Voir la source de Théorème d'Egoroff

{{ébauche|mathématiques}}

Le '''théorème d’Egoroff''', nommé ainsi en hommage à [[Dmitri Egorov]], un physicien et géomètre russe, établit une condition de [[convergence uniforme]] dans certains [[espace mesurable|espaces mesurables]]. Ce [[théorème]] peut servir en particulier à montrer le [[théorème de Lusin]] pour les fonctions intégrables.

Il s’agit en fait d’un résultat basique de [[Intégration (mathématiques)|théorie de l’intégration]]. Il permet en outre de donner une démonstration concise du [[théorème de convergence dominée]].

== Énoncé ==

Soit (''E'', Σ, μ) un [[espace mesuré]] vérifiant μ(''E'') < {{math|+∞}} (la mesure μ est dite [[mesure finie|finie]]). Soit (''f{{ind|n}}'') une suite de [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] sur ''E ''à valeurs réelles convergeant [[Ensemble négligeable#Le concept de « presque partout »|μ-presque partout]] vers une fonction ''f ''mesurable sur ''E''.

Alors, pour tout ε > 0, il existe ''A ''∈ Σ tel que μ(''A'') < ε et tel que ''f{{ind|n}}'' [[convergence uniforme|converge uniformément]] vers ''f ''sur ''E''\''A'' (le [[ensemble complémentaire|complémentaire]] de ''A'' dans ''E'').

== Pourquoi supposer la mesure finie ? ==

Considérons les fonctions ''f{{ind|n}}'' suivantes, définies sur l’ensemble des réels muni de la [[tribu borélienne|tribu des boréliens]] et de la [[mesure de Lebesgue]] ({{math|χ}} désigne la [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction indicatrice]] d’un ensemble) : {{nobr|''f{{ind|n}} ''{{=}} {{math|χ}}{{ind|[''n'', ''n ''+ 1]}}.}} Alors, la suite (''f{{ind|n}}'') [[convergence simple|converge simplement]] (donc μ-presque partout), mais il n’existe aucun borélien de mesure finie sur le complémentaire duquel la convergence soit uniforme.

== Démonstration ==

On considère pour ''n'', ''k ''≥ 1 les ensembles :

<center><math> E_{k,n}=\bigcap_{i\ge n}\left\{x \in E\mid|f_i(x)-f(x)|\le1/k\right\}.</math></center>

Pour tout ''k ''≥ 1, la suite (''E{{ind|k,n}}'') est croissante (pour l’inclusion), donc :

<center><math>\mu\left(\cup_{n\ge1}E_{k,n}\right)=\lim_{n\to\infty}\mu(E_{k,n})</math>.</center>

De plus, comme la suite de fonctions {{math|(''f{{ind|n}}'')}} [[convergence simple|converge simplement]] μ-p.p. vers {{math|''f''}}, on a, pour tout ''k ''≥ 1 :

<center><math>\mu\left(\cup_{n\ge1}E_{k,n}\right)=\mu(E).</math></center>

On fixe alors ε > 0. Grâce à la condition μ(''E'') < {{math|+∞}}, on peut trouver pour chaque ''k ''≥ 1 un entier ''n{{ind|k}} ''positif tel que

<center><math> \mu(E_{k,n_k}) \ge \mu(E)-2^{-k} \varepsilon.</math></center>

Alors, l’ensemble

<center><math> A=\bigcup_{k \ge 1}(E\setminus E_{k,n_k})</math></center>

convient.

== Autre formulation du théorème ==
{{Section à sourcer|date=mai 2013}}
Soit ''E ''un [[espace métrique]], [[Espace séparable|séparable]] et [[localement compact]], sur lequel on a une [[Mesure (mathématiques)|mesure]] μ [[mesure sigma-finie|σ-finie]]. Soit (''f{{ind|n}}'') une suite de fonctions mesurables de ''E ''dans ℝ convergeant μ-p.p. vers une fonction ''f'' mesurable.

Alors, pour tout ε > 0 et pour tout compact ''K ''de ''E'', il existe un compact ''K' ''inclus dans ''K ''tel que μ(''K''\''K{{'}}'') < ε et tel que ''f{{ind|n}} ''converge uniformément vers ''f'' sur ''K'.''

== Source ==
{{en}} {{Lien|lang=de|Michael E. Taylor}}, ''{{Langue|en|Measure Theory and Integration}}'', [[American Mathematical Society|AMS]], [https://books.google.fr/books?id=P_zJA-E5oe4C&pg=PA34 p. 34-39]

{{Portail|analyse}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme d'Egoroff}}
[[Catégorie:Théorème de la théorie de la mesure|Egoroff]]
[[Catégorie:Suite de fonctions]]