Voir la source de Tesseract

{{Voir homonymes|Tesseract (homonymie)}}
{{Infobox Polytope
 | nom                         = Tesseract<br />Hypercube<br />(8-cellules)
 | image                       = Hypercubecentral.svg
 | légende                     = [[Diagramme de Schlegel]]
 | type                        = [[4-polytope régulier convexe|Polychore régulier]]
 | cellules                    = 8 [[Cube|{4,3}]]
 | faces                       = 24 [[Carré|{4}]]
 | arêtes                      = 32
 | sommets                     = 16
 | symbole de schläfli         = {4,3,3}<br />{4,3}×{}<br />{4}×{4}<br />{4}×{}×{}<br />{}×{}×{}×{}
 | diagramme de coxeter–dynkin = {{DCD|node_1|4|node|3|node|3|node}}<br />{{DCD|node_1|4|node|3|node|2|node_1}}<br />{{DCD|node_1|4|node|2|node_1|4|node}}<br />{{DCD|node_1|4|node|2|node_1|2|node_1}}<br />{{DCD|node_1|2|node_1|2|node_1|2|node_1}}
 | propriétés                  = Convexe, isogonal, isotoxal, isoédral
 | dual                        = [[Hexadécachore]]
 | figure de sommets           = 8-cell verf.png
 | polygone de pétrie          = [[Octogone]]
 | groupe de coxeter           = C<sub>4</sub>, [3,3,4]
}}
[[Image:Stereographic polytope 8cell.png|vignette|[[Projection stéréographique]].]]
En [[géométrie]], le '''tesseract''', appelé aussi '''4-hypercube''' ou encore '''8-cellules''' ou '''octachore''', est l'analogue {{Page h'|Quatrième dimension#En géométrie|quadridimensionnel}} du [[cube]] ([[Trois dimensions|tri-dimensionnel]]), où le mouvement le long de la quatrième dimension est souvent une représentation pour des transformations liées du cube à travers le [[temps]]. Le tesseract est au cube ce que le cube est au [[carré]] ; ou, plus formellement, le tesseract peut être décrit comme un [[4-polytope régulier convexe]] dont les frontières sont constituées par huit [[cellule (géométrie)|cellules]] [[cube|cubiques]]. 

Une généralisation du cube aux dimensions plus grandes que trois est appelée un « [[hypercube]] », « ''n''-cube » ou « polytope de mesure ». Le tesseract est l'hypercube quadridimensionnel ou 4-cube. C'est un [[polytope régulier]]. C'est aussi un cas particulier de [[parallélotope]] : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.

Selon l{{'}}''{{Langue|en|[[Oxford English Dictionary]]}}'', le mot « tesseract » a été conçu et utilisé pour la première fois en anglais en [[1888]] par [[Charles Howard Hinton]] dans son livre ''{{Langue|en|[[A New Era of Thought]]}}'', à partir du grec ancien {{grec ancien|τέσσερεις ἀκτίνες|téssereis aktínes}} (« quatre rayons ») [[Ordre ionique|ionique]], faisant référence aux quatre segments de droites à partir de chaque sommet vers les autres sommets. D'autres appellent cette figure un «''' tétracube '''».

== Géométrie ==
Le tesseract standard en [[espace euclidien|4-espace euclidien]] est donné par l'[[enveloppe convexe]] des points (±1, ±1, ±1, ±1). C’est-à-dire qu'il est constitué des points :
:<math>\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \R^4\mid-1 \leq x_i \leq 1 \}.</math>

Un tesseract est limité par huit [[hyperplan]]s (''x<sub>i</sub>'' = ±1). Chaque paire d'hyperplans non-parallèles se coupent pour former 24 faces carrées dans un tesseract. Trois cubes et trois carrés se coupent à chaque arête. Il existe quatre cubes et quatre arêtes qui se rencontrent à chaque sommet. Au total, il est constitué de 8 cubes, 24 carrés, 32 arêtes et 16 sommets.

Puisque chaque sommet d'un tesseract est adjacent à quatre arêtes, la [[figure de sommet]] d'un tesseract est un [[tétraèdre]] régulier. Ainsi, le tesseract est donné par le [[symbole de Schläfli]] {4,3,3}. Le [[polytope dual]] du tesseract est appelé l'[[hexadécachore]] ou 16-cellules, avec le symbole de Schläfli {3,3,4}.

