Voir la source de Théorème de Burnside (groupe résoluble)

{{homon|Théorème de Burnside}}
[[Image:Burnside 2.jpeg|thumb|William Burnside.]]
En [[mathématiques]], le '''théorème de Burnside''' appartient à la [[théorie des groupes]] [[groupe fini|finis]]. Son énoncé est :
{{Théorème|Si ''p'' et ''q'' sont deux [[nombre premier|nombres premiers]] et ''n'' et ''m'' deux [[entier naturel|entiers positifs]], alors tout groupe d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] ''p{{exp|n}}q{{exp|m}}'' est [[groupe résoluble|résoluble]].}}

Il est nommé en l'honneur de [[William Burnside]], qui l'a démontré en [[1904 en science|1904]], à l'aide de la théorie des [[représentations d'un groupe fini]].

== Histoire ==
À une époque où l'{{Référence souhaitée|on sait déjà}} que tout groupe fini [[p-groupe|ayant pour ordre une puissance de nombre premier]] est résoluble, [[Ferdinand Georg Frobenius|Georg Frobenius]] démontre en [[1895 en science|1895]]<ref>{{de}} G. Frobenius, « ''Über auflösbare Gruppen, II'' », ''Sitzungsber. [[Académie royale des sciences de Prusse|Akad. Wiss. Berlin]]'', 1895, {{p.|1027-1044}}.</ref> que tout groupe d'ordre ''p{{exp|n}}q'', où ''p'' et ''q'' sont des nombres premiers, est résoluble. Ce résultat est étendu trois ans plus tard par [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] aux groupes d'ordre ''p{{exp|n}}q''{{2}}. C'est en [[1904 en science|1904]] que Burnside démontre le théorème général ci-dessus<ref>{{Article|langue=en|auteur=W. Burnside|titre=On groups of order ''p{{exp|α}}q{{exp|β}}''
|revue=Proc. [[London Mathematical Society|London Math. Soc.]]|année=1904|vol=s2-1|numéro=1|p.=388-392|doi=10.1112/plms/s2-1.1.388|url={{Google Livres|qAj_sgkzjvAC|page=1085}}}}.</ref>.

On resta environ soixante-cinq ans sans connaître une démonstration de ce théorème indépendante de la théorie des caractères des représentations. [[John Griggs Thompson]] ayant indiqué, sans développer, qu'une telle démonstration pouvait être tirée de l'article contenant la démonstration du [[théorème de Feit-Thompson]] et d'un autre article publié par Thompson, {{Lien|langue=en|trad=David Goldschmitt|fr=David Goldschmitt|texte=David Goldschmitt}} publia en 1970 une démonstration indépendante des caractères, mais limitée aux groupes d'ordre impair. En 1972, {{Lien|langue=de|trad=Helmut Bender|fr=Helmut Bender|texte=Helmut Bender}} donna, toujours sans utiliser les caractères, une démonstration du théorème complet<ref>{{Article|lang=en|auteur=Joseph A. Gallian|titre=The Search for Finite Simple Groups |revue=[[Mathematics Magazine]]|vol=49|date=1976|p.=163-179|url=http://www.d.umn.edu/~jgallian/simple.pdf}}, {{cf.}} {{p.|170}}.</ref>. La démonstration était cependant beaucoup plus longue et moins élémentaire que celle de Burnside<ref>{{Ouvrage|lang=en|auteur={{Lien|lang=de|Hans Kurzweil}}|auteur2=[[Bernd Stellmacher]]|titre=The Theory of Finite Groups, An Introduction|année=2004|éditeur=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|url={{Google Livres|iebSBwAAQBAJ|page=276}}|page=276-280}}.</ref>.

== Démonstration ==
La démonstration de Burnside utilise beaucoup des outils connus au moment de la rédaction de son article. On trouve les [[Action par conjugaison|classes de conjugaison]] découvertes par Burnside, et la [[théorie des représentations d'un groupe fini]] est largement utilisée.

