Voir la source de Tenseur d'Einstein

[[Fichier:Spacetime curvature - Cropped.png|vignette|Représentation de la déformation du champ gravitationnel par la présence d'une masse importante.]]
En [[géométrie différentielle]], le '''tenseur d'Einstein''' {{incise|ainsi nommé en l'honneur d'[[Albert Einstein]]}} est utilisé pour exprimer la courbure d'une [[variété pseudo-riemannienne]].

En [[relativité générale]], il apparaît dans l'équation du champ d'[[Albert Einstein|Einstein]], pour décrire comment le [[champ gravitationnel]] est affecté par la présence de matière.

== Histoire ==
L'[[Éponymie|éponyme]] du '''tenseur d'Einstein'''{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|5}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 5.3}}|p=84}}{{,}}{{sfn|Heyvaerts|2012|loc={{chap.|8}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 8.7}}, {{§|8.7.3}} |p=175}}{{,}}{{sfn|Lachièze-Rey|2013|loc={{chap.|3}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 3.1}}, {{§|3.1.1}}|p=51}}{{,}}{{note|groupe=N|texte=En anglais : ''{{langue|en|texte=Einstein tensor}}''{{sfn|Müller-Kirsten|2008|loc={{chap.|15}}, {{§|15.1}}|p=471}}.}} est le physicien [[Albert Einstein]] ({{date-|1879|en science}}-{{date-|1955|en science}}){{sfn|Dongen|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 1.1}}, {{§|1.1.2}}|p=12}} qui l'a construit{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|5}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 5.3}}|p=83}} au cours de l'élaboration de la [[relativité générale]]. L'historien des sciences néerlandais Jeroen van Dongen présente le tenseur comme la réponse d'Einstein à la question de savoir : {{citation bloc|Quelle est l'expression appropriée de {{formule|§=?{{ind|''μν''}}}} {{incise|formée à partir de la métrique et de ses dérivées, premières et secondes}} qui entre dans une [[Équation d'Einstein|équation du champ]] de forme : {{centrer|{{formule|§=?{{ind|''μν''}} = ''κT{{ind|μν}}''}},}} avec, au membre de droite, le [[tenseur énergie-impulsion]] {{formule|§=''T{{ind|μν}}''}} de la matière comme terme source ?|référence={{sfn|Dongen|2010|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 1.1}}, {{§|1.1.2}}|p=11}}}}

Le tenseur d'Einstein étant un tenseur de courbure, il est aussi connu comme le '''tenseur de courbure d'Einstein'''{{sfn|Collion|2019|loc={{chap.|4}}, {{§|4.5}}|p=104}}{{,}}{{sfn|Petitot|1997|p=378}}{{,}}{{note|groupe=N|texte=En anglais : ''{{langue|en|texte=Einstein curvature tensor}}''.}} ; et, Einstein l'ayant construit avec le [[Tenseur de Ricci|tenseur (de courbure) de Ricci]], il est aussi connu comme le '''tenseur (de courbure) de Ricci-Einstein'''{{sfn|Leite Lopes|1986|loc={{chap.|7}}, {{§|7.2}}|p=89 et 91-92}}{{,}}{{note|groupe=N|texte=En anglais : ''{{langue|en|texte=Ricci-Einstein (curvature) tensor}}''{{sfn|Müller-Kirsten|2008|loc={{chap.|15}}, {{§|15.1}}|p=471}}{{,}}{{sfn|Cohen-Tannoudji|2009|loc={{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 4}}, {{§|4.2}}}}.}}.

== Notations ==
À la suite d'Einstein{{sfn|Einstein|1915|loc={{p.|844}} (éq. 1) et {{p.|845}} (éq. 2 et 2a)}}, le tenseur est usuellement noté <math>G</math>{{sfn|Choquet-Bruhat|2014|loc=partie A, {{chap.|{{Ier}}}}, {{sec.|{{I}}.9}}, {{§|{{I}}.9.1}}|p=21, {{n.|18}}}}. Mais, comme il n'existe pas de notation normalisée, les notations {{formule|''D''|taille=1.3em}}, {{formule|''E''|taille=1.3em}}{{sfn|Zee|2013|loc={{liv.|2}}, {{nobr|{{abréviation discrète|part.|partie(s)}} {{VI}}}}, {{chap.|{{VI}}.5}}, {{§|[1]}}|p=388 (2)}} ou <math>S</math>{{sfn|Choquet-Bruhat|2014|loc=partie A, {{chap.|{{Ier}}}}, {{sec.|{{I}}.9}}, {{§|{{I}}.9.1}}|p=21 ({{I}}.9.5)}}{{,}}{{sfn|Choquet-Bruhat|2014|loc={{nobr|{{abréviation discrète|part.|partie(s)}} A}}, {{chap.|IV}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} {{IV}}.2}}, {{§|{{IV}}.2.1}}|p=62}} peuvent se rencontrer{{sfn|Damour|2012|loc={{chap.|3}}, {{n.|20}}}}.

