Voir la source de Théorème d'Ehrenfest

Le '''théorème d'Ehrenfest''', du nom du physicien [[Paul Ehrenfest]], relie la dérivée temporelle de la [[valeur moyenne]] d'un [[Opérateur (physique)|opérateur]] [[Mécanique quantique|quantique]] au [[Commutateur (opérateur)|commutateur]] de cet opérateur avec le [[Opérateur hamiltonien|hamiltonien]] <math>\hat{H}</math> du système. Ce théorème concerne notamment tous les systèmes vérifiant le [[principe de correspondance]].

== Théorème ==
Le théorème d'Ehrenfest affirme que la dérivée temporelle de la valeur moyenne d’un opérateur <math>\hat{A}</math> (où l'opérateur qui renvoie la dérivée temporelle de l'observable concerné) est donnée par :

{{bloc emphase|
<math>\frac{\mathrm d\langle \hat{A}\rangle}{\mathrm dt} = \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle [\hat{A},\hat{H}] \right \rangle </math>
}}

où <math>\hat{A}</math> est un opérateur quantique quelconque et <math>\langle \hat{A}\rangle</math> sa valeur moyenne.

La dépendance temporelle de l'opérateur, et non de la fonction d'onde, est le propre de la [[représentation de Heisenberg]] de la mécanique quantique.
On trouve une relation analogue en mécanique classique : la dérivée temporelle d'une fonction <math>f(q,p,t)</math> définie sur l'espace des phases faisant alors intervenir les [[Crochet de Poisson|crochets de Poisson]] à la place d'un commutateur :
:<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \left \{ f,H \right \} </math>
(la démonstration découle directement des [[Mécanique hamiltonienne|équations canoniques de Hamilton]])

De façon générale, pour les systèmes quantiques possédant un analogue classique, cette interversion entre commutateurs et crochets de Poisson pourra être admise comme loi empirique. (voir [[Correspondance (principe)|principe de correspondance]]).

{{boîte déroulante|align=left|titre=Démonstration du théorème|contenu=
Soit A une grandeur physique représentée par l'[[opérateur autoadjoint]] <math>\hat{A}</math>. On définit sa valeur moyenne par :
: <math> \langle \hat{A}\rangle = \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle</math>
On dérive cette égalité par rapport au temps :
:<math>\frac{\mathrm d\langle \hat{A}\rangle}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d\left \langle \psi (t) \right |}{\mathrm dt}|\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\left | \psi (t) \right \rangle + \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}|\frac{\mathrm d\left | \psi (t) \right \rangle}{\mathrm dt}</math>
On emploie l'équation de Schrödinger et son conjugué :
:<math> +i\hbar \frac{\mathrm d\left | \psi (t) \right \rangle}{\mathrm dt} = \hat{H} \left | \psi (t) \right \rangle </math>
et
:<math> -i\hbar\frac{\mathrm d\left \langle \psi (t) \right |}{\mathrm dt} = \left \langle \psi (t) \right | \hat{H} </math>
En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :
:<math>\frac{\mathrm d\langle \hat{A}\rangle}{\mathrm dt} = \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |\hat{A}\hat{H} \left | \psi (t) \right \rangle - \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right | \hat{H}\hat{A}\left | \psi (t) \right \rangle</math>
Avec <math>[\hat{A},\hat{H}] = \hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A}</math>, on obtient finalement
:<math>\frac{\mathrm d\langle \hat{A}\rangle}{\mathrm dt} = \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left \langle [\hat{A},\hat{H}] \right \rangle</math>
}}

== Relations d'Ehrenfest ==
{{article détaillé|Relations d'Ehrenfest}}
Pour les systèmes quantiques possédant un analogue classique, le théorème d'Ehrenfest appliqué aux opérateurs position et impulsion donne :

<center>
{| border=1 cellpadding=10 style="border-collapse:collapse"
|-----
| bgcolor="#fff8ff" | <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle \hat x\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle</math> <br><br>  <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\langle\hat  p\rangle = \langle F \rangle</math> 
|}</center>

On reconnait ici les [[Mécanique hamiltonienne|équations canoniques de Hamilton]] appliquées aux grandeurs moyennes. Il suffit de dériver la première par rapport au temps pour retrouver la [[Lois du mouvement de Newton|seconde loi de Newton]].

{{boîte déroulante/début |titre=Démonstration.}}

Pour une particule dans un champ de potentiel arbitraire, la fonction de Hamilton considérée prend la forme :
:<math> \hat{H}(x,p,t) = \frac{\hat{p}^2}{2 m} + \hat{V}(x,t) </math>

;Opérateur impulsion

On suppose qu'on veut connaître la variation de la [[quantité de mouvement]] moyenne <math> \langle\hat{p}\rangle </math>. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\hat{p}\rangle = \langle \frac{\partial \hat{p}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat{p}, \hat{H}]\rangle </math>
On se place en représentation « position » : l'opérateur impulsion s'écrit alors <math> \hat{p} = -i \hbar \nabla </math>. Comme un opérateur commute trivialement avec lui-même, et comme l'impulsion n'est pas fonction explicite du temps, la relation d'Ehrenfest se réduit à :
: <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\hat{p}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat{p},\hat{V}(x,t)]\rangle</math>
soit
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\hat{p}\rangle = \langle -\nabla \hat{V}(x,t)\rangle = \langle F \rangle,</math>
(on peut appliquer <math>\frac{1}{i\hbar} \langle [\hat{p},\hat{V}] \rangle </math> sur une fonction test <math> \left | \psi \right \rangle </math> pour s'en convaincre)

;Opérateur position

On effectue le même calcul pour l'opérateur position <math> \hat{x} </math>, toujours en représentation « position ». Comme le potentiel ne dépend que de la position et du temps, il commute avec l'opérateur position, et la relation d'Ehrenfest se réduit à :
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\hat{x}\rangle = \langle \frac{\partial \hat{x}}{\partial t}\rangle + \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat x,\hat H]\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat{x},\frac{\hat{p}^2}{2m}]\rangle</math>
En utilisant la relation de commutation,
:<math>[\hat{x},\hat{p}^2] = \hat{p} [\hat{x}, \hat{p}]  + [\hat{x}, \hat{p}] \hat{p} = 2i \hbar \hat p  </math>
on obtient :
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \langle\hat{x}\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat p \rangle</math>

{{boîte déroulante/fin}}

== Voir aussi ==
* [[Mécanique hamiltonienne#Théorème de Liouville|Théorème de Liouville]]
* [[Représentation de Heisenberg]]

== Bibliographie ==
* {{cohen}}.
* {{Ouvrage |langue=fr |auteur1=Richard Taillet |auteur2=Loïc Villain |auteur3=Pascal Febvre |titre=Dictionnaire de physique |sous-titre=+ de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques |lieu=Louvain-la-Neuve/impr. aux Pays-Bas |éditeur=De Boeck supérieur |année=2018 |pages totales=976 |passage=249 |isbn=978-2-8073-0744-5 |lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=pjlFDwAAQBAJ&pg=PA249 |id=Taillet}}.

{{Palette|Mécanique quantique}}
{{Portail|physique}}

{{DEFAULTSORT:Theoreme d'Ehrenfest}}
[[Catégorie:Mécanique quantique]]
[[Catégorie:Théorème de physique|Ehrenfest]]