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{{articles connexes| Dynamique des systèmes| Théorie des systèmes dynamiques}}

En [[mathématiques]], en [[chimie]] ou en [[physique]], un '''système dynamique''' est un [[système]] dont l'évolution dans le temps est décrite par une loi. Ce peut être l'évolution d'une [[réaction chimique]] au cours du temps, le mouvement des planètes dans le [[système solaire]] (régi par la [[loi universelle de la gravitation]] de Newton) ou encore l'évolution de la mémoire d'un ordinateur sous l'action d'un [[programme informatique]]. Formellement on distingue les [[Système temps discret|systèmes dynamiques à temps discret]] (comme un programme informatique) des [[Système temps continu|systèmes dynamiques à temps continu]] (comme une réaction chimique).

Un système dynamique est [[causalité (physique)|causal]], c’est-à-dire que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé ou du présent. Il peut être :
* [[déterministe]], c’est-à-dire qu'à une « [[condition initiale]] » donnée à l'instant « présent » va correspondre à chaque instant ultérieur ''un et un seul'' état « futur » possible. Par exemple les systèmes modélisés par des [[Équation différentielle ordinaire|équations différentielles ordinaires]] dont l'existence et l'unicité des solutions est vérifiée.
* [[Processus stochastique|stochastique]], si son évolution est [[Équation différentielle stochastique|régie par une loi de probabilité]]. C'est le cas des systèmes décrits par des [[Équation différentielle stochastique|équations différentielles stochastiques]].
Bien que les deux termes soient souvent opposés, il existe des systèmes à la fois non [[Processus stochastique|stochastiques]] et non [[Système déterministe|déterministes]]<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Hugo Lavenant |titre=https://hugolav.github.io/msc/determinisme.pdf |url=https://hugolav.github.io/msc/determinisme.pdf |format=pdf |date=12 décembre 2014}}</ref>{{,}}<ref>{{Chapitre|prénom1=Karl|nom1=Svozil|titre chapitre=Classical (In)Determinism|titre ouvrage=Physical (A)Causality|volume=192|éditeur=Springer International Publishing|date=2018|pages totales=135–140|isbn=978-3-319-70814-0|doi=10.1007/978-3-319-70815-7_17|lire en ligne=http://link.springer.com/10.1007/978-3-319-70815-7_17|consulté le=2024-07-08}}</ref>{{,}}<ref>{{Lien web |langue=en |prénom=Charlotte |nom=Werndl |titre=Determinism and Indeterminism |url=http://www.oxfordhandbooks.com/ |site=www.oxfordhandbooks.com |date=2015 |consulté le=2024-07-08}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Thomas|nom1=Müller|prénom2=Tomasz|nom2=Placek|titre=Defining Determinism|périodique=The British Journal for the Philosophy of Science|volume=69|numéro=1|pages=215–252|date=2018-03-01|issn=0007-0882|issn2=1464-3537|doi=10.1093/bjps/axv049|lire en ligne=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1093/bjps/axv049|consulté le=2024-07-08}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|prénom1=Alexandre|nom1=Korolev|titre=Indeterminism, Asymptotic Reasoning, and Time Irreversibility in Classical Physics|périodique=Philosophy of Science|volume=74|numéro=5|pages=943–956|date=2007|issn=0031-8248|doi=10.1086/525635|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/10.1086/525635|consulté le=2024-07-07}}</ref>. Pour ces systèmes, une « [[condition initiale]] » donnée à l'instant « présent » donne à chaque instant ultérieur ''un ensemble'' d'états « futurs » possibles sans qu'aucune notion d'aléatoire ne soit pour autant mise en jeu. C'est le cas des systèmes modélisés par certaines [[Équation différentielle ordinaire|équation différentielles ordinaires]] ne respectant pas le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]]  (le [[dôme de Norton]] en est un exemple en [[mécanique newtonienne]]<ref>{{Lien web |titre=The Dome |url=https://sites.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Dome/ |site=sites.pitt.edu |consulté le=2024-07-07}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|prénom1=John D.|nom1=Norton|titre=The Dome: An Unexpectedly Simple Failure of Determinism|périodique=Philosophy of Science|volume=75|numéro=5|pages=786–798|date=2008|issn=0031-8248|doi=10.1086/594524|lire en ligne=https://www.jstor.org/stable/10.1086/594524|consulté le=2024-07-07}}</ref>), ou encore des systèmes modélisés par des [[:en:Differential_inclusion|inclusions différentielles]].