=== Projections en 2 dimensions ===
La construction d'un hypercube peut être imaginée de la manière suivante : 
* 1-dimension : Deux points A et B peuvent être connectés en un segment [AB].
* 2-dimensions : Deux segments parallèles [AB] et [CD] peuvent être connectés pour devenir un carré, avec les coins marqués ABCD.
* 3-dimensions : Deux carrés parallèles ABCD et EFGH peuvent être connectés pour devenir un cube, avec les coins marqués ABCDEFGH.
* 4-dimensions : Deux cubes parallèles ABCDEFGH et IJKLMNOP peuvent être connectés pour devenir un hypercube, avec les coins marqués ABCDEFGHIJKLMNOP.

Cette structure n'est pas aisée à imaginer mais il est possible de projeter des tesseracts dans des espaces tri ou bi-dimensionnels. En outre, les projections sur un plan bidimensionnel deviennent plus instructives en réarrangeant les positions des points projetés. De cette manière, on peut obtenir des images qui ne reflètent plus les relations spatiales dans le tesseract, mais qui illustrent la structure de connexion des sommets, comme indiqué dans les exemples suivants :

{| style="margin: 0 auto;"
| [[Image:Hypercubeorder.svg|230px|]] ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| [[Image:Hypercubecubes.svg|300px|]] ||&nbsp;&nbsp;&nbsp;|| [[Image:Hypercubestar.svg|230px|]]
|}

L'illustration sur la gauche montre comment un tesseract est, en principe, obtenu en combinant deux cubes. Le procédé est similaire à la construction d'un cube à partir de deux carrés :

Juxtaposer deux copies d'un cube de dimension inférieure et connecter les sommets correspondants. Le centre de l'image provient du fait que chaque arête est de la même longueur. Cette image permet aussi au cerveau humain de trouver une multitude de cubes qui sont interconnectés convenablement. Le diagramme sur la droite ordonne finalement les sommets du tesseract en respectant les distances le long des arêtes, en préservant le point de base. Cette vue est intéressante lorsque l'on utilise des tesseracts comme base pour une [[topologie de réseau]] pour brancher des processeurs multiples en [[Parallélisme (informatique)|informatique parallèle]] : la distance entre deux nœuds est au plus 4 et il existe beaucoup de chemins différents pour permettre un balancement pondéral.

Le motif de connexion des sommets du tesseract est le même qu'une rangée de carrés 4×4 dessinés sur un [[tore]] ; chaque cellule (représentant un sommet du tesseract) est adjacente à exactement quatre autres cellules<ref>Voir {{Lien web|lang=en|url=http://finitegeometry.org/sc/16/geometry.html|titre=Geometry of the 4x4 Square|auteur=Steven H. Cullinane}} qui expose les propriétés d'adjacence de sommet.</ref>. Les tesseracts sont aussi des [[graphe biparti|graphes bipartis]], comme l'est un chemin, un carré, un cube et un arbre.

=== Projections en 3 dimensions ===
[[Image:3D stereographic projection tesseract.PNG|droite|vignette|Une projection 3D [[stéréogramme|stéréoscopique]] d'un tesseract.]]
[[Image:8-cell-simple.gif|droite|vignette|Une projection 3D d'un 8-cellules exécutant une rotation simple sur un plan qui coupe la figure à partir de l'avant-gauche vers l'arrière-droit et du haut vers le bas.]]
[[Image:8-cell-orig.gif|droite|vignette|Une projection 3D d'un 8-cellules exécutant une double rotation sur deux plans orthogonaux.]]

La [[Projection affine|projection]] parallèle ''cellule en premier'' du tesseract dans un espace tridimensionnel a une enveloppe cubique. Les cellules les plus proches et les plus éloignées sont projetées sur le cube, et les 6 cellules restantes sont projetées sur les 6 faces carrées du cube.

La projection parallèle ''face en premier'' du tesseract dans un espace tridimensionnel a une enveloppe cuboïdale. Deux paires de cellules sont projetées vers les moitiés supérieures et inférieures de cette enveloppe, et les 4 cellules restantes sont projetées vers les faces de côté.

La projection parallèle ''arête en premier'' du tesseract dans un espace tridimensionnel a une enveloppe de la forme d'un [[prisme hexagonal]]. Les 8 cellules sont projetées sur les volumes de la forme de prismes parallélogrammique, qui sont disposés dans le prisme hexagonal d'une manière analogue à la disposition des faces sur une projection de cube 3D sur 6 parallélogrammes dans une enveloppe hexagonale sous une projection ''sommet en premier''.