Dans {{refnec|date=janvier 2022|la démonstration présentée ci-dessous}}, on utilise de plus un [[théorème de Sylow]] et une propriété des [[p-groupe|''p''-groupes]]. Pour une démonstration plus élémentaire et qui s'appuie plus sur l'article de Burnside, suivre le [[#Voir aussi|lien ci-dessous]] vers [[Wikiversité]].

{{Démonstration|titre=Détails|contenu=
[[Raisonnement par l'absurde|Raisonnons par l'absurde]] : ''G'' désigne un groupe non résoluble (noté multiplicativement et d'élément neutre noté 1) d'ordre ''p{{exp|n}}q{{exp|m}}'' minimal.

:*'''G est un [[groupe simple]] de [[centre d'un groupe|centre]] {1} et ''n'' est non nul.'''
''G'' n'est bien sûr pas [[groupe trivial|trivial]]. S'il existait dans ''G'' un [[sous-groupe normal]] ''H'' différent de ''G'' et de {1} alors (par minimalité de ''G''), ''H'' et ''G''/''H'' seraient résolubles donc ''G'' aussi, ce qui est exclu. Donc ''G'' est simple.

Si ''n'' était nul, ''G'' serait un [[p-groupe|''q''-groupe]] fini, donc nilpotent, donc résoluble, ce qui est exclu.

Enfin, ''G'' n'est pas abélien (il n'est pas résoluble), donc son centre n'est pas égal à ''G'' tout entier. Par simplicité de ''G'', il est égal à {1}.

:* '''Il existe dans ''G'' un élément ''g'' dont le nombre de [[Action par conjugaison|conjugués]] est de la forme ''q<sup>d</sup>'' pour un certain ''d'' > 0.'''

L'un des [[théorèmes de Sylow]] montre que ''G'' contient un sous-groupe ''S'' d'ordre ''p<sup>n</sup>''. Comme ''S'' est un ''p''-groupe non trivial, son centre ''Z''(''S'') est encore non trivial. Fixons alors dans ''Z''(''S'') un élément ''g'' différent de 1. Le nombre de conjugués de ''g'' est égal à l'[[Indice d'un sous-groupe|indice]] du [[centralisateur]] de ''g'', qui divise l'indice ''q<sup>m</sup>'' de son sous-groupe ''S''. Ce nombre est donc de la forme ''q<sup>d</sup>''. De plus, l'entier ''d'' est strictement positif car ''g'' est différent de 1 donc non central dans ''G''.

:* '''Il existe un [[Caractère d'une représentation d'un groupe fini|caractère irréductible]] χ non trivial, tel que l'entier χ(1) ne soit pas divisible par ''q'' et que le complexe χ(''g'') soit non nul.'''

Soit (χ<sub>i</sub>)<sub>1≤''i≤h''</sub> la famille des caractères (sur ℂ) irréductibles de ''G'' (ici χ<sub>1</sub> désigne le caractère trivial). Comme ''g'' n'est pas dans la même classe de conjugaison que le neutre 1, la [[Fonction centrale d'un groupe fini#Fonctions centrales et caractères|relation d'orthogonalité sur les colonnes]] de la [[table des caractères]] du groupe donne : 

<center><math>0=\sum_{i=1}^h \chi_i(1)\chi_i(g)= 1 + \sum_{i=2}^h \chi_i(1)\chi_i(g).</math></center>

Or les χ<sub>i</sub>(''g'') sont des [[Entier algébrique|entiers algébriques]], comme sommes de racines de l'unité. Si tous les caractères irréductibles non triviaux qui ne s'annulent pas en ''g'' prenaient en 1 une valeur multiple de ''q'', on en déduirait que le nombre
<center><math>-\frac1q=\sum_{i>2,~\chi_i(g)\ne 0}\frac{\chi_i(1)}q\chi_i(g)</math></center>
est un entier algébrique (comme combinaison linéaire à coefficients dans ℤ d'entiers algébriques), ce qui est absurde. Cette contradiction démontre la proposition.