== Formule du tenseur d’Einstein en deux dimensions ==
Le tenseur d'Einstein est un [[tenseur]] d’ordre 2, ce qui schématiquement signifie que l’on peut le représenter sous forme d’une [[matrice (mathématiques)|matrice]], qui possède 4 lignes et 4 colonnes, autant que les coordonnées de l’[[espace-temps]] dans lequel nous vivons. Il se déduit du [[tenseur de Ricci]] par la formule
:<math>G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}</math>
<math>G_{\mu\nu}</math> étant le tenseur d’Einstein, <math>R_{\mu\nu}</math> le tenseur de Ricci, <math>g_{\mu\nu}</math> la [[métrique riemannienne]] de l’espace-temps, et ''R'' la [[courbure scalaire]], c’est-à-dire la [[trace (algèbre)|trace]] du tenseur de Ricci.
En deux dimensions, il s'écrit :
:<math>\left. G_{xx}= R_{xx}-\frac12 g_{xx}R\right.</math>
ou
:<math>\left. G_{yy} =R_{yy}-\frac12 g_{yy}R\right.</math>

Ces deux expressions sont égales et même nulles car on a :
:<math>\left. R_{xx} = g^{xx} R_{xxxx} +g^{yy} R_{xyxy} = g^{yy}R_{xyxy} = 0+\frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}\right.</math>

:<math>R = g^{mn} R_{mn} = g^{xx} R_{xx} +g^{yy} R_{yy} = \frac{1}{g_{xx}} R_{xx} +\frac{1}{g_{yy}} R_{yy} = \frac{2}{g_{xx}g_{yy}} R_{xyxy}</math>

:<math>G_{xx}= \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}-\frac12 g_{xx}\frac{2}{g_{xx}g_{yy}} R_{xyxy}=0</math>
On aurait de même <math>G_{yy}=0</math>. Le tenseur d'Einstein d'une surface est identiquement nul, au contraire du tenseur de Riemann, ce qu'on vérifie sur la sphère<ref>Kenyon, I.R., General relativity, Oxford University Press, 1990
</ref>.

== Propriété fondamentale ==
Les principales propriétés du tenseur d'Einstein sont les suivantes :
* Il s'annule lorsque l'[[espace-temps]] est plat{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=410}} ;
* Il est construit à partir du [[tenseur de Riemann]] et du [[tenseur métrique]]{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=410}} ;
* Il se distingue des autres tenseurs ainsi construits par les propriétés suivantes :
** Il est linéaire en Riemann{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=410}} ;
** Il est [[Tenseur symétrique|symétrique]]{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=410}} et de rang 2{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=410}} ;
** Il est de divergence nulle{{sfn|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=410}}.

Le tenseur de Ricci se déduit d’un autre tenseur, le [[tenseur de Riemann]]. Celui-ci obéit à un certain nombre de propriétés dont l’une est appelée [[Tenseur de Riemann#Symétries et identités|identité de Bianchi]]. Celle-ci, transposée à la définition du tenseur d’Einstein, implique qu’il est de [[divergence (physique)|divergence]] nulle :
:<math>D_\mu G^{\mu\nu} = 0</math>, 
où ''D'' est la [[dérivée covariante]], sorte de généralisation du concept usuel de dérivée au cas où l’espace temps est courbé par la présence de matière, et où les composantes dites covariantes <math>G^{\mu\nu}</math> se déduisent de celles dites contravariantes de <math>G_{\mu\nu}</math> par la formule <math>G^{\mu\nu} = g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} G_{\alpha\beta}</math>

