Voir la source de Système temps discret

{{Voir homonymes|Discret}}
{{à sourcer|date=décembre 2014}}
Un '''système temps-discret''' est un [[système dynamique]] qui introduit une relation séquencée, discrète dans le temps, entre des signaux d'entrée et des signaux de sortie, par opposition à un [[système continu|système temps-continu]] où le cours du temps est représenté par la droite réelle <math>\mathbb{R}</math><ref>{{Lien web |titre=2.3. Systèmes à temps discret — Traitement Numerique du Signal - Signaux et systèmes à temps discret |url=https://thomas11290.github.io/1SN-TNS/ch1bsec3.html |site=thomas11290.github.io |consulté le=2024-06-29}}</ref>{{,}}<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Yves|nom1=Granjon|titre=Chapitre 15. Représentation d’état des systèmes à temps discret|périodique=Sciences Sup|volume=4|pages=358–372|date=2021|lire en ligne=https://www.cairn-sciences.info/automatique--9782100828470-page-358.htm|consulté le=2024-06-29}}</ref>.

Les informations entrantes et sortantes d'un système temps-discret ne sont transmises qu'à des moments précis. En général, ces instants sont uniformément répartis dans le temps, et l'espacement temporel entre la transmission de ces informations est appelée la [[Phénomène périodique|période]] d'[[Échantillonnage (signal)|échantillonnage]] du système.

Dans la plupart des cas un [[convertisseur analogique-numérique]] [[Quantification (signal)|quantifie]] ensuite la valeur des informations, avec une inévitable [[erreur d'approximation]]. Cette quantification, qui peut souvent être négligée dans la pratique, permet le traitement des signaux reçus par une machine [[informatique]]. Celle-ci, [[automatique|automate]], [[ordinateur]], [[microcontrôleur]] ou tout autre [[calculateur numérique]], effectue de nombreux [[calcul (mathématiques)|calcul]]s sur ces [[donnée (informatique)|données]]. La réalisation séquentielle des opérations de [[traitement du signal]] sous forme de calculs s'avère plus flexible, plus [[fiable]] et moins coûteuse que leur équivalent par un montage [[analogique]].

Le développement de l'informatique a suivi et a stimulé celui des méthodes d'analyse pour les systèmes temps-discret à partir des recherches entreprises dans les années 1930 pour le [[multiplexage]] des [[télécommunications]] et pendant la [[Seconde Guerre mondiale]] dans celui de la [[cryptographie]].

== Systèmes linéaires temps discret ==

=== Représentation d'état ===
En [[automatique]], un système linéaire, temps discret et de dimension finie est un système donné par la [[représentation d'état]] suivante :<center>
<math>\begin{cases}
x_{k+1} & = &A_k x_k+B_k u_k \\ 
y_k & = &C_k x_k+D_k u_k
\end{cases}
</math>
</center>avec :

: <math> x_k \in \mathbb{R}^{n_x}</math> : un vecteur colonne qui représente les <math> n_x </math> variables d'état ;
: <math> u_k \in \mathbb{R}^{n_u}</math> : un vecteur colonne qui représente les <math> n_u </math> commandes ;
: <math> y_k \in \mathbb{R}^{n_y}</math> : un vecteur colonne qui représente les <math> n_y </math> sorties ;
: <math> A_k \in \mathbb{R}^{n_x\times n_x} </math> : la matrice d'état ;
: <math> B_k \in  \mathbb{R}^{n_x\times n_u} </math> : la matrice de commande (ou matrice d'entrée) ;
: <math> C_k \in \mathbb{R}^{n_y \times n_x}  </math> : la matrice d'observation (ou matrice de sortie) ;
: <math> D_k \in \mathbb{R}^{n_y \times n_u} </math> : la matrice d'action directe.