:* '''Le nombre complexe ''q<sup>d</sup>''χ(''g'')/χ(1) est un entier algébrique.'''

Soit ''u'' l'élément de l'[[Algèbre d'un groupe fini|algèbre du groupe]] ''G'' sur les nombres complexes égal à la somme des ''q<sup>d</sup>'' éléments de la classe de conjugaison ''c<sub>g</sub>'' de ''g''. D'après le paragraphe [[algèbre d'un groupe fini#Entier algébrique|Entier algébrique]] de l'article [[Algèbre d'un groupe fini]], le complexe suivant est alors un entier algébrique :
<center><math>\frac1{\chi(1)}\sum_{s \in G} u_s \chi(s)=\frac1{\chi(1)}\sum_{s \in c_g}\chi(g)=\frac{q^d\chi(g)}{\chi(1)}.</math></center>

:* '''Le nombre complexe χ(g)/χ(1) est un entier algébrique.'''

En effet, ''q'' étant premier avec χ(1), le [[théorème de Bachet-Bézout]] montre l'existence de deux [[entier relatif|entiers]] ''a'' et ''b'' tels que :
<center><math>aq^d + b\chi(1)=1\quad\text{donc}\quad \frac{\chi(g)}{\chi(1)}=a \frac{q^d\chi(g)}{\chi(1)} + b\chi(g).</math></center>
La valeur recherchée est donc combinaison linéaire à coefficients entiers d'entiers algébriques, ce qui démontre la proposition.

:* '''L'image de ''g'', par la représentation ρ de caractère χ, est une [[homothétie]].

Notons ζ le nombre complexe χ(g)/χ(1). C'est un entier algébrique non nul, donc sa [[Norme (arithmétique)|norme]] ''N''(ζ) (i.e. le produit de ses [[Élément conjugué|conjugués]], c'est-à-dire des racines de son [[polynôme minimal d'un nombre algébrique|polynôme minimal sur ℚ]]) est un entier relatif non nul. Or ζ est une [[moyenne arithmétique]] de racines de l'unité (les valeurs propres de ρ(''g'')), donc ses conjugués aussi, donc tous sont de [[Module d'un nombre complexe|module]] inférieur ou égal à 1. Comme leur produit ''N''(ζ) est de module supérieur ou égal à 1, tous sont en fait de module 1, en particulier ζ, ce qui signifie que les valeurs propres de ρ(''g'') sont égales, donc que ρ(''g'') est une homothétie.

:* '''Conclusion'''
Soit ''N'' le noyau de ρ. L'homothétie ρ(''g'') est centrale dans Im(ρ) (qui est canoniquement isomorphe à ''G/N''), alors que ''g'' n'est pas central dans ''G''. Par conséquent, le sous-groupe normal ''N'' du groupe simple ''G'' est non trivial, donc égal à ''G'', si bien que la représentation ρ est triviale, ce qui contredit le choix de χ (caractère non trivial).

Cette contradiction démontre le théorème.
}}

== Notes et références ==
<references />

==Voir aussi==
{{Autres projets|v=Théorie des groupes/Le théorème p-q de Burnside|wikiversity titre=Le théorème p-q de Burnside}}
===Bibliographie===
{{Samuel1}}

===Liens externes===
*{{Lien web|langue=en|url=http://math.uchicago.edu/~margalit/repthy/Webb,%20Finite%20group%20reps%20for%20the%20pure%20mathematician.pdf|titre=Finite Group Representations for the Pure Mathematician|auteur=Peter Webb}}
*{{Lien web|url=http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Benoit.Claudon/burnside.pdf|titre=Deux résultats de Burnside|auteur=Benoît Claudon|site=[[Institut Élie Cartan de Nancy]]}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des représentations]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Burnside (groupe résoluble)]]