Voir la source de Système ternaire

{{à sourcer|date=novembre 2018}}
Le '''système ternaire''' (ou '''trinaire''') est le [[système de numération]] utilisant la [[Base (arithmétique)|base]] ''[[3 (nombre)|trois]]''. Les [[chiffre]]s ternaires sont connus sous le nom de '''trit''' ({{lang|en|'''tr'''inary dig'''it'''}}), de manière analogue à [[Bit (informatique)|bit]].

== Ternaire ou trinaire ? ==
Les expressions « ternaire » et « trinaire » sont toutes deux empruntées au bas latin ''trinarius'' « qui contient le nombre trois, ternaire ».

''Ternaire'' est apparu au plus tard au {{s|XIV}}<ref>{{Ouvrage|titre=Introduction d'Astronomie |éditeur= |année=1353}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=J. Lefevre |titre=La Vieille |éditeur= |année=1380 |passage=265}}.</ref>, a été couramment employé jusqu'à notre époque<ref>{{Ouvrage|auteur1=Mersenne |titre=Harmonie universelle |éditeur= |année=1636 |passage=299}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Lavoisier |titre=Chimie, {{t.|1}}<!-- éventuellement à déplacer vers le champ tome= dédié ? --> |éditeur= |année=1789 |passage=207}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=D'Indy |titre=Composition musicale, {{t.|1}}<!-- idem ? tome= --> |éditeur= |date=1897-1900 |passage=41 |isbn=}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|titre=Larousse Encyclopédie, Supplément |éditeur=Larousse |année=1968}}.</ref> et intégré au Dictionnaire de l'Académie Française en 1718<ref>{{Lien web|langue= |titre=Définition de Ternaire |url=http://www.cnrtl.fr/definition/ternaire |site=[[Centre national de ressources textuelles et lexicales|Centre National de Ressources Textuelles et Lexicales]] |date= |consulté le=15 mai 2018}}.</ref>.

''Trinaire'' est employé comme synonyme de ternaire depuis au moins 1830<ref>{{Ouvrage|auteur1=Legendre |titre=Théorie des nombres, {{t.|1}}<!-- idem tome= ? --> |éditeur= |année=1830 |passage=361}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=P. Leroux |titre=Humanité |éditeur= |année=1840 |passage=828}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jacques Bourdin |titre=Les prolongements de la Grammaire Générale en France au {{s-|XIX}} |éditeur=[[Presses universitaires de Franche-Comté]]<!-- Wikidata : Q27964951 --> |année=2005 |pages totales=272 |passage=163 |isbn=978-2-84867-085-0}}.</ref>, ne bénéficie pas d'une aussi large reconnaissance, n'étant présent que dans peu de dictionnaires<ref>{{Lien web|langue=|titre=Définition de TRINAIRE |url=http://www.cnrtl.fr/definition/trinaire |site=Centre national de ressources textuelles et lexicales |date= |consulté le=15 mai 2018}}.</ref>{{,}}<ref>{{Lien web|langue= |titre=Définition pour TRINAIRE adj. |url=http://www.le-tresor-de-la-langue.fr/definition/trinaire |site=Le Trésor de la Langue |date= |consulté le=15 mai 2018}}.</ref>. Il est également présent avec un usage similaire dans d'autres langues telles que l'anglais avec ''{{lang|en|ternary}}'' et ''{{lang|en|trinary}}''<ref>{{Lien web|langue=en |titre=trinary - Wiktionary |url=https://en.wiktionary.org/wiki/trinary |site=en.wiktionary.org |consulté le=2018-05-16}}.</ref>.

Ces deux termes sont donc acceptables, même si ''ternaire'' bénéficie d'une plus grande diffusion.

== Comparaison avec d'autres bases ==
Les nombres utilisés dans le système ternaire sont de trois types, 0, 1 et 2. [[3 (nombre)|Trois]] est écrit comme « 10 ». Par conséquent, quatre correspond à « 11 » et neuf à « 100 ».

