Voir la source de Théorème de Banach-Schauder

{{Voir homonymes|Théorème de Banach|Théorème du point fixe de Schauder}}
{{Confusion|texte=Ce « théorème de l'application ouverte » ne doit pas être confondu avec le [[théorème de l'image ouverte]], qui est un résultat d'[[analyse complexe]].}}
En [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]], le '''théorème de [[Stefan Banach|Banach]]-[[Juliusz Schauder|Schauder]]''', également appelé '''théorème de l'application ouverte''', est un résultat fondamental qui affirme qu'une [[application linéaire]] [[continuité (mathématiques)|continue]] [[surjection|surjective]] entre deux [[espaces de Banach]] (ou plus généralement : deux [[Espace vectoriel topologique|espaces vectoriels topologiques]] [[Espace complet#Espace complètement métrisable|complètement métrisables]]) est [[applications ouvertes et fermées|ouverte]]. C'est une conséquence importante du [[théorème de Baire]], qui affirme que dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'[[Ouvert (topologie)|ouverts]] [[Partie dense|denses]] est dense. Sous sa forme originelle, ce théorème a été démontré en {{date-|juin 1929}} par [[Juliusz Schauder]]<ref>{{harvsp|Schauder|1930}}, Satz 2.</ref>, à partir du théorème de l'isomorphisme que [[Stefan Banach]] avait établi peu auparavant<ref>{{harvsp|Banach|1929}}, {{p.|238}}, Thm. 7. Il faut prendre garde au fait que Banach appelle bien « opération additive » ce qu'on nomme encore aujourd'hui [[morphisme de groupes]], mais qu'il appelle « fonctionnelle additive » ce qu'on nomme maintenant une application linéaire, « opération linéaire » ce qu'on appelle maintenant un [[Groupe topologique#Définition et propriété caractéristique|morphisme de groupes topologiques]] et « fonctionnelle linéaire » ce qui est pour nous une application linéaire continue. Il remarque {{Harv|Banach|1932|p=36}} que dans son contexte (les ℝ-espaces vectoriels métrisables) l'additivité et la continuité entraînent la linéarité.</ref>.

== Énoncé ==
Soient ''E ''et ''F ''deux espaces vectoriels complètement métrisables (ou, ce qui est équivalent : [[Espace métrisable|métrisables]] et [[Espace uniforme#Espace complet|complets]]) sur un [[corps (mathématiques)|corps]] [[valeur absolue|valué]] non [[espace discret|discret]] (par exemple sur le corps des réels ou des complexes, auquel cas ''E ''et ''F ''sont des [[espace de Fréchet|espaces de Fréchet]] s'ils sont [[Espace localement convexe|localement convexes]]) et ''f ''une application linéaire continue de ''E ''vers ''F''.

Si ''f ''est surjective, alors ''f ''est [[applications ouvertes et fermées|ouverte]]<ref>{{harvsp|Bourbaki|2006a}}, I.3.3</ref>, c'est-à-dire que l'[[Image directe|image]] par ''f ''de tout ouvert de ''E ''est un ouvert de ''F''.

Dans le cas où ''E ''et ''F ''sont des espaces de Banach, dire que ''f ''est ouverte équivaut (par linéarité) à
<center><math>\exists C>0,B_F(0,1)\subset f(B_E(0,C)).</math></center>

== Démonstration ==
<!--Attention à ne pas modifier ou généraliser cette démonstration sans ajuster le lien vers elle dans la démonstration de [[Orthogonalité#Espace de Banach]]-->
Pour plus de simplicité, la démonstration n'est faite ci-dessous que dans le cas où ''E ''et ''F ''sont des espaces de Banach.

Comme {{math|''f''}} est surjective, ''F'' est la réunion des [[fermé (topologie)|fermés]] suivants :

{{Retrait|<math>F_n:=\overline{f(B_E(0,n))}.</math>}}

Puisque ''F'' est complètement métrisable donc [[espace de Baire|de Baire]], un de ces fermés, {{math|''F{{ind|N}}''}}, est d'intérieur non vide : il contient une boule <math>B_F(y,\eta)</math>.

