Voir la source de Tangente (trigonométrie)

{{Voir homonymes|Tangente|Tan}}
{{Ébauche|mathématiques}}{{Infobox Fonction mathématique
| nom = Tangente
| notation = <math>\tan</math>
| réciproque = <math>\arctan</math>
| dérivée = <math>\sec^2 = \frac{1}{\cos^2} = 1 + \tan^2</math>
| primitives = <math>-\ln \cos + \text{ cte}</math>
| ensemble de définition = <math>\R \setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, \, k \in \Z\right\}</math>
| ensemble image = <math>\R</math>
| parité = impaire
| périodicité = <math>\pi</math>
| zéro = 0
| asymptotes = <math>x=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| zéros = <math>k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
| points d'inflexion = <math>k\pi</math> avec <math>k \in \Z</math>
}}

La '''tangente''' est une [[fonction trigonométrique]] fondamentale. Elle est notée <math>\tan</math> et était auparavant notée <math>\operatorname{tg}</math>.

== Définitions ==

=== Par rapport au triangle rectangle ===

[[File:Triangle rectangle abc.svg|thumb|300px|Représentation d'un triangle <math>ABC</math> rectangle en <math>C</math>.|gauche]]

Dans un triangle <math>ABC</math> [[Triangle rectangle|rectangle]] en <math>C</math>, la tangente de l'angle <math>\widehat A</math> est le rapport entre le côté opposé à <math>A</math> et le côté adjacent à <math>A</math> :
: <math>\tan \widehat A = \frac{BC}{AC}</math>.
Pour se le rappeler, on utilise fréquemment le sigle [[mnémotechnique]] « TOA » :
: <math>\mathrm{tangente} = \frac{\mathrm{oppos\acute{e}}}{\mathrm{adjacent}}</math>.
: {{Clr|left}}

=== Par rapport au cercle trigonométrique ===
[[Fichier:Circle-trig6.svg|thumb|upright=1.35|Représentation géométrique des valeurs des fonctions trigonométriques d'un angle <math>\theta</math>.|gauche]]La tangente d'un angle <math>\theta</math> est la longueur du segment de la [[Tangente à un cercle|tangente]] au [[cercle trigonométrique]] qui intercepte l'[[axe des abscisses]].

Par rapport aux autres [[Fonction trigonométrique|fonctions trigonométriques]] : la fonction tangente est le rapport entre la [[Sinus (mathématiques)|fonction sinus]] et la [[Cosinus|fonction cosinus]] :
: <math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>.
On remarque que cette fonction n'est pas définie pour des valeurs où le cosinus de l’angle s'annule, correspondant aux cas limites où la tangente est parallèle à la droite interceptrice.

== Applications ==

[[Fichier:Telemetre parallaxe principe.svg|thumb|300px|Principe de la mesure au télémètre à parallaxe.]]

Dans un triangle rectangle, la fonction tangente permet de déterminer la longueur d'un côté de l'angle droit connaissant un angle et la longueur d'un des autres côtés. Ceci est utilisé pour la [[mesure optique]] de longueurs. Par exemple, avec un [[télémètre]] à [[parallaxe]], la distance <math>D</math> d'un objet observé est déterminée à partir de la distance <math>L</math> séparant entre deux lunettes d'observation et de l'angle <math>\theta</math> d'observation, déterminé en faisant coïncider les images des deux lunettes en faisant pivoter un miroir :
: <math>D = L \times \tan \theta</math>
{{voir aussi|Triangulation}}

La tangente est également une manière d'exprimer la mesure d'un angle : lorsque l'on exprime une [[Pente (topographie)|pente]] en pourcents (%), cela correspond à la tangente de l'angle de plus grande pente par rapport à l'horizontale, multipliée par cent.
{{voir aussi|Pente (topographie)}}

{{clr}}

== Fonction tangente ==

[[Fichier:Tangente.svg|vignette|280px|Représentation graphique de la fonction tangente.]]

