Voir la source de Théorème de Cartan-Hadamard

{{ébauche|géométrie}}
En [[géométrie riemannienne]], le '''théorème de Cartan-Hadamard''' décrit la [[structure différentielle]] sous-jacente à une variété [[Espace complet|complète]] à [[courbure]] négative. Sur ce résultat s'appuie une riche étude du domaine de la [[courbure négative]] ou strictement négative. Il est d'usage de donner le nom de « Cartan-Hadamard » ou de « Hadamard-Cartan » à ce résultat, cependant il a été prouvé pour la première fois en 1881 par [[Hans Carl Friedrich von Mangoldt|Hans von Mangoldt]] dans le cadre des [[surface]]s, puis d'autres démonstrations dans un cadre plus développé ont été apportées par [[Jacques Hadamard]], et enfin [[Élie Cartan]] en a donné l'énoncé général dans le cadre riemannien<ref>{{harvsp|Berger}}, {{p.|255}}</ref>.

== Énoncé ==

L'énoncé utilise les notions de base de la [[topologie]] et de la [[géométrie riemannienne]]. Le théorème portera sur une variété [[espace complet|complète]] au sens topologique ; mais il convient de rappeler que par le [[théorème de Hopf-Rinow]], cela garantit que les [[géodésique]]s peuvent être prolongées indéfiniment et que l'[[application exponentielle]] en un point ''m'' est définie sur tout l'espace tangent en ''m''<ref>{{harvsp|Gallot|Hulin|Lafontaine}} {{p.|90}}</ref>.

{{Théorème|Théorème (von Mangoldt-Hadamard-Cartan, 1881-1928)<ref>Version du théorème proposée par {{harvsp|Berger}}, {{p.|255}}</ref>|Si une [[variété riemannienne]] ''M'' complète a une [[courbure sectionnelle]] toujours négative, alors pour chaque point ''m'', l'application exponentielle de base ''m'' constitue un [[revêtement (mathématiques)|revêtement]]. En tant que variété, ''M'' est donc un quotient de l'espace euclidien par un [[groupe discret]].

Dans le cas où ''M'' est [[simplement connexe]], il est difféomorphe à l'espace euclidien et deux points peuvent être joints par une unique géodésique.}}

== Principe de la preuve ==

L'idée centrale est de considérer l'équation d'évolution <math>J'' +R(J,c')c' = 0</math> d'un [[champ de Jacobi]] ''J'' le long d'une géodésique ''c'' donnée. On en déduit la variation du carré ''N'' de sa norme, qui fait apparaître la courbure sectionnelle
:<math>N'=\frac{\mathop d}{\mathop d t}\bigl(g(J,J)\bigr)=2g(J',J')+2g(J'',J)=2g(J',J')-2g\bigl(R(c',J)c',J\bigr) \geq 0</math>
Ainsi cette fonction ''N'' est [[fonction convexe|convexe]]. Si ''J'' est nulle à l'origine, ''N'' et sa dérivée le sont également et ''J'' est constamment nulle. Aucun point de la géodésique ne peut donc avoir de conjugué, et l'application <math>\exp_m</math> constitue un difféomorphisme local<ref>{{harvsp|Gallot|Hulin|Lafontaine}} {{p.|134}}</ref>.

On utilise alors ce difféomorphisme local pour [[image réciproque (géométrie différentielle)|ramener]] la métrique sur l'espace tangent <math>T_mM</math>, ce qui en fait une isométrie locale. L'espace tangent admet les rayons issus de l'origine pour géodésiques. Cela montre qu'il est lui-même complet et qu'il constitue en fait un [[revêtement riemannien]] de ''M''<ref>{{harvsp|Berger}}, {{p.|229}}</ref>{{,}}<ref>{{harvsp|Gallot|Hulin|Lafontaine}} {{p.|92}}</ref>.

== Commentaires ==

Ce théorème est le premier résultat substantiel dans l'étude des variétés à [[courbure négative]] dont il donne une description topologique globale. La situation la plus simple est celle des variétés simplement connexes : une variété complète, simplement connexe, à courbure sectionnelle négative, est appelée [[variété de Hadamard]] ou de Cartan-Hadamard. Une telle variété est difféomorphe à l'espace <math>\mathbb{R}^n</math> et sa géométrie a de nombreux parallèles avec celle de l'espace euclidien, comme la possibilité de définir des points à l'infini.
Pour les autres variétés à courbure négative, leur [[revêtement universel]] est une variété de Hadamard et il reste essentiellement à s'intéresser au [[groupe fondamental]].

Le '''théorème de Cartan-Hadamard''' peut être mis en perspective en l'opposant à des résultats correspondants en [[courbure positive]], particulièrement le [[théorème de Bonnet-Schoenberg-Myers]]. Ce dernier montre, en termes imagés, que certaines hypothèses de la courbure de positivité induisent des propriétés de refermement global des [[géodésique]]s.

== Notes et références ==
{{Références}}

== Voir aussi ==

* [[Application exponentielle]]
* [[Courbure négative]]

== Bibliographie ==
* {{Berger1}}, {{pages|254-257}}
*{{GallotHulinLafontaine}} {{p.|134}}
*{{Jost2}} {{pages|202-206}}

{{Portail|géométrie}}

[[Catégorie:Théorème de géométrie riemannienne|Cartan Hadamard]]
[[Catégorie:Courbure contrainte]]
[[Catégorie:Jacques Hadamard]]