Le fermé {{math|''F''{{ind|2''N''}}}} contient donc la boule <math>B_F(0, \eta)</math>. Par [[Fonction homogène|homogénéité]] de {{math|''f''}}, on dispose ainsi d'un réel ''M ''tel que :

{{Retrait|<math>B_F(0,1) \subset \overline{f(B_E(0,M))}.</math>}}

Il ne reste plus qu'à faire « sauter la barre », et c'est ici que la complétude de ''E'' intervient<ref>On peut encore faire « sauter la barre » dans le cas où ''E ''et ''F ''sont des espaces métriques, ''E ''étant complet, par un raisonnement un peu plus long : voir {{harvsp|Bourbaki|2006a}}, §I.3, Lemme 2.</ref>. Par homogénéité de {{math|''f''}}, on déduit du résultat qui précède que :

{{Retrait|<math>\forall n \in\N, B_F(0,1/2^n) \subset \overline{f(B_E(0,M/2^n))}.</math>}}

Montrons que <math>B_F(0,1) \subset f(B_E(0,2M))</math>. Pour cela, donnons-nous un <math>z \in B_F(0,1)</math>.
* Il existe <math>x_0</math> de norme inférieure (strictement) à ''M ''tel que <math>z_1:= z - f(x_0)</math> soit de norme inférieure à 1/2.
* Il existe <math>x_1</math> de norme inférieure à ''M''/2 tel que <math>z_2:= z_1 - f(x_1)</math> soit de norme inférieure à 1/4.

On construit par récurrence une suite <math>(x_n)</math> de vecteurs de ''E'' telle que <math>\|x_n\| \leq M/2^n</math> et <math>z_{n+1}:= z - f(x_0 + \cdots + x_n)</math> soit de norme inférieure à 1/2{{exp|''n''+1}}.

La série <math>\sum x_n</math> est absolument convergente, donc comme ''E ''est un espace de Banach, elle converge. De plus,

{{Retrait|<math>\left\|\sum_{n=0}^{+ \infty}x_n\right\|\le\sum_{n = 0}^{+\infty}\|x_n\|<M\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}=2M</math>}}

et, par passage à la limite :

{{Retrait|<math>z=f\left(\sum_{n=0}^{+\infty} x_n\right)\in f(B_E(0,2M)),</math>}}

ce qu'il fallait démontrer.

== Conséquences ==
=== Théorème de l'isomorphisme de Banach ===

Le théorème de Banach-Schauder a une conséquence immédiate mais fondamentale, appelée '''théorème de l'isomorphisme de Banach''', '''théorème de Baire-Banach''' ou plus simplement '''théorème de Banach''', déjà évoqué :

{{énoncé|Toute [[bijection]] linéaire continue entre deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret est un [[homéomorphisme]].}}

En particulier : si une bijection linéaire entre deux espaces de Banach est continue alors sa [[bijection réciproque]] est continue. Dit autrement : si un ℝ-espace vectoriel est complet pour deux [[Norme équivalente#Définition|normes comparables]], alors ces normes sont [[Norme équivalente|équivalentes]].

=== Théorème de l'homomorphisme de Banach ===

Soit <math>E</math> et <math>F</math> deux espaces vectoriels topologiques et <math>u</math> une application linéaire continue de <math>E</math> dans <math>F</math>. On sait qu'il existe un isomorphisme algébrique <math>\bar{u}:E/\ker \left( u\right) \tilde{\rightarrow}u\left( E\right) </math>. Cet isomorphisme est continu (autrement dit, c'est un morphisme d'espaces vectoriels topologiques). Si de plus <math>\bar{u}</math> est un homéomorphisme, on dit que <math>u</math> est un '''homomorphisme''' d'espaces vectoriels topologiques (ou, pour employer le langage des [[catégorie additive#Catégories additives et catégories préabéliennes|catégories]], un [[catégorie additive#Catégories additives et catégories préabéliennes|'''morphisme strict''']] dans la catégorie des espaces vectoriels topologiques). L'application linéaire continue <math>u</math> est un morphisme strict si, et seulement si elle est une application ouverte de <math>E</math> dans <math>u\left( E\right) </math>. Le théorème suivant a été obtenu par [[Stefan Banach]] lorsque <math>E</math> et <math>F</math> sont des espaces de Fréchet <ref>{{harvsp|Banach|1932}}, {{p.|40}}, Thm. 4</ref> :

:: Si <math>E</math> et <math>F</math> sont deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret, alors une application linéaire continue <math>u</math> de <math>E</math> dans <math>F</math> est un morphisme strict si, et seulement si <math>u\left( E\right) </math> est fermé dans <math>F</math>.

La condition est nécessaire, car si <math>u</math> est un morphisme strict, <math>E/\ker \left( u\right)</math> et <math>u\left( E\right) </math> sont des espaces vectoriels topologiques isomorphes. Or, <math>E/\ker \left( u\right)</math> est complet<ref>{{harvsp|Bourbaki|texte=Bourbaki 2006b|loc=§IX.3, Prop. 4}}</ref>, donc <math>u\left( E\right) </math> l'est aussi et il est fermé dans <math>F</math>. La condition est suffisante, car si <math>u\left( E\right) </math> est fermé dans <math>F</math>, c'est un espace vectoriel métrisable et complet. Donc <math>u</math>, qui est une application linéaire continue surjective de <math>E</math> dans <math>u\left( E\right) </math>, est ouverte de <math>E</math> dans <math>u\left( E\right) </math> d'après le théorème de Banach-Schauder, et est donc un morphisme strict.