Les systèmes déterministes pour lesquels on peut également décrire parfaitement tous les états passés à partir d'un état présent et de son futur sont appelés '''systèmes dynamiques réversibles'''.

== Notion d'état dynamique ==
Il faut faire attention au sens très particulier que prend la notion d’état pour la théorie des systèmes dynamiques. [[Paradoxe de la flèche|Un paradoxe]] de [[Zénon d'Élée|Zénon]] permet de présenter la difficulté. Zénon demandait : « Soit une flèche en vol. À un instant, est-ce qu’elle est au repos ou en mouvement ? » Si on répondait qu’elle est en mouvement, il disait « Mais être en mouvement, c’est changer de position. À un instant, la flèche a une position, elle n’en change pas. Elle n’est donc pas en mouvement. » Si on répondait qu’elle est au repos, il disait « Mais si elle est au repos à cet instant, elle est aussi au repos à tous les autres instants, elle est donc toujours au repos. Elle n’est jamais en mouvement. Mais comment alors peut-elle passer d’une position à une autre ? » Il en concluait qu’il n’est pas possible de dire des vérités sur ce qui est en mouvement. Tout ce qui est en mouvement serait par nature mensonger et il n’y aurait pas de vérités à propos de la matière mais seulement à propos des grandes idées, pourvu qu’elles soient immuables. Le sens commun est exactement inverse. On croit plus couramment à la vérité de ce qu’on voit qu’aux vérités [[métaphysique]]s. La théorie des systèmes dynamiques rejoint le sens commun sur ce point.

La notion d’état dynamique fournit une solution au paradoxe de Zénon : à un instant, la flèche est en mouvement, elle a une position mais elle est en train de changer de position, elle a une vitesse instantanée. Les nombres qui mesurent sa position et sa vitesse sont les valeurs de ses [[Fonction d'état#Variables d.E2.80.99.C3.A9tat|variables d’état]]. Les variables d’état sont toutes les [[Grandeur physique|grandeurs physiques]] qui déterminent l’état instantané du système et qui ne sont pas constantes a priori. On les appelle aussi les variables dynamiques. Si on prend une photo au flash, on ne voit pas que la flèche est en mouvement, mais on peut le détecter par d’autres moyens, par l’[[Effet Doppler-Fizeau|effet Doppler]] par exemple, sans avoir à mesurer un changement de position. L’état dynamique d’un système est un état instantané, mais c’est un état de mouvement. Il est déterminé par les valeurs de toutes les variables d’état à cet instant.

=== Espace des phases ===
L'[[espace des phases]] est une structure correspondant à l'ensemble de tous les états possibles du système considéré. Ce peut être un [[espace vectoriel]], une [[variété différentielle]] ou un [[fibré vectoriel]], un [[espace mesurable]]…

Pour un système possédant ''n'' [[degré de liberté|degrés de liberté]], par exemple, l'espace des phases <math>\Gamma </math> du système possède ''n'' dimensions, de telle sorte que l'état complet <math>x(t)\in\Gamma</math> du système à l'instant ''t'' est en général un [[vecteur]] à ''n'' composantes.

== Système dynamique à temps discret, suite récurrente ==
=== Dynamique discrète ===
Un système dynamique discret (parfois dit ''[[Système temps discret|temps-discret]]'') est généralement défini par une [[suite récurrente]], via une application [[bijection|bijective]] <math>\phi:\Gamma\to\Gamma</math> de l'espace des phases sur lui-même (on étudie aussi la dynamique d'applications non nécessairement bijectives, notamment en [[dynamique holomorphe]]). Elle opère de la façon suivante : étant donné une condition initiale <math>x_0</math> de l'état du système, le premier état suivant est :

{| align="center" border="0"
|<math>x_1 \ = \ \phi(x_0)</math>
|}

Le second état, qui suit immédiatement le premier, est :

{| align="center" border="0"
|<math>x_2 \ = \ \phi(x_1) \ = \ \phi(\phi(x_0)) \ = \ (\phi \circ \phi)(x_0) \ = \ \phi^2(x_0)</math>
|}

et ainsi de suite, de telle sorte que le ''n''-ième état est donné par :

{| align="center" border="0"
|<math>x_n \ = \ \phi(x_{n-1}) \ = \ \dots \ = \ \phi^n(x_0)</math>
|}

Pour remonter dans le passé, il suffit d’inverser la fonction <math>\phi</math>, ce qui est toujours possible pour une bijection.

