Voir la source de Théorème de Bachet-Bézout

{{Voir homonymes|Bachet}}
{{Confusion|texte=Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir [[Théorème de Bézout]].}}

En [[mathématiques]], et plus précisément en [[arithmétique élémentaire]], le '''théorème de Bachet-Bézout''' ou '''identité de Bézout''' est un résultat d'[[arithmétique élémentaire]], qui prouve l'existence de solutions à l'[[Équation diophantienne ax + by = c|équation diophantienne linéaire]] :
<center><math>ax+by=\text{PGCD}(a,b)</math></center>
d'[[inconnue (mathématiques)|inconnues]] <math>x</math> et <math>y</math> [[Entier relatif|entiers relatifs]], où ''a'' et ''b ''sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(''a'', ''b'') est le [[PGCD de nombres entiers|plus grand commun diviseur de ''a ''et ''b'']].

Le '''théorème de Bézout''' affirme que les entiers ''a ''et ''b ''sont [[premiers entre eux]] [[si et seulement si]] l'équation <math>ax+by=1</math> admet des solutions.

== Historique ==
[[Fichier:Etienne Bezout2.jpg|vignette|Étienne Bézout]]
Dans l'équivalence du « théorème de Bézout », le sens [[réciproque]] — le « si » — va de soi {{infra|Résultat réciproque}}<ref>Seul le sens direct est mentionné, sous le nom de ''théorème de Bachet'', par {{Ouvrage|auteur=[[Gérald Tenenbaum]]|auteur2=[[Michel Mendès France]]|titre=Les nombres premiers, entre l'ordre et le chaos|numéro d'édition=2|année première édition=1997|éditeur=[[Dunod]]|année=2014|url={{Google Livres|Kox2AgAAQBAJ|page=13}}|page=13}}.</ref>.

La première démonstration actuellement connue du sens direct — le « seulement si » — est due à [[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac]]<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Pierre Colmez]]|titre=Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres)|éditeur=[[École polytechnique (France)#Activités de recherche|éditions de l'École polytechnique]]|année=2009|url={{Google Livres|hMUiEhsa9WUC|page=7}}|page=7}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Stella Baruk]]|titre=Si 7 = 0|sous-titre=Quelles mathématiques pour l'école ?|année=2004|éditeur=[[éditions Odile Jacob|Odile Jacob]]|url={{Google Livres|g6hi9sm3bXMC|page=426}}|page=426}}.</ref>. Elle figure dans la seconde édition de son ouvrage ''Problèmes plaisans<!--sic--> et délectables qui se font par les nombres''<ref>Prop. 18 des ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5818046p/f35.image.r=.langFR Problèmes plaisans et délectables]'', {{p.|18}} : ''Deux nombres premiers entre eux étant donnés, trouver le moindre multiple de chacun d'iceux, surpassant de l'unité un multiple de l'autre''. Pour cela, Bachet applique l'[[algorithme d'Euclide]], décrit dans la prop. 1 du [[Livre VII des Éléments d'Euclide|Livre VII]] des ''[[Éléments d'Euclide|Éléments]]'' d'[[Euclide]]. Cette proposition affirme que, si le résultat de l'algorithme conduit au nombre 1, alors les nombres sont premiers entre eux, mais c'est la réciproque de cette proposition que Bachet utilise, en énonçant (p. 20), sans plus de précisions, que cette réciproque a été {{Citation|démontrée par [[Campanus de Novare|Campanus]], et par [[Christophorus Clavius|Clavius]] aussi}}.</ref>, parue en 1624.

Au {{s-|18}}, le mathématicien [[Étienne Bézout]] a généralisé ce résultat, notamment aux [[polynôme]]s.

[[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]], dans les ''[[Éléments d’histoire des mathématiques]]'', énonce le résultat sur un [[anneau principal]] quelconque et lui donne le nom de {{Citation|théorème de Bézout}}<ref>{{Ouvrage
|langue=fr
|prénom1=Liliane
|nom1=Alfonsi
|titre=Étienne Bézout (1730-1783), mathématicien des Lumières
|éditeur=L’Harmattan
|lieu=Paris
|année=2011
|passage=358-359
|isbn=978-2-296-56553-1
}}. L. Alfonsi indique aussi quelques manuels du début du {{s-|XX}} où le nom de Bézout est utilisé.</ref>.