Le théorème de l'isomorphisme de Banach est un cas particulier du théorème de l'homomorphisme (si <math>u</math> est continue et bijective de <math>E</math> dans <math>F</math>, alors son image, qui est égale à <math>F</math>, est fermée dans <math>F</math>, et le théorème de l'homomorphisme implique que <math>u</math> est un homéomorphisme).

=== Théorème du graphe fermé ===
{{Article détaillé|Théorème du graphe fermé}}

Le théorème de l'isomorphisme de Banach permet de démontrer ce puissant critère de continuité des applications linéaires, également dû à Banach<ref>{{harvsp|Banach|1932}}, {{p.|41}}, Thm. 7 (sur le corps ℝ).</ref> :

{{énoncé|Soient ''E'' et ''F'' deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret. Une application linéaire de ''E'' dans ''F'' est continue si (et seulement si) son [[Graphe d'une fonction|graphe]] est fermé dans [[Topologie produit|''E''×''F'']].}}

{{Démonstration|titre=Équivalence des quatre énoncés : Banach-Schauder, homomorphisme de Banach, isomorphisme de Banach, graphe fermé|
Sous les hypothèses considérées, les énoncés de ces quatre théorèmes sont équivalents :
*Banach-Schauder ⇒ homorphisme de Banach ⇒ isomorphisme de Banach : voir ci-dessus ;
*isomorphisme de Banach ⇒ graphe fermé : voir l'article [[Théorème du graphe fermé]] ;
*graphe fermé ⇒ isomorphisme de Banach : si le graphe d'une bijection est fermé, celui de sa bijection réciproque l'est aussi ;
*isomorphisme de Banach ⇒ Banach-Schauder :{{Retrait|Soit ''E'' et ''F'' deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret ''K'', et <math>f:E\twoheadrightarrow F</math> une surjection linéaire continue. Écrivons <math>f=\bar{f}\circ \pi</math> où, par définition de la [[topologie quotient]], la surjection canonique <math>\pi :E\twoheadrightarrow E/\ker \left( f\right)</math> est ouverte et l'isomorphisme algébrique <math>\bar{f}:E/\ker \left( f\right)\to F</math> est continu. Le ''K''-espace vectoriel {{math|''E''/ker(''f'')}} est métrisable et complet (voir ''supra''). Puisque <math>\bar{f}</math> est continue, <math>\bar{f}^{-1}</math> l'est également d'après le théorème de l'isomorphisme. Par suite, <math>\bar{f}</math> est ouverte, ce qui montre que la composée <math>f</math> est ouverte.}}
}}

Plus généralement, soit ''E'' et ''F'' deux espaces vectoriels topologiques sur un corps valué non discret ''K''. On suppose que ''E'' est métrisable et complet. On suppose également qu'il existe une suite (''F{{ind|n}}'') de ''K''-espaces vectoriels métrisables et complets et, pour tout ''n'', une injection linéaire continue ''v{{ind|n}}'' de ''F{{ind|n}}'' dans ''F'' telle que ''F'' soit la réunion des sous-espaces ''v{{ind|n}}''(''F''). Soit alors ''u'' une application linéaire de ''E'' dans ''F''. Elle est continue si (et, si ''F'' est séparé, seulement si) son graphe est fermé dans ''E''×''F'', et dans ce cas il existe un entier ''n'' tel que ''u''(''E'') ⊂ ''v{{ind|n}}''(''F{{ind|n}}'')<ref>{{harvsp|Bourbaki|2006a}}, §I.3, Prop. 1.</ref>.

=== Théorème fondamental de Banach ===

Tous les résultats qui précèdent se déduisent du théorème fondamental de Banach ci-dessous, dont la démonstration est un peu plus longue que celle qui a été donnée plus haut du théorème de Banach-Schauder<ref>{{harvsp|Banach|1932}}, {{p.|38}}, Thm. 3</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Bourbaki|2006a}}, §I.3., Thm. 1.</ref> :

:: Si <math>E</math> et <math>F</math> sont deux espaces vectoriels métrisables et complets sur un corps valué non discret et <math>u</math> est une application linéaire continue de <math>E</math> dans <math>F</math>, alors ou bien <math>u</math> est un morphisme strict surjectif ou bien, <math>u(E)</math> est un sous-[[ensemble maigre]] de <math>F</math>.