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Ternaire standard (0 à 1000)
|-
! scope="row" | [[Système binaire|Binaire]]
| 0 || 1 || 10 || 11 || 100 || 101 || 110 || 111 || 1000 || 1001 || 1010 || 1011 || 1100 || 10000 || 10010 || 10101 || 11011
|-
! scope="row" | Ternaire
| '''0''' || 1 || 2 || '''10''' || 11 || 12 || 20 || 21 || 22 || '''100''' || 101 || 102 || 110 || 121 || 200 || 210 || '''1000'''
|-
! scope="row" | [[Système sénaire|Sénaire]]
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 20 || 24 || 30 || 33 || 43
|-
! scope="row" | [[Système décimal|Décimal]]
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 16 || 18 || 21 || 27
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Ternaire standard (plus de 1000)
|-
! scope="row" | Binaire
| 100000 || 100100 || 110110 || 1000000 || 1010001 || 1100100 || 10000111 || 11011000 || 100000000 || 101101101
|-
! scope="row" | Ternaire
| 1012 || 1100 || 2000 || 2101 || '''10000''' || 11202 || 12000 || 22000 || 100111 || 111112
|-
! scope="row" | Sénaire
| 52 || 100 || 130 || 144 || 213 || 244 || 343 || 1000 || 1104 || 1405
|-
! scope="row" | Décimal
| 32 || 36 || 54 || 64 || 81 || 100 || 135 || 216 || 256 || 365
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ puissances de trois
|-
! scope="row" | Binaire
| 11 || 1001 || 11011 || 1010001 || 11110011 || 1011011001 || 1000100010111 || 100110100001
|-
! scope="row" | Ternaire
| 10 || 100 || 1000 || 10000 || 100000 || 1000000 || 10000000 || 100000000
|-
! scope="row" | Sénaire
| 3 || 13 || 43 || 213 || 1043 || 3213 || 14043 || 50213
|-
! scope="row" | Décimal
| 3 || 9 || 27 || 81 || 243 || 729 || 2187 || 6561
|}

=== Fractions ===
{{Traduction à revoir|date=juillet 2023}}
Le système ternaire travaille sur les divisions par des [[Puissance de trois|puissances de trois]], ainsi que les systèmes [[Système sénaire|sénaire]] et [[Système nonaire|nonaire]], contrairement aux [[Système binaire|binaire]], [[Système hexadécimal|hexadécimal]] (« [[Puissance de deux|puissances de deux]] » bases) ou [[Système décimal|décimal]].

Mais, comme le système ternaire 10 (trois) n'est pas un multiple de deux, il n'y a pas de « même quantité lorsqu'elle est divisée par deux » que les système sénaire 0,3 ou décimal 0,5. Ainsi, les [[réciproque]]s des [[Nombre pair|nombres pairs]] sont toutes [[Décimale récurrente|décimales infinies]].

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Fractions ternaires
|-
! scope="row" | Fractions<br />(sénaire)
| 1/2 || 1/3 || 1/4 || 1/5 || 1/10 || 1/11 || 1/12 || 1/13 || 1/14 || 1/43
|-
! scope="row" | Fractions<br />(décimal)
| 1/2 || 1/3 || 1/4 || 1/5 || 1/6 || 1/7 || 1/8 || 1/9 || 1/10 || 1/27
|-
! scope="row" | Binaire
| 0,1 || 0,01… || 0,01 || 0,0011… || 0,001… || 0,001… || 0,001 || 0,000111… || 0,00011… || ※
|-
! scope="row" | Ternaire
| 0,11… || 0,1 || 0,02… || 0,0121… || 0,011… || 0,010212… || 0,01… || 0,01 || 0,0022… || 0,001
|-
! scope="row" | Sénaire
| 0,3 || 0,2 || 0,13 || 0,11… || 0,1 || 0,05… || 0,043 || 0,04 || 0,033… || 0,012
|-
! scope="row" | Décimal
| 0,5 || 0,33… || 0,25 || 0,2 || 0,166… || 0,142857… || 0,125 || 0,11… || 0,1 || 0,037…
|}
※ 0.001{{sub|(3)}} = 0.000010010111101…{{sub|(2)}}

== Notation ternaire équilibrée ==
Un système de numération appelé {{Lien|fr=ternaire équilibré|lang=en|trad=Balanced ternary}} utilise des chiffres avec les valeurs -1, 0, et 1. Cette combinaison est particulièrement intéressante pour les relations ordinales entre deux valeurs, où les trois relations possibles sont inférieur à, égal à et supérieur à. Le ternaire équilibré est compté comme suit : (dans cet exemple, le symbole {{Souligner|1}} désigne le chiffre -1, mais de manière alternative pour un usage plus facile - peut être utilisé pour désigner -1 et + pour désigner +1).