=== Trace ===
La [[Trace (algèbre)|trace]] du tenseur d'Einstein <math>G_\mu^\mu</math> est reliée à la [[courbure scalaire]] <math>R</math> (elle-même trace du [[tenseur de Ricci]]) par{{sfn|Kopeikin|Efroimsky|Kaplan|2011|loc={{§|3.7.6.2}}|p=265 (3.205)}} :
:<math>G_\mu^\mu=\frac{2-n}{2}R</math>,
où <math>n</math> est le nombre de dimensions de la [[variété pseudo-riemannienne]]{{sfn|Kopeikin|Efroimsky|Kaplan|2011|loc={{§|3.7.6.2}}|p=265}}.

En relativité générale, <math>n=4</math> et <math>G_\mu^\mu=-R</math>{{sfn|Kopeikin|Efroimsky|Kaplan|2011|loc={{§|3.7.6.2}}|p=265}}.

=== Composantes ===
Le nombre des composantes indépendantes du tenseur d'Einstein est donné par{{sfn|Hamber|2008|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.6}}|p=21}} :
:<math>\frac{1}{2}n\left(n+1\right)</math>,
où <math>n>2</math> est le nombre de dimensions de la variété pseudo-riemannienne.

=== Dimension ===
Les composantes du tenseur d'Einstein sont [[Homogénéité (physique)|homogènes]] à l'[[inverse]] d'une [[Surface (physique)|surface]]{{sfn|id=Pérez_2016|texte=Pérez et Anterrieu 2016|loc={{chap.|10}}, {{sec.|{{II}}}}, {{§|{{II}}.8}}|p=249}}. Ainsi, leur [[Dimension (physique)|dimension]] est celle l'inverse du [[Carré (algèbre)|carré]] d'une [[longueur]]{{sfn|Baaquie|Willeboordse|2015|loc={{chap.|4}}, remarque 4.2|p=82}} :
:<math>\mathrm{dim}(G)=\mathsf{L}^{-2}</math>.

=== Nullité ===
Le tenseur d'Einstein est identiquement nul en une dimension{{sfn|Hamber|2008|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.6}}|p=21}} comme en deux dimensions{{sfn|Hamber|2008|loc={{chap.|{{1er}}}}, {{sec.|1.6}}|p=21}}.

== Importance en relativité générale ==
Le tenseur d’Einstein est le seul tenseur d’ordre deux faisant intervenir la métrique et ses dérivées jusqu'à l’ordre deux qui soit de divergence nulle. C'est donc le candidat idéal pour faire partie des [[équations d'Einstein]], qui relient la géométrie de l’espace-temps (en fait le tenseur d’Einstein) à la distribution de matière, décrite par le [[tenseur énergie-impulsion]] <math>T_{\mu\nu}</math>.

En l'absence de [[constante cosmologique]], le tenseur d'Einstein est [[Proportionnalité|proportionnel]] au tenseur énergie-impulsion{{sfn|Barrau|Grain|2016|loc={{chap.|5}}, {{nobr|{{abréviation discrète|sect.|section(s)}} 5.3}}|p=84}}{{,}}{{sfn|Grøn|Hervik|2007|loc={{chap.|8}}, {{§|8.1}}|p=180 (8.2)}} :
:<math>G_{\mu\nu}\propto T_{\mu\nu}</math>,
et l'équation d'Einstein s'écrit ainsi{{note|groupe=N|texte=Avec {{formule|§=''c'' = 1}} : {{formule|§=''G{{ind|μν}}'' = ''κT{{ind|μν}}'' = 8π''GT{{ind|μν}}''}}.}} :
:<math>G_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}</math>,
la constante de proportionnalité ''κ'', appelée [[constante d'Einstein]], est ajustée de façon que les équations d’Einstein deviennent équivalente aux lois de la [[gravitation universelle]] reliant le [[potentiel gravitationnel]] Φ à la [[masse volumique]] µ au même point selon la loi dite de [[équation de Poisson|Poisson]] <math>\Delta \Phi = 4 \pi G \mu</math>, ''G'' étant la [[constante de Newton]] et <math>\Delta</math> le [[laplacien]].

En d'autres termes, la partie gauche de la formule décrit la courbure (la géométrie) de l'espace-temps, la partie droite décrit le contenu de l'espace-temps.