Voyons comment on démontre le théorème de Banach-Schauder à partir de ce théorème fondamental : soit <math>E</math> et <math>F</math> vérifiant les propriétés indiquées, et <math>u</math> une application linéaire surjective de <math>E</math> dans <math>F</math>. Puisque <math>u(E)=F</math>, <math>u(E)</math> n'est pas maigre d'après le théorème de Baire, donc <math>u</math> est un morphisme strict.

=== Supplémentaire topologique ===
{{Article détaillé|Sous-espace supplémentaire#Supplémentaire topologique{{!}}Supplémentaire topologique}}
Dans un espace vectoriel topologique, deux sous-espaces supplémentaires algébriques sont dits supplémentaires topologiques lorsque les [[Projecteur (mathématiques)|projecteurs]] associés sont continus. Une condition nécessaire pour cela est que les deux sous-espaces soient fermés. Dans le cas par exemple d'un espace de Fréchet, elle est suffisante<ref>{{harvsp|Köthe|1969|loc=15.12(6)}}.</ref>. On peut le démontrer directement, ou le voir comme une corollaire du cas particulier suivant du théorème de Banach-Schauder (où l'on ne suppose pas que la somme est [[Somme directe|directe]]) :

* Soient ''E ''un espace vectoriel topologique métrisable et complet sur un corps valué non discret et ''M'', ''N ''deux sous-espaces  fermés de [[Sous-espace vectoriel#Somme de sous-espaces vectoriels|somme]] fermée. Alors, l'application somme<center><math>M\times N\to M+N</math></center>est ouverte.

Cette conclusion se traduit, lorsque ''E ''est un espace de Banach, par l'existence d'une constante ''C ''> 0 telle que pour tout {{math|''w ''∈ ''M + N''}}, il existe {{math|''m ''∈ ''M''}} et {{math|''n ''∈ ''N''}} tels que
<center><math>w=m+n\quad\text{et}\quad\max(\|m\|,\|n\|)\le C\|w\|</math>.</center>
On peut en déduire le corollaire suivant, utilisé par exemple pour démontrer des propriétés d'[[orthogonalité]] dans un espace de Banach<ref>{{Brezis}}, {{p.|21-22}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[Tosio Kato]]|titre=Perturbation Theory for Linear Operators|éditeur=Springer|collection=[[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|Grund. math. Wiss.]]|numéro dans collection=132|année=1995|numéro d'édition=2|pages totales=623|passage=220|isbn=978-3-540-58661-6|lire en ligne={{Google Livres|8ji2kN_D3BwC|page=220}}}}.</ref> :

* Soient ''E ''un espace de Banach et ''M'', ''N ''deux sous-espaces  fermés de somme fermée. Alors, il existe une constante ''D ''telle que la [[Distance (mathématiques)#Distance d'un point à une partie|distance entre un élément {{math|''x''}} de ''E ''et l'intersection ''M''∩''N'']] soit majorée selon la formule suivante :
<center><math>d(x,M\cap N) \le D\Big(d(x,M)+d(x,N)\Big)</math>.</center>

{{Démonstration|titre=Démonstration du corollaire|
Soient ε un réel strictement positif et ''C'' la constante établie dans la proposition précédente. Pour tout vecteur ''{{math|x}} '' de ''E'', il existe deux vecteurs {{math|''u ''∈ ''M''}} et {{math|''v ''∈ ''N''}} tels que
<center><math>\|x-u\|\le d(x,M)+\varepsilon\quad\text{et}\quad \|x-v\|\le d(x,N)+\varepsilon</math>.</center>
Par définition de ''C'', il existe deux vecteurs {{math|''m ''∈ ''M''}} et {{math|''n ''∈ ''N''}} tels que
<center><math>u-v=m+n\text{ et }\|m\|,\|n\|\le C\|u-v\|</math>.</center>

Or {{math|''u – m ''∈ ''M''∩''N''}} car
<center><math>u-m=v+n,\quad u-m\in M\quad\text{et}\quad v+n\in N</math>.</center>
On en déduit :
<center><math>\begin{align}d(x,M\cap N)&\le\|x-(u-m)\|\\
&\le\|x-u\|+\|m\|\\
&\le\|x-u\|+C\|u-v\|\\
&\le\|x-u\|+C\left(\|x-u\|+\|x-v\|\right)\\
&\le(1+C)\left(d(x,M)+d(x,N)\right)+(1+2C)\varepsilon.\end{align}</math></center>
Cette majoration est vraie pour tout ε > 0, ce qui démontre la proposition en choisissant ''D'' égal à 1 + ''C''.
}}

== Variantes dans le cas localement convexe ==

Nous considérons ci-dessous le cas où ''E ''et ''F ''sont des espaces vectoriels topologiques localement convexes sur le corps des réels ou des complexes. Il convient tout d'abord de donner quelques définitions.