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Ternaire équilibré
|-
! scope="row" | Décimal
| -6 || -5 || -4 || -3 || -2 || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6
|-
! scope="row" | Sénaire
| -10 || -5 || -4 || -3 || -2 || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 10
|-
! scope="row" | Ternaire équilibré
| {{Souligner|1}}10 || {{Souligner|1}}11 || {{Souligner|11}} || {{Souligner|1}}0 || {{Souligner|1}}1 || {{Souligner|1}} || 0 || 1 || 1{{Souligner|1}} || 10 || 11 || 1{{Souligner|11}} || 1{{Souligner|1}}0
|}

Le ternaire non-équilibré peut être converti en notation ternaire [[Équilibre|équilibrée]] en ajoutant 1111… avec retenue, puis en soustrayant 1111… sans retenue. Par exemple, 021{{ind|3}} + 111{{ind|3}} = 202{{ind|3}}, 202{{ind|3}} - 111{{ind|3}} = 1{{Souligner|1}}1{{ind|3(bal)}} = 7{{ind|10}}.

== Utilisation du ternaire équilibré ==

=== En électronique ===

Le ternaire équilibré est facilement représenté par les signaux électroniques, comme potentiel pouvant être soit ''négatif'', ''neutre'' ou ''positif''. Par conséquent, un fil électrique peut transporter plus d'informations en ternaire (trois états) qu'en binaire (deux états). Ainsi, le système ternaire en électronique permet de réduire le nombre de composants, et donc la consommation électrique. L'avantage peut se calculer avec [[Logarithme naturel|log]](3)/log(2)=~{{nombre|1,5849|bits}} par trit. Soit environ 60 % d'informations en plus dans un trit que dans un bit, ou plus pragmatiquement environ 40 % de fils électriques en moins (pour la même quantité d'informations).

En [[1958]] en [[Union soviétique]], l'équipe de {{lien|lang=en|trad=Nikolay Brusentsov}} et [[Sergueï Sobolev|Sergei Sobolev]] à l'[[université d'État de Moscou]] a développé un [[Ordinateur ternaire]], le ''[[Setun]]'', reposant sur l'utilisation de [[tôles feuilletées]] miniatures et de [[diode]]s utilisables pour créer un système basé sur une logique à trois états. À l'usage, ces éléments se sont révélés plus rapides, plus fiables, plus durables et moins gourmands en énergie que leurs concurrents binaires (du moins avant que l'[[Union des républiques socialistes soviétiques|URSS]] n'ait accès aux transistors). Le développement du ''Setun'' a pris sept ans, et l'ordinateur a été opérationnel sitôt assemblé. Une cinquantaine de machines ont été produites, mais le programme, considéré comme un caprice d'universitaires dans un pays qui a mis du temps à comprendre l'importance de l'informatique, a rapidement été abandonné, au profit d'ordinateurs binaires plus banals<ref>{{lien web|lang=en |url=https://dev.to/buntine/the-balanced-ternary-machines-of-soviet-russia |titre=The Balanced Ternary Machines of Soviet Russia |site=[[dev.to]]<!-- Wikidata : Q104835605 --> |auteur=Andrew Buntine |date=21 novembre 2016}}.</ref>.

=== En développement logiciel ===

Les [[processeur]]s des [[ordinateur]]s effectuent des comparaisons de nombres. Trois cas se présentent : un nombre est ''supérieur'', ''égal'' ou ''inférieur'' à un autre. Cette comparaison entre deux nombres se réalise en soustrayant ces deux nombres, le résultat étant stocké dans un [[Registre (informatique)|registre]] du processeur. Le [[registre d'état]] associé indique alors si le résultat est ''négatif'', ''nul'' ou ''positif'' (le [[Drapeau (informatique)|drapeau]] ''{{lang|en|Zero}}'' indique si nul ou pas et le drapeau ''{{lang|en|Sign}}'' indique le [[Signe (arithmétique)|signe]]).