Lorsque les matrices de cette représentation d'état dépendent du temps <math>k \in \mathbb{N}
</math>, le système est dit '''linéaire temps-variant''' (LTV). Lorsque les matrices sont indépendantes du temps, on parle de système '''linéaire [[Système temps invariant|temps-invariant]]''' (LTI)<ref>{{Article|langue=fr|prénom1=Cristiano Marcos|nom1=Agulhari|titre=Stabilité et commande des systèmes linéaires variant dans le temps aux paramètres incertains|périodique=Thèse|éditeur=INSA de Toulouse|date=2013-05-16|lire en ligne=https://theses.hal.science/tel-00822689|consulté le=2024-07-02}}</ref>.

=== Trajectoire ===
Étant donné la condition initiale <math>x_0
</math>, la trajectoire de l'état <math>x
</math> du système linéaire décrit plus haut est donnée à chaque instant par :<center>
<math>x_k = \left[\prod_{k_1=0}^{k-1}A_{k_1}\right]x_0 + \sum_{k_1=0}^{k-1} \left[\prod_{k_2=k_1}^{k-2}A_{k_2}\right]B_{k_1} u_{k_1}</math>
</center>avec :

<center><math>\begin{cases} \prod_{k=k_1}^{k_2}A_k = A_{k_2}\prod_{k=k_1}^{k_2-1} A_k & \mbox{si } k_2 \geq k_1 \\ \prod_{k=k_1}^{k_2}A_k = I_{n_x} & \mbox{si } k_2 < k_1 \end{cases}</math></center>

L'expression de cette trajectoire nous renseigne sur deux propriétés importantes des systèmes linéaires :

* '''Principe de causalité''' : L'état à un instant <math>k</math> ne dépend que de l'état à l'instant initial et des valeurs de la commande entre l'instant initial et <math>k-1</math>. Autrement dit, la flèche du temps est respectée.
* '''Principe de superposition''' : Soit deux trajectoires <math>x_A</math> et <math>x_B</math>, de condition initiales <math>x_{A,0}</math> et <math>x_{B,0}</math>, et influencées respectivement par les commandes <math>u_A</math> et <math>u_B</math>. Soit <math>\mu_1, \mu_2</math> deux réels. La trajectoire <math>x_{\mu_1 A+ \mu_2 B}</math> de condition initiale <math>\mu_1 x_{A,0}+ \mu_2 x_{B,0}</math> et influencée par la commande <math>u_{\mu_1 A+\mu_2 B} = \mu_1 u_A+ \mu_2 u_B</math> est donnée à chaque instant par <math>x_{\mu_1 A+ \mu_2 B} = \mu_1 x_A + \mu_2 x_B</math>. De même, on peut trouver <math>y_{\mu_1 A+\mu_2 B}= \mu_1 y_A+ \mu_2 y_B
</math>. Ceci est une simple conséquence de la linéarité de la représentation d'état.
=== Matrice de transfert ===
{{Article détaillé|Fonction_de_transfert#Matrice_de_transfert}}

Pour les systèmes '''linéaire [[Système temps invariant|temps-invariant]]''' (LTI), la matrice de transfert <math>H(z)</math> est une matrice dont les coordonnées sont des [[Fonction rationnelle|fonctions rationnelles]], et qui est définie dans le cas temps-discret comme la [[Transformation en Z|transformée en Z]] de la relation entrée-sortie du système, considéré avec une condition initiale <math>x_0 = 0</math><ref>{{Lien web |titre=1. Transfer function matrices — Dynamics and Control with Jupyter Notebooks 0.0.1 documentation |url=https://dynamics-and-control.readthedocs.io/en/latest/1_Dynamics/6_Multivariable_system_representation/Transfer%20function%20matrices.html |site=dynamics-and-control.readthedocs.io |consulté le=2024-07-03}}</ref>. Elle généralise la notion de [[fonction de transfert]] des systèmes [[Single Input Single Output|SISO]] aux systèmes [[Multiple-input multiple-output|MIMO]].<center>
<math>H(z) = C(zI_{n_x}-A)^{-1}B+D
</math>
</center>La relation entrée-sortie est alors donnée par :<center>
<math>Y(z)=H(z)U(z)
</math>
</center><math>U(z)
</math> et <math>Y(z)
</math> dénotent ici la transformée en Z des signaux <math>u_k 
</math> et <math>y_k 
</math> respectivement. Les coordonnées <math>(i,j) 
</math> de <math>H(z)
</math> fournissent ainsi la fonction de transfert de la <math>j 
</math>-ème entrée vers la <math>i 
</math>-ème sortie.