=== Définitions ===

* Soit ''G ''un espace topologique. Un sous-ensemble ''S ''de ''G ''est dit '''séquentiellement fermé''' si pour toute suite (''s{{ind|n}}'') d'éléments de ''S ''convergeant dans ''G ''vers un élément ''s'', on a ''s''∈''S''. Tout sous-ensemble fermé de ''G ''est séquentiellement fermé. Les espaces ''G ''pour lesquels la réciproque est vraie sont appelés les [[Espace séquentiel|espaces séquentiels]]. Les espaces métrisables en font partie.
* Un espace topologique ''G'' est dit '''de [[Théorème de Baire|Baire]]''' si pour toute suite <math>(F_{n})</math> de fermés d'intérieur vide, leur réunion est d'intérieur vide.
* Un espace localement convexe est dit '''convexe-Baire''' si pour toute suite <math>(F_{n})</math> de fermés ''convexes'' d'intérieur vide, leur réunion est d'intérieur vide<ref name="Valdivia"/>. Un espace localement convexe qui est un espace de Baire est donc un espace convexe-Baire (la réciproque étant fausse en général). En particulier, un espace de Fréchet est convexe-Baire.
* Un espace localement convexe est dit '''[[Partie bornée d'un espace vectoriel topologique#Espace ultrabornologique|ultrabornologique]]''' s'il est séparé et est [[limite inductive]] d'une ''famille'' d'espaces de Banach. Un [[Partie bornée d'un espace vectoriel topologique#Espace bornologique|espace bornologique]] séparé et complet est ultrabornologique, en particulier un espace de Fréchet est ultrabornologique et un espace localement convexe séparé limite inductive d'espaces de Fréchet est ultrabornologique<ref>{{harvsp|Bourbaki|2006a}}, §III.4, exerc. 20 et 21.</ref>. Un espace ultrabornologique est [[espace tonnelé|tonnelé]].
* Un espace topologique <math>P</math> est dit '''[[Espace polonais|polonais]]''' s'il est homéomorphe à un espace métrique [[espace séparable|séparable]] et complet. Un espace topologique <math>S</math> est '''souslinien''' s'il existe un espace polonais <math>P</math> et une application continue surjective de <math>P</math> sur <math>S</math>. Un espace souslinien est séparable. Un espace de Fréchet séparable, le dual faible d'un espace de Fréchet séparable et le dual fort d'un espace de Fréchet-[[espace de Montel|Montel]] séparable sont sousliniens<ref name="Trèves">{{harvsp|Treves 2007 }}</ref>. Une réunion dénombrable d'espaces localement convexes sousliniens est un espace localement convexe souslinien<ref name="Valdivia">{{harvsp|Valdivia|1982 }}</ref>.
* Un espace topologique séparé <math>X</math> est dit '''K-analytique''' s'il existe un espace topologique <math>Y</math> qui est une intersection dénombrable d'unions dénombrables d'espaces compacts et une application continue surjective <math>f:Y\twoheadrightarrow X</math><ref>{{harvsp|Choquet|1954 }}</ref>. Un espace topologique [[Espace complètement régulier|complètement régulier]] (par exemple un [[espace vectoriel topologique]] séparé) K-analytique est également dit '''K-souslinien'''<ref>{{harvsp|Rogers|1964}}.</ref>. Un espace souslinien est K-souslinien ; le dual faible d'un espace de Fréchet (non nécessairement séparable) est K-souslinien, et un espace de Fréchet réflexif muni de sa topologie affaiblie est K-souslinien<ref name="Trèves"/>. Une réunion dénombrable d'espaces localement convexes K-sousliniens est un espace localement convexe K-souslinien<ref name="Valdivia"/>.
* Un espace localement convexe séparé est dit '''K-ultrabornologique''' s'il est une limite inductive d'une famille d'espaces localement convexes K-sousliniens et de Baire<ref name="Martineau">{{harvsp|Martineau|1968 }}</ref>.
* Un espace topologique <math>X</math> est dit '''quasi-souslinien''' s'il existe un espace polonais ''P'' et une application <math>T:P \rightarrow \mathcal{P}(X)</math> (où <math>\mathcal{P}(X)</math> désigne l'ensemble des parties de ''X'') telle que (a) <math>\bigcup \left\{ T\left( p\right) :p\in P\right\} =X</math> et (b) si <math>(p_{n})</math> est une suite de points de ''P'' convergeant vers ''p'' dans ''P'' et <math>z_{n}\in T\left( p_{n}\right)</math> pour tout entier positif ''n'', alors la suite <math>(z_{n})</math> admet une valeur d'adhérence dans ''X'' appartenant à <math>T(p)</math>. Un espace K-souslinien (et donc un espace souslinien) est quasi-souslinien. Si ''E'' est un espace de Fréchet, alors son bidual <math>E''</math> muni de la topologie faible <math>\sigma \left( E^{\prime \prime }, E^{\prime}\right)</math> est quasi-souslinien (il est K-souslinien si, et seulement si <math>E^{\prime}</math>, muni de la {{Lien|langue=en|trad=Mackey topology|fr=topologie de Mackey}}  <math>\tau(E',E'')</math>, est tonnelé). Une réunion dénombrable d'espaces quasi-sousliniens est quasi-souslinien<ref name="Valdivia"/>. Si l'on se restreint à la classe des espaces localement convexes, la notion d''''espace semi-souslinien''' est un peu plus faible que celle d'espace quasi-souslinien. Un espace de Fréchet (non nécessairement séparable ni réflexif), de même que son dual fort, est semi-souslinien, et une réunion dénombrable d'espaces semi-sousliniens est un espace semi-souslinien<ref name="Valdivia"/>.
* Soit ''E'' un espace localement convexe, <math>\mathfrak{T}</math> sa topologie. On note <math>\mathfrak{T}^{f}</math> la topologie définie comme suit sur son dual <math>E^{\prime}</math> : un sous-espace ''Q'' de <math>E^{\prime}</math> est fermé dans la topologie <math>\mathfrak{T}^{f}</math> si pour tout sous-ensemble [[équicontinuité|équicontinu]] ''A'' de <math>E^{\prime}</math>, <math>Q\cap A</math> est fermé dans ''A'' pour la topologie induite sur ''A'' par la topologie faible <math>\sigma(E',E)</math>. Un espace localement convexe ''E'' est dit '''ptakien''' (resp. '''infra-ptakien''') si tout sous-espace de <math>E^{\prime}</math>, fermé pour la topologie <math>\mathfrak{T}^{f}</math> (resp. faiblement dense et fermé pour la topologie <math>\mathfrak{T}^{f}</math>) est faiblement fermé (resp. coïncide avec <math>E^{\prime}</math>)<ref>Un espace ptakien (ou espace de Ptak) est également appelé un espace B-complet, tandis qu'un espace infra-ptakien est également appelé un espace <math>B_{r}</math>-complet.</ref>. Un espace ptakien est infra-ptakien, et la question de savoir s'il existe des espaces infra-ptakiens qui ne sont pas ptakiens est longtemps restée ouverte ; mais Valdivia lui a donné en 1984 une réponse affirmative<ref>{{harvsp|Valdivia|1984 }}</ref>. Les espaces infra-ptakiens (et donc les espaces ptakiens) sont complets. Un espace de Fréchet, de même que le dual fort d'un espace de Fréchet réflexif, est ptakien. Un espace localement convexe faiblement complet est ptakien.