Cette capacité ternaire des processeurs est quelquefois exploitée pour réaliser des opérations rapides. Par exemple, prenons le cas d'une fonction retournant un code pouvant prendre trois [[État (informatique)|états]] différents. De façon académique, cette fonction est implémentée en renvoyant un [[type énuméré]] avec trois valeurs possibles. Le code de retour de cette fonction doit donc être comparé à chacune de ces trois valeurs pour réaliser l'opération associée à chaque état. En utilisant cette capacité du processeur, cette fonction peut être implémentée en renvoyant un [[Entier (informatique)|entier]] signé. Déterminer le code de retour est alors bien plus rapide car ce sont les drapeaux (bits) du registre d'état qui sont directement vérifiés.

Exemple de fonction en [[C (langage)|C]] exploitant la capacité ternaire du processeur à distinguer les nombres ''négatifs'', ''nuls'' et ''positifs''.
<syntaxhighlight lang="c">
int fonction ()
{
    int code_retour;
    // [...] traitement qui change la valeur du 'code_retour'
    return code_retour;
}

void utilisateur()
{
    int code = fonction ();
    if (code == 0)      //vérifie le bit 'Zero' du registre d'état
        code_nul();     // => opération associée au code nul 
    else if (code > 0)  //vérifie le bit 'Sign' du registre d'état
        code_positif(); // => opération associée au code positif 
    else
        code_negatif(); // => opération associée au code négatif 
}
</syntaxhighlight>

=== En transaction monétaire ===

Un système monétaire utilisant le ternaire équilibré réglerait le problème de l'accumulation de petite monnaie ou au contraire du manque de monnaie. Il faut pour cela frapper des pièces de valeur 1, 3, 9, 27… En exprimant les prix en ternaire standard, on a un moyen de faire l'appoint en n'utilisant au maximum que deux pièces de chaque valeur. Mais si on exprime les prix en ternaire équilibré, alors chaque 1 représente une pièce que le client doit donner au commerçant et chaque -1 une pièce que le commerçant doit lui rendre, la valeur des pièces étant déterminées par la position du chiffre dans le nombre. Par exemple, pour payer un prix de 1-10 (soit 6 en décimal), le client donne une pièce de 9 et le commerçant lui rend une pièce de 3. Les 1 et -1 étant également probables, la distribution des pièces reste uniforme. On ne va plus à la banque que pour déposer ou retirer des grandes pièces.

=== Dans d'autres domaines ===

Le ternaire équilibré possède d'autres applications. Par exemple, une [[balance (instrument)|balance]] classique à deux plateaux, avec une masse marquée pour chacune des ''n'' premières puissances de 3, peut peser des objets jusqu'à <math>\textstyle{\frac{3^n - 1}{2}}</math>, en déplaçant les masses marquées entre les deux plateaux et la table. Aucun autre système de masses marquées ne permet de faire aussi bien avec aussi peu de masses marquées<ref name="HardyWright9">{{HardyWrightFr}}, {{nobr|chapitre 9}} (« L'écriture décimale des nombres »), {{nobr|théorème 141}}.</ref>. Par exemple, avec des masses marquées pour chaque puissance de 3 jusqu’à 81 = 3<sup>4</sup> un objet de {{nombre|60|g}} sera pesé parfaitement avec une masse de {{nombre|81|g}} sur l'autre plateau, la masse de {{nombre|27|g}} dans le premier plateau, la masse de {{nombre|9|g}} dans l'autre plateau, la masse de {{nombre|3|g}} dans le premier plateau, et la masse de {{nombre|1|g}} restant de côté. 60 = 1{{Souligner|1}}1{{Souligner|1}}0.

== Addition ternaire ==

Pour faire des additions ternaire il y a plusieurs solutions.
La première explique ce que la deuxième sera faite de tête. Cela consiste à faire une conversion en décimal
(attention tous les nombres en binaire dans le ternaire sont décimaux).
 