== Notes et références ==

=== Notes ===
{{Références|groupe=N}}

=== Références ===
{{Références}}

== Voir aussi ==

=== Bibliographie ===
{{Légende plume}}
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Belal E. | nom1=Baaquie | prénom2=Frederick H. | nom2=Willeboordse | titre=Exploring the invisible universe | sous-titre=from black holes to superstrings | traduction titre=Explorer l'univers invisible : des trous noirs aux supercordes | lieu=Singapour, Hackensack et Londres | éditeur=[[World Scientific]], hors {{coll.}} | date=3/2015 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVI}}-471 | format livre={{dunité|17|24,4|cm}} | isbn10=981-4618-67-5 | isbn1=978-981-4618-67-0 | isbn2=978-981-3220-63-8 | ean=9789814618670 | oclc=952062655 | bnf=45000558v | doi=10.1142/9265 | bibcode=2015eiub.book.....B | sudoc=193960893 | présentation en ligne=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/9265 | lire en ligne={{Google Livres|id=1Ri3CgAAQBAJ}} | consulté le=10 mai 2023 | libellé=Baaquie et Willeboordse 2015 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom1={{abréviation discrète|A.|Aurélien}} | nom1=Barrau | lien auteur=Aurélien Barrau | prénom2={{abréviation discrète|J.|Julien}} | nom2=Grain | titre=Relativité générale | sous-titre= cours et exercices corrigés | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences Sup. | série=Physique | mois=août | année=2016 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|août 2011}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{VIII}}-231 | format={{unité|24|cm}} | isbn10=2-10-074737-1 | isbn1=978-2-10-074737-5 | ean=9782100747375 | oclc=958388884 | bnf=45101424p | sudoc=195038134 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-generale-cours-et-exercices-corriges-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=3erZDAAAQBAJ}} | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Barrau et Grain 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Yvonne | nom=Choquet-Bruhat | lien auteur=Yvonne Choquet-Bruhat | préface=[[Thibault Damour]] | titre=Introduction to general relativity, black holes, and cosmology | traduction titre=Introduction à la relativité générale, aux trous noirs, et à la cosmologie | lieu=Oxford | éditeur=[[Oxford University Press|OUP]], hors {{coll.}} | date=11/2014 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XX}}-279 | format={{dunité|18,9|24,6|cm}} | isbn10=0-19-966645-8 | isbn1=978-0-19-966645-4 | isbn2=978-0-19-966646-1 | ean=9780199666454 | oclc=907120831 | bnf=44283477f | sudoc=184906695 | présentation en ligne=https://global.oup.com/academic/product/introduction-to-general-relativity-black-holes-and-cosmology-9780199666454 | lire en ligne=https://profmcruz.files.wordpress.com/2018/02/livro-introduction-to-general-relativity-black-holes-and-cosmology-choquet-bruhat.pdf | consulté le=10 mai 2023 | libellé=Choquet-Bruhat 2014 | plume=oui}}
* {{Article | langue=en | prénom={{abréviation discrète|G.|Gilles}} | nom=Cohen-Tannoudji | lien auteur=Gilles Cohen-Tannoudji | titre={{langue|en|texte=Universal constants, standard models and fundamental metrology}} | traduction titre=Constantes universelles, modèles standards et métrologie fondamentale | périodique=[[The European Physical Journal|{{abréviation discrète|Eur. Phys. J. Spec. Top.|The European Physical Journal Special Topics}}]] | volume=172 | numéro={{nobr|1 :}} | titre numéro={{langue|en|texte=Quantum metrology and fundamental constants}} | mois=juin | année=2009 | pages={{art.}}{{numéro|1}}, {{p.|5-24}} | doi=10.1140/epjst/e2009-01038-2 | bibcode= 2009EPJST.172....5C | arxiv=0905.0975 | libellé=Cohen-Tannoudji 2009}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|S.