Voir la source de Théorème de Bertrand

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[[Fichier:Bertrand.jpg|vignette|Joseph Louis François Bertrand (1822-1900)]]

Le '''théorème de Bertrand''' est un résultat de [[Mécanique (science)|mécanique]], démontré en 1873 par le mathématicien [[Joseph Bertrand]]<ref>{{Article|auteur=J. Bertrand|titre=Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe|revue=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences]]|vol=77|date=1873|p.=849-853|url=https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3034n/f849.item}}.</ref>. Il établit que dans un [[mouvement à force centrale]], seules les lois de force de [[Robert Hooke|Hooke]] (en {{math|–''k'' '''OM'''}}, qui produit une [[ellipse (mathématiques)|ellipse]] où [[périapside|péricentre]] P et [[Apoapside|apocentre]] A forment un angle (POA) égal à 90°) et de [[Isaac Newton|Newton]] (en {{math|–''k''/''r''{{2}}''u{{ind|r}}''}}, qui produit une ellipse où l'angle (POA) vaut 180°) produisent une trajectoire fermée (si la trajectoire est au préalable bornée), quelles que soient les [[Condition initiale|conditions initiales]].

== La démonstration d'[[Vladimir Arnold|Arnold]]==
*'''[[Lemme (mathématiques)|Lemme]] 1''' : on montre que l'angle AOP pour une loi de force en {{math|1/''r{{exp|n}}''}}, vaut, quand l'énergie {{math|''E''{{exp|0}}}} tend vers zéro par valeurs négatives, et donc que l'apocentre est très excentré, <math>\widehat{AOP} = {\pi \over{3-n}}</math> ; (il faut {{math|''n'' < 3}}, pour ne pas avoir d'effondrement de la ''barrière centrifuge'').
*'''Lemme 2''' : on montre que {{math|''U''(''r'')}} doit être une loi puissance, en regardant le cas quasi circulaire (voir [[Mouvement à force centrale]]) : <math>\widehat{AOP} = {\pi \over \sqrt{3-n}}</math> (le cas logarithmique {{math|''n'' {{=}} 1}} est exclu par examen direct).
*'''Conclusion''' : il faut {{math|3 – ''n'' {{=}} 1}} ; c'est le cas des orbites de [[Johannes Kepler|Kepler]].
*'''Lemme 3''' : le cas de la force en {{mvar|r{{exp|p}}}} se résout par la dualité de la [[transmutation de la force]] : {{math|(3 + ''p'')(3 – ''n'') {{=}} 4}} ; par conséquent, à {{math|''n'' {{=}} 2}} correspond {{math|''p'' {{=}} 1}} : c'est le cas de l'[[ellipse de Hooke]]<ref>La [http://physics.clarku.edu/courses/201/sreading/BThF1a.pdf démonstration] de [[Herbert Goldstein]], ''Classical Mechanics'', {{2e}} éd., 1980 est {{refnec|plus simple}} avec un système de [[calcul formel]] comme [[Maple]] ou [[Mathematica]].</ref>

Le premier à se rendre compte que le cas linéaire de Hooke (très simple) donnait la solution du problème de Kepler est Isaac Newton. [[Édouard Jean-Baptiste Goursat|Édouard Goursat]], [[Tullio Levi-Civita]], puis [[Karl Bohlin]] retrouvèrent ce théorème via la [[transformation conforme]] {{math|''z'' ↦ ''z''{{2}}}}, qui transforme la trajectoire de Hooke en celle de Kepler, et par changement d'échelle de temps le mouvement de Hooke en mouvement de Kepler, mais évidemment la force est changée de {{mvar|–kr}} à {{math|–''k{{'}}''/''r''{{2}}}} : cela s'appelle la [[Régularisation (physique)|régularisation]] du "choc" à [[Moment cinétique (mécanique classique)|moment cinétique]] quasi-nul.

== Généralisation du problème de Bertrand ==

Si l'on ne suppose pas le champ central, il y a plus de possibilités. On en connaît certaines. Pour deux degrés de liberté, cela arrive quand le système possède une [[Équations de Hamilton-Jacobi|équation de Hamilton-Jacobi]] [[Équation différentielle d'ordre un à variables séparées|séparable]] dans deux systèmes de coordonnées. Ces cas renvoient à la [[supersymétrie]] signalée dans l'article [[Puits de potentiel]].

*Le mouvement libre sur la sphère S{{3}} donne par [[projection stéréographique]] le [[opérateur hamiltonien|hamiltonien]] <math>H = {p^2\over (1+q^2)^2}</math>, dont les trajectoires sont évidemment fermées.
*Le mouvement libre sur la ''poire de [[Jules Tannery]]'', d'équation cartésienne {{math|16''a''{{2}}(''x''{{2}} + ''y''{{2}}) {{=}} ''z''{{2}}(2''a''{{2}} – ''z''{{2}})}}, est périodique (1892).
*Si l'on exige que les trajectoires soient des [[conique]]s, [[Gaston Darboux|Darboux]] (1877) et [[Georges Henri Halphen|Halphen]] (1877) ont trouvé deux [[Force centrale|forces centrales]] (non conservatives car dépendant de l'angle polaire) en {{math|''r''/''d''{{3}}}} où {{mvar|d}} représente la distance à une droite du plan (généralise Newton, via une polaire) et en {{math|''r''/''D''{{3}}}}, avec {{math|''D''{{2}} {{=}} ''ax''{{2}} + 2''bxy'' + ''cy''{{2}}}}.
*Si l'on abandonne l'idée de force centrale, les trajectoires peuvent être des coniques via des forces parallèles de deux types.
*Enfin, sur la sphère S{{2}}, Besse<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur=[[Arthur Besse|A. L. Besse]]|titre=Manifolds all of whose Geodesics are Closed|éditeur=Springer-Verlag|date=1978|url={{Google Livres|X8jn26cZWLQC}}|oclc=3202854|page=p. ?}}{{refinc|date=avril 2022}}.</ref> donne les déformations de la métrique conduisant à des courbes fermées sans symétrie de révolution.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Vitesse angulaire]]
* [[Histoire du mouvement képlérien#Quelques démonstrations mathématiques du mouvement képlérien|Quelques démonstrations mathématiques du mouvement képlérien]]
===Bibliographie===
{{en}} A. M. Perelomov, ''{{lang|en|Integrable Systems of Classical Mechanics and Lie Algebras}}'', vol. 1, 1989, Birkhaüser {{ISBN|3-76432-336-1}}
=== Liens externes ===
* Eddie Saudrais, démonstration basée sur celle de H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', {{2e}} éd., 1980. [http://pagesperso-orange.fr/eddie.saudrais/prepa/cor-bert.pdf]
* Autre démonstration : {{lang|en|texte=Inverse problem and Bertrand's theorem}}. [http://aps.arxiv.org/abs/math-ph/0612009]
* Autre démonstration : {{lang|en|texte=A non-perturbative proof of Bertrand's theorem}}. [https://arxiv.org/abs/0704.0575v1]

{{portail|mathématiques|physique}}

[[Catégorie:Théorème de physique|Bertrand, Joseph]]
[[Catégorie:Mécanique]]