Exemple :
 01010101010101010101+
 11011110101110101011=
 12021211111211111112 (résultat décimal ou ternaire)

Les additions ternaires se font par conversion décimale.
Exemple :
  2102120212+
  1110210212=
  3212330424 (conversion décimale)
 10220101201 (résultat ternaire)
   
Dans les additions ternaires, il suffit comme en décimal de mettre une unité au-dessus.
Exemples :
* décimal
  99999+
  99999=
 199998                 9+9=18 on pose 8 on retient 1 qui vient s'ajouter aux autres chiffres

* ternaire
  2102121+
  2121201=
 12001022              
               
0<1<2 2 est supérieur à 1 qui est supérieur à 0
1<2<0 1 est supérieur à 0 qui est supérieur à 2
2<0<1 0 est supérieur à 2 qui est supérieur à 1

 3<nowiki>==</nowiki>0    s'il y a un résultat qui est a 3 on pose 0
 4<nowiki>==</nowiki>1    si un résultat est a 4 on pose une unité au-dessus 1
 <br />
 if 33       s'il y a un résultat de 33 on pose 1 puis 0 sur le dernier 3
 <nowiki>==</nowiki> 10
 if 44       s'il y a un résultat de 44 on pose 1 puis 2 sur le dernier 4
 <nowiki>==</nowiki> 12
 <br />
 if 333      de suite 
 <nowiki>==</nowiki> 110 
 if 444      de suite 
 <nowiki>==</nowiki> 112   
        
Exemple :
  212110+
  212021=
  424131 conversion décimale
 1201201 résultat ternaire

== Représentation ternaire compacte ==
{{refnec|date=juin 2011|Le système ternaire est inefficace pour l'usage humain, tout comme le [[Système binaire|binaire]].}} Par conséquent, le [[système nonaire]] ({{nobr|base 9}}, chaque chiffre représente deux chiffres de {{nobr|base 3}}) ou le {{Lien|fr=système septemvigésimal|lang=en|trad=Septemvigesimal}} ({{nobr|base 27}}) (chaque chiffre représente trois chiffres de {{nobr|base 3}}) est souvent utilisé, de manière similaire à l'utilisation du [[système octal]] et du [[système hexadécimal]] à la place du [[système binaire]]. Le système ternaire possède aussi l'analogue d'un [[byte]], appelé un '''tryte''' (sextet de trois trits).

== En musique ==
Une musique est dite ''ternaire'' quand elle est organisée autour d'un rythme à trois temps. L'exemple le plus courant est celui de la valse. Sur la [[portée]], la [[signature]] est indiquée ainsi : 3/4, où "4" représente l'unité de temps par [[mesure (musique)|mesure]] et "3" représente le nombre d'unités de temps par mesure.

== Notes et références ==
{{références}}
{{Traduction/Référence|en|Ternary numeral system|10478308}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Logique ternaire]]
* [[Ordinateur ternaire]]:
** le [[Setun]] (URSS, 1958)
** le {{Lien|langue=en|trad=Ternac|fr=Ternac (ordinateur ternaire)|texte=Ternac}} ([[États-Unis]], 1973)
* [[Système de numération d'Avizienis]]
* [[Thomas Fowler (inventeur)]]
* [[Ensemble triadique de Cantor#Écriture en base 3|Ensemble triadique de Cantor]]
* [[Courbe de Peano]]

=== Liens externes ===
* {{en}} ''[http://www.computer-museum.ru/english/setun.htm {{lang|en|Development of ternary computers at Moscow State University}}]''
* {{en}} ''[http://www.americanscientist.org/issues/pub/third-base/ {{lang|en|Third Base}}]'', sur le site de ''[[American Scientist]]''
* {{en}} ''[http://www.icfcst.kiev.ua/museum/Brusentsov.html {{lang|en|Nikolay Brusentsov - the Creator of the Trinary Computer}}]'', au musée virtuel de l'informatique de Kiev
* {{en}} ''[https://web.archive.org/web/20050211091401/http://perun.hscs.wmin.ac.uk/~jra/ternary/ {{lang|en|Balanced Ternary Web Pages}}]'' par J. Allwright, [[université de Westminster]]
* {{en}} ''[http://www.washingtonart.net/whealton/ternary.html {{lang|en|Ternary Arithmetic}}]'' par S. Whealton, sur washingtonart.net

{{Palette|Types de données|Base de numération positionnelle}}
{{portail|Mathématiques}}

[[Catégorie:Système de numération|03]]