== Dans l'ensemble des entiers relatifs ==
{{ancre|Identité de Bézout dans l'ensemble des entiers relatifs}}
=== Deux théorèmes ===
{{ancre|Théorème de Bachet de Méziriac}}
[[Fichier:Bachet de Méziriac.jpg|thumb|[[Claude-Gaspard Bachet de Méziriac]] (1581-1638).]]
{{Théorème
 | nom = Théorème de Bachet-Bézout (ou Identité de Bézout<ref name=TleS>{{Ouvrage|titre=Maths, [[Terminale scientifique|Terminale S]]|collection=Séquence bac|auteur=Collectif|éditeur=[[Éditions Bréal|Bréal]]|année=2008|url={{Google Livres|McgS4_4dNjQC|page=447}}|page=447}}.</ref>)
 | énoncé = Soient <math>a</math> et <math>b</math> deux entiers relatifs. Si <math>d</math> est le PGCD de <math>a</math> et <math>b</math>, alors il existe deux entiers relatifs <math>x</math> et <math>y</math> tels que <math>ax+by=d</math>
 | style = display:table
}}

{{Théorème
 | nom = Théorème de Bézout<ref name=TleS/>
 | énoncé = Deux entiers relatifs ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux (si et) seulement s'il existe deux entiers relatifs ''x'' et ''y'' tels que {{nobr|''ax + by'' {{=}} 1.}}
 | style = display:table
}}

==== Infinité de solutions ====
Les deux théorèmes assurent l'existence d'un couple d'entiers tels que <math>ax+by=\text{PGCD}(a,b)</math>. Les démonstrations ci-dessous fournissent une seule solution, mais il en existe en général une infinité d'autres.

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et l'on peut écrire
{{retrait|<math>-3\times 12+1\times 42=6</math>}}
mais aussi
{{retrait|<math>4\times 12+(-1)\times 42=6</math>.}}

À partir d'un couple solution {{formule|(''x''{{ind|0}}, ''y''{{ind|0}})}}, il est facile de prouver que l'on a aussi :
{{retrait|<math>a\left(x_0-k{b \over d}\right) + b\left(y_0+k{a\over d}\right)=d</math>}}
où <math>k</math> peut varier dans <math>\mathbb Z</math>

==== Lien entre les deux théorèmes ====
Le second théorème — sans le sens réciproque qui, comme déjà dit, est immédiat {{infra|Résultat réciproque}} — est le cas particulier ''d'' = 1 du premier.

Inversement, le premier se déduit du second en remarquant que ''a = da{{'}}'' et ''b = db{{'}}'' avec ''a{{'}}'' et ''b{{'}}'' entiers premiers entre eux, et que {{nobr|''a{{'}}x + b{{'}}y'' {{=}} 1}} entraîne alors {{nobr|''ax + by {{=}} d''.}}
Ce lien permet aussi de démontrer que x et y sont premiers entre eux dans les deux équations.
On peut donc se contenter de démontrer l'un ou l'autre.

==== Démonstration du premier théorème ====
L'[[algorithme d'Euclide étendu]], en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ''ax + by'' = pgcd(''a'', ''b''), prouve le premier théorème. On peut aussi, en raisonnant sur le plus petit entier strictement positif de la forme ''ax + by'', en donner une démonstration<ref>{{Note autre projet|wikiversité|Arithmétique/Théorèmes de Bézout et Gauss|chapitre « Théorèmes de Bézout et Gauss » de la leçon d'arithmétique|début=Présentée par exemple au}}</ref> plus proche de celle qui sera utilisée dans les [[anneau principal|anneaux principaux]].