=== Classification des dynamiques ===
On distingue plusieurs grands types de dynamiques en fonction de la nature mathématique de l'espace des phases :
* lorsque <math>\Gamma </math> est un [[espace topologique]] et l'application <math>\phi : \Gamma \to \Gamma </math> un [[homéomorphisme]], on parle de ''dynamique topologique'' ;
* lorsque <math>\Gamma </math> est une [[variété différentielle]] et l'application <math>\phi : \Gamma \to \Gamma </math> un [[difféomorphisme]], on parle de ''dynamique différentielle'' ;
* lorsque <math>\Gamma </math> est une [[Variété complexe|variété analytique complexe]] et l'application <math>\phi : \Gamma \to \Gamma </math> est [[Fonction holomorphe|holomorphe]], on parle de ''dynamique holomorphe'' ou ''dynamique complexe'' ;
* lorsque <math>\Gamma </math> est un [[espace mesuré]] et <math>\phi : \Gamma \to \Gamma </math> une application qui préserve la [[mesure (mathématiques)|mesure]], on entre dans le domaine de la ''[[théorie ergodique]]'', et on parle de [[système dynamique mesuré]].

=== Exemples ===
==== La fonction logistique ====
{{Article détaillé|suite logistique}}
[[Fichier:LogisticMap_BifurcationDiagram.png|vignette|upright=2|Bifurcations de la fonction logistique.]]
La fonction logistique est une application du segment [0, 1] dans lui-même qui sert de récurrence à la suite :

{| align="center" border="0"
|<math>x_{n+1} \ = \ r \, x_n \ (1 - x_n)</math>
|}

où ''n'' = 0, 1, … dénote le temps discret, <math>x</math> l'unique variable dynamique, et ''r'' un paramètre réel compris entre 0 et 4<ref>Lorsque le paramètre ''r'' devient strictement supérieur à quatre, l'application sort de l'intervalle [0, 1].</ref>.

La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre ''r'' :
* Pour <math>0 \le r < 3 </math>, le système possède un [[point fixe]] attractif, qui devient instable lorsque <math>r = 3</math>.
* Pour <math>3 \le r < 3,57\ldots</math>, l'application possède un [[attracteur]] qui est une orbite périodique, de période <math>2^n</math> où ''n'' est un entier qui tend vers l'infini lorsque ''r'' tend vers 3,57…
* Lorsque <math>r = 3,57\ldots</math>, l'application possède un attracteur de [[Mitchell Feigenbaum|Feigenbaum]] [[fractal]] (mais non [[#Le système de Lorenz (1963)|étrange]]) découvert par [[Robert May]] en 1976<ref>{{en}} R.M. May, Nature '''261''' (1976), 459.</ref>.
* Le cas <math>r = 4</math> avait été étudié dès 1947 par [[Stanislas Ulam]] et [[John von Neumann]]<ref>{{en}} S. Ulam et J. von Neumann, ''Bulletin of the American Mathematical Society'', 53 (1947), 1120.</ref>. On peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante [[théorie ergodique|ergodique]]<ref>{{en}} Pierre Collet et {{Lien|Jean-Pierre Eckmann}}, ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Birkhaüser, 1980.</ref>.

On obtient donc une succession de bifurcations de la régularité vers le chaos lorsque le paramètre augmente, résumée sur la figure ci-jointe.

==== L'application « chat » d'Arnold (1968) ====
Le nom d'application « ''chat'' » provient d'un jeu de mots anglais intraduisible en français : en effet, « ''chat'' » se dit « {{Langue|en|cat}} » en anglais, et [[Vladimir Arnold]] utilisait ce mot comme [[acronyme]] de : « {{Langue|en|Continuous Automorphisms of the Torus}}, littéralement : « ''[[homéomorphisme|automorphismes continus]] du [[tore]]'' ».

L'application « chat »<ref>{{en}} Vladimir I. Arnold et André Avez, ''Ergodic Problems of Classical Mechanics'', (1968) ; Réédition : Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (mai 1989), ASIN 0201094061.</ref> est une application du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :

{| align="center" border="0"
|<math>\begin{matrix}x_{n+1} & = & x_n \, + \, y_n \quad (\mathrm{mod} \ 1) \\ y_{n+1} & = & x_n \, + \, 2 \, y_n \quad (\mathrm{mod} \ 1)
\end{matrix}</math>
|}

où ([[Relation d'équivalence|mod]] 1) signifie : à un entier près. Cette condition entraine que le carré [0, 1] × [0, 1] voit ses bords recollés deux à deux pour former le « tore » du titre. Il s'agit d'un système dynamique conservatif, qui préserve la [[mesure de Lebesgue]] d''x'' d''y''.

