Voir la source de Théorème de Cartan-von Neumann

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[[Fichier:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|droite|vignette|252x252px| [[John von Neumann]] démontre en 1929 le théorème dans le cas des groupes linéaires.]]En [[mathématiques]], le '''théorème de Cartan-von Neumann''', ou '''théorème du sous-groupe fermé''', est un [[théorème]] de la théorie des [[Groupe de Lie|groupes de Lie]]. Soit {{Formule|''H''}} un [[Groupe topologique|sous-groupe fermé]] d'un [[groupe de Lie]] {{Formule|''G''}}, alors {{Formule|''H''}} est un [[groupe de Lie]] dont la structure différentielle (et donc la [[Groupe topologique|topologie du groupe]]) est déduite de celle de {{Formule|''G''}} par plongement de groupes de Lie<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Lee|2003|loc=Theorem 20.10}}.</ref>{{,}}<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Rossmann|2002|loc=Theorem 1, Section 2.7}}. Rossmann énonce le théorème pour le groupes linéaires.</ref>{{,}}<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Hall|2015}}. Pour les groupes linéaires, Hall prouve un résultat similaire au Corollary 3.45.</ref>. C'est l'un des nombreux résultats connus sous le nom de [[théorème de Cartan]], publié pour la première fois en 1930 par [[Élie Cartan]]<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Cartan|1930}} Voir § 26.</ref>, qui s'est inspiré de la preuve de [[John von Neumann]] de 1929 d'un cas particulier pour les groupes de [[Application linéaire|transformations linéaires]].

Un sous-groupe de Lie plongé {{Formule|''H'' ⊂ ''G''}} est fermé<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Lee|2003}} Corollary 15.30.</ref> donc un sous-groupe est un sous-groupe de Lie plongé si et seulement s'il est fermé. De manière équivalente, {{Formule|''H''}} est un sous-groupe de Lie plongé si et seulement si sa topologie de groupe est égale à sa topologie induite par celle de {{Formule|''G''}}<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Rossmann|2002}} Problem 2. Section 2.7.</ref>.

== Aperçu ==
Soit <math>G</math> être un [[groupe de Lie]] d'[[algèbre de Lie]] correspondante <math>\mathfrak{g}</math>, et <math>H</math> un sous-groupe fermé arbitraire de <math>G</math>. Il faut montrer que <math>H</math> est une sous-variété lisse plongée dans <math>G</math>. La première étape consiste à identifier un candidat pour l’algèbre de Lie de <math>H</math>, c'est-à-dire l'espace tangent de <math>H</math> en l'identité. La difficulté est qu'aucun hypothèse de lissité n'est faite sur <math>H</math> et il n'est donc pas clair comment définir son [[espace tangent]]. On définit l'« algèbre de Lie » <math>\mathfrak{h}</math> de <math>H</math> par<math display="block">\mathfrak{h} = \left\{ X \mid e^{tX}\in H, \,\, \forall t\in\R\right\}. </math>Il n'est pas difficile de montrer que <math>\mathfrak{h}</math> est une sous-algèbre de Lie de <math>\mathfrak{g}</math><ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Hall|2015}} Theorem 3.20</ref>. En particulier, <math>\mathfrak{h}</math> est un sous-espace de <math>\mathfrak{g}</math>, que l’on pourrait espérer être l’espace tangent de <math>H</math> en l'identité.

Le point est de montrer que <math>\mathfrak{h}</math> capture en fait tous les éléments de <math>H</math> suffisamment proches de l’identité. Autrement dit, il est nécessaire de prouver le lemme suivant :

{{Théorème|nom='''Lemme'''|énoncé=Soit un petit voisinage <math>U</math> de l'origine dans <math>\mathfrak{g}</math> tel que l'application exponentielle envoie <math>U</math> de manière difféomorphique sur un voisinage <math>V</math> de l'identité dans <math>G</math>, et soit <math>\log: V \to U</math> l'inverse de l'application exponentielle. 