La projection parallèle ''sommet en premier'' du tesseract dans un espace tridimensionnel a une enveloppe en forme de [[dodécaèdre rhombique]]. Il existe exactement deux manières de décomposer un dodécaèdre rhombique en 4 [[parallélépipède]]s congrus, donnant un total de 8 parallélépipèdes possibles. Les images des cellules du tesseract sous cette projection sont précisément ces 8 parallélépipèdes. Cette projection est aussi celle qui a le volume maximal.

=== Développement du tesseract ===
Le tesseract peut être développé en huit cubes, comme le cube peut être développé en six carrés. Le développement d'un [[polyèdre]] est appelé un [[patron (géométrie)|patron]]. Il existe 261 patrons distincts<ref name=unfold> {{en}} [http://unfolding.apperceptual.com/ Unfolding the tesseract].</ref> du tesseract (voir la figure adjacente pour un exemple d'un de ces 261 patrons). Les développements des tesseracts peuvent être comptés en appliquant les patrons sur des ''arbres avec paires'' (un [[Arbre (théorie des graphes)|arbre]] mis en [[Coïncidence|coïncidence parfaite]] avec son [[Graphe complémentaire|complémentaire]])<ref name=unfold />.  

[[Image:Tesseract2.svg|droite|vignette|Un [[patron (géométrie)|patron]] d'un tesseract.]]

== Dans l'art et la littérature ==
<!-- Cette section devrait être utilisée seulement pour les exemples les plus notables, et non une liste de chaque mention unique. Les morceaux d'album, les jeux vidéo, etc. ne sont pas comptés. -->

* [[Robert A. Heinlein]] a mentionné les hypercubes dans au moins trois de ses histoires de [[science-fiction]]. Dans ''[[La Maison biscornue (nouvelle)|La Maison biscornue]]'' (1941), il décrit une maison construite comme un patron (un développement de cellules dans un espace tri-dimensionnel) d'un tesseract. Elle s'effondra, devenant un tesseract réel. Le roman de Heinlein de 1963 ''[[Route de la gloire]]'' inclut le ''{{Langue|en|foldbox}}'', une caisse d'emballage hyperdimensionnelle qui est plus grande à l'intérieur qu'à l'extérieur.
* Un hypercube est utilisé comme le [[deus ex machina]] principal du livre de [[Robert J. Sawyer]] ''[[Factoring Humanity]]'', apparaissant même sur la couverture de l'édition nord-américaine.
* Le tesseract est mentionné dans le roman de [[fantasy]] pour enfants ''{{langue|en|[[A Wrinkle in Time (roman)|A Wrinkle in Time]]}}'', par [[Madeleine L'Engle]], comme une manière d'introduire le concept de dimensions plus élevées, mais la description correspond plus à un [[trou noir]].
* Le tableau ''Crucifixion ([[Corpus hypercubus|Corpus Hypercubus]])'' de [[Salvador Dalí]], [[1954]], représente [[Jésus]] crucifié sur le patron d'un hypercube. Il est exposé au [[Metropolitan Museum of Art]] à [[New York]].
* Dans le film ''[[Interstellar]] de'' [[Christopher Nolan]], Cooper plonge dans le trou noir Gargantua. Il s'éjecte de sa navette ''Ranger'' à court de carburant et se retrouve dans un espace étrange, une nouvelle dimension en forme de tesseract géant.
* Dans le film ''[[Cube² : Hypercube|Cube²: Hypercube]]'' réalisé par [[Andrzej Sekuła]] et sorti en 2002, une jeune femme se réveille dans un hypercube, où 4 dimensions spatiales définissent les lieux. Prisonnière, elle explore les différentes pièces, rencontrant de nouvelles personnes, afin de s'en échapper, en vie…
* [[Tesseract (groupe)|Tesseract]] est également le nom d'un groupe de métal progressif britannique, souvent considéré comme rattaché au mouvement [[djent]]. Le nom de « Tesseract » a sans doute été inspiré par la musique du groupe, utilisant des signatures rythmiques inhabituelles, des polyrythmies, renvoyant ainsi à un esprit mathématique. Tous les visuels d'albums et EPs sont inspirés, soit d'un hypercube, soit d'autres figure géométriques.
* Dans l'univers des bandes dessinées de l’éditeur [[Marvel Comics]] (et particulièrement dans son [[Univers cinématographique Marvel|univers cinématique]] adapté), le tesseract est l'autre nom du [[Cube cosmique]], un récipient de confinement en forme de cube cristallin pour la pierre de l'Espace, l'une des six [[Gemmes de l'infini|pierres d'infinité]] antérieures à l'univers et possédant une énergie illimitée.
*Dans le livre [[Solénoïde]] de [[Mircea Cârtârescu]] le « Tesseract » est longuement abordé à partir de la page 540 de l’édition Points 2021.