=== Résultats ===
* Le résultat ci-dessous est dû à [[Alexandre Grothendieck|Grothendieck]]<ref>{{harvsp|Grothendieck|1955}}, Introduction, IV, Thm. B.</ref> :

:: Soit <math>E</math> un espace ultrabornologique et <math>F</math> une limite inductive d'une ''suite'' d'espaces de Fréchet. Toute application linéaire continue surjective de <math>F</math> sur <math>E</math> est ouverte<ref>{{harvsp|Bourbaki|2006a}}, §II.4, Corol. de la Prop. 10.</ref>.

* Le résultat ci-dessous est dû à [[Laurent Schwartz (mathématicien)|Laurent Schwartz]]<ref>{{harvsp|Schwartz|1966}}</ref> :

:: Soit <math>E</math> un espace ultrabornologique et <math>F</math> un espace localement convexe souslinien. Toute application linéaire <math>f</math> surjective de <math>F</math> sur <math>E</math> et dont le graphe est un sous-[[ensemble borélien]] de <math>E\times F</math><ref>Il suffit pour cela que <math>f</math> soit continue.</ref> est continue et ouverte.

* Le résultat ci-dessous est dû à [[André Martineau (mathématicien)|Martineau]]<ref name="Martineau"/> :

:: Soit <math>E</math> un espace K-ultrabornologique et <math>F</math> un espace localement convexe K-souslinien. Toute application linéaire continue surjective de <math>F</math> sur <math>E</math> est ouverte.

* Le résultat ci-dessous est dû à {{Lien|langue=en|fr=Vlastimil Ptak}}<ref>{{harvsp|Ptak 1958}}</ref> :

:: Soit <math>E</math> un [[espace tonnelé]] et <math>F</math> un espace infra-ptakien (resp. ptakien). Toute application linéaire bijective (resp. surjective) de <math>F</math> sur <math>E</math> dont le graphe est fermé est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques (resp. est continue et ouverte).