Alors il existe un voisinage <math>W\subset V</math> tel que si <math>h</math> appartient à <math>W\cap H</math>, alors <math>\log(h)</math> appartient à <math>\mathfrak{h}</math><ref>{{harvnb|Hall|2015}} Théorème 3.42</ref>.}}

On peut écrire tout élément <math>g\in W</math> (pas nécessairement dans <math>H</math>) comme <math>g = e^X</math> pour <math>X = \log(g)</math>, ce sont les ''coordonnées exponentielles''. Le lemme, une fois établi, dit que (en coordonnées exponentielles, <math>X</math> correspond à un point dans <math>H</math> précisément si <math>X</math> appartient à <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math> . Or <math>\mathfrak{h}</math> es un sous-espace de <math>\mathfrak{g}</math>, cela signifie que <math>\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}</math> est localement l'inclusion <math>\R^k\subset\R^n</math>, avec <math>k = \dim(\mathfrak{h})</math> et <math>n = \dim(\mathfrak{g})</math>. Ainsi, dans un [[système de coordonnées]] correct, <math>H\subset G</math> ressemble localement à <math>\R^k \subset \R^n</math>, qui est une condition suffisante<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Lee|2003}} Chapter 5</ref>.

Il convient de noter que Rossmann montre que pour ''tout'' sous-groupe <math>H</math> de <math>G</math> (pas nécessairement fermé), l'algèbre de Lie <math>\mathfrak{h}</math> de <math>H</math> définie plus haut  est une sous-algèbre de Lie de <math>\mathfrak{g}</math><ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Rossmann|2002}} Chapter 2, Proposition 1 and Corollary 7</ref>. La composante identité de <math>H</math> est une sous-variété immergée de <math>G</math> mais pas plongée.

En particulier, le lemme énoncé ci-dessus n’est pas valable si <math>H</math> n'est pas fermé.

== Exemple de sous-groupe non fermé ==
[[Fichier:Torus.png|droite|vignette|193x193px|Le tore {{Formule|''G''}} . Imaginez une [[Hélice (géométrie)|hélice]] courbée disposée sur la surface représentant {{Formule|''H''}} . Si {{Formule|1=''a'' = {{frac|''p''|''q''}}}} est rationnelle, l'hélice se refermera sur elle-même en (1, 1) après p rotations en φ et q rotations en θ. Si a est irrationnel, l’hélice s’enroule indéfiniment autour de {{Formule|''G''}}.]]
Soit {{Formule|''G''}} [[tore]] et un sous-groupe fermé en hélice enroulé autour du tore :<math display="block">G = \mathbb{T}^2 = \left\{\left .\begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi} \end{pmatrix}\right| \theta, \phi \in \R\right\},</math>et<math display="block">H = \left\{\left. \begin{pmatrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{pmatrix} \right| \theta \in \R\right\} \text{d'algèbre de Lie } \mathfrak{h} = \left\{\left. \begin{pmatrix} i\theta & 0\\0 & ia\theta\end{pmatrix}\right| \theta \in \R\right\},</math>avec {{Formule|''a''}} irrationnel. Alors {{Formule|''H''}} est [[Partie dense|dense]] dans {{Formule|''G''}} et donc non fermé<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Lee|2003}} Example 7.3</ref>. Un petit sous-ensemble ouvert pour la [[topologie induite]] {{Formule||§=''τ''<sub>ind</sub>}} de {{Formule|''H''}} est composé d'une infinité de segments de droite presque parallèles à la surface du tore. En particulier {{Formule|''H''}} n'est pas [[Espace localement connexe|localement connexe par arcs]]. Dans la topologie du groupe {{Formule|''H''}}, les petits ouverts sont des portions de courbe ''unique'' à la surface du tore et {{Formule|''H''}} ''est'' localement connexe par arcs. Le groupe {{Formule||§=(''H'', ''τ''<sub>ind</sub>)}} n'est pas un groupe de Lie<ref name="Rossmann 2002">{{Référence Harvard sans parenthèses|Rossmann|2002}} Commentaire au Corollary 5, Section 2.2.</ref>.

D'autre part l’injection {{Formule|''ι'' : (''H'', ''τ''<sub>g</sub>) → ''G''}} est une immersion [[Injection (mathématiques)|injective]] analytique, mais pas un [[homéomorphisme]], donc n'est pas un plongement.