==== Démonstration directe du second théorème ====
Une preuve moins [[Démonstration constructive|constructive]] du second théorème<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Peter J.|nom1=Eccles|titre=An Introduction to Mathematical Reasoning|sous-titre=Numbers, Sets and Functions|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|année=1997|pages totales=350|passage=259|isbn=978-0-521-59718-0|lire en ligne={{Google Livres|ImCSX_gm40oC|page=259}}}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|auteur=[[Godfrey Harold Hardy|G. H. Hardy]]|auteur2=[[Edward Maitland Wright|E. M. Wright]]|langue originale=en|titre original=An Introduction to the Theory of Numbers|traducteur=F. Sauvageot|titre=Introduction à la théorie des nombres|éditeur=[[Vuibert]]-[[Springer Verlag|Springer]]|année=2007|isbn=978-2-7117-7168-4|page=63-64}}, th. 56.</ref> consiste à considérer le [[Groupe des unités|groupe des inversibles]] [[Congruence sur les entiers|modulo]] ''a'', c'est-à-dire le [[Anneau Z/nZ#Groupe des unités|groupe des unités de l'anneau ℤ/''a''ℤ]]. En effet, en supposant que ''b'' est premier avec ''a'', montrer qu'il existe deux entiers ''x'' et ''y'' tels que ''by'' = 1 – ''ax'' revient à montrer que ''b'' est [[Inverse modulaire|inversible modulo ''a'']].

On considère pour cela l'application « [[Groupe abélien#Notation additive|produit par ''b'']] », de <math>\mathbb Z/a \mathbb Z</math> dans lui-même. Cette application est [[Injection (mathématiques)|injective]] car si <math>b\overline y=b\overline z</math> alors <math>a\mid b(y-z)</math> donc <math>y-z</math> aussi (d'après le [[Lemme d'Euclide|lemme de Gauss]]), si bien que ''{{surligner|y}} = {{surligner|z}}''. Comme ℤ/''a''ℤ est un [[ensemble fini]], on [[Principe des tiroirs#Applications|déduit de cette injectivité que]] l'application est [[surjective]]. L'[[Antécédent (mathématiques)|antécédent]] de {{surligner|1}} fournit alors un inverse pour ''b'' modulo ''a''.

=== Résultat [[réciproque]] ===
{{énoncé|Soient ''a'' et ''b'' deux entiers relatifs.
*Soit ''d'' un entier naturel ''divisant a et b''. S'il existe deux entiers ''x'' et ''y'' tels que {{nobr|''ax + by {{=}} d''}}, alors ''d'' est le PGCD de ''a'' et ''b''.
*S'il existe deux entiers ''x ''et ''y ''tels que ''ax + by {{=}}'' 1, alors ''a'' et ''b'' sont premiers entre eux.}}
{{Démonstration/début}}
*Si ''d = ax + by'' alors tout diviseur de ''a'' et ''b'' divise ''d''. Si de plus ''d'' est un diviseur positif commun à ''a'' et ''b'', c'est donc le plus grand.
*Comme précédemment, le second énoncé est le cas particulier ''d'' = 1 du premier.
{{Démonstration/fin}}
;Remarque
:Dans le premier de ces deux énoncés, l'hypothèse que ''d'' divise ''a'' et ''b'' est indispensable. S'il existe deux entiers ''x ''et ''y ''tels que {{nobr|''d {{=}} ax + by''}}, on peut seulement dire que ''d ''est un [[Multiple (mathématiques)|multiple]] du PGCD. Par exemple, il existe deux entiers ''x'' et ''y'' tels que {{nobr|2''x'' + 3''y'' {{=}} 5}} (il suffit de prendre {{nobr|''x'' {{=}} 1}} et {{nobr|''y'' {{=}} 1}}) alors que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3.

=== Applications ===
{{...}}

Le théorème de Bachet-Bézout intervient dans de nombreux domaines de la [[théorie des nombres]]. Il intervient dans
*  la recherche d'[[Inverse modulaire|inverse modulo ''b'']] (il est donc utile dans le décodage de message en [[cryptographie]]) ;
* la résolution de l'[[Équation diophantienne ax + by = c|équation diophantienne ''ax + by = c'']].

=== Généralisation ===

{{Théorème
| Étant donnés des entiers relatifs ''a''{{ind|1}}, …, ''a{{ind|n}} ''non tous nuls et ''d ''[[Plus grand commun diviseur#PGCD d'une famille d'entiers|leur PGCD]], il existe des entiers relatifs ''x''{{ind|1}}, …, ''x{{ind|n}} ''tels que ''d {{=}} x''{{ind|1}}''a''{{ind|1}} + … + ''x{{ind|n}}a{{ind|n}}.