Cette application a des propriétés intéressantes qui permettent d'illustrer des concepts fondamentaux de la théorie des systèmes dynamiques<ref>C'est l'un des exemples canoniques de {{harvsp|Hasselblatt|Katok|1997}}.</ref>.

==== L'application de Hénon (1976) ====
L'application de [[Michel Hénon]]<ref>{{en}} Michel Hénon, ''A two-dimensionnal mapping with a strange attractor'', Communication in Mathematical Physics '''50''' (1976), 69 {{lire en ligne|lien=http://projecteuclid.org/Dienst/Repository/1.0/Disseminate/euclid.cmp/1103900150/body/pdf|langue=en|texte=texte intégral}}{{pdf}}</ref>{{,}}<ref>{{en}} James H. Curry, ''On the Henon transformation'', Communication in Mathematical Physics '''68''' (1979), 129 {{lire en ligne|lien=http://projecteuclid.org/Dienst/Repository/1.0/Disseminate/euclid.cmp/1103905308/body/pdf|langue=en|texte=texte intégral}}{{pdf}}</ref> est une [[bijection]] du carré [0, 1] × [0, 1] dans lui-même définie par :

{| align="center" border="0"
|<math>\begin{matrix}x_{n+1} & = & y_n \, + \, 1 \, - \, a \, x_n^2 \\ y_{n+1} & = & b \, x_n
\end{matrix}</math>
|}

où ''a'' et ''b'' sont deux paramètres, dont des valeurs typiques sont <math>a= 1,4</math> et <math>b = 0,3</math>. Avec ces valeurs, la dynamique présente un attracteur étrange de nature fractale, de type Cantor<ref>Avec ''a'' = 1,3 et ''b'' = 0,3, l'attracteur étrange ''disparait'' totalement au profit d'un attracteur en forme d'orbite périodique, de période 7.</ref>.

Hénon a obtenu ses équations en cherchant une version simplifiée du [[système dynamique de Lorenz]] à temps continu introduit en 1963 {{infra|Le système de Lorenz (1963)}}. Le système dynamique de Hénon ''n'est pas conservatif'', car le [[jacobien]] de la transformation est constant<ref>Ce type d'application polynomiale de jacobien constant est appelée « transformation entière de Cremona ». Cf. {{de}} Wolfgang Engel, ''Ein Satz über ganze Cremona-Transformationen der Ebene'', [[Mathematische Annalen]] '''130''' (1955), 11 et : ''Ganze Cremona-Transformationen von Primzahlgrad in der Ebene'', ''Mathematische Annalen'' 136 (1958), 319.</ref> et vaut <math>-b</math>, qui est différent de l'unité dans les cas intéressants.

L'application de Hénon est aussi étudiée et généralisée en tant que système dynamique complexe (dans <math>\Complex^2</math>).

==== Autres exemples ====
* L'application de décalage sur les suites binaires définie comme suit. L'espace dynamique est l'ensemble des [[suite (mathématiques)|suites]] de <math>0</math> et de <math>1</math> et l'application à itérer est l'application <math>\sigma</math>, dite de ''décalage'' (traduction du terme anglophone ''shift'', parfois utilisé en français) qui décale la suite d'un cran vers la gauche : si <math>x=(x_0,x_1,x_2,...)</math> est une suite de <math>0</math> et de <math>1</math>, <math>\sigma(x)</math> est la suite <math>(x_1,x_2,x_3,...)</math>. Ce modèle de système dynamique se généralise et son importance se trouve dans le fait qu'il résulte généralement du codage d'un système dynamique par une {{Lien|langue=en|trad=Markov partition|fr=partition de Markov}}.
* La [[#Classification des dynamiques|dynamique holomorphe]] sur le plan complexe <math>\Complex</math>. C'est dans ce cadre que l'on définit l'[[ensemble de Mandelbrot]] et les [[Ensemble de Julia|ensembles de Julia]].
* La [[Théorie de la percolation|percolation]].

== Système dynamique à temps continu, système différentiel ==
Depuis les travaux d'[[Isaac Newton]] ([[1687]]), l'idée que l'évolution temporelle d'un système physique quelconque est bien [[modèle|modélisée]] par une [[équation différentielle]] (ou ses généralisations à la théorie des champs, les [[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]]) est admise. Cette modélisation différentielle s'est depuis étendue avec succès à d'autres disciplines comme la [[chimie]], la [[biologie]], l'[[sciences économiques|économie]]…

On considère typiquement un [[système différentiel]] du premier ordre du type<ref>Rappelons qu'une équation différentielle d'ordre ''n'' peut toujours se ramener à un système de ''n'' équations différentielles couplées d'ordre un.</ref> :

{| align="center" border="0"
|<math>\frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} \ = \ f(x(t),t)
</math>
|}

où la fonction ''f'' définit le système dynamique étudié (pour un système à ''n'' degrés de liberté, il s'agit à proprement parler d'un [[champ de vecteurs]] à ''n'' dimensions, c’est-à-dire, d'un point de vue prosaïque, un ensemble de ''n'' fonctions scalaires). La dérivée "temporelle" <math>dx(t)/dt</math> est parfois notée <math>\dot{x}(t)</math>.

