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Le '''système unaire''' aussi appelé '''système monadique''' est un [[système de numération]] permettant l'écriture des [[entier naturel|entiers naturels]] en ne disposant que d'un unique symbole représentant l'[[unité (chiffre)|unité]]. Un entier s'écrit par juxtaposition de la quantité correspondante de copies du symbole. Ainsi 6 s'écrit |||||| où | est le symbole utilisé pour représenter l'unité.

== Opérations en système unaire ==
Les opérations s'effectuent ainsi :
* L'[[addition]] de deux entiers naturels se traduit par la [[concaténation]] des séquences de symboles correspondantes. Ainsi, la somme de ||||| et de |||| est |||||||||.
* La [[soustraction]] de deux [[Opérande|opérandes]] s'effectue par élimination d'une copie de la séquence de symboles correspondant à l'entier soustrait. Ainsi, la différence de ||||||||||| par ||||| est <s>|||||</s>|||||| donc ||||||.
* La [[multiplication]] de deux entiers naturels s'effectue par substitution de chaque apparition du symbole de l'unité dans la séquence du premier entier par une copie de la séquence correspondante au second entier. Ainsi, la multiplication de |||||| par ||| est ||||||||||||||||||.
* La [[division]] de deux entiers naturels s'effectue par substitution de chaque apparition de la seconde séquence par le symbole de l'unité, lorsqu'il ne reste plus suffisamment de symboles, le surplus définit le reste. Ainsi, la division de ||||||||||||||||| par |||, donne ||||| pour quotient avec || pour reste.

== Pratique du système unaire ==
Compter sur une [[main]], ou avec des [[wikt:bûchette|bûchettes]] comme, est en soi un système unaire. Ce système est aussi beaucoup utilisé dans la représentation populaire du prisonnier. Il compte les jours sur le mur de sa prison en y gravant un trait par jour, ce qui est une utilisation du système unaire.

Les [[marque de dénombrement|marques de dénombrement]] sont un exemple où le système unaire est utilisé en pratique. Ils servent à noter les résultats, comme des scores de jeux sportifs, et ne nécessitent pas l'effacement ou le remplacement de l'ancien score. Un point supplémentaire implique l'ajout d'un symbole de l'unité.
[[Image:Unary numeral eight.png|droite|cadre|Représentations variées du nombre [[8 (nombre)|huit]] en système unaire]]

Les marques sont couramment rassemblées en groupes de cinq pour améliorer la lisibilité. Cela est similaire à la pratique d'utiliser un séparateur de milliers (comme une espace, un point ou une virgule) dans l’écriture occidentale usuelle du [[système décimal]], ce qui permet de rendre les nombres tels que {{formatnum:1234567}} plus faciles à lire. Ces groupes de cinq peuvent être symbolisés par espacement des groupes successifs, éventuellement en ajustant obliquement la première ou dernière marque de chaque groupe, ou encore en barrant le groupe avec la dernière marque.

Le [[Papyrus de Moscou]] offre un exemple historique d'une étude mathématique où le système unaire a été utilisé{{référence nécessaire}}.

== Représentation d'un nombre en code unaire ==
{{Section à illustrer||date=juillet 2022}}La représentation en code unaire d'un nombre est en fait la conversion d'un [[Système binaire|nombre binaire]] en une succession de zéros :

* Le chiffre 0 est transformé en 00 suivi d'un espace et la succession de zéros qui suit correspond au nombre de zéros ; 
  Exemple : 000 est transformé en 00 000.

* Le chiffre 1 est transformé en 0 et la succession de zéros qui suit correspond au nombre de 1 ;
   Exemple : 1111 est transformé en 0 0000.

* Ainsi le nombre 11100110000 se transforme en 0 000 00 00 0 00 00 0000. 

On appelle cela la représentation unaire d'un nombre.

Une application de cette représentation fut faite lors d'un concours [[CodinGame|Codingame]] (concours de [[programmation informatique]])<ref>[http://www.codingame.com/cg/ Codingame]</ref>.

L'application classique de la conversion d'un nombre en code unaire est l'utilisation de transfert d'[[onde radio|ondes radio]].{{Comment}}

== Arithmétique de Peano ==
{{Article détaillé|Axiomes de Peano}}
La construction d'une arithmétique nécessite des tables d'additions et des multiplications dont la taille dépend du nombre de chiffres employés dans l'écriture des nombres.
Le système unaire offre donc les plus simples définitions de ces opérations.
C'est pourquoi, l'arithmétique de Peano, qui est la formalisation mathématique des [[nombres entiers]] et de leur [[arithmétique]] est basée sur le système unaire :
l'unique chiffre | est alors <math>S</math> qui doit est appréhendé comme une [[application|fonction]] qui, à tous nombre renvoie son successeur (ou son suivant).
Un second symbole <math>0</math> sert de [[marqueur de fin]]<ref>Ce marqueur (qui peut être un [[Espace (typographie)|caractère d'espacement]], une [[virgule]], une [[fin de ligne]], etc.) est un symbole surnuméraire indispensable à l'écriture de nombres, et plus généralement de mots. L'invisibilité et la méconnaissance de ce marqueur, ont pour conséquence, la représentation du nombre [zéro] par le symbole 0 plutôt qu'une absence de chiffres.
Cette incongruité viole la règle de suppression des 0 à gauche.</ref>

Ainsi, par exemple :
* Le nombre zéro (le seul nombre sans chiffre) est <math>0</math>.
* Le nombre 3 est <math>SSS0</math>.
* La formalisation de « la multiplication de deux entiers naturels s'effectue par substitution de chaque apparition du symbole de l'unité dans la séquence du premier entier par une copie de la séquence correspondante au second entier. » est la propriété <math>\forall x \forall y (Sx\cdot y = (x\cdot y)+y)</math>.

== Voir aussi ==
* [[Marques de dénombrement]], une de ses applications.

== Notes et références ==
{{Références}}

{{Palette Base de numération positionnelle}}
{{Portail|maths}}

{{DEFAULTSORT:Systeme unaire}}
[[Catégorie:Système de numération|01]]
[[Catégorie:1 (nombre)]]