== Applications ==
En raison du théorème, certains auteurs choisissent de ''définir'' les '''groupes de Lie linéaires''' comme sous-groupes fermés de {{Formule|GL(''n'', '''R''')}} ou {{Formule|GL(''n'', '''C''')}}<ref>E.g. {{Référence Harvard sans parenthèses|Hall|2015}}. cf. définition du Chapter 1.</ref>. Dans ce cadre, on prouve que tout élément du groupe suffisamment proche de l'identité est l'exponentielle d'un élément de l'algèbre de Lie<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Hall|2015}} Theorem 3.42</ref>. (La preuve est pratiquement identique à la preuve du théorème des sous-groupes fermés présentée ci-dessous. ) Il s'ensuit que chaque sous-groupe fermé est une sous-variété ''plongée'' de {{Formule|GL(''n'', '''C''')}}<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Hall|2015}} Corollary 3.45</ref>.
{{Théorème|nom='''Théorème'''|énoncé=Si {{math|''H'' ⊂ ''G''}} est un ''sous-groupe de Lie fermé'', alors l'espace quotient {{math|''G''/''H''}} a une unique structure de {{lien|fr=variété analytique réelle|trad=analytic variety|langue=en}} telle que l'application de quotient {{math|''π'':''G'' → ''G''/''H''}} est une [[submersion (mathématiques)|submersion]] analytique. L'action à gauche donnée par {{math|1=''g''<sub>1</sub> ⋅ (''g''<sub>2</sub>''H'') = (''g ''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub>)''H''}} transforme {{math|''G''/''H''}} en un [[espace homogène|{{math|''G''}}-espace homogène]].}}
Le théorème des sous-groupes fermés simplifie désormais considérablement les hypothèses, élargissant a priori la classe des espaces homogènes. Chaque sous-groupe fermé donne un espace homogène.

== Conditions de fermeture ==
Quelques conditions suffisantes pour que {{Formule|''H'' ⊂ ''G''}} soit fermé, donc un groupe de Lie intégré, sont données ci-dessous.

* Tous les [[Groupe classique|groupes classiques]] sont fermés dans {{Formule|GL(''F'', ''n'')}}, où {{Formule|''F''}} est <math>\R</math>, <math>\Complex</math>, ou <math>\mathbb{H}</math>, les [[Quaternion|quaternions]].
* Un sous-groupe ''localement'' ''fermé'' est fermé<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Rossmann|2002}} Problem 1. Section 2.7</ref>. Un sous-groupe est localement fermé si chaque point a un voisinage dans {{Formule|''U'' ⊂''G''}} tel que {{Formule|''H'' ∩ ''U''}} est fermé dans {{Formule|''U''}}.
* Si {{Formule||§=''H'' = ''AB'' = {''ab'' {{!}} ''a'' ∈ ''A'', ''b'' ∈ ''B''<nowiki>}</nowiki>}}, où {{Formule|''A''}} est un [[groupe compact]] et {{Formule|''B''}} est un ensemble fermé, alors {{Formule|''H''}} est fermé<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Rossmann|2002}} Problem 3. Section 2.7</ref>.
* Si ''G'' est simplement connexe et <math>\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}</math> est un [[Algèbre de Lie|idéal]], alors le sous-groupe de Lie connexe d'algèbre de Lie <math>\mathfrak{h}</math> est fermé<ref>{{Référence Harvard sans parenthèses|Hall|2015}} Exercise 14, Chapter 5</ref>.

== Références ==
{{Traduction/Référence|lang1=en|art1=Closed-subgroup theorem|id1=1151114005}}
{{Références|groupe=note}}{{Références|taille=30}}

== Bibliographie ==

* {{ouvrage|titre=John von Neumann 1903–1957|prénom=S.|nom=Bochner|lien auteur=Salomon Bochner|journal=Biographical Memoirs of the National Academy of Sciences|année=1958|pages=438–456|url=http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/von-neumann-john.pdf}}. Voir en particulier [https://books.google.com/books?id=EUIBUzD75UAC&pg=PA80 p. 441].
* {{ouvrage|nom=Cartan|prénom=Élie|lien auteur=Élie Cartan|titre=La théorie des groupes finis et continus et l'''Analysis Situs''|année=1930|periodical=Mémorial Sc. Math.|volume=XLII|pages=1–61}}
* {{ouvrage|nom=Hall|prénom=Brian C.|titre=Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|éditeur=Springer|année=2015|isbn=978-3319134666}}
* {{ouvrage|nom=Lee|prénom=J. M.|titre=Introduction to Smooth manifolds|année=2003|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|isbn=0-387-95448-1|volume=218}}
* {{ouvrage|nom=von Neumann|prénom=John|lien auteur=John von Neumann|titre=Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|année=1929|volume=30|issue=1|pages=3–42|doi=10.1007/BF01187749|s2cid=122565679|langue=de}}
* {{ouvrage|nom=Rossmann|prénom=Wulf|titre=Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups|éditeur=Oxford Science Publications|année=2002|series=Oxford Graduate Texts in Mathematics|isbn=0-19-859683-9}}
* {{ouvrage|nom=Willard|prénom=Stephen|titre=General Topology|éditeur=Dover Publications|année=1970|isbn=0-486-43479-6}}

{{portail|mathématiques}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des groupes]]
[[Catégorie:Groupe de Lie]]