Voir la source de Table de primitives

Le calcul d'une '''[[primitive]]''' d'une [[Fonction (mathématiques)|fonction]] est l'une des deux opérations de base de l'[[analyse (mathématiques)|analyse]] et comme cette opération est délicate à effectuer, à l'inverse de la [[Dérivée|dérivation]], des tables de primitives connues sont souvent utiles.

Nous savons qu'une fonction continue sur un intervalle admet une infinité de primitives et que ces primitives diffèrent d'une constante ; nous désignons par {{math|''C''}} une ''constante arbitraire'' qui peut seulement être déterminée si nous connaissons la valeur de la primitive en un point. 

<math>\int f(x)\,\mathrm dx</math> — appelé [[intégrale indéfinie]] de {{math|''f''}} — désigne l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction {{math|''f''}} à une constante additive près.

== Règles générales d'intégration ==

* Linéarité :<br /><math> \int \left( {\color{Blue} a } \, {\color{ Blue } f(x) } + {\color{ blue } b } \, {\color{ blue } g(x) } \right) \mathrm dx = {\color{ Blue } a } \int {\color{ Blue } f(x) } \, \mathrm dx + {\color{ Blue } b } \int {\color{ Blue } g(x) } \, \mathrm dx </math>
* [[relation de Chasles]] :<br /><math> \int_a^cf(x) \, \mathrm dx = \int_a^{\color{ blue } b} f(x) \,\mathrm dx + \int_{\color{ blue } b}^cf(x) \, \mathrm dx </math><br />et en particulier :<br /><math> \int_{\color{ blue } a}^{\color{blue } b} f(x) \, \mathrm dx = {\color{ blue } - } \int_{\color{ blue } b}^{\color{ blue } a} f(x) \, \mathrm dx </math>
* [[intégration par parties]] :<br /><math> \int {\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ blue } g'(x)} \, \mathrm dx = [{\color{ Blue } f(x)} \, {\color{ Blue} g(x)}] - \int {\color{ Blue } f'(x)} \, {\color{ blue } g(x)} \, \mathrm dx </math><br />moyen [[mnémotechnique]] :<br /><math> \int {\color{ Blue } u} {\color{ blue } v'} = [{\color{ Blue } u} {\color{ Blue } v}] \  - \int {\color{ Blue } u'} {\color{ blue } v} </math>
avec <math>u = f(x),~u' = f'(x),~v = g(x),~v' = g'(x)</math> et {{math|d''x''}} implicite.
*[[intégration par changement de variable]] (si ''f'' et ''φ' '' sont continues) :<br /><math> \int_a^b f( {\color{ Blue } \varphi(t)} ) \, {\color{ Blue } \varphi'(t)} \, \mathrm d{\color{ Blue } t} = \int_{\color{ blue } \varphi(a)}^{\color{ blue } \varphi(b)} f({\color{ Blue } x}) \, \mathrm d{\color{ Blue } x} </math>.

== Primitives de fonctions simples ==
{{Article connexe|Primitive#Primitives courantes}}
:<math> \int \,\mathrm dx =  C \qquad \forall x \in \R </math>

=== [[Primitives de fonctions rationnelles]] ===
:<math> \int x^n\,\mathrm dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad \text{ si } n \ne -1  </math>
:<math> \int \frac1{x}\,\mathrm dx = \ln \left| x \right| + C \qquad \text{ si } x \ne 0 </math>
:<math> \int \frac1{x-a} \, \mathrm dx  = \ln | x-a | + C \qquad \text{ si } x \ne a </math>
:<math> \int \frac1{(x-a)^n} \, \mathrm dx = -\frac1{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \qquad \text{ si } n \ne 1 \text{ et } x \ne a </math>
:<math> \int \frac1{1+x^2} \, \mathrm dx = \operatorname{arctan}x+ C \qquad \forall x \in \R </math>
:<math> \int \frac1{a^2+x^2} \, \mathrm dx = \frac1a\operatorname{arctan}\frac xa+ C \qquad \text{ si } a \ne 0 </math>
:<math> \int \frac1{1-x^2} \, \mathrm dx = \frac12\ln { \left| \frac{x+1}{x-1} \right| } + C =
\begin{cases} \operatorname{artanh}x+ C &\text{ sur } ]-1,1[\\
\operatorname{arcoth}x+ C &\text{ sur } ]-\infty,-1[\text{ et sur }]1,+\infty[.
\end{cases}
</math>

===[[Primitives de fonctions logarithmes]]===
:<math> \forall x \in \R_+^*</math>
:<math> \int \ln x\,\mathrm dx = x \ln x- x + C </math>
Plus généralement, une primitive {{mvar|n}}-ième de <math> \ln</math> est :
:<math> \frac{x^n}{n!} \left( \ln x- \sum_{k=1}^n\frac1k\right)</math>.

===[[Primitives de fonctions exponentielles]]===
:<math> \forall x \in \R</math>
:<math>\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C</math>
:<math>\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C</math>
:<math> \int a^x\,\mathrm dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \qquad \text{ si } a > 0  </math>  et {{math|''a'' ≠ 1}} car {{math|1=ln(1) = 0}}.

=== [[Primitives de fonctions irrationnelles]] ===
:<math> \forall x \in \R \setminus \{-1,1\}</math>
:<math> \int {1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{arcsin}x+ C </math>
:<math> \int {-1 \over \sqrt{1-x^2}} \, \mathrm dx = \operatorname{arccos}x+ C </math>
:<math> \int {x \over \sqrt{x^2-1}} \, \mathrm dx = \sqrt{x^2-1} + C </math>

=== Primitives de fonctions trigonométriques ===
{{article détaillé|Primitives de fonctions trigonométriques}}

=== Primitives de fonctions hyperboliques ===
{{Article détaillé|Primitives de fonctions hyperboliques}}

=== Primitives de fonctions circulaires réciproques ===
{{Article détaillé|Primitives de fonctions circulaires réciproques}}

=== Primitives de fonctions hyperboliques réciproques ===
{{Article détaillé|Primitives de fonctions hyperboliques réciproques}}

== Voir aussi ==
=== Bibliographie ===
*{{en}} Alan Jeffrey et Daniel Zwillinger, ''[[Table of Integrals, Series, and Products]]'', [[Academic Press]], 2007 {{isbn|978-0123736376}}
*{{Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun)}}
=== Articles connexes ===
* [[Calcul intégral]]
* [[Calcul numérique d'une intégrale]]
* [[Intégration (mathématiques)|Intégration]]
* [[Table d'intégrales]]

=== Lien externe ===
[http://integrals.wolfram.com Calculateur automatique de primitive] par [[Mathematica]]

{{Palette|Primitives de fonctions}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Primitive|*]]
[[Catégorie:Formulaire de mathématiques|Primitives]]