=== Problème de Cauchy ===
{{article détaillé|problème de Cauchy}}
On se pose la question suivante, appelée ''[[problème de Cauchy]]'' : étant donné une condition initiale <math>x_0</math> représentant l'état complet du système physique dans son espace des phases à un instant initial <math>t_0</math>, trouver l'état complet du système <math>x(t)</math> dans son espace des phases pour tout instant ultérieur <math>t > t_0 </math>. La solution à ce problème fondamental réside dans le [[théorème de Cauchy-Lipschitz]], qui assure (sous une hypothèse assez large) l'existence ''locale'' et l'unicité de la solution d'une équation différentielle.

=== [[Déterminisme]] ===
L’hypothèse que l’avenir est déterminé par le présent est très audacieuse. Son succès n’est pas a priori évident. Pourtant, toutes les grandes théories fondamentales de la physique l’ont adoptée, à la suite de Newton.

==== Déterminisme d'un système conservatif ====
Nous conviendrons de dire qu'un système physique ''conservatif'' est '''déterministe''' si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale <math>x_0</math> ''un et un seul état final'' <math>x(t)</math>. Il faut pour cela qu'il existe une application [[bijection|bijective]] <math>\phi_t : \Gamma \to \Gamma </math> de l'espace des phases sur lui-même telle que :

{| align="center" border="0"
|<math>x(t) \ = \ \phi_t(x_0)</math>
|}

Lorsque le temps <math>t</math> varie, cette bijection engendre un ''[[flot (mathématiques)|flot]]'' sur <math>\Gamma </math>, c’est-à-dire un [[groupe continu à un paramètre]] <math>\phi_t</math> tel que :

{| align="center" border="0"
|<math>\phi_0 \ = \ \mathrm{Id}
</math>
|}

{| align="center" border="0"
|<math>\forall(t,s)\in\R^2 \, \quad \phi_t \ \circ \phi_s \ = \ \phi_{t+s}
</math>.
|}

Cette description correspond par exemple au [[mécanique hamiltonienne|flot hamiltonien]] de la [[mécanique classique]], ainsi qu'au [[flot géodésique]].

==== Cas d'un système non conservatif ====
Lorsque le système physique considéré est non conservatif, l'application <math>\phi_t</math> n'est pas bijective<ref>En particulier, l'application <math>\phi_t</math> n'admet pas d'[[Bijection réciproque|inverse]].</ref>, et il existe en général un (ou plusieurs) [[attracteur]] dans l'espace des phases du système, c’est-à-dire un sous-ensemble de l'espace des phases invariant sous <math>\phi_t</math> vers lequel converge le point représentatif <math>x(t)</math> du système lorsque le temps <math>t</math> tend vers l'infini, et ce pour presque toute condition initiale <math>x_0</math>.

=== Exemples ===
==== L'[[oscillateur de Van der Pol]] (1928) ====
[[Fichier:Van der Pol phase space.png|vignette|upright=1.5|Oscillateur de Van der Pol.]]
L'oscillateur de [[Balthasar van der Pol|van der Pol]] ''libre'' ({{c.-à-d.}} sans excitation extérieure) est un système à un degré de liberté, décrit par la coordonnée ''x(t)'', qui possède deux paramètres :
* une pulsation <math>\omega_0</math> ;
* un coefficient de non-linéarité <math>\epsilon</math>.