* Le résultat ci-dessous est dû à Valdivia<ref name="Valdivia"/>:

:: Soit <math>E</math> un espace convexe-Baire (resp. métrisable convexe-Baire) et <math>F</math> un espace semi-souslinien ; toute application linéaire surjective de <math>F</math> sur <math>E</math> dont le graphe est fermé (resp. séquentiellement fermé) est continue et ouverte. Soit <math>E</math> un espace localement convexe, métrisable et de Baire et <math>F</math> un espace localement convexe souslinien (resp. quasi-souslinien) ; toute application linéaire surjective de <math>F</math> sur <math>E</math> dont le graphe est séquentiellement fermé (resp. dont le graphe est fermé) est continue et ouverte.

* D'autres variantes du théorème de Banach-Schauder existent<ref>{{harvsp|Köthe|1979}}</ref>, notamment celle due à de Wilde<ref>{{harvsp|de Wilde|1978}}</ref>.

Pour finir, mentionnons un résultat important, relatif aux espaces de [[espace de Fréchet|Fréchet]] et aux espaces de [[espace de Schwartz (général)|Schwartz]], et qui découle de ce qui précède :

{{Théorème|Corollaire|Soit ''E'' et ''F'' des espaces localement convexes, tous deux de type (F) (autrement dit, des espaces de Fréchet) ou (DFS) (autrement dit, des [[espace (DF)|espaces (DF)]] qui sont des espaces de Schwartz). Alors une application linéaire continue <math>u : F \rightarrow E</math> dont le graphe est fermé, est continue et ouverte.}}

En effet, si ''E'' et ''F'' sont de type (F), ils sont métrisables et complets. S'ils sont de type (DFS), ''E'' est ultrabornologique et ''F'' est souslinien.

On notera que les résultats ci-dessus sont étroitement liés à ceux figurant à l'article [[Théorème du graphe fermé]].

== Exemple d'application ==
Soient {{math|''E''}} = [[Espace_Lp|{{math|L{{1}}(S{{1}})}}]], l'espace de Banach des fonctions [[Intégrale de Lebesgue|intégrables]] sur le [[Cercle unité|cercle]],
et {{math|1=''F'' = c{{ind|0}}(ℤ)}}, l'[[Espace de suites ℓp|espace des suites]] complexes indexées par les [[entiers relatifs]] et [[Limite d'une suite|convergeant vers 0]]. L'application linéaire continue <math>E\to F,f\mapsto \big(\widehat{f}(n)\big)_{n\in\Z}</math> qui associe à la fonction <math>f</math> la suite de ses [[Série de Fourier#Extension aux distributions|coefficients de Fourier est injective]] mais n'est pas surjective. En effet, si tel était le cas, il existerait une constante {{math|''C''}} telle que, pour toute fonction <math>f\in E</math>,
<center><math>\Vert f\Vert_1\le C\sup_{n\in\Z}~\vert \widehat{f}(n)\vert.</math></center>
En appliquant une telle inégalité à la suite des [[noyau de Dirichlet|noyaux de Dirichlet]], on arrive à une contradiction<ref name=Exo6-1>Pour plus de détails, voir par exemple {{Note autre projet|Wikiversité|Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé#Exercice 6-1|cet exercice corrigé du chapitre « Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé »|début=}}</ref>.

De même, la [[transformation de Fourier]], linéaire, continue et [[Transformation de Fourier#Extension à l'espace ℝn|injective de {{math|L{{1}}(ℝ{{exp|''n''}})}} dans {{math|C{{ind|0}}(ℝ{{exp|''n''}})}}]], n'est pas surjective<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=[[E. Brian Davies]]|titre=Linear Operators and their Spectra|éditeur=[[Cambridge University Press]]|année=2007|passage=74|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|6AjuCoaL34AC|page=74}}}}.</ref>{{,}}<ref name=Exo6-1/>.

