frac{\mathrm{d}^3x}{\mathrm{d}t^3}</math>, c'est-à-dire une équation différentielle d'ordre 3.

Réciproquement, on peut transformer une équation différentielle d'ordre ''n'' en un système différentiel d'ordre 1 et de dimension ''n'' (c'est-à-dire un ensemble de ''n'' équations différentielles couplées, chacune d'ordre 1).

== Cas particuliers ==
=== Systèmes différentiels linéaires ===
Un système différentiel linéaire est constitué d'[[équation différentielle linéaire|équations différentielles linéaires]] (la linéarité porte sur les fonctions inconnues et sur leurs dérivées).

Un système différentiel d'ordre 1 et de dimension <math>n</math> est équivalent à une unique équation différentielle d'ordre <math>n</math>, et réciproquement. Plus généralement, tout système (de dimension quelconque) d'équations différentielles linéaires (d'ordre quelconque) peut s'écrire comme un système différentiel linéaire d'ordre 1, qu'on peut mettre sous la forme canonique :
:<math>\frac{\mathrm d\mathbf x}{\mathrm dt}=\mathbf L(t)\cdot\mathbf x(t)</math>
où <math>\mathbf x(t)</math> est un [[vecteur colonne]] rassemblant les <math>n</math> fonctions inconnues <math>x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t)</math> et <math>\mathbf L(t)</math> une [[matrice carrée]] dont les éléments sont des fonctions connues de la variable <math>t</math>. Le système a une solution unique si on lui adjoint <math>n</math> conditions supplémentaires, en général sous la forme de [[condition initiale|conditions initiales]] :
:<math>\mathbf x(t_0)=\mathbf x_0</math>
où <math>t_0</math> est un certain instant (« initial ») et <math>\mathbf x_0</math> une colonne de <math>n</math> constantes.

Comme tout système d'ordre 1 muni de conditions initiales, le système ci-dessus a une solution unique. On peut l'expliciter quand <math>\mathbf L(t)</math>, la matrice des coefficients, [[Produit matriciel#Exemples|commute]] avec sa dérivée <math>\mathrm d\mathbf L/\mathrm dt</math><ref group=alpha>C'est notamment le cas quand <math>\mathbf L(t)</math> est une matrice constante (<math>\mathbf L(t)=\mathbf L_0</math>), ou proportionnelle à une matrice constante (<math>\mathbf L(t)=\mathbf L_0f(t)</math>), ou bien encore si elle est [[matrice diagonale|diagonale]].</ref> :
:<math>\mathbf x(t)=\exp\left(\int_{t_0}^t\mathbf L(\tau)\,\mathrm d\tau\right)\cdot\mathbf x_0</math>
où <math>\exp</math> désigne l'opérateur d'[[exponentielle d'une matrice|exponentiation matricielle]]<ref>{{article| langue=en| auteur1=Ariel Provost| auteur2=Cécile Buisson| auteur3=Olivier Merle| périodique=Journal of Geophysical Research: Solid Earth| titre=From progressive to finite deformation and back| volume=109| numéro=B2| numéro article=B02405| pages=1-11| date=février 2004| doi=10.1029/2001JB001734| lire en ligne=https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/2001JB001734| consulté le=10 juin 2018}}.</ref>{{,}}<ref group=alpha>Pour vérifier que cette expression est bien une (la) solution du système différentiel et des conditions initiales ci-dessus, il suffit de calculer <math>\frac{\mathrm d\mathbf x}{\mathrm dt}</math> en appliquant la définition de l'[[exponentielle d'une matrice]] : <math>\mathrm e^A=I+A+\frac{A^2}2+\cdots+\frac{A^n}{n!}+\cdots</math>.</ref>. Dans le cas général on ne sait exprimer la solution que sous la forme d'un [[développement en série]]<ref name=Pham1962>{{Ouvrage| auteur1=Daniel Pham| titre=Techniques du Calcul Matriciel| lieu=Paris| éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]]| année=1962| pages totales=387| passage=232-235}}.</ref>{{,}}{{note|groupe=alpha|On connaît une [[Solution de forme fermée|solution analytique fermée]] dans quelques rares cas où <math>\mathbf L(t)</math> ne commute pas avec sa dérivée, notamment celui d'une [[matrice triangulaire]]<ref name=Pham1962/>.}}.

=== Systèmes différentiels autonomes ===
Quand on parle de systèmes autonomes la variable est en général le temps ''t''. Un système différentiel est dit [[Équation différentielle autonome#Système différentiel autonome|autonome]] si ses équations ne comportent aucune fonction de ''t'' autre que les fonctions inconnues et leurs dérivées ([[Équation différentielle autonome|équations différentielles autonomes]]).

C'est notamment le cas du [[Système dynamique de Lorenz|système de Lorenz]] ci-dessus, ainsi que des équations de Navier-Stokes si les paramètres (<math>\rho</math>, <math>\vec g</math>{{etc.}}) et les [[condition aux limites|conditions aux limites]] ne dépendent pas explicitement du temps.

La particularité d'un système autonome est que par tout point de l'espace des solutions il passe une trajectoire et une seule. Dans le cas du système de Lorenz par exemple, par tout point A (de coordonnées <math>x_\mathrm A,y_\mathrm A,z_\mathrm A</math>) il passe une unique trajectoire <math>\{x(t),y(t),z(t)\}</math> (au choix près de l'origine des temps).

==== Réciproque ====
Il est possible, dans une certaine mesure, de remonter des séries temporelles observées au système autonome qui les a engendrées, s'il est polynomial et suffisamment concis (jusqu'à {{nobr|9 termes}}). La procédure, testée sur {{nobr|28 cas}} théoriques impliquant jusqu'à {{nobr|5 variables}}, est relativement robuste au [[bruit numérique|bruit]]<ref>{{lien web| url=http://www.insu.cnrs.fr/node/9782| site=[[Institut national des sciences de l'univers|INSU]]| titre=Est-il possible de retrouver les équations qui gouvernent la dynamique d’un système environnemental exclusivement à partir de séries de mesures ?| date=1 mars 2019| consulté le=7 mars 2019}}.</ref>{{,}}<ref>{{article| langue=en| titre=Can the original equations of a dynamical system be retrieved from observational time series?| auteur1=Sylvain Mangiarotti| auteur2=Mireille Huc| périodique={{lien|Chaos (journal)| texte=Chaos}}| volume=29| numéro article=023133| pages=1-13| date=25 février 2019| doi=10.1063/1.5081448}}.</ref>.

== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références| groupe=alpha}}

=== Références ===
{{références}}

{{portail| analyse}}

[[Catégorie:Équation différentielle]]