|Stéphane}} | nom=Collion | titre=Voyage dans les mathématiques de l'espace-temps | sous-titre=trous noirs, big-bang, singularités | lieu=Les Ulis | éditeur=[[EDP Sciences]] | collection=Une introduction à... | numéro dans collection=10 | mois={{date-|janvier|compact=oui}} | année=2019 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{VIII}}-200 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=2-7598-2279-6 | isbn1=978-2-7598-2279-9 | ean=9782759822799 | oclc=1085244403 | bnf=45568170n | sudoc=233873899 | présentation en ligne=https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1063/9782759822782 | lire en ligne={{Google Livres|id=qz2EDwAAQBAJ}} | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Collion 2019}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|Th.|Thibault}} | nom=Damour | lien auteur=Thibault Damour | titre=Si Einstein m'était conté | sous-titre=de la relativité à la théorie des cordes | lieu=Paris | éditeur=[[Le Cherche midi]] | collection=Documents | mois={{date-|avril|compact=oui}} |année=2005 |réimpression={{date-|avril 2012|compact=oui}}, mise à jour | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, 236 |format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|portr.|portrait,(s)}} {{unité|24|cm}} | isbn10=2-74910-390-8 | isbn1=978-2-7491-0390-7 | ean=9782749103907 | oclc=300277328 | bnf=39954359n | bibcode=2012semc.book.....D | sudoc=087368374 | présentation en ligne=https://www.cherche-midi.com/livres/si-einstein-m-etait-conte | lire en ligne={{Google Livres|id=i8maLt5yKuIC}} | consulté le=21 janvier 2018 | id=Damour_2012 | libellé=Damour 2012}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom={{abréviation discrète|J.|Jeroen}} van | nom=Dongen | titre={{langue|en|texte=Einstein's unification}} | traduction titre=L'unification d'Einstein | lieu=Cambridge | éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]], hors {{coll.}} | mois=juin | année=2010 | réimpression={{date-|octobre 2018|compact=oui}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-213 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|26|cm}} | isbn10=0-521-88346-6 | isbn1=978-0-521-88346-7 | isbn2=978-1-108-70303-1 | ean=9780521883467 | oclc=758848172 | bnf=422095281 | doi=10.1017/CBO9780511781377 | sudoc=152524703 | présentation en ligne=https://www.cambridge.org/fr/academic/subjects/physics/history-philosophy-and-foundations-physics/einsteins-unification?format=HB | lire en ligne={{Google Livres|id=hTINAAAAQBAJ}} | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Dongen 2010}}.
* {{Article |langue=de |prénom=Albert |nom=Einstein |lien auteur=Albert Einstein |titre=Die Feldgleichungen der Gravitation |traduction titre=Les équations du champ de la gravitation |périodique={{langue|de|texte=Sitzungsberichte der [[Académie royale des sciences de Prusse|Preussischen Akademie der Wissenschaften]] zu Berlin}} |jour=2 |mois=décembre |année=1915 |passage=séance du {{date|25 novembre 1915}}, {{p.|844-847}} |bibcode=1915SPAW.......844E |lire en ligne=http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/get_file?pdfs/SPAW./1915/1915SPAW.......844E.pdf |format=pdf |consulté le=21 janvier 2018 |libellé=Einstein 2015}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1={{abréviation discrète|Ø.|Øyvind}} | nom1=Grøn | lien auteur1=w:en:Øyvind Grøn | prénom2={{abréviation discrète|S.|Sigbjorn}} | nom2=Hervik | titre={{langue|en|texte=Einstein's general theory of relativity}} | sous-titre={{langue|en|texte=with modern applications in cosmology}} | traduction titre=La théorie de la relativité général d'Einstein : avec des applications modernes en cosmologie | lieu=New York | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]], hors {{coll.}} | année=2007 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XX}}-538 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=0-387-69199-5 | isbn1=978-0-387-69199-2 | isbn2=978-0-387-69200-5 | ean=9780387691992 | oclc=77540741 | doi=10.1007/978-0-387-69200-5 | bibcode=2007egtr.book.....G | sudoc=124591477 | présentation en ligne=https://www.springer.com/gp/book/9780387691992 | lire en ligne={{Google Livres|id=IyJhCHAryuUC}} | consulté le=15 octobre 2019 | libellé=Grøn et Hervik 2007}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|P.