== Notes ==
{{Références|colonnes=2}}

== Références ==
* {{article|prénom=Stefan|nom=Banach|lien auteur1=Stefan Banach|titre=Sur les fonctionnelles linéaires II|revue=Studia Mathematica|volume=1|p.=223-239|année=1929|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or2110.pdf}}
* {{Ouvrage|auteur1=Stefan Banach|titre=Théorie des opérations linéaires|éditeur=Warszawa|année=1932|lire en ligne=http://kielich.amu.edu.pl/Stefan_Banach/pdf/teoria-operacji-fr/banach-teorie-des-operations-lineaires.pdf}}
* {{Ouvrage|auteur1=N. Bourbaki|titre=[[Éléments de mathématique|Espaces vectoriels topologiques]]|éditeur=Springer|année=2006a|pages totales=364|isbn=978-3-540-34497-1|isbn2=3-540-34497-7}}
*{{Bourbaki-Topologie}}, chap. 5 à 10, 2006b 
* {{Article|langue=en|prénom=Gustave|nom=Choquet|lien auteur=Gustave Choquet|titre=Theory of capacities|lien périodique=Annales de l'Institut Fourier|revue=Annales de l'Institut Fourier|volume=5|p.=131-295|année=1954|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AIF/AIF_1954__5_/AIF_1954__5__131_0/AIF_1954__5__131_0.pdf}}
* {{Article|prénom=Alexandre|nom=Grothendieck|lien auteur1=Alexandre Grothendieck|titre=Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Première partie.|revue=Memoirs of the American Mathematical Society|volume=16|p.=1-191|année=1955}}
* {{Ouvrage|langue=en|langue originale=de|prénom1=Gottfried|nom1=Köthe|lien auteur1=Gottfried Köthe|titre=Topological vector spaces. I|lieu=Berlin/New York|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|année=1969|pages totales=456|isbn=0-387-04509-0}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=Gottfried|nom1=Köthe|titre=Topological vector spaces. II|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]]|année=1979|pages totales=331|isbn=0-387-90440-9}}
* {{Article|prénom=André|nom=Martineau|titre=Sur des théorèmes de S. Banach et de L. Schwartz concernant le graphe fermé|revue=Studia Mathematica|volume=30|p.=43-51|année=1968|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm30/sm3014.pdf}}
* {{Article|id=Ptak 1958|langue=en |nom1={{Lien|langue=en|fr=Vlastimil Ptak}}|titre=Completeness and the Open Mapping Theorem|revue=Bull. Soc. Math. France|volume=86|p.=41-74|année=1958|url=http://archive.numdam.org/ARCHIVE/BSMF/BSMF_1958__86_/BSMF_1958__86__41_0/BSMF_1958__86__41_0.pdf}}
* {{Article|langue=en|auteur=[[Claude Rogers|C. A. Rogers]]|titre=Analytic sets in Hausdorff spaces|revue=[[Mathematika]]|volume=11|numéro=1|p.=1-8|année=1964|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=6707436}}
* {{Article|prénom=Juliusz|nom=Schauder|lien auteur= Juliusz Schauder|titre=Über die Umkehrung linearer, stetiger Funktionaloperationen|revue=Studia Mathematica|volume=2| numéro=1|p.=1-6|année=1930|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm2/sm211.pdf}}
* {{Article|prénom=Laurent|nom=Schwartz|lien auteur= Laurent Schwartz (mathématicien)|titre=Sur le théorème du graphe fermé|lien périodique=CRAS|revue=C. R. Acad. Sci. Paris|volume=263, série A|p.=602-605|année=1966}}
* {{Ouvrage|langue=en|nom1=[[François Treves]]|titre=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|éditeur=[[Dover Publications]]|année=2007|pages totales=565|isbn=978-0-486-45352-1|isbn2=0-486-45352-9|lire en ligne={{Google Livres|KL_BnzRHwq4C}}|id=Treves 2007}} 
* {{Ouvrage|langue=en|auteur1=Manuel Valdivia|titre=Topics in Locally Convex Spaces|éditeur=North Holland Publishing Company|année=1982|pages totales=515|isbn=0-444-86418-0|lire en ligne={{Google Livres|DSwo-8sMehUC}}}}
* {{Article|langue=en|auteur=Manuel Valdivia|titre={{math|''B{{ind|r}}''}}-complete spaces which are not {{math|''B''}}-complete| périodique=Math. Zeit|volume=185|p.=253-259|année=1984|url=https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01181696?LI=true#page-1}}
* {{Ouvrage|langue=en|prénom1=M.|nom1=de Wilde|titre=Closed Graph Theorems and Webbed Spaces|éditeur=Pitman|année=1978|pages totales=158|isbn=0-273-08403-8}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Théorème de Bartle-Graves]]
* [[Fonction multivaluée#Théorème de l'application ouverte pour les multifonctions|Théorème de l'application ouverte pour les multifonctions]]
=== Lien externe ===
{{Lien web|langue=en|url=http://mathoverflow.net/questions/44716/counterexample-for-the-open-mapping-theorem|titre=Counterexample for the Open Mapping Theorem|site=[[MathOverflow]]}}

{{Palette|Analyse fonctionnelle}}
{{Portail|analyse}}

[[Catégorie:Théorème d'analyse fonctionnelle|Banach-Schauder]]
[[Catégorie:Espace vectoriel normé]]