Son équation différentielle s'écrit<ref>Introduit en 1928, cet oscillateur à relaxation a été introduit pour la modélisation des battements du cœur humain ; cf. {{en}} Balth. van der Pol et J. van der Mark, ''The Heartbeat considered as a Relaxation oscillation, and an Electrical Model of the Heart'', Philosophical Magazine Supplement '''6''' (1928), 763-775.</ref> :

{| align="center" border="0"
|<math>\frac{\mathrm d^2x(t)}{\mathrm dt^2} \ - \ \epsilon \, \omega_0 \ \left(1 - x^2(t) \right) \; \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} \ + \ \omega_0^2 \ x(t) \ = \ 0
</math>
|}

Ce [[système dissipatif]] possède une dynamique régulière lorsqu'il est libre, caractérisée par un [[attracteur]] en forme de ''[[cycle limite]]'' représenté sur la figure ci-contre (où on a posé <math>\omega_0 = 1 </math>) :

==== Le [[Système dynamique de Lorenz|système de Lorenz]] (1963) ====
[[Fichier:Lorenz attractor boxed.svg|vignette|Attracteur étrange de Lorenz.]]
En 1963, [[Edward Lorenz]] a proposé un [[système différentiel]] possédant trois degrés de liberté<ref>{{Article|langue=en|prénom1=Edward N.|nom1=Lorenz|titre=Deterministic Nonperiodic Flow|périodique=J. Atmos. Sci.|volume=20|pages=130-141|année=1963|url texte=http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2|oi=10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2}}</ref>, notés <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> et <math>z(t)</math>, qui s'écrit :
:<math>\begin{cases}
\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\sigma\left[y(t)-x(t)\right] \\ \\
\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\rho\,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t) \\ \\
\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dt}=x(t)\,y(t)-b\,z(t)
\end{cases}</math>

Dans ces équations, <math>\sigma</math>, <math>\rho</math> et <math>b</math> sont trois paramètres réels positifs. Pour les valeurs suivantes : <math>\sigma = 10</math>, <math>\rho = 28</math> et <math>b=8/3</math>, ce système dynamique différentiel présente un [[attracteur]] étrange, représenté sur la figure ci-contre.

== [[Système linéaire|Systèmes linéaires]] et [[Système non linéaire|non linéaires]] ==
Nous distinguons les '''systèmes dynamiques linéaires''' des '''systèmes dynamiques non linéaires'''. Dans les premiers, le membre de droite de l'équation est une fonction dépendant linéairement de l'état <math>x</math>, telle que :

:<math>x_{t+1} = Ax_t</math> en temps discret, ou <math>\dfrac{\mathrm d x(t)}{\mathrm dt} = Ax(t)</math> en temps continu, avec <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> une matrice réelle.

La somme de deux solutions d'un système linéaire est également solution de ce système (« principe de superposition »). Les solutions d'une équation linéaire forment un [[espace vectoriel]], ce qui permet l'utilisation de l'[[algèbre linéaire]] et simplifie considérablement l'analyse. Pour les systèmes à temps continu, la [[transformée de Laplace]] permet de transformer les équations différentielles en des équations algébriques. La [[Transformation en Z|transformée en z]] joue un rôle analogue pour les systèmes à temps discret.

Les exemples donnés plus haut (la fonction logistique, l'application « chat » d'Arnold, l'application de Hénon, l'oscillateur de Van der Pol, le système de Lorenz) sont des systèmes non linéaires. Leur analyse est en général très difficile. Par ailleurs, les systèmes non linéaires ont souvent des comportements dits [[Théorie du chaos|chaotiques]], ce qui rend leur évolution difficile à anticiper, malgré leur caractère déterministe.

== Système dynamique, définition généralisée ==
Pour s'extraire du cadre des équations différentielles (en temps continu) ou des suites récurrentes (en temps discret), certains mathématiciens utilisent une définition abstraite des systèmes dynamique qui s'applique notamment à ces deux contextes<ref>{{Lien web |langue=fr |auteur=Yves Benoist, Frédéric Paulin |titre=Systèmes dynamiques élémentaires |url=https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~frederic.paulin/notescours/cours_sysdyn.pdf |format=pdf |accès url=libre}}</ref>. Un''' système dynamique''' est alors défini par un [[n-uplet|triplet]] (''T'', ''M'', Φ) où ''T'' est un [[monoïde]], noté additivement, ''M'' un ensemble et Φ une fonction
:<math>\Phi: U \subset T \times M \to M</math>
avec
:<math> I(x) = \{ t \in T : (t,x) \in U \times M\}</math>
:<math>\Phi(0,x) = x</math>
:<math>\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_1 + t_2, x)</math>, pour tout <math>t_1, t_2, t_1 + t_2 \in I(x)</math>.

