Voir la source de Théorème de Davenport-Cassels

Le '''théorème de [[Harold Davenport|Davenport]]-[[John Cassels|Cassels]]''' est un résultat sur les représentations rationnelles ou entières des [[forme quadratique|formes quadratiques]] à coefficients entiers. Il est plus connu pour son corollaire en [[arithmétique]] concernant les entiers s'écrivant comme [[Théorème des deux carrés de Fermat|somme de deux carrés]] ou [[Théorème des trois carrés|trois carrés]]. 

== Énoncé général ==
{{Théorème|Théorème de Davenport-Cassels|Soit {{math|''q''}} une [[forme quadratique]] à coefficients entiers de dimension {{math|''n''}} telle que {{math|1=''q''(''x''{{ind|1}}, …, ''x{{ind|n}}'') = ∑{{ind|''i'',''j''}} ''a{{ind|ij}} x{{ind|i}} x{{ind|j}}''}} avec pour tout {{math|''i''}} et {{math|''j''}}, {{math|1=''a{{ind|ij}} = a{{ind|ji}}''}}. Si, pour tout {{math|''n''}}-uplet {{math|''x''}} de rationnels non tous entiers, il existe un {{math|''n''}}-uplet {{math|''a''}} d'entiers tel que {{math|0 < {{!}}''q''(''x – a''){{!}} < 1}} alors tout entier {{math|''N''}} possédant un représentant rationnel possède aussi un représentant entier. C'est-à-dire : pour tout entier {{math|''N''}}, s'il existe un {{math|''n''}}-uplet {{math|''x''}} de rationnels tel que {{math|1=''q''(''x'') = ''N''}}, il existe aussi un {{math|''n''}}-uplet {{math|''a''}} d'entiers tel que {{math|1=''q''(''a'') = ''N''}}.}}
La démonstration peut se faire par [[méthode de descente infinie|descente infinie]] sur la taille du dénominateur commun des <math>x_i</math><ref>Pour une démonstration voir {{Weil1}}, ou bien {{Lien web|lang=en|auteur=Pete L. Clark|url=http://math.uga.edu/~pete/4400theend.pdf|titre=Representations of integers by quadratic forms}}.</ref>.

Une variante plus répandue de cet énoncé se limite au cas où la forme quadratique est définie positive. Dans ce cas, le fait qu'elle soit [[Forme bilinéaire#Définitions associées au cas où E est égal à F|définie]] permet de reformuler l'hypothèse plus simplement en :  « Si, pour tout {{math|''n''}}-uplet {{math|''x''}} de rationnels, il existe un {{math|''n''}}-uplet {{math|''a''}} d'entiers tel que {{math|{{!}}''q''(''x – a''){{!}} < 1}} alors… » <ref>Pour une démonstration de cette variante voir {{Serre1}}, ou bien {{Lien web|auteur=[[Eva Bayer-Fluckiger]]|url=http://imbsrv1.epfl.ch/csag/cours/algthqf09/exo_ss07/sheet13.pdf|titre=Théorie algébrique des formes quadratiques|année=2007|site=[[EPFL]], MathGeom}}.</ref>.

== Somme de deux ou trois carrés ==
Le théorème de Davenport-Cassels a pour conséquence le théorème suivant :
{{Théorème|Si un entier naturel est somme de deux (respectivement trois) carrés de nombres rationnels, il est aussi somme de deux (respectivement trois) carrés d'entiers.}}
D'après [[André Weil]]<ref name=Weil>{{Harvsp|Weil|p=59}} et 292.</ref>, [[Pierre de Fermat|Fermat]], dans une lettre de [[Marin Mersenne|Mersenne]] du {{date-|15 juillet 1636}}, affirme avoir prouvé ce résultat mais dans une autre lettre du {{date-|2 septembre}} de la même année, il reconnaît que sa preuve doit encore être travaillée. En 1912, une preuve de ce théorème est donnée par L. Aubry<ref name=Weil/>{{,}}<ref>{{Lien web|langue=en|auteur=[http://www.math.uconn.edu/~kconrad/ Keith Conrad]|titre=Sums of squares in '''Q''' and ''F''(''T'')|url=http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/sumsquareQF%28T%29.pdf}}.</ref>{{,}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=A. R.|nom1=Rajwade|titre=Squares|éditeur=[[Cambridge University Press|CUP]]|collection=London Mathematical Society Lecture Note Series|numéro dans collection=171|année=1993|pages totales=286|passage=29-30|isbn=978-0-521-42668-8|lire en ligne={{Google Livres|m3tmLXA0vKIC|page=29}}}}.</ref>. Le théorème de Davenport-Cassels, postérieur à cette publication permet aussi d'en donner une preuve. 

En effet, le carré de la distance usuelle sur ℚ{{2}} ou ℚ{{3}} est une [[forme quadratique]] vérifiant les conditions du théorème de Davenport-Cassels. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que, pour tout rationnel <math>x_i</math>, il existe un entier <math>a_i</math> tel que <math>|x_i-a_i|\le 1/2</math>. Ainsi, pour tout couple (resp. triplet) <math>x</math> de rationnels, il existe un couple (resp. triplet) <math>a</math> d'entiers tel que <math>d^2(x,a) = \sum_{i=1}^2|x_i-a_i|^2 \le \frac 14+\frac 14 < 1</math> (resp. <math>d^2(x,a) = \sum_{i=1}^3|x_i-a_i|^2 \le \frac 14+\frac 14 +\frac 14 < 1</math>).

== Notes et références ==
{{references}}
== Articles connexes ==
* [[Théorème des deux carrés de Fermat]]
* [[Théorème des 15]]

{{Portail|arithmétique}}

[[Catégorie:Théorème de la théorie des nombres|Davenport-Cassels]]
[[Catégorie:Forme quadratique]]
[[Catégorie:Équation diophantienne]]