=== Propriétés ===

La fonction tangente est une [[fonction réelle]] qui est :
* [[Fonction périodique|périodique]], de période <math>\pi</math> : <math>\tan(\theta+k\pi) = \tan \theta</math> pour tout <math>k</math> [[entier relatif]] ;
* [[Parité d'une fonction|impaire]] : <math>\tan(- \theta) = - \tan \theta</math> ;
* elle s'annule en 0 et donc, du fait de sa périodicité, pour tous les multiples entiers de <math>\pi</math> : <math>\tan k \pi = 0</math> pour tout <math>k</math> entier relatif ;
* elle présente des [[asymptote]]s verticales aux valeurs <math>\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi</math> pour tout <math>k</math> entier relatif :
: <math> \begin{cases} \lim\limits_{\theta \to  (\pi/2)^-} \tan \theta = +\infty \\ \lim\limits_{\theta \to  (\pi/2)^+} \tan \theta = -\infty \end{cases}</math> ;
* sa dérivée est le carré de la [[fonction sécante]] : <math>\tan'\theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2\theta} = 1 + \tan^2\theta</math>
* si un angle <math>\theta</math> est exprimé en [[radian]]s, alors pour les faibles valeurs de <math>\theta</math>, on a :
*: <math>\tan \theta \simeq \theta</math> (voir la section ''[[#Développement limité|Développement limité]]'' ci-dessous).
En appliquant la [[formule d'Euler]], on a :
: <math>\tan \theta = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm i  \theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm i  \theta}}{\mathrm i (\mathrm{e}^{\mathrm i  \theta} + \mathrm{e}^{-\mathrm i  \theta})}</math>

La [[Bijection réciproque|fonction réciproque]] est la fonction [[arc tangente]], notée <math>\arctan</math> ; certaines calculatrices la notent <math>\operatorname{atan}
</math>.

L'[[inverse]] de la fonction tangente est la fonction [[cotangente]], notée <math>\cot</math> (parfois <math>\operatorname{cotan}</math> ou <math>\operatorname{cotg}</math>) :
: <math>\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}</math>

=== Développement limité ===

Le [[développement limité]] de la fonction tangente en zéro est :
:<math>\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \ldots + \frac{(-1)^n\cdot 2^{2n}\cdot(1-2^{2n})\cdot B_{2n}}{(2n)!}\cdot x^{2n - 1} + o(x^{2n})</math>,
où les <math>B_{2n}</math> sont les [[Nombre de Bernoulli|nombres de Bernoulli]].

Le calcul des coefficients du développement limité peut également s'obtenir par la [[transformation du boustrophédon]].

=== Calcul numérique ===

Le calcul de la tangente se fait par [[série (mathématiques)|série]], mais plutôt que d'utiliser le développement limité par [[série de Taylor]], qui utilise de nombreuses multiplications, on préfère l'algorithme [[CORDIC]].

== Tangente avec un argument complexe ==
Les racines de l'équation <math>\cos z=0</math> sont les nombres <math>\left(n+\frac12\right)\pi</math> (<math>n\in\Bbb Z</math>). On pose
:<math>\tan z:=\frac{\sin z}{\cos z}</math> pour tout complexe <math>z\notin\left(\Z+\frac12\right)\pi</math>.

Cette fonction prolonge aux valeurs non réelles de <math>z </math> la fonction tangente pour <math>x </math> réel. Elle est [[fonction analytique|analytique]] sur l'[[Ouvert (topologie)|ouvert]] où elle est définie<ref>{{Dieudonné2}}, Hermann, 1980, {{refinc|date=21/07/2022|p. ?}}.</ref>.

Utilisant la technique de [[Développement en éléments simples en analyse complexe|développement en éléments simples]] d'une [[fonction méromorphe]], on peut trouver la [[Série (mathématiques)|série infinie]] :

:<math>\tan(z)=-\sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{z - \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi} + \frac{1}{z + \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi}\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{-2z}{z^2-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\pi^2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{-8z}{4z^2-(2n+1)^2\pi^2}</math>.

== Références ==
{{références}}

== Voir aussi ==
{{autres projets
 |v=Fonctions trigonométriques/Étude de la fonction tangente| wikiversity titre =Étude de la fonction tangente
}}
=== Articles connexes ===
* [[Cotangente]]
* [[Identité trigonométrique pythagoricienne]]
* [[Tangente hyperbolique]]
* [[Substitution de Weierstrass]] (fonctions sinus et cosinus comme fonctions rationnelles de la tangente du demi-angle)
* [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres à tangente rationnelle, dont π|La tangente de tout rationnel non nul est irrationnelle]].

=== Liens externes ===
{{Liens}}

{{Palette|Trigonométrie}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Géométrie du triangle]]
[[Catégorie:Fonction trigonométrique]]
[[Catégorie:Fonction de référence]]