|Paul}} | nom=Halpern | lien auteur=w:en:Paul Halpern | préface=de [[Marc Lachièze-Rey|{{nobr|{{abréviation discrète|M.|Marc}} Lachièze-Rey}}]] | traduction=de l'{{abréviation discrète|angl. amér.|anglais américain}} par {{nobr|{{abréviation discrète|B.|Benoît}} Clenet}} | titre=Le dé d'Einstein et le chat de Schrödinger | sous-titre=quand deux génies s'affrontent | titre original={{langue|en|texte=Einstein's dice and Schrödinger's cat}} | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | mois={{date-|avril|compact=oui}} | année=2016 | réimpression={{coll.|Ekho}}, {{date-|mai 2019}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, 319 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=2-10-074420-8 | isbn1=978-2-10-074420-6 | ean=9782100744206 | oclc=949925628 | bnf=45050056t | sudoc=93188090 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/d-einstein-et-chat-schrodinger-quand-deux-genies-affrontent-0 | lire en ligne={{Google Livres|id=Keb1CwAAQBA}} | consulté le=13 octobre 2019 | passage=79-81 | libellé=Halpern 2016}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom=Herbert W. | nom=Hamber | titre=Quantum gravitation | sous-titre=the Feynman path integral approach | lieu=Berlin et Heidelberg | éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]], hors {{coll.}} | date=11/2008 | réimpression={{date-|11/2010}} | numéro d'édition=1 | pages totales={{XVII}}-342 | format livre={{dunité|15,6|23,4|cm}} | isbn10=3-540-85292-1 | isbn1=978-3-540-85292-6 | isbn2=978-3-642-09900-7 | ean=9783540852926 | oclc=470994206 | bnf=41364517f | doi=10.1007/978-3-540-85293-3 | sudoc=137212887 | présentation en ligne=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-540-85293-3 | lire en ligne={{Google Livres|id=dAAqly_8rQoC}} | consulté le=12 mai 2023 | libellé=Hamber 2008 | plume=oui}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|J.|Jean}} | nom=Heyvaerts | titre=Astrophysique | sous-titre=étoiles, univers et relativité : cours et exercices corrigés | lieu=Malakoff | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences Sup. | série=Physique | mois=août | année=2012 | numéro d'édition=2 | année première édition={{date-|septembre 2006|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{X}}-384 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}} et {{abréviation discrète|graph.|graphique(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=2-10-058269-0 | isbn1=978-2-10-058269-3 | ean=9782100582693 | oclc=816556703 | bnf=b42740481q | sudoc=163817030 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/astrophysique-etoiles-univers-et-relativite | lire en ligne={{Google Livres|id=Cv-NdDmpcp8C}} | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Heyvaerts 2012}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1=Sergei | nom1=Kopeikin | prénom2=Michael | nom2=Efroimsky | prénom3=George | nom3=Kaplan | titre=Relativistic celestial mechanics of the solar system | lieu=Weinheim | éditeur=[[Wiley-VCH]], hors {{coll.}} | date=9/2011 | numéro d'édition=1 | pages totales={{XXXI}}-860 | format livre={{dunité|18,5|24,9|cm}} | isbn10=3-527-40856-8 | isbn=978-3-527-40856-6 | ean=9783527408566 | oclc=800837798 | sudoc=156553651 | présentation en ligne=https://www.wiley.com/en-us/Relativistic+Celestial+Mechanics+of+the+Solar+System-p-9783527634576 | lire en ligne={{Google Livres|id=RfR2GawB-xcC}} | consulté le=14/11/2022 | libellé=Kopeikin, Efroimsky et Kaplan 2011}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |prénom1=Xavier |nom1=Lachaume |champ libre=sous la direction d'Emmanuel Humbert et de Loïc Villain |titre=Relativité générale, toujours plus générale |sous-titre=introduction au domaine de recherche |lieu=Tours |éditeur=[[Laboratoire de mathématiques et de physique théorique]] |année=2013 |mois=octobre |pages totales=11 |format livre={{dunité|21|29,7|cm}} |passage={{§|3.2}} (« Les théorèmes de Lovelock »), {{p.|9-11}} |isbn= |lire en ligne=https://www.math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=1081 |format électronique=pdf |consulté le=21 janvier 2018 |numéro chapitre=3 |titre chapitre=De la formulation lagrangienne à la théorie de Lovelock |libellé=Lachaume 2013}}.