La fonction Φ(''t'', ''x'') est appelée la fonction d'évolution du système dynamique: elle associe à chaque point de M une image unique, dépendamment de la variable ''t'', appelée paramètre d'évolution. ''M'' '''est appelé espace des phases''' ou '''espace des états''', et la variable ''x'' représente l'état '''initial '''du système. On écrit aussi, suivant les quantités fixées :
:<math>\Phi_x(t):=\Phi(t,x)</math>
:<math>\Phi^t(x):=\Phi(t,x)</math>
Est appelée '''flux''' en ''x'' et ''t'' son graphe '''trajectoire''' par rapport à ''x''. L'ensemble
:<math>\gamma_x:=\{\Phi(u,x) : u \in I(x)\}</math>
est appelé '''orbite''' par rapport à ''x''.

Le sous ensemble ''S'' de l'espace des états ''M'' est Φ-'''invariant''' si pour tout ''x'' de ''S'' et tout ''t'' dans ''T''
:<math>\Phi(t,x) \in S.</math>
En particulier, pour que ''S'' soit Φ-'''invariant''', il est nécessaire que ''I''(''x'') = ''T'' pour tout ''x'' dans ''S''.

== Les systèmes dynamiques et la [[théorie du chaos]] ==
Des systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau{{Citation nécessaire}}, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes). Cette imprédictibilité est appelée '''chaos'''. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la [[théorie du chaos]].

Cette branche des mathématiques décrit qualitativement les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Dans ce cadre, on ne met pas l'accent sur la recherche de solutions précises aux équations du système dynamique (ce qui, de toute façon, est souvent sans espoir), mais plutôt sur la réponse à des questions comme « Le système convergera-t-il vers un état stationnaire à long terme, et dans ce cas, quels sont les états stationnaires possibles ? » ou « Le comportement à long terme du système dépend-il des conditions initiales ? ».

Un objectif important est la description des '''points fixes''', ou états stationnaires, du système ; ce sont les valeurs de la variable pour lesquelles elle n'évolue plus avec le temps. Certains de ces points fixes sont '''attractifs''', ce qui veut dire que si le système parvient à leur voisinage, il va converger vers le point fixe.

De même, on s'intéresse aux '''points périodiques''', les états du système qui se répètent au bout d'un certain nombre de pas (leur '''période'''). Les points périodiques peuvent également être attractifs. Le [[théorème de Charkovski]] donne une contrainte sur l'ensemble des périodes possibles des points d'un système dynamique à variable réelle et fonction d'évolution continue ; notamment, s'il existe un point de période 3, il existe des points de période quelconque (résumé souvent en « période 3 implique chaos », d'après le titre d'un article fondateur<ref>{{article|lang=en|auteur=Tien-Yien Li|auteur2={{Lien|James A. Yorke}}|titre=Period Three Implies Chaos|revue=[[American Mathematical Monthly]]|volume=82|numéro=10|pages=985-992|année=1975|url=http://www.its.caltech.edu/~matilde/LiYorke.pdf}}.</ref>).

Le comportement chaotique de systèmes complexes n'est pas une surprise – on sait depuis longtemps que la [[météorologie]] comprend des comportements complexes et même chaotiques. La véritable surprise est plutôt la découverte de chaos dans des systèmes presque triviaux ; ainsi, la fonction logistique est un simple [[polynôme]] du second degré, pourtant le comportement de ses solutions est chaotique.

== Notes et références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
[[Théorie des systèmes dynamiques]] (article plus général)
{{colonnes|nombre=3|
* [[Attracteur]]
* [[Commande optimale]]
* [[Équation aux dérivées partielles]]
* [[Équation différentielle ordinaire]]
* [[Homéostasie]], Homéorhésie,
* [[Invariant de Parry-Sullivan]]
* [[Mécanique hamiltonienne]]
* [[Percolation]]
* [[Prédiction dynamique]]
* [[Représentation d'état]]
* [[séparatrice]]
* [[Système complexe]]
* [[Système intégrable]]
* [[Système oscillant à un degré de liberté]]
* [[Théorème KAM]]
* [[Théorie du chaos]]
* [[Théorie du contrôle]]
* [[Théorie ergodique]]
* [[Transformation de Fourier discrète]]
* [[Transformation de Laplace]]
* [[Transformée en Z]]
}}

=== Liens externes ===
* {{en}} sur [[cut-the-knot]] :
** ''[http://www.cut-the-knot.org/blue/chaos.shtml Emergence of Chaos]''
** ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/MandelbrotIterations.shtml Iterations in the Mandelbrot Set]''
** ''[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/LogisticModel.shtml Logistic Model]''
* {{en}} [http://urss.ru/cgi-bin/db.pl?cp=&page=Book&id=34250&lang=en&blang=en&list=Found Présentation en ligne] du livre ''Introduction to Social Macrodynamics'' d'[[Andreï Korotaïev]], Artemy Malkov et Daria Khaltourina
* [http://interstices.info/equations-differentielles Systèmes dynamiques et équations différentielles] sur [[interstices]], incluant une [[applet java]] de simulation

