Voir la source de Test de Kolmogorov-Smirnov

{{Voir homonymes|Smirnov}}
{{ébauche|probabilités et statistiques}}
{{Infobox Méthode scientifique}} 

En [[statistique]]s, le '''test de Kolmogorov-Smirnov''' est un [[test d'hypothèse]] utilisé pour déterminer si un [[Échantillon (statistiques)|échantillon]] suit bien une loi donnée connue par sa [[fonction de répartition]] continue, ou bien si deux échantillons suivent la même loi. Le test de Kolmogorov-Smirnov est par exemple utilisé pour tester la qualité d'un [[générateur de nombres aléatoires]]<ref>{{en}} [[Donald E. Knuth]], ''[[The Art of Computer Programming]]'', vol. 2, {{3e|éd.}}, {{Langue|en|Addison-Wesley Professional}}, 784 p. {{ISBN|0-201-89684-2}}, p. 48–55.</ref>.

== Principe ==
[[Fichier:KS Example.png|gauche|vignette|Fonction de répartition empirique F<sub>n</sub> (en bleu) et fonction de répartition théorique F (rouge).]]
On modélise une loi donnée par sa [[fonction de répartition]] F (voir courbe rouge sur la figure). La fonction de répartition associe à tout x (en abscisses), la probabilité qu'une variable suivant cette loi soit plus petite que x (en ordonnées). Le test consiste alors à comparer la fonction de répartition de la loi (fonction de répartition théorique) à la [[fonction de répartition empirique]] F<sub>n</sub> (en bleu). Cette dernière est une fonction de répartition obtenue en attribuant la probabilité 1/n à chacun des n éléments de l'échantillon. On mesure alors la différence entre les deux courbes. Si cette différence est inférieure à un seuil, alors on décide que l'échantillon provient bien de cette loi donnée. Plus précisément, on rejette l'hypothèse que l'échantillon provienne de la loi s'il y a une valeur de x pour laquelle |F<sub>n</sub>(x) - F(x)| est grande.

== Définition formelle ==
Soit <math>X_1,\ldots,X_n</math> ''n'' [[Variable indépendante et identiquement distribuée|variables iid]] définies sur un espace de probabilité <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math>, à valeurs dans <math>\mathbb{R}</math>, avec pour [[fonction de répartition]] ''F''.  La fonction de répartition empirique <math> F_n </math> de l'échantillon <math> X_1,\ldots,X_n</math> est définie par :
<center><math>\forall x \in \mathbb R, F_n(x) = \frac{\mathrm{nombre~d'\acute el \acute ements}\,\leq x\,\mathrm{dans~l'\acute echantillon}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{X_i \le x}</math></center>
où <math>\mathbf{1}_A</math> est la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] de l'[[Événement (probabilités)|événement]] ''A''. 

Notons bien que <math>F_n(x)</math> est une variable aléatoire, car elle dépend des valeurs de l'échantillon <math>X_1,\ldots,X_n</math>. On a la convergence suivante :
:<math>
\mathbb{P}\left[\sup_{x} |F_n(x)-F(x)|>\frac{c}{\sqrt{n}}\right]\xrightarrow[n\to\infty]{} \alpha(c)= 2\sum_{r=1}^{+\infty} (-1)^{r-1}\exp(-2c^2r^2)</math>
pour toute constante {{formule|''c'' > 0}}. Le terme α(''c'') vaut 0,05 pour {{formule|''c'' {{=}} 1,36}}.

Remarquons que la limite à droite ne dépend pas de ''F''. Cela découle du fait que <math>\sqrt{n}(F_n(x)-F(x))</math> converge en loi vers un [[pont brownien]] changé de temps par l'inverse ''F''{{-1}} de ''F''. La série α(''c'') se déduit des propriétés de ce dernier processus.

Il est ainsi facile de proposer un [[test d'hypothèse]] pour décider si un échantillon provient bien d'une loi donnée, ou si deux échantillons ont la même loi, lorsque leurs fonctions de répartitions sont continues.

On peut aussi considérer <math>\max_x (F_n(x)-F(x))</math> et <math>\max_x (F(x)-F_n(x))</math>.

== Mise en œuvre ==
* <code>ks.test</code> avec [[R (langage)|R]].
* <code>scipy.stats.kstest</code> avec [[Python (langage)|Python]] pour déterminer si un échantillon suit une loi donnée
*[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.ks_2samp.html#scipy.stats.ks_2samp scipy.stats.ks_2samp] avec Python pour déterminer si deux échantillons suivent la même loi de distributions
* <code>ksmirnov</code> avec [[Stata]]
* <code>kstest</code> avec [[MATLAB|Matlab]].

== Voir aussi ==
* [[Andreï Kolmogorov]]
* [[Nikolaï Vassilievitch Smirnov]]
* [[Test de normalité]]
* [[Test de Jarque-Bera]]
* [[:en:Kuiper's test|Test de Kuiper]]
* [[Test de Shapiro-Wilk]]
* [[Test d'Anderson-Darling]]
* [[Test de Cramer-Von Mises]]

== Références ==
 
* {{Ouvrage
| langue=en
| prénom1=Galen R.
| nom1=Shorack
| prénom2=Jon A.
| nom2=Wellner
| titre=Empirical Processes With Applications to Statistics
| lieu=Philadelphie
| éditeur=Society for Industrial & Applied Mathematics
| année=2009
| mois=Septembre
| jour=4
| pages totales=998
| isbn=978-0-89871-684-9
| isbn2=0-89871-684-5
| lccn=2009025143
| lire en ligne=https://books.google.com/books?id=-NLHAg7ZBtoC&printsec=frontcover
}}.

* {{en}} David Williams, ''Weighing the Odds: a Course in Probability and Statistics'', [[Cambridge University Press]], 2001, 548 p. {{ISBN|0-521-80356-X}}.

== Notes et références ==
{{Références|colonnes = 2}}

== Liens externes ==
*{{lien web|lang=en|url=http://archive.wikiwix.com/cache/?url=http://www.octave.org/octave-lists/archive/octave-sources.2003/msg00031.html|titre=Calculation of the Smirnov-Kolmogorov table}}
* Exemple de table : <nowiki>http://dlc.erieri.com/onlinetextbook/index.cfm?fuseaction=textbook.appendix&FileName=Table7</nowiki>

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{{portail|statistiques}}

{{DEFAULTSORT:Kolmogorov-Smirnov, Test de}}
[[Catégorie:Test statistique]]