Voir la source de Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki


{{homon|Théorème de Banach|Bourbaki}}
Le '''théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki''' est un résultat de [[compacité (mathématiques)|compacité]] en [[analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], dû à [[Stefan Banach]] dans le cas d'un [[espace vectoriel normé]] [[Espace séparable|séparable]]<ref name=Banach>{{Ouvrage|auteur=S. Banach|titre=Théorie des opérations linéaires|année=1932|url=https://eudml.org/doc/219336}}.</ref> et généralisé en 1938 par [[Leonidas Alaoglu]] puis [[Nicolas Bourbaki]]<ref>L'affirmation par [[Jean Dieudonné|Dieudonné]] de l'antériorité de Bourbaki sur Alaoglu est reprise par [https://books.google.fr/books?id=3RLGKcEjVIoC&pg=PR15 divers auteurs] mais fermement contestée dans {{Article|lang=en|auteur={{Lien|Robert S. Doran}}|titre=[https://books.google.fr/books?id=1u_2uQeOOHMC&pg=PA148 Constantinescu, Corneliu, C*-algebras, vol. 1, Banach spaces]|revue=[[Mathematical Reviews|MR]]|année=2003|url=https://books.google.fr/books?hl=fr&id=k81XAAAAMAAJ&focus=searchwithinvolume&q=Alaoglu-Bourbaki+Dieudonn%C3%A9 MR1850358 (2003a:46002)|page=354|math reviews=1850358}}.</ref>.

Si ''E'' est un [[Nombre réel|ℝ]]-[[espace vectoriel topologique]] et ''V'' un [[Voisinage (topologie)|voisinage]] de 0, alors l'[[ensemble polaire]] ''V''° de ''V'', défini par
<center><math>V^{\circ}=\{\ell \in E'\mid \forall v\in V\quad|\ell(v)|\le1\},</math></center>
est une partie compacte du [[dual topologique]] ''E' ''pour la [[Topologie faible#Topologie faible-* du dual|topologie faible-*]].

Dans le cas où ''E'' est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la [[boule unité]] fermée de ''E' ''(pour la [[Dual topologique#Topologie forte sur le dual d'un espace normé|norme de la topologie forte]]) est *-faiblement compacte, ou encore, que toute partie de ''E' '' fortement [[Partie bornée|bornée]] est *-faiblement [[relativement compact]]e.

Dans un [[espace de Banach]] [[espace réflexif|réflexif]] (en particulier un [[espace de Hilbert]]), la topologie faible-* coïncide avec la [[topologie faible]] et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.

== Démonstration ==
Le dual topologique ''E''', muni de la topologie faible-*, est un [[Topologie induite|sous-espace]] du [[Topologie produit|produit]] ℝ{{exp|''E''}}.

Dans ce produit, ''V''° est inclus dans un produit de [[Intervalle (mathématiques)#Connexité et compacité|segments]] (car ''V'' est [[Espace vectoriel topologique#Ensemble absorbant|absorbant]]) donc dans un compact (d'après le [[Théorème de Tykhonov#Équivalence avec l'axiome du choix|théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie]] de l'[[axiome du choix]]).

Enfin, ''V''° est [[Fermé (topologie)|fermé]], comme intersection des fermés ''F''{{ind|''x'',''y'',λ}} qui définissent la linéarité d'un élément de ℝ{{exp|''E''}} :

{{Retrait|<math>F_{x,y,\lambda}=\{\ell\in\R^E\mid\ell(\lambda x+y)=\lambda\ell(x)+\ell(y)\}\quad(x,y\in E,\lambda\in\R)</math>}}

et des fermés ''G{{ind|v}}'' qui imposent les contraintes sur ''V'' :

{{Retrait|<math>G_v=\{\ell\in\R^E\mid |\ell(v)|\le1\}\quad(v\in V).</math>}}

En effet, une [[forme linéaire]] sur ''E'' qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage ''V'' de 0.

== Version séquentielle ==
Si un espace vectoriel normé ''E'' est séparable alors la boule unité ''B'' de son dual topologique (munie de la topologie faible-*) est [[Espace métrisable|métrisable]] donc sa compacité équivaut à sa [[compacité dénombrable]] et à sa [[compacité séquentielle]]. On peut démontrer directement cette dernière<ref name=Banach/> de façon plus élémentaire :
{{Retrait|Soient (ℓ''{{ind|n}}'') une [[Suite (mathématiques)|suite]] dans ''B'', et ''D'' une [[Ensemble dénombrable|partie dénombrable]] [[Partie dense|dense]] de ''E''. Par le [[procédé diagonal]] de [[Georg Cantor|Cantor]], on peut extraire de (ℓ''{{ind|n}}'') une [[sous-suite]] qui [[Convergence simple|converge simplement]] sur ''D''. Par [[Équicontinuité#Énoncés|équicontinuité]], cette sous-suite converge alors simplement sur ''E'' tout entier (donc sa limite appartient à ''B'').}}
Si ''E'' n'est pas séparable, le compact ''B'' peut ne pas être séquentiellement compact : un [[contre-exemple]] est fourni par ''E'' = [[Espace de suites ℓp|ℓ{{exp|∞}}]] = C([[Compactification de Stone-Čech#Le cas des entiers naturels|βℕ]]).

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* {{Lien|trad=Gelfand representation|Représentation de Gelfand}}
* [[Théorème d'Eberlein-Šmulian]]
* [[Théorème de Goldstine]]
* [[Théorème de sélection de Helly]]
* [[Théorème de James]]
* [[Dual d'un espace vectoriel topologique]]

=== Liens externes ===
* [http://www.les-mathematiques.net/a/a/b/node21 Applications du théorème de Tykhonov aux espaces vectoriels normés] sur le site les-mathematiques.net
* {{MathWorld|nom_url=Banach-AlaogluTheorem|titre=Banach-Alaoglu Theorem}}

=== Bibliographie ===
* {{Rudin2}}
* {{Brezis}}

{{Palette|Analyse fonctionnelle}}

{{portail|analyse}}

[[Catégorie:Espace vectoriel topologique]]
[[Catégorie:Espace de Hilbert]]
[[Catégorie:Théorème de compacité|Banach-Alaoglu]]
[[Catégorie:Théorème d'analyse fonctionnelle|Banach-Alaoglu]]