* {{Ouvrage | langue=fr |prénom={{abréviation discrète|M.|Marc}} | nom=Lachièze-Rey | lien auteur=Marc Lachièze-Rey | champ libre=avec la {{abréviation discrète|collab.|collaboration}} de {{nobr|{{abréviation discrète|J.|Julien}} Ribassin}} | titre=Initiation à la cosmologie | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]] | collection=Sciences Sup. | série=Physique | mois=mai | année=2013 | numéro d'édition=5 | année première édition={{date-|septembre 1992|compact=oui}} | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{VII}}-152 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{unité|24|cm}} | isbn10=2-10-059239-4 | isbn1=978-2-10-059239-5 | ean=9782100592395 | oclc=858206589 | bnf=436197696 | sudoc=169390608 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/initiation-cosmologie | lire en ligne={{Google Livres|id=MjS2744Rh8cC}} | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Lachièze-Rey 2013}}
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|J.|José}} | nom=Leite Lopes | lien auteur=w:en:José Leite Lopes | champ libre=avec la {{abréviation discrète|collab.|collaboration}} de {{nobr|{{abréviation discrète|R.|Robert}} Blind}} | titre=Notions de relativité générale | lieu=Rio de Janeiro | éditeur=[[Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico|CNPq]] – [[w:en:Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas|CBPF]] | collection={{langue|pt|texte=Monografia}} | numéro dans collection=CBPF-MO-003/86 | année=1986 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, 205 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|30|cm}} | oclc=22516720 | lire en ligne=https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/18/074/18074405.pdf | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Leite Lopes 1986}}.
* {{Chapitre |langue=en |prénom=Malcolm A.H. |nom=MacCallum |titre=Einstein's field equations |auteurs ouvrage=Nicholas J. Higham (éd. et préf.), Mark R. Dennis, Paul Glendinning, Paul A. Martin, Fadil Santosa et [[Jared Tanner]] (éd. associés) |titre ouvrage=The Princeton companion to applied mathematics |lieu=Princeton et Oxford |éditeur=[[Princeton University Press]] |collection=Princeton companions |mois=septembre |année=2015 |numéro d'édition=1 |pages totales={{nobr|1 vol.}}, {{XVII}}-994 |format={{unité|27|cm}} |isbn=978-0-691-15039-0 |ean=9780691150390 |oclc=923003755 |sudoc=190115718 |présentation en ligne=https://press.princeton.edu/titles/10592.html |lire en ligne={{Google Livres|id=MvI8CgAAQBAJ}} |consulté le=21 janvier 2018 |partie={{nobr|part. {{III}}}} (« {{langue|en|texte=Equations, laws, and functions of applied mathematics}} » |passage={{art.}}{{III}}.10, {{p.|144-146}} |libellé=MacCallum 2015}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom1={{abréviation discrète|Ch. W.|Charles W.}} | nom1=Misner | lien auteur1=Charles W. Misner | prénom2={{abréviation discrète|K. S.|Kip Stephen}} | nom2=Thorne | lien auteur2=Kip Thorne | prénom3={{abréviation discrète|J. A.|John Archibald}} | nom3=Wheeler | lien auteur3=John Wheeler | titre={{langue|en|texte=[[Gravitation (livre)|Gravitation]]}} | traduction titre=Gravitation | lieu=San Francisco | éditeur={{nobr|[[W. H. Freeman and Company|W. H. Freeman]]}}, hors {{coll.}} | année=1973 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXVI}}-1279-[1] | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}}, {{unité|26|cm}} | isbn1=0-7167-0334-3 | isbn2=0-7167-0344-0 | ean=9780716703440 | oclc=300307879 | bnf=373910557 | bibcode=1973grav.book.....M | sudoc=004830148 | lire en ligne=https://archive.org/details/GravitationMisnerThorneWheeler | consulté le=13 octobre 2019 | libellé=Misner, Thorne et Wheeler 1973}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom={{abréviation discrète|H. J. W.