== Échantillonnage ==

L'échantillonnage implique une connaissance ''[[A priori et a posteriori |a priori]]'' sur le signal. On en déduit la durée maximale acceptable entre les échantillons afin de ne pas perdre d'information. Le [[Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon|théorème d'échantillonnage]] indique que la fréquence d'échantillonnage soit supérieure à deux fois la plus haute fréquence présente dans le signal.

== Mélange discret-continu ==

Dans la réalité, les systèmes sont souvent un couplage entre du discret (la commande, souvent informatisée) et du continu (les phénomènes physiques). Il faut donc pouvoir passer du discret au continu et vice-versa.

Quand un signal sort d'un module de commande, il est discrétisé. Or un processus physique demandera un signal continu. On place donc un ''[[Bloqueur (traitement du signal)|bloqueur]]'' entre eux.
Il existe plusieurs sortes de bloqueurs. Leur principe est de « recréer » du signal entre les valeurs discrètes.
Le plus simple est le bloqueur d'ordre 0 dont la sortie garde la même valeur jusqu'à l'arrivée d'une nouvelle valeur en entrée.

Dans l'autre sens, le problème ne se pose pas véritablement puisque l'entrée ne sera prise en compte qu'à des moments déterminés, peu importe si elle est continue ou discrète.

La difficulté réside dans l'étude globale du système.
On peut modéliser le système par un système continu en vérifiant que les entrées et les sorties sont bien continues et en passant des transformées en Z caractérisant les zones discrètes du système aux transformées de Laplace en utilisant par exemple des tables de transformation. 

Inversement, on peut aussi assimiler le système à un système entièrement discret et passer des transformées de Laplace caractérisant les zones continues du système aux transformées en Z, à condition que les entrées et les sorties soient prises en compte sous leur forme discrète.

Les passages discret-continu sont modélisés par des bloqueurs dont il faut prendre en compte la fonction de transfert lors de l'étude.

== Références ==
{{Références}}
== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===

* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Eugène Dieulesaint, Daniel Royer|titre=Automatique appliquée, tome 2 : Systèmes linéaires de commande à signaux échantillonnés|éditeur=Elsevier Masson|année=1990|pages totales=320|isbn=978-2225821981}}
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1=Pierre Borne, Geneviève Dauphin-Tanguy, Jean-Pierre Richard, Frédéric Rotella, Irène Zambettakis|titre=Analyse et régulation des processus industriels, tome 2 : Régulation numérique|éditeur=Editions Technip|année=1993|pages totales=313|isbn=978-2710806431}}

=== Articles connexes ===
* [[Système temps continu]]
=== Liens externes ===
* {{ouvrage|titre=CEI 60050 Vocabulaire électrotechnique international|auteur=[[Commission électrotechnique internationale]]|année=1992|lire en ligne=http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/welcome?openform|id=CEI}} :
** {{lien web|url=http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=101-12-06 |titre =Mathématiques : valeur discrète}}.
** {{lien web|url=http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=351-41-12 |titre =Technologie de contrôle : variable discrète}}.
** {{lien web|url=http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=351-41-16 |titre =Technologie de contrôle : variable à temps discret}}.
{{Palette Automatique}}{{Portail|mathématiques}}

{{DEFAULTSORT:Systeme discret}}
[[Catégorie:Théorie du signal]]