=== Bibliographie ===
==== Ouvrages d'initiation ====
* [[Aurélien Alvarez]], ''Destination systèmes dynamiques avec Poincaré'', [[Le Pommier]], 2013
* [[John H. Hubbard]] et Beverly H. West, ''Équations différentielles et systèmes dynamiques'', Cassini, 1999 {{ISBN|284225015X}}
* [[Grégoire Nicolis]] et [[Ilya Prigogine]], ''À la rencontre du complexe'', Collection Philosophie d'aujourd'hui, [[PUF]], 1992 {{ISBN|2-13-043606-4}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|langue=de|fr=Boris Hasselblatt}}|auteur2=[[Anatole Katok]]|titre=A first course in dynamics|sous-titre=with a panorama of recent developments|lieu=Cambridge|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2003|pages totales=424|isbn=0-521-58750-6}}
* {{en}} {{Lien|langue=en|fr=Diederich Hinrichsen}} et Anthony J. Pritchard, ''Mathematical Systems Theory. Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness'', New York, Springer, 2005 {{ISBN|978-3-540-44125-0}}
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Boris Hasselblatt|auteur2=Anatole Katok|titre=Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems|sous-titre=With a supplement by Anatole Katok and Leonardo Mendoza|éditeur=[[Cambridge University Press]]|collection=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|numéro dans collection=54|année=1997|isbn=0-521-57557-5}}
* [[David Ruelle (physicien)|David Ruelle]], ''Hasard et chaos'', Odile Jacob, Paris, 1991.
* [[James Gleick]] (trad. Christian Jeanmougin), La Théorie du Chaos [« Chaos: Making a New Science »], Flammarion, coll. « Champs », Paris, 1988 (réimpr. 1999), 431 p. {{ISBN|2-08081-219-X}}

==== Ouvrages plus techniques ====
* {{en}} [[Stephen Smale]], ''The Mathematics of Time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics'', [[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]], 1980 {{ISBN|978-0-387-90519-8}}
* {{en}} Boris Hasselblatt et Anatole Katok (eds.), ''Handbook of Dynamical Systems'', [[Elsevier]]. ''Vol. 1A'', 2002 {{ISBN|978-0-444-82669-5}} ; ''Vol. 1B'', 2005 {{ISBN|978-0-444-52055-5}}
* {{en}} [[Bernold Fiedler]] (ed.), ''Handbook of Dynamical Systems''. ''Vol. 2: Applications'', Elsevier, 2002 {{ISBN|978-0-444-50168-4}} ; ''Vol. 3: Geometric Methods of Differentiable Dynamics'', Elsevier, 2010 {{ISBN|978-0-444-53141-4}}
* {{en}} [[Leonid Bunimovich]], [[Roland Dobrushin|Roland Lwowitsch Dobruschin]], [[Iakov Sinaï]], [[Anatoly Vershik]] {{et al.}}, ''Dynamical Systems, Ergodic Theory and Applications'', Series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences '''100''', Volume package: Mathematical Physics, Springer-Verlag, {{2e|édition}}, 2000 {{ISBN|978-3-540-66316-4}}
* {{en}} [[Vladimir Damgov]], ''Nonlinear and Parametric Phenomena. Applications to Radiometric and Mechanical Systems'', [[World Scientific]], Series on Nonlinear Sciences, 2004

==== Bibliothèque virtuelle ====
* Paul Manneville, ''Systèmes dynamiques et chaos'', 1998, 233 p.&nbsp;Cours donné par l'auteur (LadHyX, École Polytechnique) aux DEA de Physique des Liquides et de Mécanique {{lire en ligne|lien=http://cel.archives-ouvertes.fr/index.php?halsid=seflsd5bsh4a55l57a9qicdkq3&view_this_doc=cel-00092962&version=1}}
* {{en}} David Ruelle, ''Ergodic theory of differentiable dynamical systems'', [[Publ. Math. IHES]] '''50''' (1979), 27-58 {{lire en ligne|lien=http://archive.numdam.org/article/PMIHES_1979__50__27_0.pdf|langue=en|texte=texte intégral}}{{pdf}}.

{{Palette|Domaines des mathématiques|Science des systèmes}}
{{Portail|analyse|physique}}

[[Catégorie:Dynamique]]
[[Catégorie:Ingénierie]]
[[Catégorie:Systèmes dynamiques]]