|Harald Johann Wilhelm}} | nom=Müller-Kirsten | lien auteur=w:de:Harald J. W. Mueller-Kirsten | titre={{langue|en|texte=Classical mechanics and relativity}} | traduction titre=Mécanique classique et relativité | lieu=Singapour, Hackensack et Londres | éditeur=[[World Scientific]], hors {{coll.}} | mois=août | année=2008 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XII}}-562 | format={{unité|26|cm}} | isbn10=981-283252-1 | isbn1=978-981-283251-1 | isbn2=978-981-283252-8 | ean=9789812832528 | oclc=494451673 | doi=10.1142/6927 | bibcode=2008cmr..book.....M | sudoc=131566342 | présentation en ligne=https://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/6927 | lire en ligne={{Google Livres|id=n-w7DQAAQBAJ}} | consulté le=14 novembre 2019 | libellé=Müller-Kirsten 2008}}.
* {{Ouvrage | langue=fr | prénom=José-Philippe | nom=Pérez | champ libre=avec la collaboration d'Éric Anterrieu | titre=Relativité | sous-titre=fondements et applications | lieu=Paris | éditeur=[[Éditions Dunod|Dunod]], hors {{coll.}} | date=5/2016 | réimpression={{date-|10/2017}} et {{date-|2/2023}} | numéro d'édition=3 | année première édition={{date-|9/1999}} | pages totales={{XXIII}}-439 | format livre={{dunité|17,5|24|cm}} | isbn10=2-10-074717-7 | isbn1=978-2-10-077295-7 | isbn2=978-2-10-074717-7 | isbn3=978-2-10-085534-6 | ean=9782100772957 | oclc=949876980 | bnf=450330711 | sudoc=193153297 | présentation en ligne=https://www.dunod.com/sciences-techniques/relativite-fondements-et-applications-avec-150-exercices-et-problemes-resolus-1 | lire en ligne={{Google Livres|id=qeA3DAAAQBAJ}} | consulté le=10 mai 2023 | id=Pérez_2016 | libellé=Pérez et Anterrieu 2016 | plume=oui}}
* {{Article | langue=fr | prénom={{abréviation discrète|J.|Jean}} | nom=Petitot | lien auteur=Jean Petitot (philosophe) | titre=Philosophie transcendantale et objectivité physique | périodique=[[Philosophiques (revue)|Philosophiques]] | volume=24 | numéro=2 | mois=automne | année=1997 | pages={{3e|{{abréviation discrète|part.|partie(s)}}}}, {{art.}}{{numéro|3}}, {{p.|367-388}} | doi=10.7202/027459ar | résumé=https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/1997-v24-n2-philoso1805/027459ar/resume/ | lire en ligne=https://www.erudit.org/fr/revues/philoso/1997-v24-n2-philoso1805/027459ar/#pdf-viewer | libellé=Petitot 1997}}.
* {{Ouvrage | langue=en | prénom={{abréviation discrète|A.|Anthony}} | nom=Zee | lien auteur=Anthony Zee | titre={{langue|en|texte=Einstein gravity in a nutshell}} | traduction titre=La gravitation d'Einstein, en bref | lieu=Princeton | éditeur=[[Princeton University Press|Princet. Univ. Press]] | collection={{langue|en|texte=In a nutshell}} | mois={{date-|avril|compact=oui}} | année=2013 | numéro d'édition=1 | pages totales={{unité|1|{{abréviation discrète|vol.|volume(s)}}}}, {{XXII}}-866 | format={{abréviation discrète|ill.|illustration(s)}} et {{abréviation discrète|fig.|figure(s)}}, {{unité|26|cm}} | isbn10=0-691-14558-X | isbn1=978-0-691-14558-7 | ean=9780691145587 | oclc=857978606 | sudoc=170984478 | présentation en ligne=https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691145587/einstein-gravity-in-a-nutshell | lire en ligne={{Google Livres|id=5Dy1hlKvmCYC}} | consulté le=14 octobre 2019 | libellé=Zee 2013}}.

=== Articles connexes ===
* [[Relativité générale]]
* [[Métrique riemannienne]]
* [[Tenseur de Riemann]]
* [[Tenseur de Ricci]]
* [[Courbure scalaire]]
* [[Dérivée covariante]]
* [[Équations d'Einstein]]

=== Liens externes ===
* {{EDAA|id=Einstein+tensor|nom en=Einstein tensor|nom fr=tenseur d'Einstein}}

{{Palette|Tenseur}}

{{Portail|géométrie|physique}}

[[Catégorie:Relativité générale]]
[[Catégorie:Albert Einstein]]
[[Catégorie:Tenseur de courbure|Einstein]]