== En architecture informatique ==
En informatique, le terme hypercube fait référence à deux concepts :
# Une base multidimensionnelle à des finalités de rapport et d'analyse. Elle se décompose en « dimensions » et en « faits » ; les faits sont les valeurs numériques (typiquement « nombre de ventes »), les dimensions sont les identifiants qui permettent de retrouver les faits dans les cellules de stockage ; on peut ainsi obtenir un « sous-cube » (pas forcément convexe...) comme résultat d'une requête sur un cube et le traiter par union, intersection avec un autre résultat de requête.
# un type précis d'[[calcul parallèle|ordinateur en calcul parallèle]], dont les processeurs, ou les éléments de calcul (PEs), sont interconnectés de la même manière que les sommets d'un hypercube.

Ainsi, un ordinateur hypercube ''n''-dimensionnel a 2<sup>''n''</sup> PEs, chacun directement connecté à ''n'' autres PEs.

Les exemples incluent les machines {{Lien|nCUBE}} utilisées pour gagner le premier {{Lien|trad=Gordon Bell Prize|prix Gordon Bell}}, le <cite lang=en>{{Lien|Caltech Cosmic Cube}}</cite> et la <cite lang=en>{{Lien|Connection Machine}}</cite>, qui utilise la topologie hypercube pour connecter des ''groupes'' de processeurs. 
La société SGI propose à son catalogue des machines avec des réseaux infiniband en topologie hypercube.

== Notes et références ==
{{Traduction/Référence|en|Tesseract|110792549|type=note}}
{{Références}}

== Annexes ==
=== Articles connexes ===
* {{Lien|trad=Metatron's Cube|Cube de Metatron}}
* [[3-sphère]]
* {{Lien|trad=List of regular polytopes|Liste des polytopes réguliers}}
** [[Simplexe]]
** [[Hypercube]]
** [[Hyperoctaèdre]]
* [[4-polytope régulier convexe]]
* [[4-polytope uniforme]]

=== Bibliographie ===
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Harold Scott MacDonald Coxeter]]|titre=Regular Polytopes|lieu=New York|éditeur=[[Dover Publications]]|année=1973|pages totales=321|isbn=0-486-61480-8}}.
* {{Ouvrage|langue=fr|auteur1={{Lien|langue=eo|François Lo Jacomo}}|titre=Visualiser la quatrième dimension|lieu=Paris|éditeur=[[Vuibert]]|année=2002|pages totales=125|isbn=2-7117-5315-8}}.

=== Liens externes ===
* [http://uoregon.edu/~koch/hypersolids/hypersolids.html HyperSolids] est un programme open source pour [[Apple Macintosh]] ''(Mac OS X et au-dessus)'' qui engendre les cinq solides réguliers tridimensionnels et les six hypersolides réguliers de l'espace quadridimensionnel.
* {{lien brisé|url=http://www.mathcs.sjsu.edu/faculty/rucker/hypercube.htm |titre=Hypercube 98 }} Un programme pour [[Microsoft Windows|Windows]] qui affiche des hypercubes animés, par [[Rudy Rucker]].
* {{en}} [http://mrl.nyu.edu/~perlin/demox/Hyper.html La page d'accueil de] [[Ken Perlin]] : une manière de visualiser les hypercubes.
* {{Lien web|lang=en|url=http://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/|titre=Some Notes on the Fourth Dimension|auteur=Davide P. Cervone}} contient des tutoriels animés sur plusieurs aspects du tesseract.
* {{Lien web|lang=en|url=https://www.shadertoy.com/view/Md2XDV|titre=Tesserac Wireframe vs 3D slice|site=[[shadertoy]].com}}.
* {{Lien web|lang=en|url=http://www.daviddarling.info/encyclopedia/T/tesseract.html|titre=Tesseract|site=Encyclopedia of Science|auteur=[[David J. Darling]]}}.

{{Palette|Polychores}}
{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Polychore]]