Les entiers ''a''{{ind|1}}, …, ''a{{ind|n}} ''sont [[Nombres premiers entre eux|premiers entre eux]] (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe des entiers relatifs ''x''{{ind|1}}, …, ''x{{ind|n}} ''tels que 1 {{=}} ''x''{{ind|1}}''a''{{ind|1}} + … + ''x{{ind|n}}a{{ind|n}}''.
}}
En d'autres termes, quand les ''a{{ind|k}}'' ne sont pas tous nuls, le PGCD de ''a''{{ind|1}}, …, ''a{{ind|n}} ''est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire à coefficients entiers de ''a''{{ind|1}}, …, ''a{{ind|n}}''.

== Dans l'ensemble des polynômes ==
{{ancre|Identité de Bézout dans l'ensemble des polynômes}}
{{Article détaillé|Arithmétique des polynômes}}
L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un [[corps commutatif]] ''K''.
{{Théorème
| Étant donnés <math>P_1,P_2,\ldots,P_n\in K[X]</math> et <math>\Delta</math> [[Plus grand commun diviseur#Dans les anneaux commutatifs|un PGCD]] de <math>P_1, P_2, \ldots, P_n</math>, il existe <math>A_1,A_2,\ldots,A_n\in K[X]</math> des polynômes tels que <math>\Delta=\sum_{k=1}^n A_kP_k</math>}}.
Les polynômes <math>P_1, P_2, \ldots, P_n</math> sont [[Primalité dans un anneau#Éléments premiers entre eux et élément irréductible|premiers entre eux]] (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe <math>A_1, A_2, \ldots, A_n \in K[X]</math> tels que <math>\sum_{k=1}^n A_kP_k=1</math>

== Extension aux anneaux principaux quelconques ==

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'[[anneau unitaire|anneau]] des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre [[anneau principal]]. (Notons que dans ce cas « plus grand » diviseur commun s'entend seulement au sens de la relation de [[préordre]] fournie par la divisibilité dans l'anneau ; l'unicité du PGCD n'est conservée qu'à un facteur [[inversible]] près de l'anneau.) C'est-à-dire, si ''A ''est un anneau principal, et ''a ''et ''b ''sont des éléments de ''A'', alors il existe un plus grand diviseur commun ''d ''de ''a ''et ''b ''et des éléments ''x ''et ''y ''dans ''A ''tels que ''d = ax + by''.

Cette propriété résulte du fait que l'[[idéal engendré|idéal ''aA + bA'' engendré par ''a'' et ''b'']] est [[Idéal principal|principal]]. En effet, tout générateur ''d ''de ''aA + bA ''est un diviseur commun à ''a'' et ''b'' (puisque ''a ''et ''b ''appartiennent à ''aA + bA''), et c'est « le » plus grand au sens de la divisibilité, c'est-à-dire que tout diviseur commun ''c ''divise ''d ''(puisque ''c ''divise tout élément de ''aA + bA'').

== Extension à d'autres anneaux ==
{{Article détaillé|Anneau de Bézout}}
L'identité de Bachet-Bézout a donné lieu à une classe d'anneaux : un anneau ''A'' est dit de Bézout si tout idéal de type fini de ''A'' est principal (mais l'anneau peut éventuellement contenir des idéaux qui ne sont pas de type fini). Autrement dit, ''A ''est de Bézout si deux éléments quelconques ''a'', ''b'' de ''A'' [[Anneau à PGCD|possèdent toujours un PGCD]], et si celui-ci peut toujours s'écrire sous la forme ''xa + yb'' (pour certains éléments ''x'', ''y'' de ''A'').

== Références ==
{{Références}}

== Articles connexes==
* [[Théorème des restes chinois]]
*[[Fraction continue#Réduites d'une fraction continue|Réduites d'une fraction continue]]

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Théorème d'algèbre|Bezout]]
[[Catégorie:Équation diophantienne]]
[[Catégorie:Arithmétique élémentaire]]