Voir la source de Théorème de Burnside (problème de 1902)

{{Voir homonymes|Théorème de Burnside}}
[[Fichier:Burnside 2.jpeg|vignette|William Burnside.]]
En [[mathématiques]], le '''théorème de Burnside''', démontré par [[William Burnside]] en [[1905 en science|1905]], établit que tout [[sous-groupe]] d'[[Exposant d'un groupe|exposant]] fini du [[groupe (mathématiques)|groupe]] [[Groupe général linéaire|linéaire]] {{nobr|GL(''n'', [[nombre complexe|ℂ]])}} est [[Groupe fini|fini]].

Ce [[théorème]] est un élément de solution d'une vaste question, le [[problème de Burnside]] de [[1902 en science|1902]] – sur les [[Groupe de torsion|groupes de torsion]] [[Groupe de type fini|de type fini]] – dont certains points sont encore des problèmes ouverts.

== Énoncé ==
{{Théorème|Théorème de Burnside|Tout sous-groupe d'exposant fini de GL(''n'', ℂ) est fini.}}
Un énoncé équivalent est que toute [[représentation de groupe|représentation]] d'un groupe d'exposant fini dans un [[espace vectoriel]] [[nombre complexe|complexe]] de [[Espace vectoriel de dimension finie|dimension finie]] possède une [[Morphisme de groupes#Noyau et image|image]] finie.

Plus précisément et plus généralement<ref name=Lam>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Tsit Yuen|nom1=Lam|lien auteur1=Tsit Yuen Lam|titre=A First Course in Noncommutative Rings|éditeur=Springer|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=131|année=2001|numéro d'édition=2|année première édition=1991|pages totales=385|passage=143|isbn=978-0-387-95183-6|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=f15FyZuZ3-4C&pg=PA143}}.</ref>, si ''K ''est un corps de [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] ''p ''≥ 0, tout sous-groupe de GL(''n'', ''K'') d'exposant fini ''e ''non divisible par ''p'' est d'ordre inférieur ou égal à ''e''{{exp|(''n''{{3}})}}.

== Contexte ==
{{Article détaillé|Problème de Burnside}}
En 1902, William Burnside s'intéresse aux groupes finis. Il pose en particulier la ''question générale ''suivante : ''un groupe de type fini dont tout élément est d'[[Ordre (théorie des groupes)|ordre]] fini, est-il fini ?'' Cette question prend le nom de problème de Burnside de 1902, la date permettant de la différencier de sa non moins célèbre conjecture de 1911, [[Théorème de Feit-Thompson|résolue par Feit et Thompson]].

Il pressent immédiatement la difficulté de cette question générale, et même de sa [[Problème de Burnside#Problème de Burnside borné|version « bornée »]] : ''un groupe de type fini et d'exposant fini est-il fini ?'' Dans l'article décrivant cette conjecture, il traite les cas où l'exposant ''n ''est égal à 2 ou 3, ainsi que celui où ''n'' est égal à 4 et où le groupe est engendré par deux éléments.

En [[1905 en science|1905]], il démontre<ref>{{Article|lang=en|prénom=William|nom=Burnside|titre=On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions|revue=Proc. London Math. Soc.|vol=2|numéro=3|année=1905|p.=435-440}}.</ref> le théorème énoncé ci-dessus (où le groupe n'est d'ailleurs pas supposé de type fini ''a priori''), ce qui met en évidence la difficulté de construire un contre-exemple à son problème : il faudrait, d'après son théorème, qu'un tel groupe n'ait aucune [[Représentation de groupe#Glossaire des représentations|représentation fidèle de degré fini]]. En [[1911 en science|1911]], [[Issai Schur]] donne, pour le problème ''général'' de Burnside, la réponse partielle analogue en démontrant que tout sous-groupe de torsion de type fini de GL(''n'', ℂ) est fini, et précise même sa structure par le [[théorème de Jordan-Schur]].

Il faut attendre les travaux de 1964 d'[[Evgeny Golod]] et [[Igor Shafarevich]] pour que la conjecture générale de Burnside soit réfutée. En 1968, [[Piotr Novikov]] et [[Sergueï Adian]] réfutent même la version « bornée ». Le problème n'est pas clos pour autant : [[Efim Zelmanov]] reçoit en [[1994 en science|1994]] la [[médaille Fields]] pour sa preuve de la [[Problème de Burnside#Problème de Burnside restreint|version « restreinte »]] de cette conjecture, et de nombreux problèmes sur ces sujets sont encore ouverts aujourd'hui.

== Démonstration ==

La version générale se démontre par récurrence sur ''n ''et réduction (par [[triangularisation]] [[Matrice par blocs|par blocs]]) au cas où le ''K''[''G'']-module ''K{{exp|n}} ''est [[Irréductibilité|absolument irréductible]]<ref name=Lam/>.

Pour la démonstration du cas particulier, les notations suivantes sont utilisées : si ''u ''est un [[Application linéaire|endomorphisme]] de ℂ{{exp|''n''}}, Tr(''u'') désigne sa [[trace (algèbre)|trace]] et, pour tout [[entier naturel|entier positif]] ''p'', ''u{{exp|p}} ''désigne la composée itérée ''p'' fois de ''u''. Le sous-groupe de GL(''n'', ℂ) est noté ''G'', et la sous-[[algèbre associative sur un corps|algèbre]] de [[Matrice (mathématiques)|M{{ind|''n''}}(ℂ)]] engendrée par ''G'' est notée ''A''.

