Voir la source de Tache d'Airy

{{Voir homonymes|Airy}}

[[Image:Tache_Airy.png|vignette|Exemple de tache d'Airy simulée par ordinateur.]]

La '''tache d'Airy''' est la figure de [[diffraction]] résultant de la traversée d'un trou circulaire par la lumière. On parle de tache d'Airy dans le cas des [[Système optique|systèmes optiques]] pour qualifier la meilleure image possible d'un point source par ce système. Un système dont la [[réponse impulsionnelle]] donne une tache d'Airy est dit ''limité par la diffraction''.

Le nom de cette figure provient de [[George Biddell Airy]] (1801-1892), un scientifique anglais qui découvrit et décrivit le phénomène en 1835 dans ''{{lang|en|On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture}}''.

La figure présente une symétrie de révolution et prend la forme d'une tache brillante auréolée de cercles concentriques de plus faible luminosité.

== Découverte ==

On doit la description du phénomène à George Biddell Airy en 1835<ref>{{Article|langue=en|nom1=Airy|prénom1=George Biddell|titre=On the Diffraction of an Object-glass with Circular Aperture|url texte=https://archive.org/details/transactionsofca05camb|périodique=Transactions of the Cambridge Philosophical Society|volume=5|année=1835|passage=283-291}}</ref> alors que le phénomène de diffraction avait déjà été découvert plus d'une dizaine d'années auparavant.

== Expression de l'éclairement ==
[[Fichier:Airy pattern scaled.svg|thumb|Coupe de l'éclairement en fonction de la position dans une tache d'Airy.]]
Lorsque la figure est observée loin du trou diffractant, l'[[éclairement]] varie en fonction de l'angle {{var|θ}} entre le point considéré et le centre de la figure<ref>{{Ouvrage|langue=fr|langue originale=en|prénom1=Eugène|nom1=Hecht|titre=Optique|lieu=Paris|éditeur=Pearson Education France|année=2005|numéro d'édition=4|pages totales=715|passage=485|isbn=2-7440-7063-7|id=Hecht2005}}</ref> :
:<math>E(x) = E_0 \left(\frac{2 J_1(\pi x)}{\pi x}\right)^2 = E_0 \operatorname{jinc}(\pi x)^2</math>,
où
* <math>x = \frac{d \sin \theta}{\lambda}</math>,
* <math>E_0</math> est l'éclairement au centre de la figure ;
* <math>J_1</math> est la [[fonction de Bessel]] du premier ordre, la fonction {{math|jinc}}, définie sur <math>J_1</math>, est la [[fonction sombrero]] ;
* <math>d</math> est le diamètre de l'ouverture ;
* <math>\theta</math> est l'angle, ayant son sommet au centre du trou, entre l'axe de révolution et la direction considérée ;
* <math>\lambda</math> est la [[longueur d'onde]] de la lumière.

Cette expression est obtenue par la théorie de la [[diffraction de Fraunhofer]]. Elle correspond au carré du [[Module d'un nombre complexe|module]] de la [[transformée de Fourier]] de la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction caractéristique]] du disque représentant l'ouverture.

La première annulation de cette fonction se produit lorsque <math>x\simeq1{,}22</math> ce qui correspond à un angle
:<math>\theta \simeq1{,}22 \, \frac \lambda d</math>.
La figure de diffraction peut aussi être observée à plus courte distance en se plaçant dans le plan focal d'un objectif. C'est notamment le cas lorsqu'on considère la diffraction provoquée par l'ouverture de ce même objectif. On a alors la même expression de <math>E(x)</math>, où l'on peut écrire :
:<math>x = \frac{ d}{ \lambda} \sin \theta = \frac{ d}{ \lambda} \frac r f= \frac{r}{N \lambda}</math>,
où
* <math>r</math> est la distance entre le point considéré sur l'image et le centre de la figure ;
* <math>f</math> est la [[focale]] de l'objectif ;
* <math>N</math> est son [[nombre d'ouverture]].

Le rayon du premier disque noir constitue le rayon de la tache d'Airy et vaut :
:<math>r\simeq 1{,}22 \, \lambda \, N</math>.
=== Valeurs particulières ===

{| class="wikitable"
! point              || ''x''    || ''E''(''x'') / ''E''<sub>0</sub>
|-
| point à mi-hauteur || 0.514497 || 0.5
|-
| premier zéro       || 1.219670 || 0
|-
| maximum local      || 1.634719 || 0.017498
|-
| deuxième zéro      || 2.233131 || 0
|-
| maximum local      || 2.679292 || 0.004158
|-
| troisième zéro     || 3.238315 || 0
|}

== Pouvoir de résolution ==

{{loupe|Pouvoir de résolution}}

Un effet important de cette tache, est la dégradation de la [[résolution spatiale des images matricielles|résolution]] des images dans les appareils optiques ([[appareil photographique]], [[télescope]]…). On peut calculer le [[Pouvoir de résolution|critère de Rayleigh]] avec ce profil de la tache d'Airy, donnant une formule de la limite de séparation entre deux objets. Des techniques numériques de traitement d'image, comme la [[déconvolution]],  permettent de compenser en partie ce phénomène d'étalement du signal.

== Limitation des performances d'un système optique ==

La tache d'Airy intervient aussi lors de la lecture d'un espace de stockage optique ([[CD]], [[DVD]], [[blu-ray]]...). En effet, la capacité de stockage de ces supports optiques est entièrement dépendante de la largeur de cette tache : la tache ne doit couvrir qu'une seule piste du disque, ainsi, plus la tache est large, plus l'espace entre deux pistes est grand, et moins la capacité de stockage est grande.

===Cas particulier des systèmes photographiques===

Pour des systèmes photographiques, les performances des [[Objectif_photographique|objectifs]] sont limitées principalement par deux facteurs que sont la [[conception optique]] du système et la [[diffraction]]. Même si la limitation principale du système optique dépend de l'[[ouverture (photographie)|ouverture]], elle est toujours comparée à la dimension de la tache d'Airy<ref>{{google livres|1IBvrVAdKG8C|titre=Logiciels de L'optique|page=4}}</ref> qui est la meilleure réponse possible. 

Les optiques sont généralement limitées par leur conception optique jusqu'à f/8 et sont limités par la diffraction au-delà de f/16.

== Apodisation ==
{{voir|Fenêtrage}}

== Articles connexes ==
* [[Optique physique]]
* [[Théorie de la diffraction]]
* [[Fonction d'étalement du point]]

== Notes et références ==
{{Références}}

== Liens externes ==
[http://media4.obspm.fr/public/FSU/instrumentation/optique/rayon/diffraction-pupille/APPRENDRE.html Démonstration sur le site de l'Observatoire de Paris]

{{portail|physique|Optique}}

[[Catégorie:Optique ondulatoire]]
[[Catégorie:Phénomène optique]]