=== Lemme ===
La démonstration s'appuie sur un lemme technique :
:* '''L'endomorphisme ''u'' est [[endomorphisme nilpotent|nilpotent]] si et seulement si pour tout entier ''p'' compris entre 1 et ''n'', ''u''<sup>p</sup> est de trace nulle.'''

En effet, si ''u'' est nilpotent, alors son unique valeur propre est 0, et il en est de même pour ses puissances. Sa trace, ainsi que celle de ses puissances, est nulle.

Réciproquement, supposons que pour tout ''p'' compris entre 1 et ''n'', la trace de ''u{{exp|p}}'', c'est-à-dire la somme des puissances ''p''-ièmes des ''n ''valeurs propres de ''u ''(comptées avec leurs multiplicités) soit nulle. Alors, d'après les [[identités de Newton]], les [[Polynôme symétrique|polynômes symétriques élémentaires]] en ces valeurs propres sont nuls, autrement dit le [[polynôme caractéristique]] de ''u ''est égal à ''X{{exp|n}}'', donc ''u{{exp|n}} ''= 0.

=== Théorème ===
Si le groupe ''G'' est fini, alors [[Théorème de Lagrange sur les groupes|un théorème de Lagrange]] prouve qu'il est d'exposant fini.

Réciproquement, ''A'' est une algèbre de dimension finie engendrée par ''G'', il existe donc une famille d'éléments de ''G'', (''c<sub>i</sub>'') pour ''i'' variant de 1 à ''m'', qui est une base de cette algèbre. Soit φ l'[[application linéaire]] de ''A'' dans ℂ<sup>m</sup> définie par :
<center><math>\forall a \in A \quad \varphi(a)= \left(\operatorname{tr}(a\circ c_i)\right)_{i \in [1,m]}</math></center>

Le théorème se démontre en trois temps :
:* '''Si ''a'' et ''b'' sont deux éléments de ''G'' ayant même image par φ alors si ''k'' est un entier positif, la trace de (''ab''<sup>-1</sup>)<sup>k</sup> est égale à ''n''.'''
Tout d'abord, on remarque que si ''m'' est un élément quelconque de ''A'', alors les traces de ''am'' et de ''bm'' sont égales. En effet, la famille des ''c<sub>i</sub> ''est génératrice de l'espace vectoriel ''A'' et la trace est [[application linéaire|linéaire]].
Calculons alors la trace de (''ab''{{exp|-1}})<sup>k</sup>.
<center><math>\forall\; k \ge 1 \quad \operatorname{tr}\left((ab^{-1})^k \right) =\operatorname{tr}\left(a (ab^{-1})^{k-1}b^{-1}\right)=\operatorname{tr}\left(b (ab^{-1})^{k-1} b^{-1} \right) = \operatorname{tr}\left((ab^{-1})^{k-1} \right)\;</math></center>
La deuxième égalité est vraie car les deux derniers facteurs sont des éléments de ''A''. Une récurrence permet de conclure que la trace de (''ab''{{exp|-1}})<sup>k</sup> est égale à celle de l'identité et donc à ''n''.

:* '''L'application φ, restreinte à ''G'', est injective.'''
Pour cela, déterminons la trace des puissances de ''ab''{{exp|-1}} - ''Id'' où ''Id'' désigne l'endomorphisme identité. Si ''k'' est un entier positif, la [[formule du binôme de Newton]] montre que :
<center><math>\operatorname{tr}\left((ab^{-1} - \operatorname{Id})^k \right) = \sum_{i=1}^k {\binom{k}{i}} \operatorname{tr}\left((ab^{-1})^i \right)(-1)^{k-i}=n\sum_{i=1}^k {\binom{k}{i}}(-1)^{k-i} = 0 \;</math></center>

L'endomorphisme ''ab''{{exp|-1}} - ''Id'' est nilpotent d'après le lemme. Or ''ab''{{exp|-1}} est un [[diagonalisation|endomorphisme diagonalisable]] car, si ''e'' désigne l'exposant du groupe ''G'', il admet comme [[Polynôme d'endomorphisme|polynôme annulateur]] ''X''{{e}} - 1, c'est-à-dire un polynôme scindé sans racine multiple. En effet, l'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le [[polynôme minimal d'un endomorphisme|polynôme minimal]] est scindé sans racine multiple (cette propriété est démontrée dans l'article [[polynôme d'endomorphisme]]).

Soit une base de vecteurs propres de ''ab''{{exp|-1}}, c'est aussi une base de vecteurs propres de l'identité et donc de ''ab''{{exp|-1}} - ''Id''. Ce dernier endomorphisme est donc à la fois diagonalisable et nilpotent, ce qui démontre qu'il est égale à l'endomorphisme nul. On en déduit que ''ab''{{exp|-1}} est égal à l'identité ou encore que ''a'' est égal à ''b'' et la proposition est démontrée.

:* '''Le groupe ''G'' est fini.'''
Si ''g'' est un élément de ''G'' alors les seules valeurs propres sont les racines ''e''-ièmes de l'unité. On en déduit que la trace de ''g'' ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs et que φ(''G'') est fini. Comme φ restreinte à ''G'' est injective, ''G'' est un ensemble fini, ce qui termine la démonstration.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==
=== Ouvrages ===
* {{Lang1}}
* X. Gourdon, ''Algèbre'', Ellipses, 1994

=== Lien externe ===
{{Lien brisé|url=http://dynamaths.free.fr/docs/lecons/plan_lecon_106_14.pdf|titre=Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie ; sous-groupes|auteur=M. Pellerin}}

{{Palette|Représentations des groupes finis}}

{{Portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorie des représentations]]
[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes|Burnside (problème de 1902)]]